第十七章：勾股定理知识点归纳
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时应用勾股定理解数学问题课件新版新人教版
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
勾股定理知识点总结大全
勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。
具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。
这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。
二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。
几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。
常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。
2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。
代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。
通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。
三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。
例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。
勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。
2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。
而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。
这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。
3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。
第十七章 勾股定理知识点与常见题型总结
《勾股定理》小结与复习资料一．知识点：1. 勾股定理及逆定理①勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边为 ，那么 __ 。
直角三角形2+b 2=c 2 (数)（形）公式的变形：（1）c 2= , c= ;（2）a 2= , a= ;（3）b 2= , b= ; ②勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ___ ，那么这个三角形是 __ ．a 2+b 2=c 2 (数直角三角形 注：（1依据；（2）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据．利用勾股定理逆定理证明三角形是否是直角三角形的步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数法计算 a 2+b 2 和c 2 的值；③判断a 2+b 2和 c 2 是否相等。
若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
2、勾股数满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数如下：3、互逆命题和互逆定理互逆命题:两个命题中，如果第一个命题的 恰为第二个命题的 ，而第一个命题的 恰为第二个命题的 ，像这样的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ．互逆定理:一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是 ，那么它也是一个 ，称这两个定理互为 ，其中一个叫做另一个的逆定理.4、勾股定理的应用（最短路线、梯子下滑、船在水中航行等）5、常见平方数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222=529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=《勾股定理题型分类》题型一：直接考查勾股定理：直角三角形中，若a, b 分别为直角边，c 为斜边，那么直角三角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2注意：直角三角形中，最长的边为斜边，较短的两边为直角边1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积，则图中A 字母所代表的正方形面积是2、 如图4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
第十七章05节 勾股定理勾股定理的逆定理
s a m pl e e s s a ys , pl e a s e s t a y t une d!
目录
01
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程。
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
1、a=15 ，b=8 ，c=17
2、a=13 ，b=14 ，c=15
解：∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
第十七章05节 勾股定理
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M o r e o v e r, o u r s t o r e p r o v i d e s v a r i o u s t y p e s o f c l a s s i c
3
2.5
1
BC
4
6
1
AC
5
6.25
2
45°
∠A
约36.5°
∠B
∠C
90°
约22.5°
90°
90°
约53.5°
约67.5°
45°
A
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
人教版八年级下册数学 第17章《勾股定理》讲义 第6讲 勾股定理-逆定理(有答案)
人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理－逆定理（有答案）第6讲 勾股定理－逆定理 第一部分 知识梳理知识点一：勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 .①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点二：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）知识点三：勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整例4、已知:△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2(m,n 为正整数,且m ＞n),判断△ABC 是否为直角三角形.例5、三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 举一反三：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A 、8，15，17B 、4，5，6C 、5，8，10D 、8，39，402、下列各组线段中的三个长度：①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（ ）A 、5组B 、4组C 、3组D 、2组3、现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（ ）A 、30厘米B 、40厘米C 、50厘米D 、以上都不对4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
第17章 勾股定理
第十七章 勾股定理知识点回顾：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 知识点一： 勾股定理 1.勾股定理的定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．(注意：前提条件是直角三角形！！！) 例题：1.在Rt △ABC 中， 90=∠C ，中AC=3，BC=4，则AB=（ ）A.5B.7C.12D.25 2.（常考题）在直角三角形ABC 中，斜边AB =1，222AC BC AB ++的值是（ ） A .2 B .4 C .6 D .8 3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（ ）A.13B.8C.25D.64 4.（易错题）若△ABC 中，AB =13，AC =15，高AD =12，则BC 的长是（ ）A.14B.4C.10或18D.14或4 5.（常考题）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）8.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ） A .4cm B .34cm C . 6cm D . 36cm 9.在直角坐标系中，点P （2，3）到原点的距离是2.勾股定理的图形结合题（难点）例题：1.如图，在△ABC中，三边长a、b、c的大小关系是（）3.（常考题，难）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则所有正方形A、B、C、D、E、F、G的面积之和为2cm.4.（必考题，难）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形。
若大正方形边长是13cm，小正方形边长为7cm，则每个直角三角形较短的一条直角边的长是______cm.（）A.169B.25C.19D.135.（常考题，难）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为第1题第2题第3题第4题第5题6.（常考题）如图，数轴上点A表示的数是.7.8.（必考题）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格点的顶点叫格点，以格点作为顶点分别按下列要求画三角形.(1)使三角形为钝角三角形且面积为4.（在图①中画出一个即可） (2)使三角形的三边长分别为3，22，5；（在图②中画出一个即可）知识点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 满足22b a +=2c ，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理笔记要点
勾股定理基础知识汇总一、 已经学过的有关直角三角形中的边角关系BA1．两锐角之间的关系：90oA B ∠+∠=2.边与高的关系： ab ch =3.边与角之间的特殊关系：在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
二、 勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即222a b c +=三、 勾股定理逆定理如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
四、 勾股数组1.如果三个正整数,,a b c 满足关系222a b c +=，那么,,a b c 叫做勾股数。
2.勾股数的性质如果,,a b c 是勾股数，k 为正整数，那么,,ka kb kc 也是勾股数思考：勾股数的定义中有何限制？3.常用勾股数：3,4,5；5, 12,13；7,24,25；8,15,17；4.勾股数的几种表达方式22(1).21,22,221n n n n n ++++（毕达哥拉斯）22(2)1,2,1n n n -+（柏拉图） 2222(3),2,m n mn m n -+（丢番图）请探究上述三个表达式，思考下列问题 （1） 你能从勾股数3,4,5；5, 12,13；7,24,25；归纳出毕达哥拉斯给出的表达式吗？这组勾股数有何特征？（2） 柏拉图公式与丢番图公式之间有何联系？与你已经学过的哪些公式有关联？五、勾股定理应用（1） 学习过勾股定理之后三角形的特殊关系①如果30oA ∠=，那么::2a b c =②如果45o A ∠=，那么::a b c = ③如果,,a b c 是直角三角形的三条直角边，那么以a+ b ，c + h ，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形④如果,,a b c 是直角三角形的三条直角边，那么以a 1，b 1，1h的长为边的三条线段能组成直角三角形（2） 藤绕树问题的解法我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺．（3）长方体盒子对角线的长度公式GEB（4）蚂蚁最短路径问题公式GcGcBcGEB六、典型例题例1：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）），图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3= ．【答案】122.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a b ，，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图． （2）证明勾股定理．3.（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，Rt Rt ABC CDE △≌△，90B D ∠=∠=，且B C D ，，三点共线．试证明90ACE ∠=；（3）伽菲尔德（Garfield ，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．4.「问题情境」勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行了证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言． 「定理表述」请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）：（3分）「尝试证明」以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a b 、为底，以a b +为高的直角梯形（如图2）．请你利用图2，验证勾股定理；（4分） 「知识拓展」利用图2中的直角梯形，我们可以证明a bc+< BC a b =+，AD = ．又在直角梯形ABCD 中有BC AD（填大小关系），即 ．a bc+∴<．（3分）（图1）（图2）A BC Dc baa ab b ccEa b b a 图1 abc c A E D C B b 图25.给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．6.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，设c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．(1)当△ABC三边长分别为6,8,9时，△ABC为______c2；当△ABC三边长分别为6,8,11时，△ABC 为___________三角形．(4分)(2)猜想：当a2+b2______c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2______c2时，△ABC为钝角三角形．(4分) (3)判断当a=2,b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．(4分)7.阅读材料：例：并求它的最小值．解：3x如图，建立平面直角坐标系，点()0P x，是x轴上一点，P与点()01A，的距离，可以看成点P与点()32B，的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA PB+的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则P A P A=′，因此，求PA PB+的最小值，只需求PA PB+′的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA PB+′的最小值为线段A B′的长度．为此，构造直角三角形A CB′，因为=3=3A C CB'，，所以A B=′，即原式的最小值为根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点()0P x，与点()11A，、点B___________的距离之和．（填写点B的坐标）（2）代数式_____________．。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结勾股定理是数学中一个著名的定理，也是初中数学学习的重点内容之一。
它描述了直角三角形中三条边的关系，并且可以应用于解决许多与三角形和几何有关的问题。
本文将对勾股定理的相关知识点进行总结和探讨。
一、勾股定理的表述和公式勾股定理的表述是：“直角三角形斜边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和。
”这就是我们通常所说的勾股定理。
勾股定理的公式可以表示为：a² + b² = c²其中，a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表直角三角形的斜边。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，在此我们以几何证明和代数证明为例进行说明。
几何证明：通过图形的构造和推理来证明勾股定理。
一种常见的几何证明方法是构造以a、b、c为边长的正方形，然后计算正方形的面积，从而证明等式成立。
代数证明：通过数学计算和变换来证明勾股定理。
一种常见的代数证明方法是将直角三角形的三条边的平方进行计算，然后将其相加和化简，最终得到等式成立的结果。
三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是一个数学定理，还有着广泛的应用。
1. 解决三角形的边长和角度问题：通过勾股定理，我们可以已知两条边长来求解第三条边长，或者已知两条边长和一个角度来求解其他角度。
2. 判断三角形的形状：我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，从而进一步研究和分析三角形的性质。
3. 解决几何问题：勾股定理还可以应用于解决一些几何问题，例如求解两条直线的交点坐标、求解平面图形的面积、判断是否存在重合图形等等。
四、勾股定理的推广除了直角三角形，勾股定理还可以推广到其他形状的图形。
1. 平方和定理：平方和定理是勾股定理的推广，它描述了非直角三角形中三条边平方的关系。
2. 多边形的对角线：在多边形中，通过某个顶点可以连接其他顶点，形成对角线。
对角线之间的关系也可以通过勾股定理进行研究和计算。
3. 空间中的勾股定理：在空间几何中，勾股定理可以推广到三维空间，描述直角棱柱、直角锥等图形的三条棱或边之间的关系。
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第十七章：勾股定理知识点归纳
1.勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为口，由，斜边为C，那么
X 十变形公式C= a2b2，b= c2b2,a=.c2a2
2•勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.
3•勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
4•勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。
在3C 中a = 则c= a2b2, b= c2b2, a=、c2a2,②已知直角三角形一边，另外两边之间的数量关系
利用勾股定理：a2 b2c2，列方程求解。
③可运用勾股定理解决一些实际问题
5.勾股定理的逆定理
2.2 2
如果三角形三边长a, b , c满足a b c ,那么这个三角形是直角三角形，
最长边所对的角等于90
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一
第十七章：勾股定理知识点归纳
种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状， 在运用这一定理时，可用两小边的平方和 与较长边的平方 较，若它们相等时，以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形； 时，以 ， ， 为三边的三角形是钝角三角形；若 ，时，以 为三边的三角形是锐角三角形；
作比 若，。