第七章 第七节 课时限时检测

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1,2,4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A ．10B ．－10C.12 D ．－12解析：∵α⊥β，∴a ·b ＝0∴x ＝－10.答案：B2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：由于cos 〈m ，n 〉＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°，所以直线l 与α所成的角为30°. 答案：A3．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B.⎝⎛⎭⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎫1，－3，32D.⎝⎛⎭⎫－1，3，－32 解析：对于选项A ， PA ＝(1,0,1)，则PA ·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA ＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12，则PA ·n ＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0，验证可知C 、D 均不满足PA ·n ＝0.答案：B4．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( ) A.32 B.52 C.105 D.1010解析：以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (4,0,0)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，C 1(0,4,2)，AC ＝(－4,4,0)，1BC ＝(－4,0,2)．易知AC ⊥平面DBB 1D 1，所以AC 是平面DBB 1D 1的一个法向量．所以BC 1与平面DBB 1D 1所成角的正弦值为|cos 〈AC ，1BC 〉|＝|AC ·1BC ||AC ||1BC |＝1642×25＝105. 答案：C5．(2010·海口模拟)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1－B 1的大小为( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°解析：建系如图．设A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)C (0,1,0) 则AC ＝(－1,1,0)为平面BB 1D 1的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面ABD 1的一个法向量．则n ·1AD ＝0，n ·AB ＝0 又1AD ＝(－1,0,1)，AB ＝(0,1,0)∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋z ＝0y ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝x y ＝0 令x ＝1.∴则z ＝1 ∴cos 〈AC ，n 〉＝－12，∴〈AC ，n 〉＝120°，即二面角A －BD 1－B 1的大小为120°. 答案：C6.如图所示，A 1B 1C 1－ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值为( )A.3010 B.1010 C.510 D ．－3010解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(0,2,2)．∵D 1、F 1为A 1B 1、A 1C 1的中点，∴D 1(1,1,2)，F 1(1,0,2)，∴1BD ＝(1，－1,2)，1AF ＝(－1,0,2)，∴1BD ·1AF ＝(1，－1,2)·(－1,0,2)＝3， |1BD |＝1＋1＋22＝6，|1AF |＝1＋22＝5，∴cos 〈1BD ，1AF 〉＝36×5＝33030＝3010. 答案：A 二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7.如图，在45°的二面角α－l －β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．解析：由CD ＝CA ＋AB ＋BD ，cos 〈AC ，BD 〉＝cos45°cos45°＝12，∴|CD |2＝2CA ＋2CB ＋2BD ＋2(CA ·AB ＋AB ·BD ＋CA ·BD )＝3＋2(0＋1×1×cos135°＋1×1×cos120°)＝2－2，∴|CD |＝2－ 2.答案：2－ 28．若A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝__________.解析：AB ＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74，AC ＝⎝⎛⎭⎫－2，－1，－74， 由a ·AB ＝0，a ·AC ＝0，得⎩⎨⎧ x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝23y ，z ＝－43y ， 所以x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． 答案：2∶3∶(－4)9.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则直线B 1N 与平面BDM 所成角的正弦值为________．解析：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则B 1(2,2,2)，N (0,2,1)，1NB ＝(2,0,1)，又M (0,1,2)，D (0,0,0)，B (2,2,0)，则DB ＝(2,2,0)，DM ＝(0,1,2)，可得平面BDM 的一个法向量n ＝(2，－2,1)，因为cos 〈n ，1NB 〉＝n ·1NB |n ||1NB |＝53，故直线B 1N 与平面BDM 所成角的正弦值是53. 答案：53三、解答题(共3个小题，满分35分)10．(2010·新课标全国卷)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点．(1)证明：PE ⊥BC ；(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．解：以H 为原点，HA ，HB ，HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A (1,0,0)，B (0,1,0)．(1)证明：设C (m,0,0)，P (0,0，n )(m <0，n >0)，则D (0，m,0)，E (12，m 2，0)． 可得PE ＝(12，m 2，－n )，BC ＝(m ，－1,0)． 因为PE ·BC ＝m 2－m 2＋0＝0，所以PE ⊥BC .(2)由已知条件可得m ＝－33，n ＝1， 故C (－33，0,0)，D (0，－33，0)，E (12，－36，0)，P (0，0,1)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PEH 的法向量，则⎩⎨⎧ n ·HE ＝0，n ·HP ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －36y ＝0，z ＝0. 因此可以取n ＝(1，3，0)．由PA ＝(1,0，－1)，可得|cos 〈PA ，n 〉|＝24， 所以直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值为24. 11．(2010·浙江高考)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE ＝EB ＝AF ＝23FD ＝4.沿直线EF 将△AEF 翻折成△A ′EF ，使平面A ′EF ⊥平面BEF .(1)求二面角A ′－FD －C 的余弦值；(2)点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A ′重合，求线段FM 的长．解：(1)取线段EF 的中点H ，连接A ′H ，因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点，所以A ′H ⊥EF .又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ，及A ′H ⊂平面A ′EF ，所以A ′H ⊥平面BEF .如图建立空间直角坐标系A －xyz ，则A ′(2,2,22)，C (10,8,0)，F (4,0,0)，D (10,0,0)．故FA ′＝(－2,2,22)，FD ＝(6,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′FD 的一个法向量，所以⎩⎨⎧ －2x ＋2y ＋22z ＝0，6x ＝0，取z ＝2，则n ＝(0，－2，2)．又平面BEF 的一个法向量m ＝(0,0,1)，故cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝33. 所以二面角的余弦值为33. (2)设FM ＝x ，则M (4＋x,0,0)，因为翻折后，C 与A ′重合，所以CM ＝A ′M ，故(6－x )2＋82＋02＝(－2－x )2＋22＋(22)2，得x ＝214， 经检验，此时点N 在线段BC 上．所以FM ＝214.12．(2010·厦门模拟)如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF 且BE <CF ，∠BCF ＝π2，AD ＝3，EF ＝2. (1)求证：AE ∥平面DCF ；(2)设AB BE ＝λ，当λ取何值时，二面角A －EF －C 的大小为π3？ 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC .又BE ∥CF ，AB ∩BE ＝B ，∴平面ABE ∥平面DCF .又AE ⊂平面ABE ，∴AE ∥平面DCF .(2)过点E 作GE ⊥CF 交CF 于点G ，由已知可得：EG ∥BC ∥AD ，且EG ＝BC ＝AD ，∴EG ＝AD ＝3，又EF ＝2，∴GF ＝1.∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ⊥BC .∵∠BCF ＝π2，∴FC ⊥BC ，又平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD ∩平面BEFC ＝BC .∴FC ⊥平面ABCD ，∴FC ⊥CD .∴分别以C 为原点，CB 、CD 、CF 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BE ＝m ，由AB BE＝λ，得AB ＝λm . ∴A (3，λm,0)，E (3，0，m )，F (0,0，m ＋1)，∴AE ＝(0，－λm ，m )，EF ＝(－3，0,1)．设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由AE ·n ＝0，EF ·n ＝0，得⎩⎨⎧ －λmy ＋mz ＝0－3x ＋z ＝0，∴⎩⎨⎧－λy ＋z ＝0－3x ＋z ＝0， 令y ＝3，可得平面AEF 的一个法向量n ＝(λ，3，3λ)． 又CD ＝(0，λm,0)是平面CEF 的一个法向量，∴cos π3＝|CD ·n ||CD ||n |，即3λm 4λ2＋3·λm ＝12，解得λ＝32， ∴当λ＝32时，二面角A －EF －C 的大小为π3.。