高二椭圆知识点小结

椭圆知识点

1. 知识要点小结：

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121

F F a PF PF >=+ ,

这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121

F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的标准方程

1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b

y a x )0(>>b a ，其中2

22b a c -=

2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b

x a y )0(>>b a ，其中2

22b a c -=；

注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到

椭圆的标准方程；

2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2

22b a c -=；

3．椭圆的焦点总在长轴上.

当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 4.一般方程均不为零）C B A C By Ax ,,(2

2

=+是表示椭圆的条件

方程C By Ax =+2

2

可化为122=+C

By C Ax ，即122=+B

C By A C x ，所以只有A 、B 、C 同

号，且A ≠B 时，方程表示椭圆。当B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B

C

A C <时，椭圆的焦点在y 轴上。

知识点三：椭圆的简单几何性质

椭圆：122

22=+b

y a x )0(>>b a 的简单几何性质

（1）对称性：对于椭圆标准方程122

22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换

成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122

22=+b

y a x 是以x 轴、

y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：

椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足

a x ≤，

b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆122

22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为

)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B

③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 22

1=,b B B 221=。a 和

b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a

c

a c e ==

22。 ②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<

越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接

近于a ，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点重合，图形变

为圆，方程为a y x =+2

2

。注意： 椭圆122

22=+b

y a x 的图像中线段的几何特征（如下

图）：（1）)2(2

1a PF PF =+；

e PM PF PM PF ==

2

21

1；

)2(2

2

1c

a PM PM =+；

（2）)(21a BF BF ==；)(2

1c OF OF ==；2221b a B A B A +==；

（3）c a F A F A -==221

1；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；

知识点四：椭圆12222=+b y a x 与 122

22=+b

x a y )0(>>b a 的区别和联系

注意：椭圆12222=+b y a x ，122

22=+b

x a y )0(>>b a 的相同点：形状、大小都相同；参数间

的关系都有)0(>>b a 和)10(<<=

e a

c

e ，222c b a +=；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。 2.典型例题

一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。

解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3.

所以椭圆的标准方程是y 24＋x 2

3＝1.

2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52

－1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 2

24

＝1.

二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例：1. 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，

椭圆的标准方程为：11

42

2=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，

椭圆的标准方程为：

116

42

2=+y x ； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。

例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2

4

＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．

解：因为c 2

＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

a 2－5

＝1.由点(－3,2)在椭圆

上知9a 2＋4a 2－5＝1，所以a 2

＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210

＝1.

四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。

例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

解：由题意，设椭圆方程为12

22=+y a

x ，

由?????=+=-+1012

22y a

x y x ，得()0212

22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2

11

1a x y M M +=-=， 4112===a

x y k M M OM

，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 五、求椭圆的离心率问题。

例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

解：31

222??=c a c ∴223a c =，∴333

1-=e ． 例 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2

1

=e ，求k 的值．

解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12

-=k c ．由2

1

=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92

=a ，82

+=k b ，得k c -=12

． 由21=

e ，得4

191=-k ，即45-=k ．∴满足条件的4=k 或45-=k ．

六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题

例：1.若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程。

解：顶点C 到两个定点A ，B 的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C 的轨迹为椭圆，并且2a ＝10，所以a ＝5,2c ＝8，所以c ＝4，所

以b 2＝a 2－c 2

＝9，故顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1.又A 、B 、C 三点构成三角

形，所以y ≠0.所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 2

9＝1(y ≠0)

2．已知椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2

25＝1(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，求△ABF 2的周长．

因为F 1F 2＝8，即即所以2c ＝8，即c ＝4，所以a 2＝25＋16＝41，即a ＝41，所以△ABF 2的周长为4a ＝441.

3．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 2

4

＝1的两个焦点,P 是椭圆上的点，且PF 1:PF 2＝2:1，求△PF 1F 2

的面积．

解析：由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴PF 1＋PF 2＝2a ＝6.又PF 1∶PF 2＝2∶1，∴PF 1＝4，PF 2＝2，由22＋42＝(25)2可知△PF 1F 2是直角三角形，故

△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝1

2×2×4＝4.

七、直线与椭圆的位置问题

例 已知椭圆1222=+y x ，求过点??

?

??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．

解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为??? ?

?

-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得

()()

02

3

21222122

2

2

=+-+--+k k x k k

x k ．

由韦达定理得2

2212122k

k

k x x +-=+． ∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得2

1-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．

解法二：设过??

? ??2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得

?

????????=+=+=+=+④

1.

③1②12

①1221212

2222

121y y x x y x y x ，，， ①－②得

02

2

2212

221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得

212121-=--x x y y ，即直线的斜率为2

1

-．

所求直线方程为0342=-+y x ． 八、椭圆中的最值问题

例 椭圆

112

162

2=+y x 的右焦点为F ，过点()

31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．

解：由已知：4=a ，2=c ．所以2

1

=

e ，右准线8=x l ：． 过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以

()

332，M ．

3.规律方法：

1．求椭圆标准方程的常用方法：

①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

2．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

共焦点，则c 相同。与椭圆122

22=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为

12

222=+++m

b y m a x )(2

b m ->，此类问题常用待定系数法求解。 3．如何求解与焦点三角形△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？

思路分析：与焦点三角形△PF 1F 2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及

余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin 2

1

21PF F PF PF S F PF ∠??=?相

结合的方法进行计算解题。

将有关线段2121F F PF PF 、、，有关角21PF F ∠ (21PF F ∠≤21BF F ∠)结合起来，建

立21PF PF +、21PF PF ?之间的关系.