北京市石景山区2020~2021学年度高二第一学期期末考试数学试卷及答案
5.2020.1石景山高二期末数学试题
北京市石景山区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 2020.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果2,,,,10a b c 成等差数列，那么c a -=A ． 1B ．2C ． 4D ． 82．若双曲线22143x y -=的离心率是A ．12B ．54C D ．523．抛物线22x y =-的焦点坐标是A ．1(0,)2B ．1(0,)2-C ．(1,0)D ．(1,0)-4．在数列{}n a 中，11a =，12n n a a +⋅=-(123)n =，，，，那么8a = A ．2- B ．12-C ．1D ． 25．命题“,e xx x ∀∈>R ”的否定是（ ）A ． ,e xx x ∃∈<R B ． ,e xx x ∀∈<R C ． ,e x x x ∀∈R ≤D ． ,e xx x ∃∈R ≤6．设椭圆2212x y +=的两个焦点为1F ，2F ，且P 点的坐标为(2，则=+||||21PF PFA ．1BC ．2D ．7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4，3，2)，则1C 的坐标是 A ．)2,3,0(B ．)2,4,0(C ．)2,0,4(D ．)4,3,2(8．设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0<q ”是“对任意的正整数n ，0212<+-n n a a ”的A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．设平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为m ，那么“,60m n <>=︒”是“直线l 与平面α夹角为30︒”的A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，当灯笼的底面半径为0.3米时，则图中直线28B A 与62A A 所在异面直线所成角的余弦值为A ．612B ．66C ．33 D ．63第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．11．在空间直角坐标系中，已知),2,0,1(),0,2,1(==b a 那么cos ,a b <>=______.12. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且21a =，346a a +=.设数列{}n a n -的前n 项和为n S ，那么4S ______5S （填“>”、“<”或“=”），理由是_____________.zyxDC BAD 1C 1B 1A 1B 1B 2B 3B 4B 5B 6 B 7 B 8A 1 A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 813. 甲、乙两位同学分别做下面这道题目：在平面直角坐标系中，动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2，求M 的轨迹.甲同学的解法是：解：设M 的坐标是(,)x y ，则根据题意可知||2y =+，化简得24(||)x y y =-. ①当0y >时，方程可变为0x =， ② 这表示的是端点在原点、方向为y 轴正方向的射线，且不包括原点. ③ 当0y ≤时，方程可变为28x y =-， ④这表示以(0,2)F -为焦点，以直线2y =为准线的抛物线. ⑤所以M 的轨迹为端点在原点、方向为y 轴正方向的射线，且不包括原点和以(0,2)F -为焦点，以直线2y =为准线的抛物线.乙同学的解法是：解：因为动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2， ① 如图，过点M 作x 轴的垂线，垂足为1M . 则1||||2MF MM =+.设直线1MM 与直线2y =的交点为2M . 则21||||2MM MM =+. ②即动点M 到直线2y =的距离比M 到x 轴的距离大2， ③ 所以动点M 到(0,2)F -的距离与M 到直线2y =的距离相等. ④所以动点M 的轨迹是以(0,2)F -为焦点，以直线2y =为准线的抛物线. ⑤ 甲、乙两位同学中解答错误的是________（填“甲”或者“乙”），他的解答过程是从_____处开始出错的（请在横线上填写① 、②、③、④ 或⑤ ）.14．已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .请你写出到两条线段1l ，2l 距离相等的点的集合{|(P d P Ω=，1)(l d P =，2)}l ， 其中1l AB =，2l CD =，A ，B ，C ，D 是下列两组点中的一组． 对于下列两种情形，只需选做一种，满分分别是① 3分，② 5分． ① (1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,0)D -． ② (1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,2)D --．你选择第_____种情形，到两条线段1l ，2l 距离相等的点的集合Ω=_____________. 三、解答题：本大题共6个小题，共48分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分8分）已知数列{}n a 是等差数列，满足11-=a ，35=a ，数列{}n n b a -是公比为2等比数列，且2222b a -=．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．如图，在底面是正方形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，2==AB AP ，G F E ,,是CD PC BC ,,的中点.（Ⅰ）求证：BG ⊥平面PAE ；（Ⅱ）在线段BG 上是否存在点H ，使得FH //平面PAE ？若存在，求出BGBH的值；若不存在，说明理由.17．（本题满分8分）已知椭圆C的焦点为1(F 和2F ，长轴长为4，设直线1y x =+ 交椭圆C 于A ，B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求弦AB 的中点坐标及弦长．ED如图，三棱柱111ABC A B C -中，12,AA AC AB BC ===，且AB BC ⊥,O 为AC 中点，1A O ⊥平面ABC .（Ⅰ）求二面角11C AA B --的余弦值；（Ⅱ）求直线1AC 与平面11A ABB 所成角的正弦值.19.（本题满分8分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，1B 、2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点；1F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上异于点1B 、2B 的点，112B F B △是边长为4的等边三角形．（Ⅰ）写出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥．求证：12PB B △与12RB B △的面积之比为定值．20.（本题满分8分）已知n a n =，21n b n =-，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅- (1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）求123,,c c c 的值； （Ⅱ）证明{}n c 是等差数列.1A BCO A1B 1C。
北京市石景山区2020-2021学年度第一学期高二数学期末试卷及答案
石景山区2020-2021学年第一学期高二期末试卷数 学一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 直线l 过点(1,2)P −，倾斜角为45，则直线l 的方程为A ．10x y −+=B ．10x y −−=C ．30x y −−=D ．30x y −+=2．设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为A ．22B ．23C ．25D ．42 3．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 4. 两条平行线：3410x y −−=，与2l ：6870x y −−=间的距离为A.12 B. 35 C. 65D ．15.在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱CD 的中点，则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥考生须知1．本试卷共4页，共三道大题，20道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B 铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．6．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A ．24B ．48C ．60D ．72 7. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，EFGH ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角大小等于（ ） A ．45B ．60C ．90D ．1208.直线34x y b +=与圆222210x y x y +−−+=相切，则b 的值是A ．2−或12B ．2或12−C ．2−或12−D ．2或12 9.若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +−−+=外切，则m =A ．21B ．19C ．9D ．11−10．如图，P 是边长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1对角线AC 1上一动点，设AP 的长度为x ，若△PBD 的面积为()f x ，则()f x 的图象大致是ABCDAD BG E 1BH1A1A二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．11. 在62()x x−的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答）12. 已知双曲线标准方程为2213x y −=，则其焦点到渐近线的距离为 ．13. 已知平面,,αβγ．给出下列三个论断：①αβ⊥；②αγ⊥；③β∥γ．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____． 14．已知三棱柱111ABC A B C −的侧棱与底面垂直，体积为94角形．若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为________． 15. 已知F 是抛物线C :24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =__________．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分7分）在平面直角坐标系xoy 中，曲线21=−+y x 与坐标轴的交点都在圆C 上,求圆C 的方程．17. （本小题满分7分）如图，在四面体ABCD 中，CB CD =，AD BD ⊥，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点，求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ； （Ⅱ）平面EFC ⊥平面BCD ．FEDCB A18．（本小题满分7分）已知△ABC 的三个顶点是(1,1)A ，(1,3)B −，(3,4)C ． （Ⅰ）求BC 边的高所在直线1l 的方程；（Ⅱ）若直线2l 过C 点，且,A B 到直线2l 的距离相等，求直线2l 的方程．19．(本小题共9分)已知在四棱锥ABCD P −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，O G F E 、、、分别是AD BC PD PC 、、、 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小．20. （本小题满分10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为2. 直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l的斜率．C石景山区2020—2021学年第一学期高二期末数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．题号 12345678910答案D C B A C D B D C A三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16． (本小题满分7分)解：曲线21=−+y x 与y 轴的交点为（0，1）， ………………1分与x 轴的交点为（-1，0），（1，0） ………………2分设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++= ……3分22(40)D E F +−>，则1+01010+=⎧⎪−+=⎨⎪++=⎩E F D F D F ，解得0,0,1===−D E F . ……6分故圆的方程为2210+−=x y ． ………………7分 17．(本小题满分7分)解：（Ⅰ） 易知中位线EF AD ∥，而AD ⊂面ACD ，EF ⊄面ACD∴EF ∥平面ACD ． ……3分（Ⅱ） ∵EF AD ∥，AD BD ⊥，∴EF BD ⊥ ……4分又CB CD =，F 是BD 的中点，∴CF BD ⊥ ……5分 ∵EFCF F =，∴BD ⊥面EFC ……6分题号 111213 14 15答案160− 1①③⇒② 或②③⇒①603又BD ⊂面BCD ，平面EFC ⊥平面BCD ． ……7分 18．(本小题满分7分) 解：（Ⅰ）因为431314BC k −==+，又直线1l 与BC 垂直， 所以直线1l 的斜率14BCk k =−=−， ……2分 所以直线1l 的方程是4(1)1y x =−−+，即450x y +−=. ……3分 （Ⅱ）因为直线2l 过C 点且,A B 到直线2l 的距离相等，所以直线2l 与AB 平行或过AB 的中点M ， ……4分 因为31111AB k −==−−−， 所以直线2l 的方程是(3)4y x =−−+，即70x y +−=. ……5分 因为AB 的中点M 的坐标为(0,2)， 所以422303CM k −==−，所以直线2l 的方程是 2(3)43y x =−+，即2360x y −+=. ……7分综上，直线2l 的方程是70x y +−=或2360x y −+=.19．(本小题满分9分)证明:（Ⅰ）因为△PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 ⊥PO AD . 又因为⊥CD 平面PAD ，⊂PO 平面PAD ，所以⊥PO CD . D CD AD =⋂，⊂CD AD ，平面ABCD ，所以⊥PO 面ABCD . ……………4分 （Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则)32,0,0(),0,4,0(),0,0,2(),0,4,2(),0,4,2(),0,0,2(),0,0,0(P G D C B A O −−，)3,0,1(),3,2,1(−−F E ，)3,2,1(),0,2,0(−=−=EG EF ，设平面EFG 的法向量为),,,(z y x m =⎪⎩⎪⎨⎧=−+=−,032,02z y x y令1=z ，则 )10,3(，=m ， (6)又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=n ，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ， 所以21||||cos ==n m n m θ. 所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为3π. ……………9分20．(本小题满分10分) 解：（Ⅰ）由已知1c =，2c e a ==， …………1分 又222a b c =+，解得1a b == …………2分所以椭圆方程为2212x y +=. …………3分（Ⅱ）设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =−≠联立22(1)(120)y k k x x y ⎧⎪⎨⎪=−≠=⎩+消去y 得 2222(21)4220k x k x k +−+−=，不妨设1122(,),(,)A x y B x y ……4分则2122421k x x k +=+，因为M 为线段AB 的中点所以21222221M x x k x k +==+，2(1)21M M k y k x k −=−=+ ………5分所以12M OM M y k x k−== ………6分 所以1122OM l k k k k −⨯=⨯=−为定值. …………7分 （Ⅲ）若四边形OAPB 为平行四边形,则OA OB OP += …………8分所以2122421P k x x x k =+=+ 12121222(1)(1)(2)21P ky y y k x k x k x x k −=+=−+−=+−=+因为点P 在椭圆上，所以2222242()2()22121k kk k −+⨯=++ ……9分解得212k =即2k =± 所以当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l的斜率为2k =±. ………10分（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）。
北京市石景山区2019-2020学年高二上学期期末数学试题(教师版)
石景山区2019—2020学年第一学期高二期末试卷数学第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果2,,,,10a b c 成等差数列，那么c a -=（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为d ，则1024d -=， 解得2d =，所以24c a d -==， 故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.2.若双曲线22143x y -=的离心率是（ ）A.12B.54C.2D.52【答案】C 【解析】 【分析】首先求出,a c ，由离心率ce a=即可求解. 【详解】由双曲线22143x y -=，则24a =，23b =， 222437c a b ∴=+=+=，2,a c ∴==2c e a ==故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率，需熟记222c a b =+，属于基础题.3.抛物线22x y =-的焦点坐标是（ ） A. 1(0,)2B. 1(0,)2-C. (1,0)D. (1,0)-【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的性质即可求解.【详解】由抛物线22x y =-可知，焦点在y 轴的负半轴上.焦点为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故选：B【点睛】本题考查了抛物线的焦点坐标，需熟记抛物线的标准方程以及焦点坐标，属于基础题.4.在数列{}n a 中，11a =，12n n a a +⋅=-(123)n =，，，，那么8a =（ ） A. 2- B. 12-C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系式可得数列是以2周期的数列，从而可求得8a . 【详解】由11a =，12n n a a +⋅=-可得，22a =-，31a =，42a =-，故数列是以2周期的数列，所以82a =-. 故选：A【点睛】本题考查了数列的递推关系式、数列的周期性，属于基础题. 5.命题“x ∀∈R ，x e x >”的否定是( ) A. x ∀∈R ，x e x < B. x ∀∈R ，x e x ≤C. x ∃∈R ，x e x <D. x ∃∈R ，x e x ≤【答案】D 【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题分析解答.【详解】由题得命题“x ∀∈R ，x e x >”的否定是“x ∃∈R ，x e x ≤”. 故答案为D【点睛】本题主要考察全称命题和特称命题的否定，意在考察学生对这些基础知识的理解和掌握水平.6.设椭圆2212x y +=的两个焦点为1F ，2F ，且P 点的坐标为，则12||||PF PF +=（ ）A. 1C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】首先判断出点P 在椭圆上，然后利用椭圆的定义即可求解.【详解】把P 点的坐标22代入椭圆方程，满足椭圆方程，即P 点在椭圆上，由2212x y +=，则a =12||||2PF PF a ∴+==故选：D【点睛】本题主要考查椭圆的定义，需熟记椭圆的定义，属于基础题.7.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为()4,3,2，则1C 的坐标是（ ）A. (0,3,2)B. (0,4,2)C. (4,0,2)D. (2,3,4)【答案】A 【解析】 【分析】根据1DB 的坐标为()4,3,2，可得长方体的长、宽、高，从而可得出点1C 的坐标. 【详解】由1DB 的坐标为()4,3,2，D 为坐标原点，所以()14,3,2B ，14,3,2BC DC CC ∴===，1C ∴的坐标为()0,3,2.故选：A【点睛】本题考查了写空间直角坐标系中的点，属于基础题.8.设{}n a 是首项为正数的等比数列,公比为,q 则“0q <”是“对任意的正整数212,n n n a a -+<0”的 A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a qq q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C. 【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：①定义法：直接判断“若p 则q”、“若q 则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q”为真，则p 是q 的充分条件．②等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 9.设平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为m ，那么“,60m n <>=︒”是“直线l 与平面α夹角为30°”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据向量夹角的定义以及线面角的定义即可得出选项.【详解】由面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为m ，“,60m n <>=︒”， 则“直线l 与平面α夹角为30°”，反之，由向量夹角的定义，“直线l 与平面α夹角为30°”， 则“,60m n <>=︒或120”，故“,60m n <>=︒”是“直线l 与平面α夹角为30°”充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查了向量的夹角、线面角，充分不必要条件，需掌握其定义，考查了学生的基础知识，属于基础题.10.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，当灯笼的底面半径为0.3米时，则图中直线82A B 与26A A 所在异面直线所成角的余弦值为（ ）C.3D.3【答案】B 【解析】 【分析】首先求出圆柱的高，以底面中心O 为原点，2OA 为x 轴，4OA 为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】设圆柱的高h ，则20.3889.6h ⨯⨯+=，解得0.6h =，底面中心O 为原点，2OA 为x 轴，4OA 为y 轴建立空间直角坐标系， 则()80,0.3,0A -，()20.3,0,0.6B ，()20.3,0,0A ，()60.3,0,0A -∴()820.3,0.3,0.6A B =，()260.6,0,0A A =-设直线82A B 与26A A 所成的角为θ，则82268226cos 0.3A B A A A B A A θ⋅====故选：B【点睛】本题主要考查用空间向量求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．11.空间直角坐标系中，已知(1,2,0),(1,0,2),a b == 那么cos ,a b <>=______.【答案】15【解析】【分析】利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】由(1,2,0),(1,0,2),a b ==1cos ,514a b a b a b⋅∴<>===+，故答案为：15【点睛】本题考查了利用空间向量的数量积求夹角，需熟记公式，属于基础题.12.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且21a =，346a a +=.设数列{}n a n -的前n 项和为n S ，那么4S ______5S （填“>”、“<”或“=”），理由是_____________. 【答案】 (1). < (2). 5530a -=> 【解析】 【分析】首先求出等比数列{}n a 的通项公式，作差即可比较大小. 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，所以212334111q +a q =6a a q a a a ==⎧⎨+=⎩解得112a =，2q =， 1212n n n a a q --∴==所以354552530S S a -=-=-=>，故54S S >故答案为：< ；5530a -=>【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，作差法比较大小，属于基础题.13.甲、乙两位同学分别做下面这道题目：在平面直角坐标系中，动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2，求M 的轨迹.甲同学的解法是：解：设M 的坐标是(,)x y ，则根据题意可知||2y =+，化简得24(||)x y y =-； ①当0y >时，方程可变为0x =；②这表示的是端点在原点、方向为y 轴正方向的射线，且不包括原点； ③当0y ≤时，方程可变为28x y =-； ④这表示以(0,2)F -为焦点，以直线2y =为准线的抛物线；⑤所以M 的轨迹为端点在原点、方向为y 轴正方向的射线，且不包括原点和以(0,2)F -为焦点，以直线2y =为准线的抛物线. 乙同学的解法是：解：因为动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2. ①如图，过点M 作x 轴的垂线，垂足为1M . 则1||||2MF MM =+.设直线1MM 与直线2y =的交点为2M ，则21||||2MM MM =+； ②即动点M到直线2y =的距离比M 到x 轴的距离大2； ③所以动点M 到(0,2)F -的距离与M 到直线2y =的距离相等；④所以动点M 的轨迹是以(0,2)F -为焦点，以直线2y =为准线的抛物线； ⑤甲、乙两位同学中解答错误的是________（填“甲”或者“乙”），他的解答过程是从_____处开始出错的（请在横线上填写① 、②、③、④ 或⑤ ）.【答案】 (1). 乙 (2). ② 【解析】 【分析】由题干M 的坐标是(,)x y 可以是平面直角坐标系中的任意一点，根据甲、乙的解题过程即可求解. 【详解】由在平面直角坐标系中，动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2，||2y =+，讨论y 的正负，整理化简，故甲正确；对于乙，由于在x 轴上方也存在满足条件的点，乙选择点具有特殊性，从②即动点M 到直线2y =的距离比M 到x 轴的距离大2；把点M 定为在x 轴下方，故从②开始错误； 故答案：乙；②【点睛】本题主要考查求点的轨迹方程，采用直接法，考查了学生数学思维的严密性，属于基础题. 14.已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .请你写出到两条线段1l ，2l 距离相等的点的集合{|(P d P Ω=，1)(l d P =，2)}l ，其中1l AB =，2l CD =，A ，B ，C ，D 是下列两组点中的一组．对于下列两种情形，只需选做一种，满分分别是① 3分；② 5分．① (1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,0)D -；② (1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,2)D --．你选择第_____种情形，到两条线段1l ，2l 距离相等的点的集合Ω=_____________.【答案】 (1). ①，y 轴 (2). ②y 轴非负半轴，抛物线22)4(0x y y -=剟，直线1(1)y x x =--> 【解析】 【分析】根据题意从两组点的坐标中选一组，根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果.【详解】对于①，(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,0)D -；利用两点式写出两条直线的方程AB ：1x =，CD ：1x =-， 到两条线段1l ，2l 距离相等的点的集合{|(P d P Ω=，1)(l d P =，2)}l ， 根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，∴到两条线段1l ，2l 距离相等的点的集合为Ω=(){},0x y x =，对于②，(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,2)D --．根据第一组作出的结果，观察第二组数据的特点，连接得到线段以后，可以得到到两条线段距离相等的点是y 轴的非负半轴，抛物线抛物线22)4(0x y y -=剟，直线1(1)y x x =--> 故满足条件的集合(){,0x y x Ω==且}0y ≥(){2,4,01,20)x y yx x y =≤≤-剟(){},1,1x y y x x =-->.综上所述，①，Ω=(){},0x y x =；②，(){,0x y x Ω==且}0y ≥(){2,4,01,20)x y yx x y =≤≤-剟(){},1,1x y y x x =-->.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，考查两点间的距离公式，考查点到线段的距离，本题是一个综合题目，属于中档题.三、解答题：本大题共6个小题，共48分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知数列{}n a 是等差数列，满足11a =-，53a =，数列{}n n b a -是公比为2等比数列，且2222b a -=． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）2n a n =-，122n n b n -=+-；（2）(1)2122nn n n S n +=-+-. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式即可求解. （2）根据分组求和以及等差、等比的前n 项和即可求解. 【详解】（1）因为数列{}n a 是等差数列，满足11a =-，53a =，所以公差51151a a d -==-. 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =2-.因为2222b a -=，20a =，所以222b a -=，又因为数列{}n n b a -是公比为2等比数列，所以12n n n b a --=. 所以122n n b n -=+-.（2）12n n S b b b =+++1(122)(12)2n n n -=+++++++-(1)2122n n n n +=-+-. 【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式、求和公式以及分组求和，需熟记公式，属于基础题.16.如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP AB ==，,,E F G 是,,BC PC CD 的中点.（1）求证：BG ⊥平面PAE ；（2）在线段BG 上是否存在点H ，使得//FH 平面PAE ？若存在，求出BH BG 的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，35. 【解析】【分析】（1）以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，证出0BG AP ⋅=，且0BG AE ⋅=，根据线面垂直的判定定理即可证明.（2）假设存在，利用线面垂直的定义证出0FH GB ⋅=即可.【详解】（1）证明：因为四棱锥P ABCD -底面是正方形，且PA ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),A B P ，(2,2,0),(0,2,0)C D ，因为,,E F G 是,,BC PC CD 的中点，所以(2,1,0),(1,1,1),(1,2,0)E F G ，所以(1,2,0)BG =-，(0,0,2),(2,1,0),AP AE ==所以0BG AP ⋅=，且0BG AE ⋅=.所以BG AP ⊥，BG AE ⊥，且AE AP A =I .所以BG ⊥平面PAE .（2）假设在线段BG 上存在点H ，使得FH //平面PAE .设BH BG λ=(01)λ≤≤，则(1,21,1)FH FB BH AB AF BG λλλ=+=-+=---.因为FH //平面PAE ，BG ⊥平面PAE ，所以(1)(12(21)0(1)530FH GB λλλ⋅=-⋅-+-+⨯-=-=. 所以35λ=.所以，在线段BG 上存在点H ，使得FH //平面PAE .其中35BH BG =. 【点睛】本题考查了用空间向量证明线面垂直，线面平行，考查了线面垂直的判定定理，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题.17.已知椭圆C的焦点为1(F 和2F ，长轴长为4，设直线1y x =+交椭圆C 于A ，B 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求弦AB 的中点坐标及弦长．【答案】（1）22142x y +=；（2）21(,)33-，3. 【解析】【分析】（1）由题意以及222a b c =+即可求出椭圆标准方程.（2）将直线与椭圆方程联立，由中点坐标公式以及弦长公式即可求解.【详解】（1）因为椭圆C的焦点为1(F 和2F ，长轴长为4， 所以椭圆的焦点在x 轴上，2c a ==. 所以b =所以椭圆C 的标准方程22142x y +=. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 线段的中点为00(,)M x y ，由2224,1,x y y x ⎧+=⎨=+⎩得23420,0x x +-=∆>,所以121242,33x x x x +=-=-， 所以02,3x =-0011,3y x =+=所以弦AB 的中点坐标为21(,)33-， ||AB ==【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，中点坐标公式以及弦长公式，需熟记方程与公式，属于中档题.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，12,AA AC AB BC ===，且A B B C ⊥,O 为AC 中点，1A O ⊥平面ABC.（1）求二面角11C AA B --的余弦值；（2）求直线1AC 与平面11A ABB 所成角的正弦值.【答案】（1）7；（2. 【解析】【分析】 （1）点O 为坐标原点，1,,OA OB OA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求平面11A ABB 的法向量与平面11AAC C 的法向量，利用向量的数量积即可求解.（2）直线1AC 与平面11A ABB 所成角为θ，利用平面11A ABB 的法向量与1AC uuu r的数量积即可求解.【详解】（1）联结OB ，因为AB BC =，所以OB AC ⊥.又因为1A O ⊥平面ABC ，所以以点O 为坐标原点，1,,OA OB OA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系.则1(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),A B C A - 所以1(1,0,3),(1,1,0)AA AB =-=-. 设平面11A ABB 的法向量为1111(,,)n x y z =u r ，则1110,0,n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11110,0,x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 令11z =，则1(3,n =.易知平面11AAC C 的法向量2(0,1,0)n =，12121221cos ,7n n n n n n ⋅==. 所以二面角11C AA B --的余弦值为7.（2）设直线1AC 与平面11A ABB 所成角为θ，11(1CC AA ==- 11(AC AC CC =+=- 则1111||7sin 7||||n AC n AC θ⋅==. 所以直线1AC 与平面11A ABB . 【点睛】本题主要考查了用空间向量解二面角、线面角，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，1B 、2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点；1F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上异于点1B 、2B 的点，112B F B 是边长为4的等边三角形．（1）写出椭圆的标准方程；（2）设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥．求证：12PB B △与12RB B △的面积之比为定值．【答案】（1）221164x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义求出4a =，2b =，即可求出椭圆的标准方程.（2）直线12PB PB ，的斜率分别为,'k k ，写出直线1PB 的方程，将直线方程与椭圆方程联立，求出点p 横坐标坐标，从而求出直线2RB 的方程，与椭圆联立求出R x ，面积比即横坐标之比.【详解】（1）因为112B F B 是边长为4的等边三角形，所以2,b c ==所以4a =. 所以椭圆的标准方程为221164x y +=. （2）设直线12PB PB ，的斜率分别为,'k k ，则直线1PB 的方程为2y kx =+．由11RB PB ⊥，直线1RB 的方程为(2)0x k y +-=．将2y kx =+代入221164x y +=，得()2241160k x kx ++=， 因为P 是椭圆上异于点12B B ，的点，所以P x =21641k k -+． 所以21'4P P y k x k+==- . 由22RB PB ⊥，所以直线2RB 的方程为42y kx =-．由(2)042x k y y kx +-=⎧⎨=-⎩ ，得2441R k x k =+． 所以12122216414441PB B P RB B R k S x k k S x k ∆∆-+===+． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.20.已知n a n =，21n b n =-，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅- (1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（1）求123,,c c c 的值；（2）证明{}n c 是等差数列.【答案】（1）10c =，21c =-，32c =-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求出123,,a a a ，123,,b b b ，根据题意即可求解.（2）利用作差法求出数列{}n c 的通项公式，再根据等差数列的定义即可证出.【详解】（1）易知11a =，22a =，33a =且11b =，23b =，35b = 所以111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-， 3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.（2）下面证明：对任意*n N ∈且2n ≥，都有11n c b a n =-⋅． 当*k N ∈且2k n ≤≤时，11()()k k b a n b a n -⋅--⋅[(21)]1k nk n =---+ (22)(1)k n k =---(1)(2)k n =--因为10k ->且20n -≤所以11()()0k k b a n b a n -⋅--⋅≤⇒11()()k k b a n b a n -⋅-⋅≥． 因此对任意*n N ∈且2n ≥，111n c b a n n =-⋅=-，则11n n c c +-=-． 又因为211c c -=-，故11n n c c +-=-对*n N ∈均成立，从而{}n c 是等差数列.【点睛】本题主要考查数列的新定义、等差数列的定义，考查了学生的知识迁移能力，属于中档题.。
2.【答案】石景山高二数学
石景山区2019-2020学年第一学期高二期末数学（理）试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分． 11．51； 12．<, 0355>=-a ； 13． 乙，②； 14．①，y 轴；②y 轴非负半轴，抛物线22)4(0x y y -=剟，直线1(1)y x x =-->． 三、解答题：本大题共6个小题，共48分． 15．（本题满分8分）解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等差数列，满足11-=a ，35=a ，所以公差11515=--=a a d . 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =2-. ……2分 因为2222b a -=，02=a ， 所以222=-a b ，又因为数列{}n n b a -是公比为2等比数列，所以12-=-n n n a b . ……4分所以122n n b n -=+-. ……5分（Ⅱ）n n b b b S +++= 211(122)(12)2(1)212.2n n n nn n n -=+++++++-+=-+-……8分16．（本题满分8分）解：（Ⅰ）证明：因为四棱锥ABCD P -底面是正方形，且⊥PA 平面ABCD ，以点A 为坐标原点，AP AD AB ,, 所在直线分别为z y x ,,轴建立如图 所示空间直角坐标系. ……1分 则),2,0,0(),0,0,2(),0,0,0(P B A ，)0,2,0(),0,2,2(D C ，因为G F E ,,是CD PC BC ,,的中点， 所以)0,2,1(),1,1,1(),0,1,2(G F E ，所以)0,2,1(-=，),0,1,2(),2,0,0(==所以0=⋅AP BG ，且0=⋅AE BG . ……3分 所以AP BG ⊥，AE BG ⊥，且A AP AE = .所以BG ⊥平面PAE . ……4分（Ⅱ）假设在线段BG 上存在点H ，使得FH //平面PAE .设BG BH λ=)10(≤≤λ， ……5分 则)1,12,1(---=+-=+=λλλ. 因为FH //平面PAE ，BG ⊥平面PAE ，所以035)1(0)12(21()1(=-=-⨯+-+-⋅-=⋅λλλ. ……6分所以53=λ. ……7分 所以，在线段BG 上存在点H ，使得FH //平面PAE .其中53=BG BH .……8分17．（本题满分8分）解：（Ⅰ）因为椭圆C的焦点为1(F 和2F，长轴长为4， 所以椭圆的焦点在x轴上，2c a ==. ……2分所以b 所以椭圆C 的标准方程22142x y +=. ……3分（Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B ，AB 线段的中点为),(00y x M ，由2224,1,x y y x ⎧+=⎨=+⎩得23420,0x x +-=∆>, ……4分 所以121242,33x x x x +=-=-， ……5分所以02,3x =-0011,3y x =+=所以弦AB 的中点坐标为21(,)33-， ……6分||AB == ……8分 18．（本题满分8分）解：（Ⅰ）联结OB ，因为BC AB =，所以AC OB ⊥.又因为1A O ⊥平面ABC ，所以以点O 为坐标原点，1,,OA OB OA 所在直线分别为z y x ,,轴建立如图所示空间直角坐标系. ……1分 则),3,0,0(),0,0,1(),0,1,0(),0,0,1(1A C B A - 所以1(1,0,3),(1,1,0)AA AB =-=-. 设平面11A ABB 的法向量为),,(1111z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0111AB n n 即⎩⎨⎧=+-=+-,0,031111y x z x 令11=z ，则)1,3,3(1=n . ……3分易知平面C C AA 11的法向量)0,1,0(2=n ， ……4分721||||,cos 212121=>=<n n n n . 所以二面角11C AA B --的余弦值为721. ……5分（Ⅱ）设直线1AC 与平面11A ABB 所成角为θ，11(1CC AA ==-11(AC AC CC =+=- ……6分则1111||7sin 7||||n AC n AC θ⋅==. 所以直线1A C 与平面11A ABB 所成角的正弦值为7. ……8分 19.（本题满分8分） 解：（Ⅰ）因为112B F B △是边长为4的等边三角形，所以.32,2==c b ……2分 所以4=a .所以，椭圆的标准方程为221164x y += ……3分（Ⅱ）设直线12PB PB ，的斜率分别为,'k k ，则直线1PB 的方程为2y kx =+．由11RB PB ⊥，直线1RB 的方程为(2)0x k y +-=．将2y kx =+代入221164y x +=，得()2241160k x kx ++=， 因为P 是椭圆上异于点12B B ，的点，所以P x =21641k k -+． ……4分 所以21'4P P y k x k+==- . ……5分 由22RB PB ⊥，所以直线2RB 的方程为42y kx =-． ……6分 由(2)042x k y y kx +-=⎧⎨=-⎩ ，得2441R k x k =+． ……7分 所以41441416222121=++-==∆∆k k k k x x S S RP B RB B PB ． ……8分20.（本题满分8分）解：（Ⅰ）易知11a =，22a =，33a =且11b =，23b =，35b =所以111110,c b a =-=-= ……1分21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-， ……2分3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.……3分（Ⅱ）下面证明：对任意n ∈*N 且2n ≥，都有11n c b a n =-⋅． ……4分当k ∈*N 且2k n ≤≤时，11()()k k b a n b a n -⋅--⋅[(21)]1k nk n =---+(22)(1)k n k =---(1)(2)k n =--因为10k ->且20n -≤所以11()()0k k b a n b a n -⋅--⋅≤⇒11()()k k b a n b a n -⋅-⋅≥． ……6分 因此对任意n ∈*N 且2n ≥，111n c b a n n =-⋅=-，则11n n c c +-=-． ……7分 又因为211c c -=-，故11n n c c +-=-对n ∈*N 均成立，从而{}n c 是等差数列. ……8分【若有不同解法，请酌情给分】。
北京市石景山区2021届数学高二上学期期末调研测试题
北京市石景山区2021届数学高二上学期期末调研测试题一、选择题1．设集合{}2,?3,?4A =，2{|20}B x x x =->，则A B =( )A ．{4}B ．{}2,?3C ．{}3,?4D ．{}2,?3,?4 2．下列说法中正确的是( )A.若事件A 与事件B 是互斥事件，则()()1P A P B +=B.若事件A 与事件B 满足条件：()()()1P AB P A P B =+=，则事件A 与事件B 是对立事件C.一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D.把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件3．已知实数a b c ，，满足0a b <<，01c <<，则下列选项一定成立的是（ ） A ．a c b c +>+ B ．ac bc > C ．ac b < D ．bc a <4．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2=BD•BC．拓展到空间，在四面体A-BCD 中，AD ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在△BCD 内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（ ） A.2ABC BCO BCD S S S =⋅ B.2ABD BOD BOCS S S =⋅C.2ADCDOCBOCSSS=⋅D.2BDCABDABC SSS=⋅6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为15，则输出N 的值为( )A.0B.1C.2D.37．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申、乙酉、丙戌，…，癸巳，…，共得到60个组成，周而复始，循环记录，2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的（ ）A ．乙亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年8．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，60,1A b ==a =（ ）A ．2BC ．D ．9．若复数满足，则的实部为（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数y=的定义域是（ ）A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，1]C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）11．已知0a b >>，0c >，下列不等式中不．成立的是 A ．a c b c +>+B ．a c b c ->-C ．ac bc >D ．c c a b> 12．设,,x y z 均大于1，且x y z ==，令12a x =，13b y =，14c z =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>二、填空题13．从11,14(12),149123,14916(1234),=-=-+-+=++-+-=-+++，概括出第n 个式子为_______。
北京市石景山区2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
北京市石景山区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.如果2,,,,10a b c 成等差数列,那么c a -=（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为d ,则1024d -=, 解得2d =,所以24c a d -==, 故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式,需熟记公式,属于基础题.2.若双曲线22143x y -=的离心率是（ ）A.12B.54D.52【答案】C 【解析】 【分析】首先求出,a c ,由离心率ce a=即可求解. 【详解】由双曲线22143x y -=,则24a =,23b =, 222437c a b ∴=+=+=,2,a c ∴==即2c e a ==故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率,需熟记222c a b =+,属于基础题.3.抛物线22x y =-的焦点坐标是（ ） A. 1(0,)2B. 1(0,)2-C. (1,0)D. (1,0)-【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的性质即可求解.【详解】由抛物线22x y =-可知,焦点在y 轴的负半轴上.焦点为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭, 故选：B【点睛】本题考查了抛物线的焦点坐标,需熟记抛物线的标准方程以及焦点坐标,属于基础题.4.在数列{}n a 中,11a =,12n n a a +⋅=-(123)n =L ，，，,那么8a =（ ） A. 2- B. 12-C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系式可得数列是以2周期的数列,从而可求得8a . 【详解】由11a =,12n n a a +⋅=-可得,22a =-,31a =,42a =-,故数列是以2周期的数列,所以82a =-. 故选：A【点睛】本题考查了数列的递推关系式、数列的周期性,属于基础题. 5.命题“x ∀∈R,x e x >”的否定是( ) A. x ∀∈R,x e x <B. x ∀∈R,x e x ≤C. x ∃∈R,x e x <D.x ∃∈R,x e x ≤【答案】D 【解析】 【分析】利用全称命题的否定是特称命题分析解答.【详解】由题得命题“x ∀∈R,x e x >”的否定是“x ∃∈R,x e x ≤”. 故答案为D【点睛】本题主要考察全称命题和特称命题的否定,意在考察学生对这些基础知识的理解和掌握水平.6.设椭圆2212x y +=的两个焦点为1F ,2F ,且P 点的坐标为23(,),则12||||PF PF +=（ ） A. 1 B. 2C. 2D. 22【答案】D 【解析】 【分析】首先判断出点P 在椭圆上,然后利用椭圆的定义即可求解. 【详解】把P 点的坐标23(,)代入椭圆方程,满足椭圆方程,即P 点在椭圆上, 由2212x y +=,则2a =,12||||222PF PF a ∴+==,故选：D【点睛】本题主要考查椭圆的定义,需熟记椭圆的定义,属于基础题.7.如图,以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若1DB u u u u r的坐标为()4,3,2,则1C 的坐标是（ ）A. (0,3,2)B. (0,4,2)C. (4,0,2)D.(2,3,4)【答案】A 【解析】 【分析】根据1DB u u u u r的坐标为()4,3,2,可得长方体的长、宽、高,从而可得出点1C 的坐标. 【详解】由1DB u u u u r的坐标为()4,3,2,D 为坐标原点,所以()14,3,2B , 14,3,2BC DC CC ∴===,1C ∴的坐标为()0,3,2.故选：A【点睛】本题考查了写空间直角坐标系中的点,属于基础题.8.设{}n a 是首项为正数的等比数列,公比为,q 则“0q <”是“对任意的正整数212,n n n a a -+<0”的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 试题分析：由题意得,22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a qq q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-,故是必要不充分条件,故选C. 【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：①定义法：直接判断“若p 则q”、“若q 则p”的真假．并注意和图示相结合,例如“p ⇒q”为真,则p 是q 的充分条件．②等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p,q ⇒p 与非p ⇒非q,p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法．③集合法：若A ⊆B,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B,则A 是B 的充要条件．9.设平面α的法向量为n r ,直线l 的方向向量为m u r,那么“,60m n <>=︒u r r ”是“直线l 与平面α夹角为30°”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量夹角的定义以及线面角的定义即可得出选项.【详解】由面α的法向量为n r ,直线l 的方向向量为m u r,“,60m n <>=︒u r r ”,则“直线l 与平面α夹角为30°”,反之,由向量夹角的定义,“直线l 与平面α夹角为30°”, 则“,60m n <>=︒u r r或120o ”,故“,60m n <>=︒u r r”是“直线l 与平面α夹角为30°”充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了向量的夹角、线面角,充分不必要条件,需掌握其定义,考查了学生的基础知识,属于基础题.10.如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝,骨架把圆柱底面8等份,当灯笼的底面半径为0.3米时,则图中直线82A B 与26A A 所在异面直线所成角的余弦值为（ ）6636【答案】B 【解析】 【分析】首先求出圆柱的高,以底面中心O 为原点,2OA 为x 轴,4OA 为y 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量的数量积即可求解.【详解】设圆柱的高h ,则20.3889.6h ⨯⨯+=,解得0.6h =,底面中心O 为原点,2OA 为x 轴,4OA 为y 轴建立空间直角坐标系, 则()80,0.3,0A -,()20.3,0,0.6B ,()20.3,0,0A ,()60.3,0,0A -∴()820.3,0.3,0.6A B =u u u u u r ,()260.6,0,0A A =-u u u u u r设直线82A B 与26A A 所成的角为θ,则822622282260.186cos 60.540.30.30.60.6A B A A A B A A θ⋅-====++⋅u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u u r 故选：B【点睛】本题主要考查用空间向量求异面直线所成的角,解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系,属于中档题第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题3分,共12分． 11.空间直角坐标系中,已知(1,2,0),(1,0,2),a b ==r r 那么cos ,a b <>=r r______.【答案】15【解析】 【分析】利用空间向量的数量积即可求解.【详解】由(1,2,0),(1,0,2),a b ==r r1cos ,5a b a b a b⋅∴<>===r rr r r r ,故答案为：15【点睛】本题考查了利用空间向量的数量积求夹角,需熟记公式,属于基础题.12.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,且21a =,346a a +=.设数列{}n a n -的前n 项和为n S ,那么4S ______5S （填“>”、“<”或“=”）,理由是_____________.【答案】 (1). < (2). 5530a -=> 【解析】 【分析】首先求出等比数列{}n a 的通项公式,作差即可比较大小. 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ,所以212334111q +a q =6a a q a a a ==⎧⎨+=⎩解得112a =,2q =, 1212n n n a a q --∴==所以354552530S S a -=-=-=>,故54S S >故答案为：< ；5530a -=>【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,作差法比较大小,属于基础题.13.甲、乙两位同学分别做下面这道题目：在平面直角坐标系中,动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2,求M 的轨迹.甲同学的解法是：解：设M 的坐标是(,)x y ,则根据题意可知22(2)||2x y y ++=+,化简得24(||)x y y =-； ①当0y >时,方程可变为0x =；②这表示的是端点在原点、方向为y 轴正方向的射线,且不包括原点； ③当0y ≤时,方程可变为28x y =-； ④这表示以(0,2)F -为焦点,以直线2y =为准线的抛物线；⑤所以M 的轨迹为端点在原点、方向为y 轴正方向的射线,且不包括原点和以(0,2)F -为焦点,以直线2y =为准线的抛物线. 乙同学的解法是：解：因为动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x轴的距离大2. ①如图,过点M 作x 轴的垂线,垂足为1M . 则1||||2MF MM =+.设直线1MM 与直线2y =的交点为2M ,则21||||2MM MM =+； ②即动点M 到直线2y =的距离比M 到x 轴的距离大2； ③所以动点M 到(0,2)F -的距离与M 到直线2y =的距离相等；④所以动点M 的轨迹是以(0,2)F -为焦点,以直线2y =为准线的抛物线； ⑤甲、乙两位同学中解答错误的是________（填“甲”或者“乙”）,他的解答过程是从_____处开始出错的（请在横线上填写① 、②、③、④ 或⑤ ）.【答案】 (1). 乙 (2). ② 【解析】 【分析】由题干M 的坐标是(,)x y 可以是平面直角坐标系中的任意一点,根据甲、乙的解题过程即可求解.【详解】由在平面直角坐标系中,动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2,可得22(2)||2x y y ++=+,讨论y 的正负,整理化简,故甲正确；对于乙,由于在x 轴上方也存在满足条件的点,乙选择点具有特殊性,从②即动点M 到直线2y =的距离比M 到x 轴的距离大2；把点M 定为在x 轴下方,故从②开始错误；故答案：乙；②【点睛】本题主要考查求点的轨迹方程,采用直接法,考查了学生数学思维的严密性,属于基础题.14.已知平面上的线段l 及点P ,任取l 上一点Q ,线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离,记作(,)d P l .请你写出到两条线段1l ,2l 距离相等的点的集合{|(P d P Ω=,1)(l d P =,2)}l ,其中1l AB =,2l CD =,A ,B ,C ,D 是下列两组点中的一组．对于下列两种情形,只需选做一种,满分分别是① 3分；② 5分．①(1,3)A ,(1,0)B ,(1,3)C -,(1,0)D -；② (1,3)A ,(1,0)B ,(1,3)C -,(1,2)D --．你选择第_____种情形,到两条线段1l ,2l 距离相等的点的集合Ω=_____________.【答案】 (1). ①,y 轴 (2). ②y 轴非负半轴,抛物线22)4(0x y y -=剟,直线1(1)y x x =-->【解析】 【分析】根据题意从两组点的坐标中选一组,根据所给的四个点的坐标,写出两条直线的方程,从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系,得到要求的结果.【详解】对于①,(1,3)A ,(1,0)B ,(1,3)C -,(1,0)D -；利用两点式写出两条直线的方程AB ：1x =,CD ：1x =-, 到两条线段1l ,2l 距离相等的点的集合{|(P d P Ω=,1)(l d P =,2)}l , 根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行,∴到两条线段1l ,2l 距离相等的点的集合为Ω=(){},0x y x =,对于②,(1,3)A ,(1,0)B ,(1,3)C -,(1,2)D --．根据第一组作出的结果,观察第二组数据的特点,连接得到线段以后,可以得到到两条线段距离相等的点是y 轴的非负半轴,抛物线抛物线22)4(0x y y -=剟,直线1(1)y x x =--> 故满足条件的集合(){,0x y x Ω==且}0y ≥U (){2,4,01,20)x y y x x y =≤≤-剟U (){},1,1x y y x x =-->. 综上所述,①,Ω=(){},0x y x =；②,(){,0x y x Ω==且}0y ≥U(){2,4,01,20)x y yx x y =≤≤-剟U (){},1,1x y y x x =-->.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式,考查两点间的距离公式,考查点到线段的距离,本题是一个综合题目,属于中档题.三、解答题：本大题共6个小题,共48分．应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 15.已知数列{}n a 是等差数列,满足11a =-,53a =,数列{}n n b a -是公比为2等比数列,且2222b a -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）2n a n =-,122n n b n -=+-；（2）(1)2122n n n n S n +=-+-. 【解析】【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式即可求解.（2）根据分组求和以及等差、等比的前n 项和即可求解.【详解】（1）因为数列{}n a 是等差数列,满足11a =-,53a =, 所以公差51151a a d -==-. 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =2-.因为2222b a -=,20a =,所以222b a -=,又因为数列{}n n b a -是公比为2等比数列,所以12n n n b a --=. 所以122n n b n -=+-.（2）12n n S b b b =+++L1(122)(12)2n n n -=+++++++-L L(1)2122n n n n +=-+-. 【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式、求和公式以及分组求和,需熟记公式,属于基础题.16.如图,在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,2AP AB ==,,,E F G 是,,BC PC CD 的中点.（1）求证：BG ⊥平面PAE ；（2）在线段BG 上是否存在点H ,使得//FH 平面PAE ？若存在,求出BH BG 的值；若不存在,说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在,35. 【解析】【分析】（1）以点A 为坐标原点,,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,证出0BG AP ⋅=u u u v u u u v ,且0BG AE ⋅=u u u v u u u v ,根据线面垂直的判定定理即可证明.（2）假设存在,利用线面垂直的定义证出0FH GB ⋅=u u u v u u u v 即可.【详解】（1）证明：因为四棱锥P ABCD -底面是正方形,且PA ⊥平面ABCD , 以点A 为坐标原点,,,AB AD AP所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),A B P ,(2,2,0),(0,2,0)C D ,因为,,E F G 是,,BC PC CD 的中点,所以(2,1,0),(1,1,1),(1,2,0)E F G ,所以(1,2,0)BG =-u u u v ,(0,0,2),(2,1,0),AP AE ==u u u v u u u v所以0BG AP ⋅=u u u v u u u v ,且0BG AE ⋅=u u u v u u u v .所以BG AP ⊥,BG AE ⊥,且AE AP A =I .所以BG ⊥平面PAE .（2）假设在线段BG 上存在点H ,使得FH //平面PAE .设BH BG λ=u u u v u u u v(01)λ≤≤, 则(1,21,1)FH FB BH AB AF BG λλλ=+=-+=---u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v .因为FH //平面PAE ,BG ⊥平面PAE ,所以(1)(12(21)0(1)530FH GB λλλ⋅=-⋅-+-+⨯-=-=u u u v u u u v . 所以35λ=. 所以,在线段BG 上存在点H ,使得FH //平面PAE .其中35BH BG =. 【点睛】本题考查了用空间向量证明线面垂直,线面平行,考查了线面垂直的判定定理,解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系,属于基础题.17.已知椭圆C 的焦点为1(F 和 2F ,长轴长为4,设直线1y x =+交椭圆C 于A ,B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求弦AB 的中点坐标及弦长．【答案】（1）22142x y +=；（2）21(,)33-. 【解析】【分析】（1）由题意以及222a b c =+即可求出椭圆标准方程.（2）将直线与椭圆方程联立,由中点坐标公式以及弦长公式即可求解.【详解】（1）因为椭圆C 的焦点为1(F 和 2F ,长轴长为4,所以椭圆的焦点在x 轴上,2,2c a ==. 所以2b =.所以椭圆C 的标准方程22142x y +=. （2）设11(,)A x y ,22(,)B x y ,AB 线段的中点为00(,)M x y ,由2224,1,x y y x ⎧+=⎨=+⎩得23420,0x x +-=∆> 所以121242,33x x x x +=-=-, 所以02,3x =-0011,3y x =+= 所以弦AB 的中点坐标为21(,)33-, 22121245||1()43AB k x x x x =++-=. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程,中点坐标公式以及弦长公式,需熟记方程与公式,属于中档题.18.如图,三棱柱111ABC A B C -中,12,AA AC AB BC ===,且AB BC ⊥,O 为AC 中点,1A O ⊥平面ABC .（1）求二面角11C AA B --的余弦值；（2）求直线1AC 与平面11A ABB 所成角的正弦值.【答案】（1）217；（2）77.【解析】【分析】（1）点O 为坐标原点,1,,OA OB OA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系,求平面11A ABB 的法向量与平面11AAC C 的法向量,利用向量的数量积即可求解.（2）直线1AC 与平面11A ABB 所成角为θ,利用平面11A ABB 的法向量与1AC uuu r的数量积即可求解.【详解】（1）联结OB ,因为AB BC =,所以OB AC ⊥.又因为1A O ⊥平面ABC ,所以以点O 为坐标原点,1,,OA OB OA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系.则1(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),A B C A -所以1(1(1,1,0)AA AB =-=-u u u r u u u r . 设平面11A ABB 的法向量为1111(,,)n x y z =u r ,则1110,0,n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v即11110,0,x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 令11z =,则1n =u v .易知平面11AAC C 的法向量2(0,1,0)n =u u r,121212cos ,7n n n n n n ⋅==u v u u v u v u u v u v u u v . 所以二面角11C AA B --.（2）设直线1AC 与平面11A ABB 所成角为θ, 11(13),CC AA ==-u u u u r u u u r 11(3).AC AC CC =+=-u u u u r u u u r u u u u r 则1111||7sin 7||||n AC n AC θ⋅==u r u u u u r u r u u u u r . 所以直线1AC 与平面11A ABB 7【点睛】本题主要考查了用空间向量解二面角、线面角,解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系,属于基础题.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>,1B 、2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点；1F 是椭圆的左焦点,P 是椭圆上异于点1B 、2B 的点,112B F B V 是边长为4的等边三角形．（1）写出椭圆的标准方程；（2）设点R 满足：11RB PB ⊥,22RB PB ⊥．求证：12PB B △与12RB B △的面积之比为定值．【答案】（1）221164x y +=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义求出4a =,2b =,即可求出椭圆的标准方程.（2）直线12PB PB ，的斜率分别为,'k k ,写出直线1PB 的方程,将直线方程与椭圆方程联立,求出点p 横坐标坐标,从而求出直线2RB 的方程,与椭圆联立求出R x ,面积比即横坐标之比.【详解】（1）因为112B F B V 是边长为4的等边三角形,所以2,b c ==所以4a =. 所以椭圆的标准方程为221164x y +=. （2）设直线12PB PB ，的斜率分别为,'k k ,则直线1PB 的方程为2y kx =+．由11RB PB ⊥，直线1RB 的方程为(2)0x k y +-=．将2y kx =+代入221164x y +=,得()2241160k x kx ++=, 因为P 是椭圆上异于点12B B ，的点,所以P x =21641k k -+． 所以21'4P P y k x k+==- . 由22RB PB ⊥,所以直线2RB 的方程为42y kx =-．由(2)042x k y y kx +-=⎧⎨=-⎩,得2441R k x k =+． 所以12122216414441PB B P RB B R k S x k k S x k ∆∆-+===+． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查了学生的计算能力,属于中档题.20.已知n a n =,21n b n =-,记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅- (1,2,3,)n =⋅⋅⋅,其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（1）求123,,c c c 的值；（2）证明{}n c 是等差数列.【答案】（1）10c =,21c =-,32c =-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求出123,,a a a ,123,,b b b ,根据题意即可求解.（2）利用作差法求出数列{}n c 的通项公式,再根据等差数列的定义即可证出.【详解】（1）易知11a =,22a =,33a =且11b =,23b =,35b =所以111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-,3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.（2）下面证明：对任意*n N ∈且2n ≥,都有11n c b a n =-⋅．当*k N ∈且2k n ≤≤时,11()()k k b a n b a n -⋅--⋅[(21)]1k nk n =---+(22)(1)k n k =---(1)(2)k n =--因为10k ->且20n -≤所以11()()0k k b a n b a n -⋅--⋅≤⇒11()()k k b a n b a n -⋅-⋅≥．因此对任意*n N ∈且2n ≥,111n c b a n n =-⋅=-,则11n n c c +-=-．又因为211c c -=-,故11n n c c +-=-对*n N ∈均成立,从而{}n c 是等差数列.【点睛】本题主要考查数列的新定义、等差数列的定义,考查了学生的知识迁移能力,属于中档题.。
2020-2021学年北京市石景山区高二(下)期末数学试卷
2020-2021学年北京市石景山区高二（下）期末数学试卷试题数：20，总分：1001.（单选题，4分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}，B={x|-2＜x≤1}，则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤2}B.{x|-2＜x≤2}C.{x|-2＜x≤1}D.{x|-2≤x≤2}2.（单选题，4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A.y= √x+1B.y=（x-1）2C.y=2-xD.y=log 12x3.（单选题，4分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a3，a6，a9成等比数列D.a2，a4，a8成等比数列4.（单选题，4分）袋中有10个除颜色以外完全相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球．从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是（）A. 15B. 310C. 12D. 355.（单选题，4分）已知a=log2e，b=ln2，c=log 1213，则a，b，c的大小关系为（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.c＞b＞a6.（单选题，4分）若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.（单选题，4分）设函数f（x）= 2+lnx，则（）x时f（x）取到极大值A.x= 12时f（x）取到极小值B.x= 12C.x=2时f（x）取到极大值D.x=2时f（x）取到极小值8.（单选题，4分）某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A. 81125B. 54125C. 36125D. 271259.（单选题，4分）已知函数f（x）=e x-a|x|有三个零点，则实数a的取值范围为（）A.（-∞，0）B.（0，1）C.（0，e）D.（e，+∞）10.（单选题，4分）在一次知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙11.（填空题，4分）函数f（x）=x•e x的导函数f′（x）=___ ．12.（填空题，4分）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，如表是过去200例类似项目开发的实施结果：13.（填空题，4分）已知f（x）=-x3+ax+3在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是___ ．14.（填空题，4分）若数列{a n}满足a1=- 14，a n•a n-1=a n-1-1（n＞1，n∈N*），则a2021=___ ．15.（填空题，4分）已知集合A0={x|0＜x＜1}．给定一个函数y=f（x），定义集合A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，若A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，则称该函数y=f（x）具有性质“φ”（例如y=x+1具有性质“φ”）下列函数：① y= 1x ；② y=x2+1；③ y=cos（π2x）+2，其中具有性质“φ”的函数的序号是___ ．16.（问答题，7分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和．17.（问答题，7分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设事件A为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自不同协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设随机变量X为选出的4人中种子选手的人数，求X的分布列．18.（问答题，9分）已知函数f（x）=2x3-ax2+2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当0＜a＜3时，求f（x）在区间[0，1]上的最大值及最小值．19.（问答题，8分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》《生活中的数学》《数学与哲学》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每一课程都是等可能的．（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．20.（问答题，9分）已知函数f（x）=xlnx+kx，k∈R．（Ⅰ）求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）≤x2+x恒成立，求k的取值范围．2020-2021学年北京市石景山区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：20，总分：1001.（单选题，4分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}，B={x|-2＜x≤1}，则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤2}B.{x|-2＜x≤2}C.{x|-2＜x≤1}D.{x|-2≤x≤2}【正确答案】：B【解析】：求出集合A，由此能求出A∪B．【解答】：解：∵A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}，B={x|-2＜x≤1}，∴A∪B={x|-2＜x≤2}．故选：B．【点评】：本题考查并集及其运算和一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，是基础题．2.（单选题，4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A.y= √x+1B.y=（x-1）2C.y=2-xxD.y=log 12【正确答案】：A【解析】：根据题意，依次判断各选项中函数的单调性，即可得到答案．【解答】：解：对于A，y= √x+1在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于B，y=（x-1）2是二次函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；）x是指数函数，在R上为减函数，不符合题意；对于C，y=2-x=（12x是对数函数，在区间（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于D，y=log 12【点评】：本题考查函数单调性的性质与判断，需注意常见函数的单调性，属于基础题．3.（单选题，4分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a3，a6，a9成等比数列D.a2，a4，a8成等比数列【正确答案】：C【解析】：根据：若a，A，b构成等比数列，则A2=ab，即可对选项逐一判断．【解答】：解：由于1+9≠2×3，所以a 32≠a1a9，即a1、a3、a9不能构成等比数列，选项A错误．由于2+6≠2×3，所以a 32≠a2a6，即a2、a3、a6不能构成等比数列，选项B错误．由于3+9=2×6，所以a 62 =a3a9，即a3、a6、a9能构成等比数列，选项C正确．由2+8≠2×4，所以a 42≠a2a8，即a2、a4、a8不能构成等比数列，选项D错误．故选：C．【点评】：本题主要考查等比数列的性质，考查推理论证和运算求解的能力，属于基础题．4.（单选题，4分）袋中有10个除颜色以外完全相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球．从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是（）A. 15B. 310C. 12D. 35【正确答案】：D【解析】：易知10个小球中除5个白球外还有5个小球，其中黑球有3个，所以利用古典概型概率计算公式即可得出所求事件的概率．【解答】：解：根据题意，袋中除白球外共有5个小球，其中黑球有3个，．所以从袋中任取一个已知不是白球的小球是黑球的概率为35【点评】：本题考查古典概型概率计算公式，考查运算求解能力，属于基础题．5.（单选题，4分）已知a=log2e，b=ln2，c=log 1213，则a，b，c的大小关系为（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.c＞b＞a【正确答案】：C【解析】：可以得出log1213＞log2e＞1，ln2＜1，然后即可得出a，b，c的大小关系．【解答】：解：∵ log1213=log23＞log2e＞log22=1，ln2＜lne=1，∴c＞a＞b．故选：C．【点评】：本题考查了对数的换底公式，对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．6.（单选题，4分）若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：必要性根据等差数列的性质容易证明，充分性不成立只需要举一个反例即可说明．【解答】：解：若a，b，c，d依次成等差数列，则a+d=b+c，即必要性成立，若a=2，d=2，b=1，c=3，满足a+d=b+c，但a，b，c，d 依次成等差数列错误，即充分性不成立，即“a+d=b+c“是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件．【点评】：本题考查充分必要条件，考查等差数列的概念，属于基础题．7.（单选题，4分）设函数f（x）= 2x+lnx，则（）A.x= 12时f（x）取到极大值B.x= 12时f（x）取到极小值C.x=2时f（x）取到极大值D.x=2时f（x）取到极小值【正确答案】：D【解析】：可求得f′（x）= x−2x2，然后判断f（x）的单调性，再得到f（x）的极值点和极值即可．【解答】：解：∵f（x）= 2x +lnx（x＞0），∴f′（x）= x−2x2，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上单调递减，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上单调递增，∴当x=2时，f（x）取到极小值．故选：D．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于基础题．8.（单选题，4分）某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A. 81125B. 54125C. 36125D. 27125【正确答案】：A【解析】：本题是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，根据独立重复试验概率公式和互斥事件的概率公式得到结果．【解答】：解：由题意知，本题是一个n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率，射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，∴至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，∴至少有两次击中目标的概率为C 320.62×0.4+C 330.63=54+27125 = 81125故选：A ．【点评】：本题考查n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目可以作为选择和填空出现．9.（单选题，4分）已知函数f （x ）=e x -a|x|有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A.（-∞，0）B.（0，1）C.（0，e ）D.（e ，+∞）【正确答案】：D【解析】：根据题意，分析可得x ＜0时，函数f （x ）=e x -a|x|有一个零点，则当x ＞0时，函数f （x ）=e x -a|x|有2个零点；当x ＞0时，函数f （x ）=e x -a|x|=e x -ax ，对其求导分析可得在（0，lna ）上，f′（x ）＜0，函数f （x ）为减函数，在（lna ，+∞）上，f′（x ）＞0，函数f （x ）为增函数，即可得其最小值，分析可得必有f （x ）min =a-alna ＜0，解可得a 的取值范围，综合可得答案．【解答】：解：函数f （x ）=e x -a|x|有三个零点，则函数y=e x 与y=a|x|有3个不同的交点， 则必有a ＞0，图象如图：当x ＜0时，函数y=e x 与y=a|x|有1个交点，即x ＜0时，函数f （x ）=e x -a|x|有一个零点，若函数函数f （x ）=e x -a|x|有三个零点，则当x ＞0时，函数f （x ）=e x -a|x|=e x -ax 有2个零点； 当x ＞0时，f （x ）=e x -a|x|=e x -ax ，其导数f′（x ）=e x -a ，令f′（x ）=e x -a=0可得，x=lna ，分析可得：在（0，lna ）上，f′（x ）＜0，函数f （x ）为减函数，在（lna ，+∞）上，f′（x ）＞0，函数f （x ）为增函数，当x=lna 时，f （x ）=e x -ax 有最小值，即f （x ）min =f （lna ）=a-alna ，若（0，+∞）上，函数f （x ）=e x -a|x|=e x -ax 有2个零点，必有f （x ）min =a-alna ＜0，解可得a ＞e ，综合可得：a 的取值范围为（e ，+∞）；故选：D．【点评】：本题考查函数的零点判定定理，涉及函数的图象，关键是分析函数y=e x与y=a|x|的交点情况．10.（单选题，4分）在一次知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙【正确答案】：A【解析】：分别讨论甲、乙、丙预测正确，然后进行推导，判断是否符合题意即可．【解答】：解：若甲预测正确，则乙、丙预测错误，即甲的成绩比乙高，丙的成绩比乙低，故三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，则丙也预测正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲预测错误，即丙的成绩比乙高，乙的成绩比甲高，故丙的成绩比甲、乙都高，即乙的预测也正确，不符合题意．故选：A．【点评】：本题考查了简单的合情推理的应用，考查了推理论证能力、应用意识以及创新意识，考查逻辑推理的核心素养，属于基础题．11.（填空题，4分）函数f （x ）=x•e x 的导函数f′（x ）=___ ． 【正确答案】：[1]（1+x ）e x【解析】：根据函数的导数运算公式即可得到结论．【解答】：解：函数的导数f′（x ）=e x +xe x =（1+x ）e x ， 故答案为：（1+x ）e x【点评】：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．12.（填空题，4分）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，如表是过去200例类似项目开发的实施结果：【正确答案】：[1]4760【解析】：由表可知，投资成功、失败的概率分别为 192200 、 8200 ，而投资成功的收益为5×12%万元，投资失败的损失为5×50%万元，再结合数学期望的计算公式即可得解．【解答】：解：由题表可知，投资成功的概率为 192200 ，投资失败的概率为 8200 ，而投资成功的收益为5×12%万元，投资失败的损失为5×50%万元，所以该公司一年后估计可获收益的数学期望为5×12%× 192200 -5×50%× 8200 =0.476万元=4760元．故答案为：4760．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，以及期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．13.（填空题，4分）已知f （x ）=-x 3+ax+3在定义域上单调递减，则实数a 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，0]【解析】：由f（x）=-x3+ax+3在定义域上单调递减⇒f′（x）=-3x2+a≤0恒成立，从而可得答案．【解答】：解：∵f（x）=-x3+ax+3在定义域上单调递减，∴f′（x）=-3x2+a≤0在定义域R上恒成立，∴a≤（3x2）min，又3x2≥0，∴a≤0，∴数a的取值范围为（-∞，0]．故答案为：（-∞，0]．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．14.（填空题，4分）若数列{a n}满足a1=- 14，a n•a n-1=a n-1-1（n＞1，n∈N*），则a2021=___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：由已知可得数列的前几项，得到数列是以3为周期的周期数列，则答案可求．【解答】：解：由a1=- 14，a n•a n-1=a n-1-1（n＞1，n∈N*），得a2=1−1a1=1−1−14=5，a3=1−1a2=1−15=45，a4=1−1a3=1−145=−14，..．∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，又2021=3×673+2，∴a2021=a2=5．故答案为：5．【点评】：本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，求出数列的周期是关键，是基础题．15.（填空题，4分）已知集合A0={x|0＜x＜1}．给定一个函数y=f（x），定义集合A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，若A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，则称该函数y=f（x）具有性质“φ”（例如y=x+1具有性质“φ”）下列函数：① y= 1x ；② y=x2+1；③ y=cos（π2x）+2，其中具有性质“φ”的函数的序号是___ ．【正确答案】：[1] ① ②【解析】：分别运用反比例函数、二次函数和余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可判断．：由A0={x|0＜x＜1}，A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，【解答】：解：① y=1x可得A1={y|y＞1}，A2={y|0＜y＜1}，A3={y|y＞1}，A4={y|0＜y＜1}，…，满足A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，故① 具有性质“g”；② y=x2+1：由A0={x|0＜x＜1}，A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，可得A1={y|1＜y＜2}，A2={y|2＜y＜5}，A3={y|5＜y＜26}，…，满足A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，故② 具有性质“g”；x)+2：由A0={x|0＜x＜1}，A n={y|y=f（x），x∈A n-1}，③ y=cos(π2可得A1={y|2＜y＜3}，A2={y|1＜y＜2}，A3={y|1＜y＜2}，…，不满足A n∩A n-1=∅对任意的n∈N*成立，故③ 不具有性质“g”．故答案为：① ② ．【点评】：本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数的单调性和运用，以及集合的运算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．16.（问答题，7分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和．【正确答案】：【解析】：（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的{a n}的通项公式代入b n=log2a n，得到b n，说明数列{b n}是等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解．【解答】：解：（1）设等比数列的公比为q，由a1=2，a3=2a2+16，得2q2=4q+16，即q2-2q-8=0，解得q=-2（舍）或q=4．∴ a n=a1q n−1=2×4n−1=22n−1；（2）b n =log 2a n = log 222n−1=2n −1 ， ∵b 1=1，b n+1-b n =2（n+1）-1-2n+1=2，∴数列{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列， 则数列{b n }的前n 项和 T n =n ×1+n (n−1)×22=n 2 ．【点评】：本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查对数的运算性质，是基础题．17.（问答题，7分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设事件A 为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自不同协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设随机变量X 为选出的4人中种子选手的人数，求X 的分布列．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用古典概型的概率公式求解即可；（Ⅱ）先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列即可．【解答】：解：（Ⅰ）由题意可得，P （A ）= C 21•C 31•C 32C 84=935 ；（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为1，2，3，4， 则P （X=1）= C 51C 33C 84 = 114 ，P （X=2）= C 52C 32C 84 = 37 ，P （X=3）= C 53C 31C 84 = 37 ，P （X=4）= C 54C 30C 84 = 114 ，所以X 的分布列为：【点评】：本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.（问答题，9分）已知函数f（x）=2x3-ax2+2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当0＜a＜3时，求f（x）在区间[0，1]上的最大值及最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出f'（x），分a＞0，a=0，a＜0，分别利用导数的正负研究函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的单调性，即可求出[0，1]上的单调性，即可得到函数f（x）的最值．【解答】：解：（Ⅰ）函数f（x）=2x3-ax2+2，则f'（x）=6x2-2ax=2x（3x-a），令f'（x）=0，解得x=0或x= a3，① 当a＞0时，则当x＜0或x＞a3时，f'（x）＞0，当0＜x＜a3时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调增区间为（-∞，0），(a3，+∞)，单调减区间为（0，a3）；② 当a=0时，f（x）在R上单调递增；③ 当a＜0时，当x＜a3或x＞0时，f'（x）＞0，当a3＜x＜0时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（-∞，a3），（0，+∞），单调递减区间为（a3，0）．（Ⅱ）当0＜a＜3时，由（Ⅰ）可知，f（x）在（0，a3）上单调递减，（a3，1）递增，所以f（x）在[0，1]的最小值为f(a3)=−a327+2，最大值为f（0）=2或f（1）=4-a，不妨设最小值为m，最大值为M，则m= −a 327+2 ，则M= {4−a ，0＜a ＜22，2≤a ＜3．【点评】：本题考查了导数的应用，主要考查了利用导数研究函数的单调性以及函数的最值问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．19.（问答题，8分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》《生活中的数学》《数学与哲学》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每一课程都是等可能的．（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是43，满足条件的事件数是A 43，利用古典概率计算公式即可得出．（Ⅱ）设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X=0，1，2，3．P （ξ=0）= 3343 ；P （ξ=1）= ∁31×3243 ；P （ξ=2）= ∁32×343 ；P （ξ=3）= 143，即可得出．【解答】：解：（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是43，满足条件的事件数是A 43， ∴3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P 1= A 4343 = 38（Ⅱ）设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X=0，1，2，3．P （X=0）= 3343 = 2764；P （X=1）=∁31×3243 = 2764； P （X=2）= ∁32×343 = 964； P （X=3）= 143 = 164 ． ∴X 的分布列为：∴期望Eξ=0× 64 +1× 64 + 2×64 +3× 64 = 4 ．【点评】：本题考查了分步计数原理、古典概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（问答题，9分）已知函数f （x ）=xlnx+kx ，k∈R ． （Ⅰ）求y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）若不等式f （x ）≤x 2+x 恒成立，求k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先求出f'（x ），利用导数的几何意义求出切线的斜率，求出切点坐标，由点斜式即可得到切线方程；（Ⅱ）将问题转化为lnx-x+k-1≤0恒成立，构造函数g （x ）=lnx-x+k-1，利用导数求解g （x ）的最值，即可得到答案．【解答】：解：（Ⅰ）函数f （x ）=xlnx+kx ，k∈R ，定义域为（0，+∞）， f'（x ）=1+lnx+k ，则f'（1）=1+k ，由f （1）=k ， 故切点为（1，k ），切线的斜率为1+k ，所以y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y-k=（1+k ）（x-1），即y=（k+1）x-1； （Ⅱ）不等式f （x ）≤x 2+x 恒成立，即lnx+k≤x+1恒成立，即lnx-x+k-1≤0恒成立， 令g （x ）=lnx-x+k-1，则g'（x ）= 1x −1 ，令g'（x ）=0，解得x=1， 当0＜x ＜1时，g'（x ）＞0，则g （x ）单调递增， 当x ＞1时，g'（x ）＜0，则g （x ）单调递减， 则g （x ）的最大值为g （1）=k-2， 所以k-2≤0，即k≤2， 故k 的取值范围为（-∞，2]．【点评】：本题考查了导数的几何意义以及不等式恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．。
北京市石景山区2020-2021学年高二上学期期末数学试题
北京市石景山区2020-2021学年高二上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果2,,,,10a b c 成等差数列，那么c a -=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．82．若双曲线22143x y -=的离心率是（ ）A ．12B ．54CD ．523．抛物线22x y =-的焦点坐标是（ ）A ．1(0,)2 B ．1(0,)2- C ．(1,0) D ．(1,0)-4．在数列{}n a 中，11a =，12n n a a +⋅=-(123)n =，，，，那么8a =（ ） A ．2- B ．12- C ．1 D ．2 5．命题“x ∀∈R ，x e x >”的否定是( )A ．x ∀∈R ，x e x <B ．x ∀∈R ，x e x ≤C ．x ∃∈R ，x e x <D ．x ∃∈R ，x e x ≤6．设椭圆2212x y +=的两个焦点为1F ，2F ，且P 点的坐标为(22，则12||||PF PF +=（ ）A ．1BC ．2D ．7．如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为()4,3,2，则1C 的坐标是（ ）A ．(0,3,2)B ．(0,4,2)C ．(4,0,2)D ．(2,3,4) 8．设{}n a 是首项为正数的等比数列,公比为,q 则“0q <”是“对任意的正整数212,n n n a a -+<0”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．设平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为m ，那么“,60m n =︒”是“直线l 与平面α夹角为30”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，当灯笼的底面半径为0.3米时，则图中直线82A B 与26A A 所在异面直线所成角的余弦值为（ ）A B C ．3 D二、填空题11．在空间直角坐标系中，已知(1,2,0),(1,0,2),a b == 那么cos ,a b =______.三、双空题12．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且21a =，346a a +=.设数列{}n a n -的前n 项和为n S ，那么4S ______5S （填“>”、“<”或“=”），理由是_____________. 13．甲、乙两位同学分别做下面这道题目：在平面直角坐标系中，动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2，求M 的轨迹.甲同学的解法是：解：设M 的坐标是(,)x y ，则根据题意可知||2y =+，化简得24(||)x y y =-； ①当0y >时，方程可变为0x =；②这表示的是端点在原点、方向为y 轴正方向的射线，且不包括原点； ③当0y ≤时，方程可变为28x y ； ④这表示以(0,2)F -为焦点，以直线2y =为准线的抛物线；⑤所以M 的轨迹为端点在原点、方向为y 轴正方向的射线，且不包括原点和以(0,2)F -为焦点，以直线2y =为准线的抛物线. 乙同学的解法是：解：因为动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2. ①如图，过点M 作x 轴的垂线，垂足为1M . 则1||||2MF MM =+.设直线1MM 与直线2y =的交点为2M ，则21||||2MM MM =+； ②即动点M 到直线2y =的距离比M 到x 轴的距离大2； ③所以动点M 到(0,2)F -的距离与M 到直线2y =的距离相等；④所以动点M 的轨迹是以(0,2)F -为焦点，以直线2y =为准线的抛物线； ⑤甲、乙两位同学中解答错误的是________（填“甲”或者“乙”），他的解答过程是从_____处开始出错的（请在横线上填写① 、②、③、④ 或⑤ ）.14．已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .请你写出到两条线段1l ，2l 距离相等的点的集合{|(P d P Ω=，1)(l d P =，2)}l ，其中1l AB =，2l CD =，A ，B ，C ，D 是下列两组点中的一组．对于下列两种情形，只需选做一种，满分分别是① 3分；② 5分．① (1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,0)D -；② (1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,2)D --．你选择第_____种情形，到两条线段1l ，2l 距离相等的点的集合Ω=_____________.四、解答题15．已知数列{}n a 是等差数列，满足11a =-，53a =，数列{}n n b a -是公比为2等比数列，且2222b a -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S ．16．如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP AB ==，,,E F G 是,,BC PC CD 的中点.（1）求证：BG ⊥平面PAE ；（2）在线段BG 上是否存在点H ，使得//FH 平面PAE ？若存在，求出BH BG的值；若不存在，说明理由.17．已知椭圆C 的焦点为1(F 和 2F ，长轴长为4，设直线1y x =+交椭圆C 于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求弦AB 的中点坐标及弦长．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，12,AA AC AB BC ===，且AB BC ⊥,O 为AC 中点，1A O ⊥平面ABC .（1）求二面角11C AA B --的余弦值；（2）求直线1AC 与平面11A ABB 所成角的正弦值.19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，1B 、2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点；1F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上异于点1B 、2B 的点，112B F B 是边长为4的等边三角形．（1）写出椭圆的标准方程；（2）设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥．求证：12PB B △与12RB B △的面积之比为定值．20．已知n a n =，21n b n =-，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（1）求123,,c c c 的值；（2）证明{}n c 是等差数列.参考答案1．C【解析】【分析】根据等差数列的通项公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为d ，则1024d -=，解得2d =，所以24c a d -==，故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.2．C【分析】首先求出,a c ，由离心率c e a=即可求解. 【详解】 由双曲线22143x y -=，则24a =，23b =， 222437c a b ∴=+=+=，2,a c ∴==c e a == 故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率，需熟记222c a b =+，属于基础题.3．B【分析】由抛物线的性质即可求解.【详解】由抛物线22x y =-可知，焦点在y 轴的负半轴上. 焦点为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：B【点睛】本题考查了抛物线的焦点坐标，需熟记抛物线的标准方程以及焦点坐标，属于基础题. 4．A【分析】根据递推关系式可得数列是以2周期的数列，从而可求得8a .【详解】由11a =，12n n a a +⋅=-可得，22a =-，31a =，42a =-，故数列是以2周期的数列，所以82a =-.故选：A【点睛】本题考查了数列的递推关系式、数列的周期性，属于基础题.5．D【分析】利用全称命题的否定是特称命题分析解答.【详解】由题得命题“x ∀∈R ，x e x >”的否定是“x ∃∈R ，x e x ≤”.故答案为D【点睛】本题主要考察全称命题和特称命题的否定，意在考察学生对这些基础知识的理解和掌握水平.6．D【分析】首先判断出点P 在椭圆上，然后利用椭圆的定义即可求解.【详解】把P 点的坐标(2代入椭圆方程，满足椭圆方程，即P 点在椭圆上，由2212x y +=，则a =12||||2PF PF a ∴+==故选：D【点睛】本题主要考查椭圆的定义，需熟记椭圆的定义，属于基础题.7．A【分析】根据1DB 的坐标为()4,3,2，可得长方体的长、宽、高，从而可得出点1C 的坐标.【详解】由1DB 的坐标为()4,3,2，D 为坐标原点，所以()14,3,2B ，14,3,2BC DC CC ∴===，1C ∴的坐标为()0,3,2.故选：A【点睛】本题考查了写空间直角坐标系中的点，属于基础题.8．C【解析】试题分析：由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：①定义法：直接判断“若p 则q”、“若q 则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q”为真，则p 是q 的充分条件．②等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．9．A【分析】根据向量夹角的定义以及线面角的定义即可得出选项.【详解】由面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为m ，“,60m n <>=︒”，则“直线l 与平面α夹角为30”，反之，由向量夹角的定义，“直线l 与平面α夹角为30”，则“,60m n <>=︒或120”，故“,60m n <>=︒”是“直线l 与平面α夹角为30”充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了向量的夹角、线面角，充分不必要条件，需掌握其定义，考查了学生的基础知识，属于基础题.10．B【分析】首先求出圆柱的高，以底面中心O 为原点，2OA 为x 轴，4OA 为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】设圆柱的高h ，则20.3889.6h ⨯⨯+=，解得0.6h =，底面中心O 为原点，2OA 为x 轴，4OA 为y 轴建立空间直角坐标系， 则()80,0.3,0A -，()20.3,0,0.6B ，()20.3,0,0A ，()60.3,0,0A -∴()820.3,0.3,0.6A B =，()260.6,0,0A A =-设直线82A B 与26A A 所成的角为θ，则82268226cos 60.3A B A A A B A A θ⋅==== 故选：B 【点睛】本题主要考查用空间向量求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题 11．15【分析】利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】由(1,2,0),(1,0,2),a b ==1cos ,514a b a b a b⋅∴<>===+，故答案为：15【点睛】本题考查了利用空间向量的数量积求夹角，需熟记公式，属于基础题. 12．< 5530a -=> 【分析】首先求出等比数列{}n a 的通项公式，作差即可比较大小. 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，所以212334111q +a q =6a a q a a a ==⎧⎨+=⎩解得112a =，2q ，1212n n n a a q --∴==所以354552530S S a -=-=-=>，故54S S >故答案为：< ；5530a -=> 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，作差法比较大小，属于基础题. 13．乙 ② 【分析】由题干M 的坐标是(,)x y 可以是平面直角坐标系中的任意一点，根据甲、乙的解题过程即可求解. 【详解】由在平面直角坐标系中，动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2， ||2y =+，讨论y 的正负，整理化简，故甲正确；对于乙，由于在x 轴上方也存在满足条件的点，乙选择点具有特殊性，从②即动点M 到直线2y =的距离比M 到x 轴的距离大2；把点M 定为在x 轴下方，故从②开始错误；故答案为：乙；② 【点睛】本题主要考查求点的轨迹方程，采用直接法，考查了学生数学思维的严密性，属于基础题. 14．①，y 轴 ②y 轴非负半轴，抛物线22)4(0x y y -=，直线1(1)y x x =--> 【分析】根据题意从两组点的坐标中选一组，根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果. 【详解】对于①，(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,0)D -；利用两点式写出两条直线的方程AB ：1x =，CD ：1x =-， 到两条线段1l ，2l 距离相等的点的集合{|(P d P Ω=，1)(l d P =，2)}l ， 根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，∴到两条线段1l ，2l 距离相等的点的集合为Ω=(){},0x y x =，对于②，(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,2)D --．根据第一组作出的结果，观察第二组数据的特点，连接得到线段以后，可以得到到两条线段距离相等的点是y 轴的非负半轴，抛物线抛物线22)4(0x y y -=，直线1(1)y x x =-->故满足条件的集合(){,0x y x Ω==且}0y ≥(){2,4,01,20)x y yx x y =≤≤-(){},1,1x y y x x =-->.综上所述，①，Ω=(){},0x y x =；②，(){,0x y x Ω==且}0y ≥(){2,4,01,20)x y yx x y =≤≤-(){},1,1x y y x x =-->.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，考查两点间的距离公式，考查点到线段的距离，本题是一个综合题目，属于中档题.15．（1）2n a n =-，122n n b n -=+-；（2）(1)2122nn n n S n +=-+-. 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式即可求解. （2）根据分组求和以及等差、等比的前n 项和即可求解. 【详解】（1）因为数列{}n a 是等差数列，满足11a =-，53a =， 所以公差51151a a d -==-. 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =2-. 因为2222b a -=，20a =，所以222b a -=，又因为数列{}n n b a -是公比为2等比数列，所以12n n n b a --=.所以122n n b n -=+-.（2）12n n S b b b =+++1(122)(12)2n n n -=+++++++-(1)2122n n n n +=-+-. 【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式、求和公式以及分组求和，需熟记公式，属于基础题.16．（1）证明见解析；（2）存在，35. 【分析】（1）以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，证出0BG AP ⋅=，且0BG AE ⋅=，根据线面垂直的判定定理即可证明.（2）假设存在，利用线面垂直的定义证出0FH GB ⋅=即可. 【详解】（1）证明：因为四棱锥P ABCD -底面是正方形，且PA ⊥平面ABCD ， 以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图 所示空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),A B P ，(2,2,0),(0,2,0)C D ，因为,,E F G 是,,BC PC CD 的中点， 所以(2,1,0),(1,1,1),(1,2,0)E F G ，所以(1,2,0)BG =-，(0,0,2),(2,1,0),AP AE == 所以0BG AP ⋅=，且0BG AE ⋅=. 所以BG AP ⊥，BG AE ⊥，且AE AP A =.所以BG ⊥平面PAE .（2）假设在线段BG 上存在点H ，使得FH //平面PAE . 设BH BG λ=(01)λ≤≤，则(1,21,1)FH FB BH AB AF BG λλλ=+=-+=---. 因为FH //平面PAE ，BG ⊥平面PAE ，所以(1)(12(21)0(1)530FH GB λλλ⋅=-⋅-+-+⨯-=-=. 所以35λ=. 所以，在线段BG 上存在点H ，使得FH //平面PAE .其中35BH BG =. 【点睛】本题考查了用空间向量证明线面垂直，线面平行，考查了线面垂直的判定定理，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题.17．（1）22142x y +=；（2）21(,)33-. 【分析】（1）由题意以及222a b c =+即可求出椭圆的标准方程.（2）将直线与椭圆方程联立，由中点坐标公式以及弦长公式即可求解. 【详解】（1）因为椭圆C 的焦点为1(F 和 2F ，长轴长为4，所以椭圆的焦点在x 轴上，2c a ==.所以b =所以椭圆C 的标准方程22142x y +=.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 线段的中点为00(,)M x y ，由2224,1,x y y x ⎧+=⎨=+⎩得23420,0x x +-=∆>, 所以121242,33x x x x +=-=-， 所以02,3x =-0011,3y x =+=所以弦AB 的中点坐标为21(,)33-，||3AB ==. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，中点坐标公式以及弦长公式，需熟记方程与公式，属于中档题.18．（1）7；（2. 【分析】（1）点O 为坐标原点，1,,OA OB OA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求平面11A ABB 的法向量与平面11AAC C 的法向量，利用向量的数量积即可求解. （2）直线1AC 与平面11A ABB 所成角为θ，利用平面11A ABB 的法向量与1AC 的数量积即可求解. 【详解】（1）联结OB ，因为AB BC =，所以OB AC ⊥.又因为1A O ⊥平面ABC ，所以以点O 为坐标原点，1,,OA OB OA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系.则1(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),A B C A - 所以1(1,0,3),(1,1,0)AA AB =-=-. 设平面11A ABB 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1110,0,n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11110,0,x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令11z =，则1(3,n =.易知平面11AAC C 的法向量2(0,1,0)n =，12121221cos ,n n n n n n⋅==所以二面角11C AA B --的余弦值为7.（2）设直线1AC 与平面11A ABB 所成角为θ，11(1CC AA ==-11(AC AC CC =+=- 则1111||7sin ||||n AC n AC θ⋅==所以直线1AC 与平面11A ABB . 【点睛】本题主要考查了用空间向量解二面角、线面角，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题.19．（1）221164x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据椭圆的定义求出4a =，2b =，即可求出椭圆的标准方程.（2）直线12PB PB ，的斜率分别为,'k k ，写出直线1PB 的方程，将直线方程与椭圆方程联立，求出点p 横坐标坐标，从而求出直线2RB 的方程，与椭圆联立求出R x ，面积比即横坐标之比. 【详解】（1）因为112B F B 是边长为4的等边三角形， 所以2,b c == 所以4a =.所以椭圆的标准方程为221164x y +=.（2）设直线12PB PB ，的斜率分别为,'k k ，则直线1PB 的方程为2y kx =+． 由11RB PB ⊥，直线1RB 的方程为(2)0x k y +-=．将2y kx =+代入221164x y+=，得()2241160k x kx ++=，因为P 是椭圆上异于点12B B ，的点，所以P x =21641kk -+．所以21'4P P y k x k+==- . 由22RB PB ⊥，所以直线2RB 的方程为42y kx =-．由(2)042x k y y kx +-=⎧⎨=-⎩，得2441R kx k =+．所以12122216414441PB B P RB B Rk S x k k S x k ∆∆-+===+． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题. 20．（1）10c =，21c =-，32c =-；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先求出123,,a a a ，123,,b b b ，根据题意即可求解.（2）利用作差法求出数列{}n c 的通项公式，再根据等差数列的定义即可证出. 【详解】（1）易知11a =，22a =，33a =且11b =，23b =，35b = 所以111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.（2）下面证明：对任意*n N ∈且2n ≥，都有11n c b a n =-⋅． 当*k N ∈且2k n ≤≤时，11()()k k b a n b a n -⋅--⋅[(21)]1k nk n =---+ (22)(1)k n k =---(1)(2)k n =--因为10k ->且20n -≤所以11()()0k k b a n b a n -⋅--⋅≤⇒11()()k k b a n b a n -⋅-⋅≥． 因此对任意*n N ∈且2n ≥，111n c b a n n =-⋅=-，则11n n c c +-=-． 又因为211c c -=-，故11n n c c +-=-对*n N ∈均成立，从而{}n c 是等差数列.【点睛】本题主要考查数列的新定义、等差数列的定义，考查了学生的知识迁移能力，属于中档题.。
2020-2021学年北京市石景山区高二数学上学期期末考试数学试题含解析
4.两条平行线 与 间的距离为( )
A. B. C. D. 1
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
利用两直线间的距离公式，计算出两条平行直线间的距离.
〖详 解〗直线 ，所以两条平行线间的距离为 .
故选：A
〖点 睛〗本小题主要考查两条平行直线间的距离的计算，属于基础题.
5.在正方体 中， 为棱 的中点，则（ ）．
〖分析〗
由题意得： ，又因为 为 的中点，且点 在 轴上，设点 ，所以点 为 ，又因为点 在抛物线上，代入抛物线便可得出 ，进而求得 .
〖详 解〗根据题意画出图象，如下图所示：
因为 是抛物线 ： 的焦点，所以点 坐标为 .
设点 为 ，因为 为 的中点，所以点 为 ，
因为点 在抛物线上，则 .则 .
故： .
又OA＝ × × ＝1，
∴tan∠OAP＝ ＝ ，又0°<∠OAP<90°，∴∠OAP＝60°.
〖点 睛〗本题主要考查了线面角的求解，考查了三棱柱的几何特征，属于基础题.
15.已知 是抛物线 ： 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 .若 为 的中点，则 ______.
〖答 案〗3；
〖解 析〗
〖解 析〗
〖分析〗
（1）由题意知 ， ，可得 ， ， .故得到椭圆方程.
（2）设直线 的方程为 ( )，将直线与椭圆进行联立，利用中点坐标公式，结合韦达定理得到 ，进而得解.
（3）四边形 为平行四边形，则 .所以 ，
，又因为点 在圆上，把点 坐标代入椭圆方程，即可得出答案.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求平面 与平面 所成锐二面角的大小．
〖答 案〗（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .
北京市石景山区高二上学期数学期末试题(解析版)
一、单选题1．已知直线l 的倾斜角为，则直线l 的斜率为（ ）120︒A ．B ．C ．0D ．11-【答案】A【分析】根据直线倾斜角和斜率的定义即可求得结果.【详解】由斜率的定义可知，直线l 的斜率,tan120tan(18060)tan 60k ==-=-=即直线l 的斜率为故选：A. 2．双曲线右支上一点A 到右焦点的距离为3，则点A 到左焦点的距离为（）221169x y -=1F 2F A ．5 B ．6 C ．9 D ．11【答案】D【分析】根据双曲线的定义可求解.【详解】设双曲线的实轴长为，则，2a 28a =由双曲线的定义知，212AF AF a -=，2128311AF a AF =+=+=故选：D3．若，则的值为（ ）()()()2,3,2,1,2,2,1,2,2a b c ===- ()a b c -⋅ A ． B ．0 C ．1 D ．21-【答案】C【分析】直接利用数量积的坐标运算即可求得.【详解】因为，()()()2,3,2,1,2,2,1,2,2a b c ===- 所以.()()()1,1,01,2,21201a b c -⋅=⋅-=-++= 故选：C4．在复平面内，复数对应的点Z 如图所示，则（ ）z 1i z=-A ．B ．C ．D ．13i 2-+1i 2+1i +13i -+【答案】A【分析】根据图示及复数的几何意义可得复数，代入计算即可得结果. z 【详解】根据图示可知，复数，12z i =+根据复数的除法运算可得； 2i i)(1i)13i 2i 13i 1i 1i (1i)(1i)2212(12z +++-+==+=-+=--+故选：A.5．已知圆的方程是，圆的方程是，则圆与圆1C 222210x y x y +-++=2C 22(2)(3)16x y ++-=1C 的位置关系是（ ）2C A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含【答案】B【分析】根据圆心距以及半径间的关系确定正确选项.【详解】即，222210x y x y +-++=()()22111x y -++=所以圆的圆心为，半径. 1C ()11,1C -11r =,222(2)(3)164x y ++-==所以圆的圆心为，半径. 2C ()22,3C -24r =，12125C C r r ===+所以两圆外切.故选：B6．已知是直线l 的方向向量，是平面的法向量．若(2,,)(,)=-+-∈ m a b a b a b R (2,1,2)=- n αl α⊥，则下列选项正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 340a b --=350a b --=13,22a b =-=13,22a b ==-【答案】C【分析】根据可得与共线，由向量的坐标表示可得答案.l α⊥m n 【详解】若，则，l α⊥m n λ= 即，解得，且，即. 222a b a b λλλ-=⎧⎪+=-⎨⎪-=⎩11232a b λ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩193522-=--=-a b 350-+=a b 故选：C.7．如图，在三棱锥中，平面，，以A 为原点建-P ABC PA ⊥ABC ,1,2AB AC AB AC PA ⊥===立空间直角坐标系，如图所示，为平面的一个法向量，则的坐标可能是（ ）n PBC nA ．B ．C ．D ． 111,,224⎛⎫-- ⎪⎝⎭111,,224⎛⎫-- ⎪⎝⎭111,,242⎛⎫ ⎪⎝⎭111,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】先求出，根据法向量求解公式列方程即可求解．()()1,1,0,1,0,2BC PC =-=- 【详解】依题意得，，则()()()0,1,0,1,0,0,0,0,2B C P ()()1,1,0,1,0,2BC PC =-=- 设，则(),,n x y z = ，取则，所以 020n BC x y n PC x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 12x =11,24y z ==111,,224n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故选：D8．两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A 、B 两点，若直(0)y kx k=>y kx =-2:4C y x =线经过抛物线的焦点，则（ ）AB k =A ．1B C ．2 D ．3【答案】C【分析】根据抛物线的对称性可知A 、B 两点关于轴对称，直线经过抛物线的焦点即可x AB (1,0)得出的值.k 【详解】由题意可知，直线和关于轴对称；(0)y kx k =>y kx =-x 抛物线关于轴对称，焦点坐标，如下图所示：2:4C y x =x (1,0)F直线经过抛物线的焦点，且轴，AB (1,0)F AB x ⊥所以，代入抛物线方程得，解得；(1,)A k 24k =2k =±又，所以.0k >2k =故选：C.9．设椭圆离心率为e ，双曲线，22122:1(0)x y C a b a b +=>>22222:1x y C a b-=则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）1CA ．B ．C ．D ．⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭)+∞【答案】B【分析】根据渐近线斜率的取值范围可得出的关系，再根据椭圆离心率的定义即可求得离心率,a b e 的取值范围.【详解】根据双曲线方程可得，其渐近线方程为， 22222:1x y C a b-=b y x a =±又因为，即 0a b >>0b a <<所以，椭圆的离心率 1C c e a ⎫==⎪⎪⎭即离心率e 的取值范围是.⎫⎪⎪⎭故选：B10．在直四棱柱中，底面为直角梯形，1111ABCD A B C D -ABCD，点M 在该四棱柱表面上运动，且满足平面1,,1,2,3,2AB CD AD AB CD AD AB DD ⊥====//平面．当线段的长度取到最大值时，直线与底面所成角的正弦值是1DD M ⊥1AA C DM DM ABCD （ ）A ．B ．CD 1323【答案】B【分析】根据直四棱柱的几何关系，利用面面垂直的判定定理找出点M 在四棱柱表面上的运动轨迹，再根据线段的长度取到最大值时确定具体位置，根据几何法做出直线与底面所DM DM ABCD 成的角，即可求得其正弦值.【详解】根据几何体特征，四棱柱是直四棱柱，1111ABCD A B C D -所以平面，平面，所以，1DD ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥要满足平面平面，作于，延长交于，交的延长线于， 1DD M ⊥1AA C DE AC ⊥E DE BC G AB F 作交于，连接，如下图所示；1//GH DD 11B C H 1D H又因为，所以平面，即平面1DE DD D =I AC ⊥1DD E AC ⊥1DD HG 而平面，所以平面平面，AC ⊂1AA C 1DD HG ⊥1AA C 又因为点M 在该四棱柱表面上运动，所以点M 的轨迹是线段；1,,DG G HD H又因为底面为直角梯形，，ABCD 1,,1,2,3,2AB CD AD AB CD AD AB DD ⊥====//所以，即，得，所以； ADC FAD :::CD AD AD FA=4FA =1FB =又，所以，即为线段的中点，,1FB CD CD =//DCG FBG ≅::G ,BC DF，DF ==DG =易知，当线段的长度取到最大值时，点于点重合，DM M H 此时，即为直线与底面所成的角，HDG ∠DM ABCD，，12GH DD ==3DH === 2sin 3GH HDG DH ∠==所以，线段的长度取到最大值时，直线与底面所成角的正弦值是.DM DM ABCD 23故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用几何体特征，充分利用空间想象根据面面垂直的判定定理找出满足题意的动点的轨迹，再根据轨迹形状确定线段最长时的具体位置，找出线面角即可求得结果.二、填空题11．复数的模长_________．3i z =+||z =【分析】直接利用复数模的计算公式即可求出模长||z 【详解】解：由题意在复数中，3i z =+模长：||z ==.12．正方体的棱长是1，则点到平面的距离为_________．1111ABCD A B C D -1A 11BB D D【分析】连接交于.判断出点到平面的距离即为，即可求得.11A C 11B D O 1A 11BB D D 1AO 【详解】在正方体中，有正方体的结构可知：面面且面1111ABCD A B C D -11BB D D ⊥1111D C B A面.11BB D D ⋂111111A B C D B D =连接交于.11A C 11B DO因为为正方形，所以，所以面. 1111D C B A 1111AC B D ⊥11A C ⊥11BB D D 所以点到平面的距离即为.1A 11BB D D 1AO 在正方形中，，所以，所以1111D C B A 111A B=11A C ==11112A C O A ==. 13．已知直线．若，则实数_________．12:(1)210,:10l a x y l x ay -++=++=12//l l =a 【答案】1-【分析】根据两直线平行列方程，从而求得的值.a 【详解】由于，所以，解得或.12//l l ()121a a -⨯=⨯1a =-2a =当时，，符合.1a =-12:2210,:10l x y l x y -++=-+=当时，，两直线重合，不符合.2a =12:210,:210l x y lx y ++=++=所以的值为.a 1-故答案为：1-14．在中，和．则的外接圆方程为_________．ABC :(0,3),(A B C ABC :【答案】22230x y y+--=【分析】设出的外接圆方程，代入点列方程组求解即可.ABC :,,A B C 【详解】设的外接圆方程为，ABC :220x y Dx Ey F ++++=则，解得，9303030E F F F ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩203E D F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩故的外接圆方程为ABC :22230x y y +--=故答案为：22230x y y +--=15．在平面直角坐标系中，已知点M 的坐标为，点A 是圆上的一个动点，点B (0,2)22:1O x y +=在射线上，且，当点A 在圆O 上运动时点B 的轨迹记作曲线C ．对于曲线C ，有下列AM ||5AB =四个结论：①曲线C 是轴对称图形；②点为曲线C 的对称中心；(0,3)③曲线C 与y 轴有2个交点；④曲线C 上的点到点M 的距离最大值为4．其中所有正确结论的序号是_________．【答案】①③④【分析】根据题意可知，三点共线，且，根据曲线与方程的求法，可得曲线C 满,,A B M ||5AB =，利用其几何特征进行逐一判断即可得出结论.0511)y =-≤≤【详解】根据题意可知，两点的最大距离为3，又,A M ||5AB =所以在M 点的两侧，所以；,A B ||||||5AB AM BM =+=设，则；00(,),(,)A x y B x y 22001x y +=5=0511)y =-≤≤即曲线C ；0511)y =-≤≤显然，点和都在该曲线上，所以曲线C 关于轴对称，是轴对称图形，即①正确； (,)x y (,)x y -y 由题意可知只有当在轴上时，才和轴有交点；A yB y 在轴上有两个可能的点，所以曲线C 与y 轴有2个交点，即③正确；A y 当为时，曲线C 和轴交点坐标为；当为时，曲线C 和轴交点坐标为A (0,1)A y 1(0,6)B A (0,1)A -y ；2(0,4)B 显然，和不关于点中心对称，所以②错误；1(0,6)B 2(0,4)B (0,3)根据曲线C 可知，0511)y =-≤≤当时，曲线C 上的点到点M 的距离最大，其值为，即④正确；01y =54=故答案为：①③④三、解答题16．在中，边上的高所在的直线方程为边所在直线方程为ABC :(4,2),B BC 230,x y AC -+=．求点A 和点C 的坐标．30x y +-=【答案】，()0,3A ()5,2C -【分析】边上的高线与联立可求点的坐标，根据边上的高线可得的斜率，就能求BC AC A BC BC 出的方程，然后与联立求出点的坐标.BC AC C 【详解】设边上的高线为，则直线联立可得点的坐标，即BC AD ,AD AC A 即 2300303x y x x y y -+==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩()0,3A 11212AD BC BC BC AD BC k k k k ⊥∴⋅=-∴⋅=-∴=- 又，所以的方程为，即 ()4,2B BC ()1242y x -=--280x y +-=直线联立可得点的坐标，即，即 ,BC AC C 2805302x y y x y x +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩()5,2C -故，.()0,3A ()5,2C -17．如图，在直三棱柱中，，M 、N 分别是的中点，111ABC A B C -AB AC ⊥11,AA BB ．12,1AB AA AC ===(1)求证：；1C M CN ⊥(2)求直线与平面所成角的正弦值；CN BCM (3)求平面与平面所成角的余弦值．BCM 11ABB A 【答案】(1)证明见解析(3)23【分析】（1）根据题意可知，利用线面垂直的性质定理即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量方法即可求得直线与平面所成角的正弦值；（3）首先求得两平CN BCM 面的法向量，用向量法即可求得平面与平面所成角的余弦值.BCM 11ABB A 【详解】（1）连接，如下图所示， MN由于是直三棱柱，易知，111ABC A B C -1AA AB ⊥又因为，且，AB AC ⊥1AA AC A = 所以平面AB ⊥11AAC C M 、N 分别是的中点，所以，因此平面；11,AA BB //MN AB MN ⊥11AAC C 又平面，所以；1C M ⊂11AAC C 1MN C M ⊥易知，所以11111,1,2AM A AC A C CC M =====1C M CM ==满足，由勾股定理可知，，22211C M CM CC +=1C M CM ⊥又因为，所以平面，MN CM M = 1C M ⊥CMN 又平面，CN ⊂CMN 所以，.1C M CN ⊥（2）由（1）可知，两两垂直，1,,AB AC AA 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所A 1,,AB AC AA x y z 示：易得，(0,0,0),(2,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(2,0,1)A B C M N ；(2,1,1),(2,1,0),(0,1,1)CN BC CM =-=-=-设平面的一个法向量为，BCM (,,)n x y z =则，令得，，即；·20·0n BC x y n CM y z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ 2y =1,2x z ==(1,2,2)n = 设直线与平面所成的角为，CN BCM θ所以sin cos n CN n CN n CN θ==== : :，即直线与平面CN BCM （3）由（2）知，平面的一个法向量为， BCM (1,2,2)n =易知，平面的一个法向量为，11ABB A (0,1,0)AC =设平面与平面所成的角（锐角）为，BCM 11ABB A α所以，；2cos cos ,3n AC AC n n AC α=== ::所以，平面与平面所成角的余弦值为.BCM 11ABB A 2318．已知椭圆C 的两个焦点分别为和，点在椭圆上． 1(F 2F P (1)求椭圆C 的方程；(2)过点作倾斜角为的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段的长度．(1,0)M 3π4AB 【答案】(1)22142x y +=【分析】（1）利用焦点和椭圆上的点列方程组求解即可；（2）联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式计算线段的长度．AB 【详解】（1）设椭圆C 的方程为，()222210x y a b a b+=>>则，解得，22222112a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩2242a b ⎧=⎨=⎩故椭圆C 的方程为；22142x y +=（2）过点作倾斜角为的直线l 的方程为，设(1,0)M 3π41y x =-+()()1122,,,A x y B x y 联立，消去得，221142y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 23420x x --=，121242,33x x x x ∴+==-AB ∴===19．如图1，在中，是直角，是斜边的中点，分别是ABC :ACB ∠CA CB==P AB M N ，的中点．沿中线将折起，连接，点是线段上的动点，如图2所示．,PB PC CP CAP :AB Q AC(1)求证：平面；//MN ABC (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角Q MN C --时．求的值．AQAC条件①：；条件②：． BP AC ⊥AB AC =【答案】(1)证明见解析； (2). 34【分析】（1）利用线面平行的判定定理直接证明；（2）选条件①：.可以证明出BP AC ⊥两两垂直，以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法,,AP BP CP P ,,BP CP AP,,x y z 求解.选条件②：.先证明出两两垂直，以原点，分别为轴正AB AC =,,AP BP CP P ,,BP CP AP,,x y z 方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.【详解】（1）在中，因为分别是的中点，所以. PBC :M N ，,PB PC //BC MN 因为面,面, MN ⊄ABC BC ⊂ABC 所以平面.//MN ABC （2）在中，是直角，P 是斜边的中点，所以，即ABC :ACB ∠CA CB ==AB CP AB ⊥.,CP AP CP BP ⊥⊥选条件①：.BP AC ⊥因为，，,面,面, BP AC ⊥CP BP ⊥AC CP C ⋂=AC ⊂ACP CP ⊂ACP 所以面.BP ⊥ACP 又，可以以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.CP AP ⊥P ,,BP CP AP,,x y z在中，是直角，，P 是斜边的中点，所以. ABC :ACB ∠CA CB ==AB 2CP AP BP ===所以，，.()0,0,0P ()0,0,2,A ()2,0,0B ()0,2,0C 因为分别是的中点，所以，，所以，.M N ，,PB PC ()1,0,0M ()0,1,0N ()1,1,0MN =-()0,1,0NC = 因为点是线段上的动点，所以可设,所以Q AC ()()0,2,2,01CQ tCA t t t ==-≤≤.()()()0,1,00,2,20,12,2NQ NC CQ t t t t =+=+-=-不妨设为平面的一个法向量，则(),,m x y z =QMN ，设，则.()()()()(),,1,1,00,,0,12,201220m MN x y z x y m MN x y z t t t y tz ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=+-+=⎪⎩1y =121,1,2t m t -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 显然为面的一个法向量. ()0,0,2PA =CMN所以二面角的余弦值为.Q MN C --cos ,m PA m PA m PA⋅==⨯由题意可得：cos ,m PA m PA m PA⋅===⨯解得：. 14t =所以. 34AQ AC =选条件②：.AB AC =在中，是直角，，P 是斜边的中点，所以.ABC :ACB ∠CA CB ==AB 2CP AP BP ===.,CP AP CP BP ⊥⊥因为，所以.AB AC ==222AP BP AB +=AP BP ⊥所以可以以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.则，P ,,BP CP AP,,x y z ()0,0,0P ()0,0,2,A ，.()2,0,0B ()0,2,0C 因为分别是的中点，所以，，所以，.M N ，,PB PC ()1,0,0M ()0,1,0N ()1,1,0MN =-()0,1,0NC = 因为点是线段上的动点，所以可设,所以Q AC ()()0,2,2,01CQ tCA t t t ==-≤≤.()()()0,1,00,2,20,12,2NQ NC CQ t t t t =+=+-=-不妨设为平面的一个法向量，则(),,m x y z = QMN ，设，则.()()()()(),,1,1,00,,0,12,201220m MN x y z x y m MN x y z t t t y tz ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=+-+=⎪⎩1y =121,1,2t m t -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 显然为面的一个法向量.()0,0,2PA =CMN 所以二面角的余弦值为.Q MN C --cos ,m PA m PA m PA⋅==⨯由题意可得：cos ,m PA m PA m PA⋅===⨯解得：. 14t =所以. 34AQ AC =20．已知椭圆的一个焦点为，且经过点和．2222:1(0)x y C a b a b +=>>(1,0)F M (0,N (1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，设，点P 为椭圆C 上不同于M 、N 的一点，直线与直线交于点Q PM 2x =A ，直线与x 轴交于点B ，求证：和面积相等．PN AMQ △OBN △【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆焦点坐标和经过的两点即可求得标准方程；（2）设出点P 的坐标，即可表示出两点坐标，再写出和的面积公式，再利用点P 在椭圆上即可证明等式成,A B AMQ △OBN △立，得出和面积相等的结论.AMQ △OBN △【详解】（1）由题意可知，椭圆的半焦距，2222:1(0)x y C a b a b +=>>1c =将，即，M 1=23b =所以，2224a b c =+=椭圆C 的方程为.22143x y +=（2）根据题意，设， 000(,),0P x y x ≠又，，如下图所示，M (0,N则直线、的斜率均存在，且PM PN PM PN kk==所以，直线方程为 PM y =又直线与直线交于点A ，所以 PM 2x =A ⎛⎝又因为； Q所以，的面积为AMQ △AMQS :同理，直线方程为 PN y x=直线与x 轴交于点B ，易得PN B ⎫⎪⎪⎭所以，的面积为OBN△OBN S :要证明和 AMQ △OBN△整理得，由点P 在椭圆C 上可知，2200343x y =-0y <即，得，220034(3)x y =-22003412x y +=即显然成立；2200143x y +=所以和面积相等.AMQ △OBN △。