人教版九年级下册数学：测量(金字塔高度、河宽)问题
人教版数学九年级下册《测量(金字塔高度、河宽)问题》教案
人教版数学九年级下册《测量（金字塔高度、河宽）问题》教案一. 教材分析人教版数学九年级下册《测量（金字塔高度、河宽）问题》这一节主要讲述了利用相似三角形来测量金字塔的高度和河宽。
在学习了相似三角形的性质和判定之后，学生已经具备了初步的数学建模能力，能够解决实际问题。
这一节内容旨在让学生将理论知识应用于实际问题，提高学生的动手实践能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对相似三角形有一定的了解。
但是，将相似三角形应用于实际问题中，可能还需要一定的引导。
此外，学生可能对测量问题感到陌生，因此，在教学过程中，需要注重培养学生的实际操作能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：理解相似三角形在实际测量问题中的应用，学会使用相似三角形解决金字塔高度和河宽的测量问题。
2.过程与方法：通过实际操作，培养学生的动手实践能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形在实际测量问题中的应用。
2.难点：如何引导学生将相似三角形与实际测量问题相结合，提高学生的解决问题的能力。
五. 教学方法采用问题驱动的教学法，引导学生通过实际操作，将相似三角形应用于测量问题中。
在教学过程中，注重启发式教学，鼓励学生提出问题、分析问题、解决问题。
同时，采用小组合作的学习方式，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、绳子等测量工具。
2.教学素材：金字塔和河宽的实际例子。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾相似三角形的性质和判定。
例如：“同学们，我们之前学习了相似三角形，那么相似三角形有哪些性质和判定方法呢？”2.呈现（10分钟）呈现金字塔和河宽的实际例子，让学生直观地了解测量问题的背景。
例如：“同学们，你们看看这个金字塔，我们如何才能求出金字塔的高度呢？”3.操练（10分钟）引导学生分组进行实际操作，使用测量工具（如三角板、直尺、绳子等）进行测量。
人教版九年级下册数学27.2.3：相似三角形的应用 举例 测量(金字塔高度、河宽)问题 课件 (共12张PPT)
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
人教版数学九下27.2.3《相似三角形应用——测量(金字塔的高度、河宽)》课件(共29张PPT)
例4 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对 岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S 共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的 直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的 直线b的交点R.如果测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，求河的宽度PQ.
∴△ABO∽△DEF
BO OA
EF = FD
BO
=
OA· EF FD
=
201×2 3
= 134
利用三角形相似可以解决一些不能 直接测量的物体的长度的问题
挑战自我
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边 BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点 分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
1. 铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂 端点下降0.5m时,长臂端点升高___8_B__m。
0.5m
16m
C ┛1m O A
？ ┏
D
2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5 米的人的影长为3米,则树高为__4____。
3. 小明在打网球时，使球恰好能打过网， 而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高 度h.（设网球是直线运动）
∠A=40°，AB=3 ，AC=6 ∠A′=40°，A′B′=7 ，A′C′=14
A′
40
A
7°
3 40°
14
6
B
B′
C
C′C′
课堂抢答
3、如图是小明做的一个风筝的支架， AB=40cm，BP=60cm，△ABC∽△APQ 的相似比是（ ）
A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5
人教版数学九年级下册《测量(金字塔高度、河宽)问题》教学设计
人教版数学九年级下册《测量（金字塔高度、河宽）问题》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册《测量（金字塔高度、河宽）问题》这一节主要让学生掌握用三角函数测量物体高度和距离的方法。
通过前面的学习，学生已经掌握了锐角三角函数的定义和性质，本节内容将在这个基础上，让学生学会运用三角函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对三角函数也有了一定的了解。
但是，将理论知识应用于实际问题的解决中，对学生来说可能还是一个新的领域。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.让学生掌握用三角函数测量物体高度和距离的方法。
2.培养学生将理论知识应用于实际问题的解决中，提高他们解决实际问题的能力。
3.培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握用三角函数测量物体高度和距离的方法。
2.难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们解决实际问题的能力。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作讨论来解决问题。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示测量过程，帮助学生更好地理解知识。
3.创设实际问题情境，让学生在解决实际问题的过程中，掌握测量方法。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学课件。
3.实际问题情境素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示金字塔和河流的图片，引导学生思考如何测量金字塔的高度和河宽。
2.呈现（10分钟）呈现测量金字塔高度和河宽的实际问题，让学生独立思考如何解决这些问题。
3.操练（15分钟）学生在小组内讨论解决问题的方法，教师巡回指导，给予适当提示。
4.巩固（10分钟）学生汇报讨论结果，教师点评并总结测量方法，引导学生巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用所学知识解决更复杂的实际问题。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固测量方法。
人教版数学九年级下册27.2.3相似三角形的应用举例测量金字塔高度、河宽问题优秀教学案例
一、案例背景
在教学人教版数学九年级下册27.2.3相似三角形的应用举例时，我设计了一节以测量金字塔高度、河宽问题为主题的教学案例。本节课旨在让学生通过解决实际问题，深入理解相似三角形的性质及应用，提高解决实际问题的能力。
2.引导学生运用相似三角形的性质解决实际问题，如测量金字塔高度、河宽等。
3.结合实例，讲解如何使用尺规作图解决相似三角形问题，提高学生的作图能力。
（三）学生小组讨论
1.组织学生进行小组讨论，让学生分享自己的解题思路和方法。
2.教师引导学生运用相似三角形的性质解决问题，培养学生解决问题的能力。
3.鼓励学生提出疑问，教师解答疑问，确保学生对相似三角形知识的理解。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学知识，巩固相似三角形的性质和应用。
2.学生通过总结，提高自己的归纳总结能力，加深对相似三角形知识的理解。
3.教师强调相似三角形在实际生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣。
（五）作业小结
1.布置具有实际意义的作业，让学生运用相似三角形知识解决实际问题。
2.教师及时批改作业，给予学生反馈，帮助学生提高解题能力。
5.作业小结强化应用：布置具有实际意义的作业，让学生运用相似三角形知识解决实际问题。通过作业小结，巩固本节课所学知识，提高学生的数学应用能力。同时，教师及时批改作业，给予学生反馈，帮助学生提高解题能力。
3.在解决问题的过程中，引导学生总结规律、提炼方法，培养学生归纳总结的能力。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识和团队精神。
2.教师参与小组讨论，引导学生运用相似三角形知识解决问题，提高学生的解题能力。
人教版九年级下册数学：27.2.3 相似三角形应用举例 测量(金字塔高度、河宽)问题课件(共19张PPT)
埃及金字塔
埃及金字塔是古埃及帝王利（用法所老）学陵知墓识，，世界七大建筑奇 迹之一。数量众多，分布广泛你。能测出金字塔
埃及共发现金字塔96座，的大高小度不吗一，？其中最高大的是开罗
郊区的胡夫金字塔，高146.5米，因年久风化，顶端剥落10米，
现高136.5米；塔身由230万块石头砌成，每块石头平均重2.5
高为__9_._2__m。
2、为了测量一螃蟹池塘的宽AB，在岸边找到一 点C，使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上 找到一点E，使DE⊥AC,测出AD=35m，DC=35m，
DE=30m，则池塘的宽AB为__6_0___m。
A
B
D
E
C
3、小丽利用影长测量棠树学校旗杆的高度.由于旗杆靠 近初中教学楼,在某一时刻旗杆影子中的一部分映在初 中教学楼的墙上.小丽测得旗杆AB在地面上的影长BC为 20m,在墙上的影长CD为4m,同时又测得竖立于地面的 1m长的标杆影长为0.8m,请帮助小丽求出旗杆的高度.
EF
FD
OA
OA· EF ∴BO =
FD
= 201×2 3
答:金字塔的高度BO为134米.
EF FD
= 134（米）
金字塔的影子 可以看成一个 等腰三角形， 则OA等于这个 等腰三角形的 高与金字塔的 边长的一半的 和。
知识归纳一
测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度， 通常用“在同一时刻物高与影长成正比 例”的原理解决,即：
A
1m
D
0.8m E
C
B
拓展
在上一题中，你还能想到其它求出旗杆 的方法吗？
人教版数学九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例 (测量金字塔高度、河宽问题)课件
2、一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一 路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明 直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向 继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰 好是线段AB，并测得AB=1.25m。已知李明直立时的身高 为1.75m，求路灯的高CD的长.（结果精确到0.1m）
能力拓展
1、如图 ，丁轩同学在晚上由路灯 AC 走向路灯 BD，当 他走到点 P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯 AC 的底部，当他向前再步行 20 m 到达 Q 点时，发现身前他影子 的顶部刚好接触到路灯 BD 的底部，丁轩同学的身高是1.5 m， 两个路灯的高度都是 9 m，则两路灯之间的距离是（ ）
___5_._6___米. （精确到0.1米）
类型四 反射问题
如图利用“平面镜的反射原理”构建三角形， 其数学模型为：
比例式为：DABE＝BECC.
变式练习
小强用这样的方法来测量学校教学楼的高度：如图，在 地面上放一面镜子（镜子高度忽略不计），他刚好能从 镜子中看到教学楼的顶端B，他请同学协助量了镜子与教 学楼的距离EA=21米，以及他与镜子的距离CE=2.5米， 已知他的眼睛距离地面的高度DC=1.6米，请你帮助小强 计算出教学楼的高度。
类型一 影子问题
如图 ，利用“同一时刻的物高和影长”构建 相似三角形，其依据是“在同一时刻物高与影长 成比例”．其数学模型为：
比例式为：DABE＝BECF.
变式练习
如图，花丛中有一路灯杆AB. 在灯光下，小明在D 点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5 米，这时小明的影长GH＝5米. 如果小明的身高为1.7 米，求路灯杆AB的高度(精确到0.1米)．
人教版九年级下册数学课件：27.2.3 相似三角形应用举例---测量(金字塔高度、河宽)问题 (共14张PPT)
∠AOB＝∠DFE＝90°
∴ △ABO∽△DEF．
B
BO OA EF FD
BO OA EF 201 2 134
O
FD
3
因此金字塔的高为134m．
E A(F) D
跟踪练习
1.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高 楼的影长为90m，这栋高楼的高度是多少？
A 解： △ABC ∽ △A'B'C'
， PQ 45
解得PQ=90(m).
60 90
，
因此，河宽大约为90 m.
[知识拓展] 利用相似三角形进行测量的一般步骤: ①利用平行线、标杆等构成相似三角形;②测量与 表示未知量的线段相对应的线段的长，以及另外任 意一组对应边的长度;③画出示意图，利用相似三 角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的
比例式，解出未知量;④检验并得出答案.
检测反馈
1.小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米，
如图所示，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长 AC为3米，则楼高为 ( A )
A.10米 B.12米
C.15米 D.22.5米
解析:在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，
A. 3 米 B.3米 C.2米 D.1.5米
解析:∵BN∥AM，∴∠AMC=∠BNC=30°，又∵∠C=90°，
BC=1米，∴BN=2米，CN= 3 米，∴CN∶CM=BC∶AC，
∴ 3 = 1 ,解得AC=3(米)，∴AB=AC-BC=2米.故选C.
3+2 2 AC
3.如图所示，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站
点拨：入射角＝反射角Байду номын сангаас
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乙
∴∠C＝∠F. ∴△ABC∽△DEF.
EF BC 尝试画出影子
AB DE . BC EF
同一时间、同一地点物高与影长成比例.
应用1 例1：据传说，古希腊数学家、天文学家 泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影 子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个 相似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m， 测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．
得
？
∴AE＝8
E
D 1.4 1.5 ∴AB＝8+1.4＝9.4
B 6.4 C
1.2 答：这棵大树高9.4米.
谈谈你今天的收获……
通过本节课的学习和探索，你学会了什 么? 你有什么感受?
【作业】
必做题： 教科书习题 27．2第8－10 题．
选做题： 教科书习题 27．2第 14 题．
应用3
解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她 的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A，C恰在一条 直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD． ∴△AEH∽△CEK．
EH EK
AH , 即
CK
EH 8 1.6 6.4 . EH 5 12 1.6 10.4
解得EH＝8（m）． 由此可知，如果观察者继
续前进，当她与左边的树距离
小于8m时，由于这棵树的遮 挡，她看不到右边树的顶端C．
练习3小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的
一小块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼
部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水
处C的距离是40米.求塔高AB？
解: ∵∠ABC ＝∠DEC＝90°，∠ACB ＝∠DCE
解:设高楼的高度为x米，则
1.8 x 3 90
？ 90米
x
1.8
3
x 54
3米
答:楼高54米.
应用2
例2：如图，为了估算河的宽度，我们可以 在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S， 使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在 过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T， 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．已 测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，请根据 这些数据，计算河宽PQ．
怎样测出 OA的长？
应用1
解：太阳光是平行光线，
∴∠BAO＝∠EDF．
又∠AOB＝∠DFE＝90°，
∴△ABO∽△DEF．
BO OA . BO OA EF 201 2 134（m）
EF FD
FD
3
因此金字塔的高度为134 m．
你还有其 它方法吗？
练习1
在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的 影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m， 这栋楼的高度是多少？
对应面积比等于相似比的平方
复习提问 3.怎样作一个三角形与已知三角形相似？
情境引入
我们可以利用相似三角形的
知识解决这些问题！
如何知 道树的高度？
如何求 河的宽度？
探究
在太阳光下，物体的高度与影长
有什么关系?
∵∠ABC＝900，∠DEF＝900，
∴∠ABC＝∠DEF.
A
D ∵太阳光线是平行的，
甲
P
Q Rb
S
Ta
应用2
解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P， ∴△PQR∽△PST． 即 PQ QR , PQ 60 ,
PQ QS ST PQ 45 90
PQ×90＝（PQ+45）×60． 解得：PQ＝90（m）． 因此，河宽大约为90m．
练习2
如图，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝ 50m，求河宽AB．
解：∵∠B＝∠C＝90°，∠ADB＝∠EDC， ∴△ABD∽△ECD，
AB BD . EC CD
AB 120 . 50 60
∴AB＝100（m）． 答：河宽大约为100m．
应用3
例3：如图，左、右并排的两棵大树的高分 别是AB＝8m和CD＝12m，两树底部的距离BD ＝5m，一个人估计自己的眼睛距地面1.6m．她 沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前 进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就 不能看到右边较高的树的顶点C了？
∴△ABC∽△ DEC
A
D
答：塔高30米.
EC
B
应用提高 某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻
测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他 测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近 教学楼，有一部分影子在墙上. 经测量，地面 部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这 棵大树高多少米?
解：作DE⊥AB于E A
【人教版 数学 九年（下）第27章 相似】
复习提问
1.判断两三角形相似有哪些方法? （1）平行法 （2）判定定理
边边边、 边角边、 角角、 斜边、直角边. 2.相似三角形有什么性质？
对应角相等，对应边成比例 对应高线、对应中线、对应角平分线 的比等于相似比（对应线段的比等于相似比）
对应周长比等于相似比