8.10有交互作用双因素方差分析假设检验
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差分析（Two-way ANOVA）是一种统计方法，用于分析两个因
素对实验结果的影响。
该方法主要用来检验两个因子对因变量的交互作用。
双因素方差分析特别适用于那些同时受到两个或更多因素影响的因变量研究。
使用双因素方差分析时，需要满足以下条件：
1. 独立性：各个观测值之间必须相互独立，这意味着每个观测值都不受其他观测值的干扰。
2. 正态性：样本必须来自正态分布总体。
3. 方差齐性：各个总体的方差必须相等，即抽样的总体必须是等方差的。
4. 样本容量：每个组中的观测值数量应该足够多，这样才能保证估计的参数接近真实值。
5. 满足其他假设：例如，误差项应该是随机的，并且服从均值为0的正态分布。
双因素方差分析的步骤如下：
1. 提出假设：包括主效应和交互效应的假设。
2. 方差分析表：列出观测值的数量、各组的均值和方差以及总均值和总方差。
3. F检验：通过F检验来检验主效应和交互效应的显著性。
4. 结果解释：如果F检验的结果显著，则说明主效应或交互效应对因变量有影响；否则，说明没有影响。
以上信息仅供参考，如需获取更多详细信息，建议咨询统计学专家或查阅统计学相关书籍。
交互作用双因子方差分析
st
xijk
j1 k 1
称为水平 Ai 下的样本均值；
x• j•
1 rt
r i1
t
xijk
k 1
称为水平 B j 下的样本均值。
r s t
考虑总变差平方和 ST 2 xijk x 2 的如下分解：
i1 j1 k 1
r s t
ST 2
xijk x 2
i1 j1 k1 rst
若 H01 成立，即 1 2 r 0 ，那么，虽然 不能苛求做为诸i 的估计值之平方和的若干倍的S A2
rst
r
（ xi•• x 2 st xi•• x 2 ）恰好等于零，
i1 j1 k 1
i 1
但相对于 SE
2
来说一定不应太大，倘若
SA2 SE2
超过某个界
限值k1 ，我们就有理由拒绝H01 ，故
0.
s
类似地，由 j
j 1
s j 1
u• j u
1 r
s j 1
r i 1
uij
su
0
r
r
r
ij uij ui• u• j u uij u• j ru• j ru• j 0
i 1
i 1
i 1
s
s
s
ij uij ui u• j u uij ui• sui• sui• 0
2
=
xijk xij• xi•• x x• j• x xij• xi•• x• j• x
i1 j 1 k 1
r s t
rst
rst
xijk xij• 2 xi•• x 2 x• j• x 2
i1 j1 k 1
i 1 j 1 k 1
商务统计学 8.10有交互作用双因素方差分析假设检验
i=1 j=1 s=1
å 其中，X ij×
=
1 t
t s =1
X ijs
是水平组合
下的样本均值
邋 ? k r t
交互作用离差平方和 SSAB =
( X ij鬃- X i 鬃- X j? + X )2
i=1 j=1 s=1
构建检验统计量
邋 ? k r t
令T=
X ijt = krtX
i=1 j=1 s=1
构建检验统计量
邋 ? k r t
总离差平方和 SST =
( X ijs - X )2
i=1 j=1 s=1
邋 ? 其中，X
=
1 krt
k i =1
rt j=1 s=1
Xijs 是数据的总平均
组间离差平方和
邋 ? 邋 k r t
SSA =
( X i鬃- X )2
i=1 j=1 s=1
其中，X
i鬃 =
1 rt
rt
X ijs
j=1 s=1
为水平
邋 ? 邋 1 k
X = X SSB =
r
t ( X鬃j - X )2 其中， 鬃j
kt i=1 j=1 s=1
kt i=1 s=1
ijs 为水平
下的样本均值 下的样本均值
构建检验统计量
邋 ? 随机误差平方和 SSE = k
r
t
( X ijs -
X
)2
ij×
T2 krt
邋 ? å k r t
SSA =
( X i鬃- X )2
i=1 j=1 s=1
=1 rt
k
Ti鬃2 -
i =1
T2 krt
交互作用双因子方差分析
交互作用双因子方差分析交互作用双因子方差分析（Two-way ANOVA with interaction）是一种用于分析两个自变量对因变量的影响以及这两个自变量之间是否存在交互作用的统计分析方法。
在实验设计和数据分析中应用广泛，尤其适用于探究多个因素对结果的影响和相互作用的情况。
交互作用双因子方差分析是在传统的方差分析的基础上进一步扩展的方法，将实验因素划分为两个或更多的自变量，并考察这些自变量之间是否存在相互作用。
与传统的单因子方差分析相比，交互作用双因子方差分析可以更全面地分析因素对结果的影响，从而更准确地解释实验结果。
在进行交互作用双因子方差分析之前，首先需要构建一个实验设计矩阵，确定两个自变量的水平以及实验对象的分组情况。
然后，通过对数据进行方差分析，可以得到各自变量的主效应（main effects）和交互作用效应（interaction effects）的显著性检验结果。
主效应是指自变量对因变量的独立影响，通过比较不同水平下因变量的均值差异来进行检验。
交互作用效应是指两个自变量同时作用对因变量的影响，通过比较不同组合下因变量的均值差异来进行检验。
显著性检验可以使用方差分析表（ANOVA table）来进行，通过计算误差平方和与因子平方和来判断各效应的显著性。
双因子方差分析的优势在于可以准确地评估两个自变量的影响，并且可以检验出两个自变量之间是否存在交互作用。
通过交互作用效应的检验，可以了解不同因素之间的复杂关系，进一步深入理解研究对象的特性。
然而，交互作用双因子方差分析也存在一些注意事项。
首先，样本量需要足够大，以保证分析结果的稳定性和可靠性。
其次，实验设计需要合理，各水平之间应该具有一定的平衡性。
此外，还需要注意数据的正态性和方差齐性，以确保方差分析的准确性。
总之，交互作用双因子方差分析是一种重要的统计分析方法，可以分析两个自变量对因变量的影响和相互作用。
通过准确评估各自变量的主效应和交互作用效应，可以更加全面地解释实验结果，为研究提供有力的支持和指导。
双因素ANOVA交互作用分析
双因素ANOVA交互作用分析双因素ANOVA（Analysis of Variance）是一种常用的统计方法，用于分析两个或多个因素对于一个或多个连续变量的影响。
在双因素ANOVA中，我们可以研究两个因素的主效应以及它们之间的交互作用。
本文将介绍双因素ANOVA交互作用分析的基本概念、假设检验和结果解读。
一、基本概念双因素ANOVA交互作用分析是一种多元方差分析方法，用于研究两个因素对于一个或多个连续变量的影响，并探究这两个因素之间是否存在交互作用。
在双因素ANOVA中，我们将变量分为两个因素：因素A 和因素B。
因素A可以是一个分类变量，比如性别（男、女），因素B 也可以是一个分类变量，比如治疗组（A组、B组）。
我们希望通过双因素ANOVA来分析因素A、因素B以及它们之间的交互作用对于连续变量的影响。
二、假设检验在双因素ANOVA交互作用分析中，我们需要进行三个假设检验：因素A 的主效应、因素B的主效应以及因素A和因素B之间的交互作用。
1. 因素A的主效应假设因素A对于连续变量有显著影响，我们可以进行如下假设检验：H0：因素A对于连续变量没有显著影响H1：因素A对于连续变量有显著影响2. 因素B的主效应假设因素B对于连续变量有显著影响，我们可以进行如下假设检验：H0：因素B对于连续变量没有显著影响H1：因素B对于连续变量有显著影响3. 因素A和因素B之间的交互作用假设因素A和因素B之间存在交互作用，我们可以进行如下假设检验：H0：因素A和因素B之间不存在交互作用H1：因素A和因素B之间存在交互作用三、结果解读在进行双因素ANOVA交互作用分析后，我们可以得到以下结果：1. 主效应结果如果因素A的主效应和因素B的主效应都显著，说明因素A和因素B对于连续变量都有显著影响。
如果只有一个因素的主效应显著，说明只有这个因素对于连续变量有显著影响。
如果两个因素的主效应都不显著，说明这两个因素对于连续变量没有显著影响。
双因素方差分析
这种各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响 在统计上称为交互作用. 各因素间是否存在交互作用是 多因素方差分析新产生的问题.
一、无交互作用的方差分析
考虑的因素记为A的第i种效应和因素B的第j 种效应分 别记作αi , βj，试验误差记作εij，其数据结构如下：
第7.3节 双因素方差分析
一、无交互作用的方差分析 二、有交互作用的方差分析 三、利用Excel进行双因素方差分析的步骤
在许多实际问题中, 往往需要同时考察几个因素对指 标的影响，这种同时研究两个因素对试验指标影响的方 差分析，就是 双因素方差分析 (double factor analysis of variance)问题.
B1
B2
B3
A1
390 380 440 420 370 350
A2
390 410 450 430 370 380
解 由Excel软件依次单击：工具-数据分析-方差分析：可重 复双因素方差分析, 如下图
单击“确定”后，得分析结果如下：
由此可见，因素B显著，而因素A和A与B交互作用都 不显著．下面着重考察因素B.
方差来源 平方和 自由度
A B 误差 总和
Q1
r-1
Q2
s-1
Q3 (r-1)(s-1)
Q
rs-1
均方 S12 S22 S32
F值 S12/S32 S22/S32
显著性
二、有交互作用的方差分析
如果因素A 和因素B 没有交互作用， 则只需要在各 个组合水平下各做一次试验就可以进行方差分析．
但是如果因素A 和因素B 有交互作用，这时必须在 各个组合水平下做重复试验方可进行方差分析．
双因素方差分析课件
能够同时考虑两个因素对连续变量的 影响，并比较不同因素之间的交互作 用。
适用范围
适用于研究两个分类变量对一个或多 个连续变量的影响，并分析不同因素 之间的交互作用。
适用于数据满足正态分布、方差齐性 和独立性等假设的情况。
目的与意义
目的
通过双因素方差分析，可以比较不同组之间的差异，了解两个因素对连续变量的影响程度和交互作用，为进一步 的数据分析和决策提供依据。
意义
双因素方差分析在社会科学、医学、经济学等领域有广泛应用，能够帮助研究者深入了解不同因素之间的交互作 用，为科学研究和实际应用提供有力支持。
02 双因素方差分析的数学原 理
方差分析的基本思想
01
方差分析是通过比较不同组别 的平均值差异来检验多个总体 均值是否相等的一种统计方法 。
02
它将数据总变异分为组内变异 和组间变异，通过比较组间变 异与组内变异的比例来判断各 总体均值是否存在显著差异。
在弹出的对话框中，选择“因子变 量”和“组变量”，并设置相应的 级别和组别。
03
点击“确定”，SPSS将自动进行 双因素方差分析，并输出结果。
04
其他统计软件介绍
01பைடு நூலகம்
02
03
Stata
Stata是一款功能强大的统 计软件，可以进行各种统 计分析，包括双因素方差 分析。
SAS
SAS是一款商业统计软件， 广泛应用于各种统计分析， 包括双因素方差分析。
在双因素方差分析中，数学模型通常采用如下形式：Yijk=μ+αi+βj+εijk， 其中Yijk表示第i组第j类的观测值，μ表示总体均值，αi表示第i个因素的效
应，βj表示第j个因素的效应，εijk表示随机误差。
8.9有交互作用双因素方差分析问题描述
r
mij
j =1
=1 k
k
1
i=1 mi鬃= r
r
mj
j =1
å1 r
mi× = r
mij
j =1
å m×j
=
1 k
k i =1
mij
ai = mi× - m
bj = m×j - m
i =1, 2,..., k
j =1, 2,..., r i =1, 2,..., k j =1, 2,..., r
(ab)ij = mij - mi鬃- m j + m
ì ï
X ij
= mij
+ ai
+bj
+ (ab)ij
+e ijs
ï ïï
e ijs
~
N (0,s
2 ), 各e ijs独立
í ï
i
=1, 2,..., k;
j
=1, 2,..., r; s
=1, 2,..., t
邋 邋 ï k
r
k
r
ï ïî
ai
i =1
= 0; bj
i =1
= 0; (ab)ij
i =1
… ..., X krt
… T鬃r
… X 鬃r
…
Ti鬃
X i鬃
…
…
Tk鬃
X k鬃
总和 总均值
TX
有交互作用双因素方差分析问题描述
所考察的因素记为
因素 共有 个水平 因素 共有 个水平
Xijs ~ N(mij ,s 2)(i =1, 2,..., k; j =1, 2,..., r; s =1, 2,...,t) 其中，
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i 1 j 1s 1
构建检验统计量
令T
krt
X ijt
i 1 j 1s 1
krtX
kt
Tj
X ijt ktX i
i1s1
则有 SST
krt
( X ijs
i 1 j 1s 1
X )2
rt
Ti
X ijt rtX i
j 1s 1
t
Tij
X ijt tX ij
s1
krt
X2 ijs i 1 j 1s 1
T2 krt
krt
SSA
(Xi X )2
i 1 j 1s 1
1 rt
k
Ti 2
i1
T2 krt
krt
SSB
(X j X )2
i 1 j 1s 1
1 kt
r
T
2 j
Байду номын сангаас
j1
T2 krt
SSE
X k r t
2
ijs
i 1 j 1s 1
1k ti1
T r 2 ij j1
构建检验统计量
SSA 与SSE 相互独立， SSB 与SSE 相互独立， SSAB 与SSE 相互独立，
1) FA B
SSAB /((k 1)(r 1)) SSE / (kr (t 1))
F (r 1, kr (t 1)) F ((k 1)(r 1), kr (t 1))
误差 SSE kr(t 1)
—
—
—
总计 SST krt 1
—
—
—
小结
1. 提出假设 2. 构建检验统计量 3. 得出检验结论
思考练习
检验 H0 构建统计量
SSB
2
(r
1)
SSB/(r 1) MSB
FB
SSE
2
(kr(t
1))
SSE / (kr(t 1))
~ F (r 1, kr(t 1)) MSE
SSA
2
(k
1)
SSA/(k 1) MSA
FA
SSE
2
(kr(t
1))
SSE / (kr(t 1))
~ F(k 1, kr(t 1)) MSE
有交互作用双因素方差分析假设检验
1. 提出假设 2. 构建检验统计量 3. 得出检验结论
有交互作用双因素方差分析
在双因素方差分析中，若两个因素 和A 的B结合会产生出
一种新的效应，这种新的效应使得因素 和
A 放在B在
一起对因变量取值的影响并不等于它们各自对因变量取值影响的和
，则为有交互作用双因素方差分析。
有交互作用双因素方差分析问题研究时构建的检验统计 量服从什么分布？相应的自由度是多少？
感谢
谢谢，精品课件
资料搜集
i 1 j 1s 1
样本均值
1 kt
k i1
t s1
X ijs
是数据 为水平 下 为水平 下的
构建检验统计量
随机误差平方和 SSE
krt
( X ijs
X ij )2
i 1 j 1s 1
其中，X ij
的样本均值
1 t
t s
1
X ijs
是水平组合
下
krt
交互作用离差平方和 SSAB
( X ij X i X j X )2
构建检验统计量
krt
总离差平方和 SST
( X ijs X )2
i 1 j 1s 1
组间离差平方和
其中，X 的总平均
1 krt
k i1
rt
X ijs
j 1s 1
krt
SSA
(Xi
i 1 j 1s 1
X )2
其 的中样，本X均i 值
1 rt
rt
X ijs
j 1s 1
SSB
krt
(X j
X )2 其中，X j
并且有
SSE ~ 2 (kr(t 1)) 2
构建检验统计量
成立时，有 构建统计量
， 相互独立
构建检验统计量 ，
检验假设 检验 构建统计量
检验假设 H0 : ( ab )ij 0 ,i 1,2, ...,k ; j 1,2, ...,r H1 : ( ab )ij不全为零 ,i 1,2, ...,k ; j 1,2, ...,r
提出假设
检验假设 H0 : a1 a2 ... ak 0 H1 : a1, a2 ,..., ak不全为零
检验假设 H0 : b1 b2 ... br 0 H1 : b1, b2 ,...,br不全为零
检验假设 H0 : (ab)ij 0 H1 : (ab)ij 不全为零 (i 1, 2,..., k; j 1, 2,..., r)
表 有交互作用双因素方差分析表
差异来源 离差平方和 自由度
F值
F 临界值
P值
因素 A 因素 B
交互作用
SSA k 1
SSA/(k 1) FA
SSE / (kr (t 1))
F (k 1, kr (t 1))
SSB r 1 SSAB (k 1)(r
SSB /(r 1) FB
SSE / (kr (t 1))
FA B
SSAB
2
((k
1)(r
1))
SSE
2
(kr(t
1))
SSAB/((k 1)(r 1)) SSE / (kr(t 1))
MSAB ~ F ((k 1)(r 1), kr(t 1)) MSE
得出检验结论
给定的显著水平 ， 否定域为 给定的显著水平 ， 否定域为 给定的显著水平 ， 否定域为
得出检验结论