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计量经济学第四章非线性回归模型的线性化
计量经济学第四章非线性回归模型的线性化(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第四章 非线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。
但有时候变量之间的关系是非线性的。
例如 y t = 0 +11βt x + u ty t =0 tx e 1α+ u t上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。
可采用非线性方法进行估计。
估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。
计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。
专用软件使这种计算变得非常容易。
但本章不是介绍这类模型的估计。
另外还有一类非线性回归模型。
其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。
称此类模型为可线性化的非线性模型。
下面介绍几种典型的可以线性化的非线性模型。
可线性化的模型⑴ 指数函数模型 y t = tt u bx ae+b >0 和b <0两种情形的图形分别见图和。
显然x t 和y t 的关系是非线性的。
对上式等号两侧同取自然对数，得Lny t = Lna + b x t + u t令Lny t = y t *, Lna = a *, 则y t * = a * + bx t + u t 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。
其中u t 表示随机误差项。
010203040501234XY 1图 y t =tt u bx ae+, (b > 0) 图 y t =tt u bx ae+, (b < 0)⑵ 对数函数模型y t = a + b Ln x t + u tb >0和b <0两种情形的图形分别见图和。
x t 和y t 的关系是非线性的。
令x t * = Lnx t , 则y t = a + b x t * + u t变量y t 和x t * 已变换成为线性关系。
非线性回归课件
§8.1 可化为线性回归的曲线回归
C o effi ci en ts
St andardi zed
U ns tandardize Cdoef f icie C oef f icients nts
Model
B Std. ErrorBeta
t
1
(C ons t8a.n1t9) 0 .043
190. 106
《非线性回归》PPT课件
§8.2 多项式回归
称回归模型
yi=β0+β1xi1+β2xi2+β11
x
2 i1
+β22
x
2 i2
+β12xi1xi2+εi
为二元二阶多项式回归模型。
它的回归系数中分别含有两个自变量的线性项系数β1 和β2， 二次项系数β11 和β22，并含有交叉乘积项系数β12。 交叉乘积项表示 x1与 x2的交互作用。
线性回归 y=b0+b1t
Regression Residuals
Analysis of Variance:
DF Sum of Squares
1
9454779005.1
16
1588574273.6
Mean Square 9454779005.1
99285892.1
F
Signif F
95.22782 .0000
Adjus t ed Rof t he
Model R R SquareSquareEs t imD atuerbin-W at s on
1
. 996a . 992
.89.971601E-02
. 616
a.Predic t ors : (C onst ant ), T
第三章非线性回归分析-PPT文档资料
图 3.9
y t = b 0 + b 1 x t + b 2 x t2 + b 3 x t3 + u t
图 3.10
y t = b 0 + b 1 x t + b 2 x t2 + b 3 x t3 + u t
另一种多项式方程的表达形式是 y t = b 0 + b 1 x t + b 2 x t2 + u t (3.14) 其中 b1>0, b2>0 和 b1<0, b2<0 情形的图形分别见图 3.11 和 3.12。令 xt 1 = xt， x t 2 = xt 2，上 式线性化为， y t = b 0 + b 1 x t1 + b 2 x t2 + u t (3.15) 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与图 3.11 相似。
t t
k Lnb 估参数。曲线有拐点，坐标为（ a 2 ,
） ，曲线的上下两部分对称于拐点。
be
图 3 .1 3 y t = k / (1 +
at u t
)
图 3 .1 4
b >0 情 形 的 图 形 见 图 3.7 。 x t 和 y t 的 关 系 是 非 线 性 的 。 令 y t* = 1/ y t, x t* = 1/ x t， 得
图 3.7
y t = 1/ ( a + b / x t ),
( b > 0)
图 3.8
y t = a + b /x t ,
(xt b 图 3 .6
e ut
yt = a xt b
⑷ 双曲线函数模型 1/ y t = a + b / x t + u t 也可写成， y t = 1/ ( a + b / x t + u t) y t* = a + b x t* + u t 已 变 换 为 线 性 回 归 模 型 。 其 中 ut 表 示 随 机 误 差 项 。 (3.9) (3.10)
06非线性回归模型-PPT课件
9
例6.2.1：设某商店1991—2000年的商品流通费用率和商 品零售额资料如表6.2.2所示。根据表中资料，配合适当 的回归模型分析商品零售额与流通费用率的关系，若 2019年该商店商品零售额为36.33万元，试预测2019年的 商品流通费用额。
解：
第一步，绘制散点图(见图6.2.1)。从图中可以清楚地看到：随着商品零
►由于这类模型的因变量没有变形，所以可以直接采用最小二
乘法估计回归系数并进行检验和预测。
– 第二类，间接代换型
►这类非线性回归模型经常通过对数变形代换间接地化为线性 回归模型。如式(6.1.5)、式(6.1.6)和式(6.1.7)。
6
►由于这类模型在对数变形代换过程中改变了因变量的形态， 使得变形后模型的最小二乘估计失去了原模型的残差平方和为
2
曲线的形式也因实际情况不同而有多种形式。配曲线问题 主要包括：
– 1、选配拟合曲线（即确定变量间函数的类型）： ►可以根据理论分析或过去的实际经验事先确定； ►不能根据理论或过去积累的经验确定时，根据实际资 料作散点图，从其分布形状选择适当的曲线来配合。 – 2、确定相关函数中的未知参数
►最小二乘法是确定未知参数最常用的方法。
– (3)对数模型，其方程式为
y l n x u i 1 2 i i
– (4)三角函数模型，其方程式为
( 6 . 1 . 3 )
y s i n xu ( 6 . 1 . 4 ) i 1 2方程式为
x x u 0 1 1 i 2 2 i i y e i
– (6)幂函数模型，其方程式为
b y a x u i i i
i y = a b u i
非线性回归分析(1)幻灯片PPT
n
都取决于残差平方和(yi yi )2，从而，两种选择准
i1
n
则是一致的，只是从两个不同侧面作出评价。(yi yi)2
i1
14
表给出第一个曲线回归方程的残差平方和的
计算过程， 由于n=13， 13(yi y)20.5743
，
i1
故其决定系数及剩余标准差分别为：
R 2 1 0 .5 7 4 3 0 .9 7 2 9 , s 0 .5 7 4 3 0 .2 2 8 5
n u 2 0 .3 2 3 5 4 7 4 4 n u v 0 .0 1 8 6 5 7 7 8
lu u0 .2 1 3 6 7 0 5 4 luv0.00017717
b ˆ lu v/lu u 0 .0 0 0 8 2 9 1 7
a ˆ v u b ˆ 0 .0 0 8 9 6 6 6 3
y
8
对上述非线性函数，参数估计最常用的方法 是“线性化”方法。
以1/y=a+b/x为例，为了能采用一元线性回 归分析方法，我们作如下变换u=1/x,v=1/y 则曲线函数就化为如下的直线v=bu
这是理论回归函数。对数据而言，回归方程为
vi=a+ bui + i 于是可用一元线性回归的方法估计出a,b。
1.观察散点图 2.判断是什么关系; 3. 回归参数计算； 4. 判断系数； 5.显著性检验（注意H0） 6.失拟合检验（注意需要的条件）
相关系数，判断系数
显著性检验 H0假设的含义；方差分析表；F(1,n-2)
失拟合检验 条件？F(m-2,n-m)
2
回归分析内容
一元线性
一元非线性 带虚拟变量
步骤： 1.观察散点图，2.判断是什么关 系，3. 回归，4. 判断系数；5。显著 性检查（注意H0），6.失拟合检验 （注意需要的条件）
04-非线性回归模型的线性化
t
i l
2 t
2
2016/3/29
6
4.2、线性化方法
1、 被解释变量与解释变量之间不存在线性关系，与
未知参数之间存在线性关系的模型，其线性化的方法 为：变量替换法；然后利用OLS估计参数。 2、被解释变量与解释变量、未知参数之间不存在线性 关系，但可线性化的模型的线性化方法为：对数法和 变量替换法；然后利用OLS估计参数。 3、真正意义上的非线性模型，需要进行线性化处理。
2016/3/29 5
4.1.3、非线性回归模型的基本假定
1．扰动项零均值： E(u ) 0, t 1, 2,..., n 2．无自相关性： E(u u ) 0; i, l 1, 2,..., n; i l 3．同方差性： E(u ) , t 1, 2,..., n ，其中为有限常 数。 4．解释变量为非随机变量 5．函数性质：一般情况下，假设 f (xt , β)为二阶连 续可微函数。 6．模型参数可识别 7．分布假定：零均值、同方差。在极大似然估 计中，需要对扰动项的分布做出假设，一般假 设其服从正态分布。
ˆ ˆ) log(a 1 ˆ ˆ b
2
ˆ e ) (a
ˆ 1
应当指出，在这种情况下，线性模型估计量
的性质（如 BLUE, 正态性等）只适用于变换后的参 ˆ 和 ˆ ，而不一定适用于原模型参数的估 数估计量 1 2 计量 a ˆ 。 ˆ和 b
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CES生产函数模型的线性化回归
最小二乘法
t
ˆ ) min S (β) S (β
min (Yt f (xt , β))2
t
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非线性最小二乘法的正规方程组
i l
2 t
2
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6
4.2、线性化方法
1、 被解释变量与解释变量之间不存在线性关系，与
未知参数之间存在线性关系的模型，其线性化的方法 为：变量替换法；然后利用OLS估计参数。 2、被解释变量与解释变量、未知参数之间不存在线性 关系，但可线性化的模型的线性化方法为：对数法和 变量替换法；然后利用OLS估计参数。 3、真正意义上的非线性模型，需要进行线性化处理。
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4.1.3、非线性回归模型的基本假定
1．扰动项零均值： E(u ) 0, t 1, 2,..., n 2．无自相关性： E(u u ) 0; i, l 1, 2,..., n; i l 3．同方差性： E(u ) , t 1, 2,..., n ，其中为有限常 数。 4．解释变量为非随机变量 5．函数性质：一般情况下，假设 f (xt , β)为二阶连 续可微函数。 6．模型参数可识别 7．分布假定：零均值、同方差。在极大似然估 计中，需要对扰动项的分布做出假设，一般假 设其服从正态分布。
ˆ ˆ) log(a 1 ˆ ˆ b
2
ˆ e ) (a
ˆ 1
应当指出，在这种情况下，线性模型估计量
的性质（如 BLUE, 正态性等）只适用于变换后的参 ˆ 和 ˆ ，而不一定适用于原模型参数的估 数估计量 1 2 计量 a ˆ 。 ˆ和 b
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CES生产函数模型的线性化回归
最小二乘法
t
ˆ ) min S (β) S (β
min (Yt f (xt , β))2
t
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非线性最小二乘法的正规方程组
非线性回归模型的线性化
线性回归模的应用
§4－1 典型的非线性模型及处理方法 §4－2 虚拟变量 §4－3 分段线性回归 §4－4 实证分析
§4－1 典型的非线性模型及处理方法 我们介绍一类非线性回归模型。其 形式是非线性的，但可以通过适当的 变换，转化为线性模型，然后利用线 性回归模型的估计与检验方法进行处 理。称此类模型为可线性化的非线性 模型。下面介绍几种典型的可以做线 性化处理的非线性模型。
⑴ 指数函数模型
⑵ 对数函数模型
⑶ 幂函数模型
⑷ 双曲线函数模型
⑸ 多项式方程模型
另一种多项式方程的表达形式是
Cobb-Douglas生产函数
§4－2 虚拟变量
回归方程中的变量通常在一个连续区间上取。 但是，有时希望用一个或多个只取两个值的自变 量，这样可以设立一个虚拟变量。 例如：一个公司采用两台机器生产。假设两 台机器的产出都服从正态分布，具有不同的期望 和相同的方差。
§4－3 分段线性回归
§ 4－ 4
实证分析
实例3: 城镇居民人均收入差异分析
§4－1 典型的非线性模型及处理方法 §4－2 虚拟变量 §4－3 分段线性回归 §4－4 实证分析
§4－1 典型的非线性模型及处理方法 我们介绍一类非线性回归模型。其 形式是非线性的，但可以通过适当的 变换，转化为线性模型，然后利用线 性回归模型的估计与检验方法进行处 理。称此类模型为可线性化的非线性 模型。下面介绍几种典型的可以做线 性化处理的非线性模型。
⑴ 指数函数模型
⑵ 对数函数模型
⑶ 幂函数模型
⑷ 双曲线函数模型
⑸ 多项式方程模型
另一种多项式方程的表达形式是
Cobb-Douglas生产函数
§4－2 虚拟变量
回归方程中的变量通常在一个连续区间上取。 但是，有时希望用一个或多个只取两个值的自变 量，这样可以设立一个虚拟变量。 例如：一个公司采用两台机器生产。假设两 台机器的产出都服从正态分布，具有不同的期望 和相同的方差。
§4－3 分段线性回归
§ 4－ 4
实证分析
实例3: 城镇居民人均收入差异分析
计量经济学-第四章-非线性回归模型的线性化25页
（1）指数函数模型
Yi AebXiui 取对数 ln Y i ln AbiX ui
令
Y* i
lnYi,alnA则
Yi*abX i ui
（2）幂函数模型
Y i A1 i1 X X 2 2 i1 X k kieui
lY i n lA n 1 lX n 1 i 2 lX n 2 i k lX n k i u i
2. 非线性回归模型可分为几类？
第一类：非标准的线性回归模型； 第二类：可线性化的非线性回归模型； 第三类：不可线性化的非线性回归模型。
第一节 变量间的非线性关系
第一类：非标准的线性化模型 Y与解释变量 X1,X2,,Xk 之间不存在线性关系，
但与未知参数 0,1,2,之,间p 存在线性关系。
Y 01f1 (X 1 ,X 2 , ,X k)2f2 (X 1 ,X 2 , ,X k) 举例：总成 本 函数pf模k(X 型1 ,X 2 , ,X k) u
C 01 X 2 X 23 X 3 u
第一节 变量间的非线性关系
第二类：可线性化的非线性回归模型
此类模型可通过适当的变换化为标准的线性回归模型。 如，柯布—道格拉斯（Cobb-Dauglas）生产函数模型，简 称C-D生产函数模型：
YA K Leu
其中，Y 表示产出量，K 表示资金投入量，L 表示劳动投入
Y i AiK L ieui,i1 ,2 , ,n
其中，Y 表示产出量，K 表示资金投入量，L表示劳
动投入量，u 表示随机误差项，A、、为未知参
数。试利用天津市1980年~2019年间的有关统计资 料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型。 解：详见教材。
第二节 线性化方法
3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法