高中数学经典题型-概率第2专辑(含详细答案)
高中数学经典题型【编著】黄勇权1、4路公交汽车，每10分钟一班，在站台停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率（）A、101B、109C、1110D、1112、从区间（1,2）内任取两个数，则这两个数之和小于27的概率（）A、1B、7C、1D、33、取一根长度为5米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段绳子的长度都不小于2米的概率为（）A、51B、52C、53D、544、甲乙两人约定六点到七点见面，先到的人等后到的人十五分钟，时间过了就可以走了，问两人相见的概率（）A、41B、83C、167D、1695、健身馆有一台跑步机，开放时间为晚上8：00-晚上12:00，甲在跑步机上锻炼1个小时，乙在跑步机上锻炼2小时，问甲、乙来到健身馆，谁也不用等候谁，就能上跑步机锻炼的概率。
A 、32B 、225C 、247D 、26136、某人投篮命中率为0.8，现独立投5次，求最多命中两次的概率（）7、在1、2、3、4、5五个数字中，随机取出三个数，则剩下两个数字都是奇数的概率（）8、A 、B 两盏路灯之间长度是38米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于12米的概率是多少？9、牛奶送达的时间是5点至7点，小明早饭的时间是6点至8点，求小明在早餐前喝到牛奶的概率。
10、甲、乙两人进行象棋比赛，甲每盘赢得胜利的概率是35，现在采取三盘二胜制，求甲最终获胜的概率。
【答案】1、4路公交汽车，每10分钟一班，在站台停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率（）A、101B、109C、1110D、111【解】【错误做法】公交车在站台停1分钟，在这一分钟内，乘客能乘上车，过了一分钟后，公交车开走，接下来的10分，站台内没有车，乘客无法乘上车。
总的时间是11分钟，能乘车的时间是1分钟。
由几何概型得，乘上车的概率=111故选D【正确做法】因为公交汽车，每10分钟一班，那么，上一辆车离开站台到下一辆车开进站台，他们的间隔是10分钟，车在站台停留的1分钟，已经包含在10分钟里面，所以无车等待时间是9分钟，关系图如下：总的时间是10分钟，能乘车的时间是1分钟。
由几何概型得，乘上车的概率=110故选A2、从区间（1,2）内任取两个数，则这两个数之和小于72）A、81B、87C、41D、43【解】设这两个数为x，y，根据题意，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+7＜y x 2＜y ＜12＜x ＜1通过作图知道，紫色部分的面积，就是两个数之和小于72而紫色部分的面积=正方形的面积-三角形的面积，S 正方形=1S 三角形=81S 紫色=1-81=87两个数之和小于72概率=87÷1=87故选B【经典结论】给定两个数的范围，求他们之和，或者他们之差的概率，方法：设这两个数为x 、y ，通过作图，求出满足要求的面积，面积之比就是概率。
3、取一根长度为5米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段绳子的长度都不小于2米的概率为（）A、1B、2C、3D、4【解】：设绳子一段的长度为x，则另一段为5-x 根据题意，两段都不小于2，有，⎩⎨⎧-2≥x 52≥x 即：⎩⎨⎧3≤x 2≥x 解得2≤x ≤3如图所示因为x 在2---3之间，它的长度=3-2=1整个长度=5，所以概率=51故选A【拓展题】取一根长度为6米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的绳子，（1）求两段都不大于4米的概率（2）一段大于2米，一段大于1米的概率为（）（3）一段不小于1米，另一段不大于4米的概率为（）【解】：（1）设绳子一段的长度为x，则另一段为6-x 根据题意，两段都不大于4，有，⎩⎨⎧-4≤x 64≤x 即：⎩⎨⎧2≥x 4≤x 解得2≤x ≤4如图所示因为x 在2---4之间，它的长度=4-2=2整个长度=6，所以概率=31故答案为31（2）设绳子一段的长度为x，则另一段为6-x 根据题意，一段大于2米，一段大于1米的概率，有，⎩⎨⎧-1≥x 62≥x 或⎩⎨⎧2≥x -61≥x 即⎩⎨⎧5≤x 2≥x 或⎩⎨⎧4≤x 1≥x 解得2≤x ≤5或1≤x ≤4如图所示因为x 在1---4之间，它的长度=4-1=3或x 在2---5之间，它的长度=5-2=3整个长度=6，所以概率=21故答案为21（3）设绳子一段的长度为x，则另一段为6-x根据题意，一段不小于1米，另一段不大于4米的概率为，有，⎩⎨⎧-≥4≤x 61x 即：⎩⎨⎧≥2≥x 1x x ≥2或者⎩⎨⎧≥-≤1x 64x 即：⎩⎨⎧≤≤5x 4x x ≤4解得x ≤2，或者x ≤4如图所示因为x 在2---6之间，它的长度=6-2=4，x 在0---4之间，它的长度=4-0=4整个长度=6，所以概率=32故答案为324、甲乙两人约定六点到七点见面，先到的人等后到的人十五分钟，时间过了就可以走了，问两人相见的概率（）A、1B、3C、7D、9解：并设甲到达的时间为x（这里指时刻，比如是6点09分），乙甲到达的时间为y。
甲、乙两人约定晚上6点至晚上7点在某处见面，则6＜x＜7,7＜y＜7------①先到的人等后到的人十五分钟，时间过了就可以走了，则有｜x-y｜＜15/60----②由①、②画出图形，阴影部分表示为两人见面。
【技巧】如果在上图中，进行计算阴影部分的面积，十分繁琐，技巧：（1）如果把x 轴向右移动6个单位、y 轴向上移动6个单位，即把坐标原点平移到点（6，6），注意：x 轴向右、y 轴向上，他们移动的单位一定要相等。
（2）两条斜线的不等式不变，这样计算就便捷多了。
S 红色=1-2×21×43×43=167两人见面的概率=167/1=167故选C【拓展题】甲、乙两人约定上午10点至上午10点30分在宾馆见面，并约定甲若早到应等乙15分钟时，时间过了就可以走了，乙若早到则不需等甲，直接离开．求甲、乙两人能见面的概率．解：设甲到达时间为x（这里指时刻，比如是10点12分），乙时间为y。
甲、乙两人约定上午10点至上午10点30分在宾馆见面，则10＜x＜10.5,10＜y＜10.5-----①若早到应等乙15分钟时，时间过了就可以走了，其实际意义是：甲到达的时刻x，要小于乙达到的时刻y，且不超过15分钟，y-x≤15/60，即y-x≤41-------------------------②乙若早到则不需等甲．其实际意义是：乙到达的时刻y，不能小于甲到达的时刻x，列不等式：y≥x 【这个式子很关键，很多学生不会建立这个式子】-------------------------③由①、②、③画出图形。
把x轴向右移动10个单位，y轴向上移动10个单位，即把坐标原点移到点（10，10），斜线的不等式不变，如下图紫色部分就是表示能见面S 紫色=21×21-（21×21×21+21×41×41）=323两人见面的概率=323/41=835、健身馆有一台跑步机，开放时间为晚上8：00-晚上12:00，甲在跑步机上锻炼1个小时，乙在跑步机上锻炼2小时，问甲、乙来到健身馆，谁也不用等候谁，就能上跑步机锻炼的概率。
A 、32B 、225C 、247D 、2613解：设甲到达健身馆的时间为x （这里指时刻，比如是8点25分），乙到达健身馆的时间为y ，有：8＜x＜12，8＜y＜12-----------------------------------------------------①甲、乙来到健身馆，谁也不要等候谁，其实际意义是：两人在健身馆不能碰面。
具体情况如图：两种情况①乙先到，根据上图，要想两人不碰面，甲到达的时刻x，要大于乙离开的时刻（y+2）列不等式：x＞y+2-------（2）②乙后到，根据上图，要想两人不碰面，甲到达的时刻x，要大于乙离开的时刻（y+2）列不等式：y＞x+1-------（3）由①、②、③画出图形阴影部分表示不用等待，即两人不碰面。
把x轴向右移动8个单位，y轴向上移动8个单位，即把坐标原点移到（8，8），斜线的不等式不变，如下图S 正方形=4×4=16S 阴影=21×2×2+21×3×3=213谁也不要等候谁的概率=213÷16=3213故选D6、某人投篮命中率为0.8，现独立投5次，求最多命中两次的概率（）解：因为命中率为0.8，没有命中的概率=1-0.8=0.2第一步：列举事件所包含的基本事件最多命中两次的基本事件={①5次都没有命中、②5次命中1次，③5次命中2次}第二步：每一个基本事件的概率①5次都没有命中具体情况：不-不-不-不-不5次都没有命中的概率=（0.2）5=0.00032-------------------------（1）②5次命中1次5次，只发生一次，即C15具体情形为：中*不中*不中*不中*不中即0.8*（0.2）4所以：5次命中1次概率=C1•0.8*（0.2）4=0.0064--------------（2）5③5次命中2次5次，有两次发生，即C25具体情形为：中*中*不中*不中*不中即（0.8）2*（0.2）3•（0.8）2*（0.2）3=0.0512----------（3）5次命中2次概率=C25第三步：所有基本事件的概率的总和综上所述：最多命中两次的概率=（1）+（2）+（3）=0.00032+0.0064+0.0512=0.057927、在1、2、3、4、5五个数字中，随机取出三个数，则剩下两个数字都是奇数的概率（）解：第一步：列举事件所包含的基本事件取三次，最后两次是奇数的基本事件={①第1次是偶数，第2次、第3次都是奇数，②第1次是奇数，第2次、第3次都是奇数}第二步：每一个基本事件的概率①第1次是偶数，第2次、第3次都是奇数2第1次取是偶数：总数是5，其中偶数有2个（分别是2、4），它的概率=5第2次取是奇数：原来总数是5，取走一个，总数还剩4，其中奇数有3个（第一次取走的是偶数，3所以奇数没有变，仍是1、3、5），它的概率=4第3次取是奇数：第2次取后，总数是4，再取走一个，总数还剩3，其中奇数有2个（第2次取走2一个奇数，奇数的数量由3变为2），它的概率=3这三次的概率=52×43×32=51-------------（1）②第1次是奇数、第2次、第3次都是奇数第1次取是奇数：总数是5，其中奇数有3个（分别是1、3、5），它的概率=53第2次取是奇数：原来总数是5，取走一个，总数还剩4，其中奇数有2个（第一次取走的是奇数，奇数的数量由3变为2），它的概率=42第3次取是奇数：第2次取后，总数是4，再取走一个，总数还剩3，其中奇数有1个（第2次取走一个奇数，奇数的数量由2变为1），它的概率=31这三次的概率=53×42×31=101-------------（2）第三步：所有基本事件的概率的总和综上所述：最多命中两次的概率=（1）+（2）=51+101=1038、A 、B 两盏路灯之间长度是38米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于12米的概率是多少？解：第一步，按照要求，移动点位。
高中真题概率题解析及答案
高中真题概率题解析及答案第一节：概率的基本概念与计算方法在高中数学中，概率是一个重要的概念，涉及到我们生活中的很多方面，例如赌博、投资、抽奖等等。
那么什么是概率呢？概率是一个事件发生的可能性，通常用0到1之间的一个数表示。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
计算概率的方法有很多种，常用的方法有两种：频率法和几何法。
频率法是通过大量实验来得出概率的估计值。
例如，我们研究一枚硬币正面向上的概率，可以多次投掷硬币，记录正面向上的次数和总次数，通过两者之间的比值来估计概率。
几何法主要用于计算有限样本空间的概率。
例如，我们考虑一个骰子的问题，它有六个面，每个面的出现概率相等。
那么我们可以通过计算每一个事件发生的次数除以总次数来得到概率。
第二节：概率的加法法则与乘法法则在概率的计算中，有两个重要的法则：加法法则和乘法法则。
加法法则用于计算两个事件同时发生的概率。
它的公式为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A)和P(B)表示事件A和事件B分别发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
乘法法则用于计算两个事件依次发生的概率。
它的公式为：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)。
其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
第三节：典型的概率问题及其解析接下来，我们来看一些典型的概率问题及其解析。
问题一：有一只装有4个白球和6个黑球的盒子，从中任取2个，求其中至少有一个白球的概率。
解析：假设事件A表示第一个球为白球，事件B表示第二个球为白球。
根据加法法则，我们可以计算出概率为：P(A∪B) = P(A) +P(B) - P(A∩B) = (4/10) + (4/10) - (4/10 × 3/9) = 37/90。
第10章概率专题1 互斥事件与对立事件及其概率-新教材高中数学必修(第二册)常考题型专题练习
互斥事件与对立事件及其概率的算法【知识总结】1、互斥事件：指A∩B为不可能事件；事件A与事件B互斥，即事件A与事件B不能同时发生；A∩B＝∅；P(A∪B)＝P(A)+P(B)。
2、对立事件：A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件；事件A与事件B对立，即事件A与事件B有且仅有一个发生；A∩B＝∅，A∪B= ；概率计算P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)。
3、事件A与事件B互斥，事件A与事件B不一定对立；反之，事件A与事件B对立，事件A与事件B则一定互斥。
【巩固练习】1、某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是（）A．恰有2名男生与恰有4名男生B．至少有3名男生与全是男生C．至少有1名男生与全是女生D．至少有1名男生与至少有1名女生【答案】C【解析】“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事件，排除A项；“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生，不是互斥事件，排除B项；“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，C项正确；“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不互斥，排除D项．故选：C.2、袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列各对事件中互为对立事件的是（）A．恰有1个白球和全是白球B．至少有1个白球和全是黑球C．至少有1个白球和至少有2个白球D．至少有1个白球和至少有1个黑球【答案】B【解析】从白球3个，黑球4个中任取3个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两黑和全是黑球，故①恰有1个白球和全是白球，是互斥事件，但不是对立事件，②至少有1个白球和全是黑球是对立事件；③至少有1个白球和至少有2个白球不是互斥事件，④至少有1个白球和至少有1个黑球不是互斥事件，故选：B．3、甲：1A、2A是互斥事件；乙：1A、2A是对立事件，那么（）A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分但不必要条件C．甲是乙的必要但不充分条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【答案】C【解析】当1A、2A是互斥事件时，1A、2A不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条件.当1A、2A是对立事件时，1A、2A一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件.所以甲是乙的必要非充分条件.故选C.4．学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件【答案】C【解析】由题意，1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌，因而这两个事件是互斥事件；又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌，故这两个事件不是对立事件，所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事件.故选：C5、从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．恰有一个红球与恰有二个红球D．至少有一个红球与至少有一个白球【答案】C【解析】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.6、从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】D【解析】记两个黑球为,A B，两个红球为1,2，则任取两球的所有等可能结果为：A AB B AB，记事件A为“至少有一个黑球”，事件B为：“都是红球”，1,2,1,2,,12,7、一个射手进行一次射击，则事件“命中环数小于6环”的对立事件是（）A．命中环数为7、8、9、10环B．命中环数为1、2、3、4、5、6环C．命中环数至少为6环D．命中环数至多为6环【答案】C【解析】根据对立事件的定义，可得一个射手进行一次射击，则事件：“命中环数小于6环”的对立事件是“命中环数至少是6环”，故选C.8、某人射击一次，设事件A：“击中环数小于4”；事件B：“击中环数大于4”；事件C：“击中环数不小于4”；事件D：“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是A．A和B为对立事件B．B和C为互斥事件C．C与D是对立事件D．B与D为互斥事件【答案】D【解析】由题意，A项中，事件“击中环数等于4环”可能发生，所以事件A和B为不是对立事件；B项中，事件B和C可能同时发生，所以事件B和C不是互斥事件；C项中，事件“击中环数等于0环”可能发生，所以事件C和D为不是对立事件；D项中，事件B：“击中环数大于4”与事件D：“击中环数大于0且小于4”，不可能同时发生，所以B与D为互斥事件，故选D.9、把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A．是对立事件B．是不可能事件C．是互斥但不对立事件D．不是互斥事件【答案】C【解析】显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.故选：C.10、一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶解析：选D事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况.由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥.11、从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③解析：选C “至少有一个是奇数”即“两个都是奇数或一奇一偶”，而从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，根据取到数的奇偶性知共有三种情况：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.故选C.12、对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一枚炮弹击中飞机}，D ＝{至少有一枚炮弹击中飞机}，其中互为互斥事件的是__________；互为对立事件的是__________．【答案】A 与B 、A 与C ，B 与C 、B 与D ；B 与D ．【解析】由于事件A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件；同理可得，A 与C ，B 与C 、B 与D 也是互斥事件．综上可得，A 与B 、A 与C ，B 与C 、B 与D 都是互斥事件．在上述互斥事件中，再根据B 、D 还满足B ∪D 为必然事件，故B 与D 是对立事件，故答案为A 与B 、A 与C ，B 与C 、B 与D ；B 与D ．13、记事件A ＝{某人射击一次，中靶}，且P （A ）＝0.92，则A 的对立事件是__________，它的概率值是__________．【答案】{某人射击一次，未中靶}，0.08．【解析】事件A ＝{某人射击一次，中靶}，则A 的对立事件是{某人射击一次，未中靶}；又P （A ）＝0.92，故答案为：{某人射击一次，未中靶}，0.08．14、如果事件A 与事件B 互斥，且()0.2P A =，()0.3P B =，则()P A B ＝．【答案】0.5【解析】()()0.20.3)0.5(P A P B P A B =+=+= 15、在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡解析：选A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.16、若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ∪B )＝0.7，则P (B )＝________.解析：∵A ，B 为互斥事件，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，∴P (B )＝P (A ∪B )－P (A )＝0.7－0.4＝0.3.答案：0.317、已知随机事件A 和B 互斥，且()0.5P AUB =,()0.3P B =.则()P A =（）A．0.5B．0.2C．0.7D．0.8【解析】（1）A 与B 互斥()()()P A B P A P B ∴=+本题正确选项：D18、已知随机事件,,A B C 中，A 与B 互斥，B 与C 对立，且()()0.3,0.6P A P C ==，则()P A B +=（）A．0.3B．0.6C．0.7D．0.9【答案】C 【解析】因为()0.6P C =，事件B 与C 对立，所以()0.4P B =，又()0.3P A =，A 与B 互斥，所以()()()0.30.40.7P A B P A P B +=+=+=，故选C .19、设事件A ，B ，已知()15P A =，()13P B =，()815P A B = ，则A ，B 之间的关系一定为()A．两个任意事件B．互斥事件C．非互斥事件D．对立事件【答案】B()()()P A B P A P B ∴=+ A ∴．B 为互相斥事件故选：B ．20、若随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且分别为()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是（）A．5,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C．53,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】 随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且分别为()2P A a =-，()45P B a =-，∴0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩，即021*******a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-⎩，故选：D ．21、若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y，则x ＋y 的最小值为________.＝9，当且仅当x ＝2y 时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.答案：922、一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为715，取得两个绿玻璃球的概率为115，则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________.解析：由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件，取得两个同色玻璃由于事件A “至少取得一个红玻璃球”与事件B “取得两个绿玻璃球”是对立事件，则。
高中数学第十章概率知识总结及测试(必修第二册)(教师版含解析)
第十章知识总结及测试思维导图一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1．(2021·全国高一课时练习)抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数为1或4”，事件B 为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是( ) A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立C ．()23P A B += D ．()56P A B +=【答案】C【解析】A 与B 不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立， 事件A B +表示向上点数为1,3,4,5之一，∴42()63P A B +==．故选：C ． 2．(2021·全国高一课时练习)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为( )． A ．112B ．16C ．14 D ．13【答案】B【解析】设齐王的三匹马分别为123,,a a a ，田忌的三匹马分别为123,,b b b ，所有比赛的情况:：11()a b ,、22(,)a b 、33(,)a b ，齐王获胜三局； 11()a b ,、23(,)a b 、32(,)a b ，齐王获胜两局；12(,)a b 、21(,)a b 、33(,)a b ，齐王获胜两局； 12(,)a b 、23(,)a b 、31(,)a b ，齐王获胜两局；13(,)a b 、21(,)a b 、32(,)a b ，田忌获胜两局；13(,)a b 、22(,)a b 、31(,)a b ，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为16P =故选：B3．(2020·全国高一课时练习)已知消费者购买家用小电器有两种方式：网上购买和实体店购买．经工商局抽样调查发现，网上家用小电器合格率约为45，而实体店里家用小电器的合格率约为910，工商局12315电单元测试话接到关于家用小电器不合格的投诉，统计得知，被投诉的是在网上购买的概率约为75%．那么估计在网上购买家用小电器的人约占( ) A ．35B ．25C ．47D ．37【答案】A【解析】设在网上购买的人数占比为x ，实体店购买的人数占比为1x -， 由题意可得，网上购买的合格率为45， 则网上购买被投诉的人数占比为5x ，实体店里购买的被投诉的人数占比为1(1)10x -，所以3514(1)510xP x x ==+-，解得35x =. 故选：A ．4．(2021·全国高一课时练习)将一枚质地均匀的正方体骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则ln ln 0a b -≥的概率是( )A ．1936B ．512C ．712D ．12【答案】C【解析】以(),a b 作为一个基本事件，可知基本事件总数为36， 由ln ln 0a b -≥可得，即0a b ≥>，满足不等式ln ln 0a b -≥所包含的基本事件有：()1,1、()2,1、()2,2、()3,1、()3,2、()3,3、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、()5,1、()5,2、()5,3、()5,4、()5,5、()6,1、()6,2、()6,3、()6,4、()6,5、()6,6，共21个，因此，所求事件的概率为2173612P ==. 故选：C.5．(2020·全国高三专题练习)下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M ：“两次出现正面”，事件N ：“只有一次出现反面”，则事件M 与N 互为对立事件；②若事件A 与B 互为对立事件，则事件A 与B 为互斥事件；③若事件A 与B 为互斥事件，则事件A 与B 互为对立事件；④若事件A 与B 互为对立事件，则事件A ∪B 为必然事件，其中，真命题是( )A．①②④B．②④C．③④D．①②【答案】B【解析】对①，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错；对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；对④，事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故④正确．故选：B.6．(2021·全国高一课时练习)下列事件属于古典概型的是( )A．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件B．篮球运动员投篮，观察他是否投中C．测量一杯水分子的个数D．在4个完全相同的小球中任取1个【答案】D【解析】判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.A选项，任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和对应的概率不全相等，如点数之和为2与点数之和为3发生的可能性显然不相等，不属于古典概型，故A排除；B选项，“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等，不属于古典概型，故B排除；C选项，杯中水分子有无数多个，不属于古典概率，故C排除；D选项，在4个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且包含的基本事件共有4个，符合古典概型，故D正确.故选：D.7．(2021·全国高一课时练习)从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是( )A．所取的3个球中至少有一个白球B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C．所取的3个球都是黑球D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球【答案】B【解析】将事件的结果分为三类：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑.事件A 包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根据互斥事件的定义可知， 只有事件“所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件A 互斥． 故选：B ．8．(2021·全国高一课时练习)从数字1,2,3,4中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被6整除的概率为( ) A ．12B ．15C ．14D ．25【答案】C【解析】从数字1,2,3,4中任取三个不同的数字，方法有：123,124,134,234++++++++共4种， 其中所抽取的三个数字之和能被6整除的有：1236++=共1种， 故所求概率为14.故选：C 二、多选题(每题不止有一个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分，4题共20分)9．(2020·全国高一课时练习)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ，则下列结论中正确的是( ) A ．1234P P P P === B ．312P P = C ．12341P P P P +++=D ．423P P =【答案】CD【解析】由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ，根据独立重复试验的概率计算公式， 可得：3322121233431111113113(),(),()(1),(1)2828228228P P P C P C =====-==⋅-=， 由1234P P P P =<=，故A 是错误的； 由313P P =，故B 是错误的；由12341P P P P +++=，故C 是正确的； 由423P P =，故D 是正确的. 故选：CD10．(2021·全国高一课时练习)甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是( ) A ．()()()P A P B P C ==B ．()()()P BC P AC P AB ==C ．1()8P ABC = D ．1()()()8P A P B P C ⋅⋅=【答案】ABD【解析】由已知22221()44442P A =⨯+⨯=，21()()42P B P C ===， 由已知有1()()()4P AB P A P B ==，1()4P AC =，1()4P BC =， 所以()()()P A P B P C ==，则A 正确；()()()P BC P AC P AB ==，则B 正确；事件A 、B 、C 不相互独立，故1()8P ABC =错误，即C 错误 1()()()8P A P B P C ⋅⋅=，则D 正确；综上可知正确的为ABD. 故选:ABD ．11．(2021·全国高一课时练习)给出下列四个命题,其中正确的命题有( ) A ．做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正直朝上的概率是51100B ．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率C ．抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950D ．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率 【答案】CD【解析】对于A,混淆了频率与概率的区别,故A 错误; 对于B,混淆了频率与概率的区别,故B 错误;对于C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950,符合频率定义,故C 正确; 对于D,频率是概率的估计值,故D 正确.故选:CD.12．(2020·全国高一课时练习)从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是( )A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球” 【答案】AB【解析】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A 正确；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B 正确； “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C 不正确； “至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D 不正确. 故选：AB.三、填空题(每题5分，共4题20分)13．(2021·全国高一课时练习)现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________． 【答案】34【解析】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15， 所以射击4次至少击中3次的概率为153204=. 故答案为：3414．(2020·全国高一课时练习)口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A =“取出的两球同色”，B =“取出的2球中至少有一个黄球”，C =“取出的2球至少有一个白球”，D “取出的两球不同色”，E =“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________. ①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件：④()1P CE =；⑤()()P B P C =.【答案】①④ 【解析】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件A = “取出的两球同色”， B = “取出的2球中至少有一个黄球”， C = “取出的2球至少有一个白球”， D “取出的两球不同色”， E = “取出的2球中至多有一个白球”，①，由对立事件定义得A 与D 为对立事件，故①正确；②，B 与C 有可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件，故②错误； ③，C 与E 有可能同时发生，不是对立事件，故③错误； ④，P (C)631=155=-，P (E)1415=，8()15P CE =， 从而()P CE P =(C)P +(E)()1P CE -=，故④正确；⑤，C B ≠，从而P (B)P ≠(C)，故⑤错误． 故答案为：①④．15．(2021·全国高一课时练习)某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下： 医生人数 0 1 2 3 4 5人及以上 概率0.10.160.30.20.20.04则至少派出医生2人的概率是________. 【答案】0.74【解析】由题意可知，事件“至少派出医生2人”包含“派出的医生数是2、3、4、5人及以上”，这几个事件是互斥的，概率之和为0.30.20.20.040.74+++=，故至少派出医生2人的概率是0.74. 故答案为：0.74.16．(2021·全国高三专题练习)抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，则下列说法正确的序号是_____． ①若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件； ②若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件； ③这枚骰子质地一定不均匀． 【答案】②【解析】根据题意，抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，若这枚骰子质地均匀，这种结果可能出现，但是一个小概率事件；故①③错误，②正确；故答案为：② 四、解答题(17一10分，其余每题12分，共70分)17．(2020·胶州市教育局高一期末)有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00ppm(即百万分之一)时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值(单位：ppm)，数据统计如下：0.07 0.24 0.39 0.54 0.61 0.66 0.73 0.82 0.82 0.820.87 0.91 0.95 0.98 0.98 1.02 1.02 1.08 1.14 1.201.20 1.26 1.29 1.31 1.37 1.40 1.44 1.581.62 1.68(1)求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的80%分位数；(2)有A，B两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼.(ⅰ)将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A水池和B水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有13的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；(ⅱ)将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A水池进入B水池且不再游回A水池，求这两条鱼由不同小孔进入B水池的概率.【答案】(1)中位数为1；众数为0.82；极差为1.61；估计这批鱼该项数据的80百分位数约为1.34；(2)(ⅰ)4 9；(ⅱ)910.【解析】(1)由题意知，数据的中位数为0.98 1.0212+=数据的众数为0.82数据的极差为1.680.07 1.61-=估计这批鱼该项数据的80百分位数约为1.31 1.371.342+=(2)(ⅰ)记“两鱼最终均在A水池”为事件A，则212 ()339 P A=⨯=记“两鱼最终均在B水池”为事件B，则212 ()339 P B=⨯=∵事件A与事件B互斥，∴两条鱼最终在同一水池的概率为224 ()()()999 P A B P A P B=+=+=(ⅱ)记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件1C ，“两鱼同时从第二个小孔通过”为 事件2C ，依次类推；而两鱼的游动独立∴12111()()1010100P C P C ===⨯= 记“两条鱼由不同小孔进入B 水池”为事件C ，则C 与1210...C C C 对立，又由事件1C ，事件2C ，10C 互斥∴121011()(...)1010010P C P C C C ==⨯= 即12109()1(...)10P C P C C C =-=18．(2020·全国高一单元测试)某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲､乙､丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲､丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙､丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响. (1)求乙､丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲､乙､丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 【答案】(1)乙：38；丙：23；(2)2132 .【解析】(1)记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A 、B 、C ，则()34P A =，且有1()?()121()()4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1[1()][1()]121()()4P A P C P B P C ⎧--=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得()38P B =， ()23P C =．(2)有0个家庭回答正确的概率为()()()()0151548396P P ABC P A P B P C ===⨯⨯=有1个家庭回答正确的概率为()()()()()()()()()()1P P ABC ABC ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++=++351131152748348348324=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为01572111962432P P P =--=--= 19．(2020·全国高一单元测试)A ，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A 有效的白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12. (1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.【答案】(1)49；(2)604729. 【解析】(1)设i A 表示事件:一个试验组中，服用A 有效的小鼠有i 只，0i =，1，2，i B 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小鼠有i 只“，0i =，1，2，依题意有：1124()2339P A =⨯⨯=，2224()339P A =⨯=．0111()224P B =⨯=， 1111()2222P B =⨯⨯=，所求概率为： 010212()()()P P B A P B A P B A =++14141444949299=⨯+⨯+⨯= (2)依题意这3个试验组中至少有一个甲类组的对立事件为这3个试验组中没有一个甲类组的.所以概率34604119729P ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭； 20．(2021·全国高一课时练习)某网上电子商城销售甲､乙两种品牌的固态硬盘，甲､乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年，现从该商城已售出的甲､乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个，统计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期内的数据如下：型号 甲 乙首次出现故障的时间x (年)01x < 12x < 23x < 01x < 12x < 23x < 硬盘数(个) 2 1 2 1 2 3假设甲､乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立.(1)从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)某人在该商城同时购买了甲､乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年(即23x <≤)的概率.【答案】(1)110；(2)1191250【解析】(1)在图表中，甲品牌的50个样本中，首次出现故障发生在保修期内的概率为：21215010++=， 设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期内为事件A ，利用频率估计概率，得()110P A =， 即从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个， 其首次出现故障发生在保修期内的概率为：110； (2)设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件B ，从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件C ，利用频率估计概率，得：()()213,502550P B P C ===， 则()P BC BC + ()()()()P B P C P B P C =+()()()()11P B P C P B P C =-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦13131125502550⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1191250= ,∴某人在该商城同时购买了甲､乙两种品牌的固态硬盘各一个，恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年的概率为：1191250. 5．(2020·全国高一单元测试)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量(,)a m n =，(1,3)b =-.(1)求使得事件“a b ⊥”发生的概率；(2)求使得事件“a b ≤”发生的概率.【答案】(1)118 ；(2)16. 【解析】(1)由题意知，{1,2,3,4,5,6}m ∈、{1,2,3,4,5,6}n ∈，故(m ，n )所有可能的取法共36种. 当a b ⊥时，得m -3n =0，即m =3n ，满足条件共有2种：(3，1)，(6，2)，所以事件a b ⊥的概率213618P ==. (2)当a b ≤时，可得m 2+n 2≤10，共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)6种情况， 其概率61366P ==. 22．(2021·全国高一课时练习)一个口袋内装有形状､大小相同，编号为1，2，3的3个白球和编号为a 的1个黑球.(1)从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率；(2)从中连续取两次，每次取一球后放回，甲､乙约定：若取出的两个球中至少有1个黑球，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.【答案】(1)12；(2)不公平，理由见详解. 【解析】(1)从袋中一次性摸出2个球，所包含的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,)a ，(2,3)，(2,)a ，(3,)a ，共6个基本事件；摸出的2个球都是白球，所包含的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个基本事件；则从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率为3162P ==； (2)从袋中连续取两次，每次取一球后放回，则所包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,)a ，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,)a ，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,)a ，(,1)a ，(,2)a ，(,3)a ，(,)a a ，共16个基本事件； 则取出的两个球中至少有1个黑球，所包含的基本事件有：(1,)a ，(2,)a ，(3,)a ，(,1)a ，(,2)a ，(,3)a ，(,)a a ，共7个基本事件；因此取出的两个球中至少有1个黑球的概率为716P =，即甲胜的概率为716，则乙胜的概率为971616>，所以此游戏不公平.。
人教版高中数学必修第二册第五单元《概率》测试(答案解析)(2)
一、选择题1．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A ．12B ．512C ．14D ．162．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．563．甲､乙､丙､丁四位同学站成一排照相,则甲.乙两人中至少有一人站在两端的概率为（ ） A ．56B ．12C ．13 D ．234．“在线学习”是中小学生疫情防控期间的主要学习手段之一.某市有15万名中小学生，为了解中小学生的在线学习情况，市教育主管部门在全市范围内随机调查了5000名中小学生平均每人每天的在线学习时间x （单位：小时），并按2小时以内和2小时以上（含2小时）两个区间段分组统计学生人数.如图所示的程序框图是统计学生在线学习时间在某个区间段人数的一个算法流程图，其输出的结果为2000.用频率估计概率，则该市中小学生平均每人每天在线学习时间在2小时以内的人数估计为（ ）A ．3万B ．6万C ．9万D ．12万5．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为111,,236，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白，但没有黄的概率为（ ）A ．536B ．56C ．512D ．126．将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则关于,x y 方程组228040ax by x y +-=⎧⎨+-=⎩，有实数解的概率为（ ）A ．29B ．79C ．736D ．9367．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（ ） A ．0.7B ．0.5C ．0.3D ．0.68．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数为1或4”，事件B 为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立C ．()23P A B +=D ．()56P A B +=9．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．2310．某班有50名学生，其中有45名学生喜欢乒乓球或羽毛球，32名学生喜欢乒乓球，26名学生喜欢羽毛球，则该班既喜欢乒乓球又喜欢羽毛球的学生数占该班学生总数的比例是（ ） A ．38%B ．26%C ．19%D ．15%11．六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．1412．在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率是( ) A ．335B ．338C ．217D ．以上都不正确13．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼•春官•大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、土、革、丝、木”任取“两音”，则“两音”同为打击乐器的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．27二、解答题14．2021年起，辽宁省将实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A 、B 、C 、D 、E 共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A 等级排名占比15%，赋分分数区间是86-100；B 等级排名占比35%，赋分分数区间是71-85；C 等级排名占比35%，赋分分数区间是56-70；D 等级排名占比13%，赋分分数区间是41-55；E 等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a的值；（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上(含C等级)？（结果保留整数）（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50)和[50，60)内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在[40，50)内的概率.15．在新冠肺炎疫情期间，为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作.为了解学生居家自主学习的情况，从某校高二年级随机抽取了100名学生，0,1,1,2,2,3，获得了他们一天中用于居家自主学习的时间分别在[)[)[)[)[)[),,（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布677,83,4,4,5,5,6，[)[]直方图（如图）.（1）由图中数据，求a的值，并估计从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习的时间在[)3,4的概率；（2）现从抽取的100名学生该天居家自主学习的时间在[)0,1和[)1,2的人中任选2人，进一步了解学生的具体情况，求其中学习时间在[)0,1中至少有1人的概率；（3）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数.16．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查. 已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人. 下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间(单位：h )的频率分布表.（2）求频率分布表中实数,,x y z 的值（3）已知日睡眠时间在区间[6,6.5)内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率.17．有四个编有1､2､3､4的四个不同的盒子，有编有1､2､3､4的四个不同的小球，现把四个小球逐个随机放入四个盒子里.（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？ （2）在（1）的条件下求恰有一个盒子没放球的概率？（3）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 18．随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用越来越多，每年春暖以后至寒冬前，昆虫大量活动与繁殖，易于采集各种药用昆虫，已知某种药用昆虫的产卵数y （单位：个）与一定范围内的温度x （单位：°C ）有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表： 日期 2日 7日 15日 22日 30日 温度x 10 11 13 12 8 产卵数y2325302616m ，n ，求事件“m ，n 均不小于26”的概率；（2）科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立y 关于x 的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验；①若选取的是3月2日和30日这两组数据，请根据7日、15日、22日这3组数据求出y 关于x 的线性回归方程；②若由线性回归方程得到的估计产卵数与所选出的检验数据的误差不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的．按照此标准①中得到的线性回归方程是否可靠？说明理由．参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 19．2020年初，一场突如其来的疫情打乱了人们的生活节奏，也改变了很多人的消费方式，某集团在各地区共有20家商品销售门店，为应对疫情，确保公司商品销售营业额，集团决定在所有门店重点推行线上销售模式，经过半年的努力，公司统计了所有门店在1月~6月的商品销售营业额，发现营业额均分布在600万元~1100万元之间，其频率分布直方图如图.（Ⅰ）估计集团20家门店在上半年的平均营业额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）为帮助营业额落后的门店，集团决定在营业额超过900万元的门店中抽取若干家对销售额不超过700万元的门店实施一对一帮扶，规定销售额超过1000万元的门店必须参与，若甲门店上半年的销售额为950万元，求甲门店被选中的概率.20．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱. （1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？21．某企业员工x 人参加“抗疫”宣传活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）上表是年龄的频数分布表，结合此表与频率分布直方图，求正整数x ，a ，b 的值；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，根据频率分布直方图估计该企业员工的平均年龄；（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，并且在第3组抽的人（其中一人叫甲）中再选出两人做演讲活动，求甲被选中的概率.22．某电子产品厂商新推出一款产品，邀请了男女各1000名消费者进行试用，并评分（满分为5分），得到了评分的频数分布表如下： 男性： 评分结果 [)0,1 [)1,2 [)2,3 [)3,4 []4,5频数50200350300100女性：评分结果 [)0,1 [)1,2 [)2,3 [)3,4 []4,5频数250300150100200（1）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图分别比较男女消费者评分的中位数的相对大小，以及方差的相对大小（其中方差的相对大小给出判断即可，不必说明理由）；（2）现从男女各1000名消费者中，分别按评分运用分层抽样的方法各自抽出20人放在一起，在抽出的40人中，从评分不小于4分的人中任取2人，求这2人性别恰好不同的概率.23．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图如图所示：（1）求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率.24．某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．（1）求这个样本数据的中位数和众数；（2）从样本数据用时不超过50分钟的工人中随机抽取2个，求至少有一个工人是优秀员工的概率．25．从4名男生和2名女生中任选2人参加抗疫志愿服务活动.（1）设X 表示所选2人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（2）已知选出了A ，B 这两人参加此次服务活动，A 的服务满意率为0.87，B 的服务满意率为0.91，用“Y A ＝1，Y B ＝1，”分别表示对A ，B 的服务满意，“Y A ＝0，Y B ＝0，”分别表示对A ，B 的服务不满意，写出方差D （Y A ），D （Y B ）的大小关系.（只需写出结论） 26．某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[]45,50，得到的频率分布直方图如图所示. 区间 [)25,30 [)30,35 [)35,40 [)40,45 []45,50人数5050a150b（1）上表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率.参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，则P(A)=P(A1)+P(A2)=23×14+13×34=512故选B.2．A解析：A【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.【详解】由表知空气质量为优的概率是1 10，由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111 632 +=，所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P=+=，故选：A【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.3．A解析：A【分析】本题先求基本事件总数，再求要求事件是基本事件个数，最后根据古典概型解题即可.【详解】∵甲､乙､丙､丁四位同学站成一排照相，基本事件总数4424n A==，甲､乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数42242220m A A A =-=∴甲,乙两人中至少有一人站在两端的概率为：205246mPn===..故选：A.【点睛】本题考查古典概型，是简单题.4．C解析：C【分析】根据程序框图，可知输出的S 是5000名中小学生样本中平均每人每天在线学习时间在2小时以上（含2小时）的人数，可知样本中在线学习时间在2小时以内的学生人数为3000，即可求出在线学习时间在2小时以内人数的频率，进而可求出答案.【详解】根据程序框图，输出的S 是5000名中小学生样本中平均每人每天在线学习时间在2小时以上（含2小时）的人数，结果为2000，故样本中在线学习时间在2小时以内的学生人数为3000，因此在线学习时间在2小时以内人数的频率为30000.65000=， 用频率估计概率，该市15万名中小学生平均每人每天在线学习时间在2小时以内的人数大约为150.69⨯=万.故选：C.【点睛】本题以现实生活为背景，考查程序框图及数学建模能力，考查概率的理解，属于基础题. 5．C解析：C【分析】概率等于没有黄球的概率减去只有白球或只有红球的概率，计算到答案.【详解】根据题意：概率等于没有黄球的概率减去只有白球或只有红球的概率. 即3331115162312p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.6．B解析：B【分析】利用圆心到直线的距离不大于半径可得,a b 的不等式关系，从而得到方程组有解的(),a b 个数，利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】因为方程组228040ax by x y +-=⎧⎨+-=⎩有解，故直线80ax by +-=与圆224x y +=有公共点，2≤即2216a b +≥， 当1a =时，4,5,6b =，有3种情形；当2a =时，4,5,6b =，有3种情形；当3a =时，3,4,5,6b =，有4种情形；当4,5,6a =时，1,2,3,4,5,6b =，有18种情形；故方程有解有28种情形，而(),a b 共有36种不同的情形，故所求的概率为287369=. 故选：B.【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）. 7．A解析：A【分析】设摸出红球的概率为()P A ，摸出黄球的概率是()P B ，摸出白球的概率为(C)P ，求出()P B 、(C)P 的值，相加即可求解．【详解】设摸出红球的概率为()P A ，摸出黄球的概率是()P B ，摸出白球的概率为(C)P ， 所以()()0.4,()()0.9P A P B P A P C +=+=，且()()()1P A P B P C ++=，所以()1()()0.6P C P A P B =--=，()1()()0.1P B P A P C =--=，所以()()0.7P B P C +=【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率加法公式的应用，其中解答中熟记互斥事件的概率加法公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．C解析：C【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．求出事件A B +，然后计算概率．【详解】A 与B 不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立，事件A B +表示向上点数为1,3,4,5之一，∴42()63P A B +==． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件和对立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和对立事件的定义是解题关键．判断互斥事件，就看在一次试验中两个事件能不能同时发生，只有互斥事件才可能是对立事件，如果一次试验中两个事件不能同时发生，但非此即彼，即必有一个发生，则它们为对立事件．而不互斥的事件的概率不能用概率相加，本题()()()P A B P A P B +≠+．9．C解析：C【分析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】设三位同学分别为,,A B C ，他们的学号分别为1,2,3，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如()1,3,2表示A 同学拿到1号，B 同学拿到3号，C 同学拿到2号.三人可能拿到的卡片结果为：()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1，共6种，其中满足题意的结果有()()()1,3,2,2,1,3,3,2,1，共3种， 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：3162p ==. 故选：C.【点睛】方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 10．B解析：B【分析】记“喜欢乒乓球“为事件A ，“喜欢羽毛球”为事件B ，则“喜欢乒乓球或羽毛球”为事件A B +，“既喜欢乒乓球又喜欢羽毛球”为事件A B ⋅，根据题意求出()P A 、()P B 、()P A B +，再根据()()()()P A B P A P B P A B ⋅=+-+可求得结果.【详解】记“喜欢乒乓球“为事件A ，“喜欢羽毛球”为事件B ，则“喜欢乒乓球或羽毛球”为事件A B +，“既喜欢乒乓球又喜欢羽毛球”为事件A B ⋅， 依题意可知3216()5025P A ==，2613()5025P B ==，459()5010P A B +==， 因为()()()()P A B P A P B P A B +=+-⋅，所以()()()()P A B P A P B P A B ⋅=+-+16139252510=+-2626%100==.【点睛】关键点点睛：利用和事件与积事件的概率关系求解是解题关键.11．C解析：C【分析】根据题意，结合排列组合，利用插空法和特殊位置法，先排丙，再插甲乙，即可得解.【详解】丙排第一，除甲乙外还有3人，共33A 种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得24A ，此时共有3234=612=72A A ⋅⨯种可能； 丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有1424C A 排法，甲和乙不排在第一位，则剩下3人有1人排在第一位，则有122323C A A 种排法，此时故共有1412224323+=84C A C A A 种排法. 故概率6672841360P A +==. 故选：C.【点睛】本题考查了排列组合，考查了插空法和特殊位置法，在解题过程中注意各种情况的不重不漏，有一定的计算量，属于较难题. 12．A解析：A【解析】设事件A 表示“抽到的两张都是假钞”，事件B 表示“抽到的两张至少有一张假钞”， 则所求的概率即P(A|B).又()()()211244164222020,C C C C P AB P A P B C C +===， 由公式()()()24211441663|641635P AB C P A B P B C C C ====++⨯. 本题选择A 选项. 点睛：条件概率的求解方法：(1)利用定义，求P (A )和P (AB )，则()()(|)n AB P B A n A =.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得()()(|)n AB P B A n A =.13．B【分析】由条件列举从“金、石、土、革、丝、木”中任取“两音”的所有基本事件的个数，再计算“两音”同为打击乐器所包含的所有基本事件个数，最后求其概率.【详解】从“金、石、土、革、丝、木”中任取“两音”，组成的基本事件包含：{金、石}，{金、土}，{金、革}，{金、丝}，{金、木}，{石、土}，{石、革}，{石、丝}，{石、木}，{土、革}，{土、丝}，{土、木}，{革、丝}，{革、木}，{丝、木}，共15种情况，其中“两音”同为打击乐器的有{金、石}，{金、革}，{金、木}，{石、革}，{石、木}，{革、木}，共包含6种情况，则“两音”同为打击乐器的概率62155P ==. 故选：B【点睛】本题考查数学文化与古典概型相结合的考查，重点考查读懂题意，属于基础题型. 二、解答题14．（1）a =0.030；（2）54分；（3）35. 【分析】（1）由各组频率和为1列方程即可得解；（2）由频率分布直方图结合等级达到C 及以上所占排名等级占比列方程即可的解； （3）列出所有基本事件及满足要求的基本事件，由古典概型概率公式即可得解.【详解】（1）由题意，(0.010+0.015+0.015+a +0.025+0.005)⨯10=1，所以a =0.030；（2）由已知等级达到C 及以上所占排名等级占比为15%+35%+35%=85%，假设原始分不少于x 分可以达到赋分后的C 等级及以上，易得5060x <<，则有(0.005+0.025+0.030+0.015)⨯10+(60-x )⨯0.015=0.85， 解得x ≈53.33(分)，所以原始分不少于54分才能达到赋分后的C 等级及以上；（3）由题知得分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，得分在[40,50)内的有2人，得分在[50,60)的有3人记得分在[50,60)内的3位学生为a ，b ，c ，得分在[40,50)内的2位学生为D ，E ， 则从5人中任选2人，样本空间可记为Ω={ab ，ac ，aD ，aE ，bc ，bD ，bE ，cD ，cE ，DE },共包含10个样本用A 表示“这2人中恰有一人得分在[40,50)内”，则A ={aD ，aE ，bD ，bE ，cD ，cE }，A 包含6个样本，故所求概率()610P A =35=. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对频率分布直方图的准确把握，在使用列举法解决古典概型的问题时，要注意不遗漏不重复.15．（1）0.1a =；0.1；（2）710；（3）5.38小时. 【分析】（1）由频率之和等于1求出a 的值，这名学生该天居家自主学习的时间在[)3,4的概率； （2）由频率分布直方图可知自主学习时间在[)0,1和[)1,2的人分别有2人和3人，设在[)0,1的2人分别为,a b ，在[)1,2的3人分别,,A B C ，利用列举法结合古典概型的概率公式得出概率；（3）由频率分布直方图中的数据，求解平均数即可.【详解】解：（1）因为(0.02+0.03+0.05+0.1520.20.3)11a +⨯++⨯=，所以0.1a =. 由图可得：随机抽取的100名学生中居家自主学习时间该天在[)3,4的频率为0.110.1⨯= 所以从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习时间在[)3,4的概率为0.1.（2）设“抽取的2人其中学习时间在[)0,1中至少有1人”为事件A由图中数据可知：该天居家自主学习时间在[)0,1和[)1,2的人分别有2人和3人. 设在[)0,1的2人分别为,a b ，在[)1,2的3人分别,,A B C则从这5人中任选2人的样本空间{}ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC =， 共有10个，样本点事件A {}ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC =，共有7个样本点()710P A = 所以学习时间在[)0,1中至少有1人的概率为710 （3）样本平均数： ()0.50.02 1.50.03 2.50.05 3.50.1 4.57.50.15 5.50.2 6.50.3x =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯5.38=.样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数为5.38小时.【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是利用频率之和等于1求出a 的值，在第二问中主要是利用列举法求解概率.16．（1）600人；（2）8；0.16；10；（3）35. 【分析】（1）利用样本中高二年级人数与高二年级总人数之比=样本中高一年级、高二年级人数之和与高一、高二年级总人数之和之比求解；（2）先根据频率分布表求出z 的值，再根据高二年级学生样本人数计算出x ，从而得到其频率y 的值；（3）记5名高二学生中女生为1a ，2a ，男生为123,,b b b ，先列出从这5名高二学生中任选3人进行面谈的所有可能情况，以及恰好有两男一女的情况数，然后根据古典概率模型概率的计算公式求解.【详解】解：（1）设该校高二学生的总数为n ，由题意5015050660540n -=+，解得=600n ，所以该校高二学生总数为600人.（2）由题意0.2050z =，解得10z =， 50(57128)8x z =-++++=，0.1650x y ==. （3）记“选中的3人恰好为两男一女”为事件A ，记5名高二学生中女生为1a ，2a ，男生为1b ，2b ，3b ，从中任选3人有以下情况： 121,,a a b ；122,,a a b ；123,,a a b ；112,,a b b ；113,,a b b ；123,,a b b ；212,,a b b ；213,,a b b ；223,,a b b ；123,,b b b ，共10种情况，基本事件共有10个，它们是等可能的，事件A 包含的基本事件有6个，分别为：112,,a b b ；113,,a b b ；123,,a b b ；212,,a b b ；213,,a b b ；223,,a b b ， 故63()105P A ==，所以选中的3人恰好为两男一女的概率为35. 【点睛】（1）解决分层抽样问题时，常用的公式有： ①n N =样本容量该层抽取的个体数总体个数该层个体数； ②总体中某两层的个数比等于样本中这两层抽取的个体数之比；（2）求解古典概率模型时，基本步骤如下：①利用列举法、列表法、树状图等方法求出基本事件总数n ；②求出事件A 所包含的基本事件个数m ；③代入公式m P n=，求出概率值. 17．（1）256种；（2）916；（3）23种. 【分析】（1）用分步乘法计数原理计算，考虑每个球的放法可得；（2）选取2球放在一起作为一个球，共3个球放到3个盒子中，用排列求得放法后由古典概型概率公式可计算出概率；（3）4个球的全排列数减去编号全相同的排法1即可得．【详解】（1）每个球都有4种方法，故有4444256⨯⨯⨯=种（2）从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有2344144C A =种不同的放法.概率为：144925616= （3）每个盒子不空，共有4424A =，24123-=种．【点睛】关键点点睛：本题考查计数原理，古典概型，排列的应用．难点是事件“4个盒子中恰有一个盒子没放球”，解题关键是确定完成这件事的方法，4个球放到3个盒子中，其中有一个盒子中必有2个球，由此可选取2个球放在一起作为一个球，4个球看作3个球放入4个盒子中的3个中，用排列知识可求解．18．（1）110；（2）①532y x ∧=-；②可靠，理由见解析. 【分析】（1）根据题意写出所有的基本事件，即可求解：“不小于26”的概率；（2）①由题意求出x ，y ，代入公式求值，从而得到回归直线方程；②分别将x 的值代入，检验数据的误差均是否不超过2个，即可判断．【详解】（1）依题意得，m 、n 的所有情况有：{}23,25、{}23,30、{}23,26、{}23,16、{}25,30、{}25,26、{}25,16、{}30,26、{}30,16、{}26,16共有10个；则“m 、n 均不小于26”的事件只有{}30,26，所以110P =，即事件“m 、n 均不小于26”的概率为110； （2）①由数据得111312123x ++==，253026273y ++==， ()322221(1112)(1312)(1212)2i i x x =-=-+-+-=∑， ()()31(1112)(2527)(1312)(3027)05iii x x y y =--=--+--+=∑， ()()()31321522i i i ii x x y y b x x ∧==--==-=∑∑，552712322a y x ∧=-=-⨯=-. 所以y 关于x 的线性回归方程为532y x ∧=-. ②可靠；。
人教版高中数学必修第二册第五单元《概率》测试(有答案解析)(2)
一、选择题1．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A ．12B ．512C ．14D ．163．袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列各对事件中互为对立事件的是（ ）A ．恰有1个白球和全是白球B ．至少有1个白球和全是黑球C ．至少有1个白球和至少有2个白球D ．至少有1个白球和至少有1个黑球4．学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是( ) A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．不是互斥事件5．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．66．下列说法正确的是（ ）A ．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女B ．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C ．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D ．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.17．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（ ） A ．0.7B ．0.5C ．0.3D ．0.68．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是16，14，13，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（）A．3172B．712C．2572D．15729．有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为（）A．110B．25C．35D．91010．甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是45，通过第二项考核的概率是12；乙同学拿到该技能证书的概率是13，那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是（）A．1315B．1115C．23D．3511．某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为（）A．0.24B．0.36C．0.6D．0.8412．新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程，并写入新课程标准.某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一､周三､周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A．325659A AAB．325659C AAC．325659C CCD．325659C CA13．高三年级7位体育老师的身高(单位：cm)数据如茎叶图所示，其中一位老师的身高记录看不清了，但他们的平均身高为177cm，若从中任选2位老师参加年级的教职工篮球赛，则身高均高于177cm的概率为（）A．27B．37C．1021D．1121二、解答题14．2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方图.年级名次 是否近视 1~100101~1000近视 40 30 不近视1020（1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；（2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在1~100名和101~1000名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?（3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在1~100名的概率.()2P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k2.7063.8415.0246.6357.87922()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.15．为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措.某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图1.（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询.如果按照分层抽样的方法随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？ （2）为了更好地了解商贩的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入（单位：元）进行了统计，所得频率分布直方图如图2.若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率.16．已知从树人中学高三年级的8名优秀年青教师（男教师6名，女教师2名）中任选3名参加养老院志愿服务活动.（1）求“8名优秀年青教师中，优秀年青教师甲和优秀年青教师乙均被选到”的概率. （2）若所选3名优秀年青教师中女教师人数为ξ，求ξ的分布列.17．某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为()0.60.8p p ≤≤．（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活． ①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元，该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种B 种树苗多少棵？18．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图.若尺寸落在区间（2x s -，2x s +）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x ，s ，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得：15s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）若一个零件的尺寸是97cm ，试判断该零件是否属于“不合格”的零件；（2）工厂利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件，标上记号，并从这6个零件中再抽取2个，求再次抽取的2个零件中恰有1个尺寸不超过50cm 的概率. 19．某中学高一年级由1000名学生, 他们选着选考科目的情况如下表所示： 科目 人数物理 化学 生物 政治 历史 地理300 √ √ √200√ √√100 √√√200√ √ √100√√√100√√√从这1000名学生中随机抽取1人，分别设：A =“该生选了物理”；B =“该生选了化学”；G =“该生选了生物”； D =“该生选了政治”；E =“该生选了历史”；F =“该生选了地理”. （1）求(),()P B P DEF . （2）求(),()PC E P B F ⋃⋃.（3）事件A 与D 是否相互独立？请说明理由.20．某组织在某市征集志愿者参加志愿活动，现随机抽出60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意参加志愿活动和不愿意参加志愿活动的男女生比例情况，具体数据如图所示.(1)完成下列22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为愿意参与志愿活动与性别有关？愿意 不愿意 总计男生 女生 总计(2)现用分层抽样的方法从愿意参加志愿活动的市民中选取7名志愿者，再从中抽取2人作为队长，求抽取的2人至少有一名女生的概率. 参考数据及公式：()20P K k ≥ 0.1 0.05 0.025 0.010k2.7063.8415.0246.635()()()()()()22n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.21．某高校为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图.（1）求这200名学生每周阅读时间的中位数a （a 的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[)6.5,7.5，[)7.5,8.5的学生中抽取6名参加座谈会.()i 你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；()ii从这6名学生中随机抽取2人，求至多有一人每周读书时间在[)7.5,8.5的概率. 22．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040605070（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率.参考公式：1221ni iiniix y nx ybx nx==-⋅=-∑∑，a y bx=-.23．2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为45，女生认为《少年的你》值得看的概率为34，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）（1）求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率；（2）设ζ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ζ的分布列与数学期望. 24．盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次.（1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.25．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关，某大学为了解学生对民法典的认识程度，选取了120人进行测试，测试得分情况如图所示.（1）试求出图中实数a的值，并求出成绩落在[]90,100的人数；（2）如果抽查的测试平均分超过75分，就表示该学校通过测试.试判断该校能否通过测试；（3）如果在[)80,90中抽取3人，在[]90,100中抽取2人，再从抽取的5人中选取2人进行民法典的宣传，那么选取的2人中恰好1人成绩落在[]90,100的概率是多少？ 26．2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a 的值； （2）由频率分布直方图；（i ）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；（ii ）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．2．B解析：B【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，则P(A)=P(A1)+P(A2)=23×14+13×34=512故选B.3．B解析：B【分析】从白球3个，黑球4个中任取3个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两黑和全是黑球，进而可分析四个事件的关系；【详解】从白球3个，黑球4个中任取3个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两黑和全是黑球，故①恰有1个白球和全是白球，是互斥事件，但不是对立事件，②至少有1个白球和全是黑球是对立事件；③至少有1个白球和至少有2个白球不是互斥事件，④至少有1个白球和至少有1个黑球不是互斥事件，故选B．【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的关系，对于题目中出现的两个事件，观察两个事件之间的关系，这是解决概率问题一定要分析的问题，本题是一个基础题．4．C解析：C 【分析】对与黄色奖牌而言，可能是1班分得，可能是2班分得，也可能1班与2班均没有分得，然后根据对立事件和互斥事件的概念进行判断． 【详解】由题意，1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌，因而这两个事件是互斥事件；又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌，故这两个事件不是对立事件，所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事件.故选C 【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，关键是对概念的理解，属于基础题．5．B解析：B 【解析】 【分析】设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n n P C =-，由21P P ，得10.90.3n -， 由此能求出n 的最小值． 【详解】李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1， 现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究M ， 设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n nP C =-， 21P P ，10.90.3n∴-， 解得4n ≥．n ∴的最小值是4．故选B ． 【点睛】本题考查实数的最小值的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．D解析：D 【分析】由概率的意义可判断AB 错误，由随机抽样的概念得到D 正确. 【详解】一对夫妇生两小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A 不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B 不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到的奖票的概率都是0.1，所以C 不正确；D 正确． 故答案为D. 【点睛】本题考查了概率的意义以及随机抽样法的概念，性质，属于基础题.7．A解析：A 【分析】设摸出红球的概率为()P A ，摸出黄球的概率是()P B ，摸出白球的概率为(C)P ，求出()P B 、(C)P 的值，相加即可求解．【详解】设摸出红球的概率为()P A ，摸出黄球的概率是()P B ，摸出白球的概率为(C)P ， 所以()()0.4,()()0.9P A P B P A P C +=+=，且()()()1P A P B P C ++=， 所以()1()()0.6P C P A P B =--=，()1()()0.1P B P A P C =--=， 所以()()0.7P B P C += 【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率加法公式的应用，其中解答中熟记互斥事件的概率加法公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．B解析：B 【分析】由题意，可先求得三个人都没有被录取的概率，接下来求至少有一人被录取的概率，利用对立事件的概率公式，求得结果. 【详解】甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为11115(1)(1)(1)64312P =-⨯-⨯-=， 所以三人中至少有一人被录取的概率为17112P P =-=， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关概率的求解问题，关键是掌握对立事件的概率加法公式()()1P A P A +=，求得结果.9．D解析：D 【分析】将3位男生分别记为A 、B 、C ，2位女生分别记为a 、b ，列举出所有的基本事件，并确定事件“从这5位同学中任取3人，至少有1名女生”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将3位男生分别记为A 、B 、C ，2位女生分别记为a 、b ，从这5位同学中任取3人，所有的基本事件有：ABC 、ABa 、ABb 、ACa 、ACb 、Aab 、BCa 、BCb 、Bab 、Cab ，共10种，其中，事件“从这5位同学中任取3人，至少有1名女生”包含的基本事件有：ABa 、ABb 、ACa 、ACb 、Aab 、BCa 、BCb 、Bab 、Cab ，共9种，因此，所求概率为910P =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下： （1）列举法； （2）列表法； （3）树状图法； （4）排列、组合数的应用.10．D解析：D 【分析】由已知先求得甲取得证书的概率，再求得甲，乙两人都取不到证书的概率，由对立事件的概率公式可得选项. 【详解】由已知得甲拿到该技能证书的概率为412525⨯=，则甲，乙两人都没有拿到证书的概率为：21211535⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是23155-=， 故选：D. 【点睛】方法点睛：在解决含有“至少”，“至多”等一类问题的概率问题时，正面求解时情况较复杂，可以求其对立事件的概率，再用1减去所求的对立事件的概率，就是所求的概率.11．D解析：D 【分析】先求出对立事件：一次都未投中的概率，然后可得结论． 【详解】由题意小明每次投篮不中的概率是10.60.4-=，再次投篮都不中的概率是20.40.16=， ∴他再次投篮至少投中一次的概率为10.160.84-=．【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，在出现至少、至多等词语时，可先求其对立事件的概率，然后由对立事件概率公式得出结论．12．A解析：A 【分析】由题意得7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和周三下午的6节课中的两节课，由此能求出7年级在周五排3个班的劳动与技术课程的概率． 【详解】由题意可知，7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和同三下午的6节课中的两节课，所以7年级在周五排3个班的劳动与技术课程的概率325659A A P A =.故选：A. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．C解析：C 【分析】由平均数求出8x =，进而可得7人中身高高于177cm 的有5人，用古典概型求出概率即可. 【详解】 根据题意，得1801811701731701781791777x +++++++=，解得8x =，这7人中取2人的情况共2721C =种，身高高于177cm 的5人中取2人的情况共2510C =种，所以身高的高于177cm 的概率为1021故选：C. 【点睛】本题考查了茎叶图和古典概型问题，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.二、解答题14．（1）4.74；（2）能；（3）35.（1）根据题中所给的频率分布直方图中对应的数据，可以求得第三组、第六组、第五组的频数以及前四组的频数和，结合前四组的频数成等比数列，得出相应的数据，利用中位数的特征，两边各占一半，求得结果；（2）利用题中所给的列联表，求得2K 的值，与表中所给的临界值比较，得到结论； （3）根据题意，求出满足条件的基本事件数和总的基本事件数，利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】（1）由图可知，第三组和第六组的频数为1000.80.216⨯⨯=人 第五组的频数为100 1.20.224⨯⨯=人 所以前四组的频数和为()100241660-+=人 而前四组的频数依次成等比数列故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，第四组的频数为32人 所以中位数落在第四组，设为x ， 因此有4.650(4816)0.232x --++=（或1.6( 4.6)0.22x -=） 解得 4.7375x = 所以中位数是4.74（2）因为22100(40203010)50507030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯所以21004.76221K =≈ 所以2 3.841K >因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系（3）依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人中年级名次在1~100名和101~1000名的分别有2人和4人从6人中任意抽取2人的基本事件共15个 至少有1人来自于1~100名的基本事件有9个 所以至少有1人的年级名次在1~100名的概率为93155P ==. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关概率与统计的问题，解题方法如下：（1）根据频率分布直方图中所给的数据求相应的量，利用中位数的定义求得结果； （2）利用公式求得2K 的值，结合临界值得到结果； （3）利用古典概型概率公式求得概率.15．（1）应抽取小吃类商贩40（家），果蔬类商贩15（家）；（2）35. 【分析】（1）求出小吃类、果蔬类商贩的占比，再乘以100可得结果；（2）计算可知该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为6天，其中超过250元的有2天，记为1a 、2a ，其余4天为1b 、2b 、3b 、4b ，列举出所有的基本事件，并确定事件“两天的日收入至少有一天超过250元”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】（1）由题意知，小吃类商贩所占比例为125%15%10%5%5%40%-----=， 按照分层抽样的方法随机抽取，应抽取小吃类商贩：10040%40⨯=（家），果蔬类商贩：10015%15⨯=（家）. （2）该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为()0.0020.00150406+⨯⨯=天，其中超过250元的有400.001502⨯⨯=天，记日收入超过250元的2天为1a 、2a ，其余4天为1b 、2b 、3b 、4b ，随机抽取两天的所有可能情况有：()12,a a 、()11,a b 、()12,a b 、()13,a b 、()14,a b 、()21,a b 、()22,a b 、()23,a b 、()24,a b 、()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()34,b b ，共15种，其中至少有一天超过250元的所有可能情况有：()12,a a 、()11,a b 、()12,a b 、()13,a b ，()14,a b 、()21,a b 、()22,a b 、()23,a b 、()24,a b ，共9种.所以，这两天的日收入至少有一天超过250的概率为93155P ==. 【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下： （1）树状图法； （2）列举法； （3）列表法； （4）排列组合数的应用. 16．（1）328；（2）答案详见解析. 【分析】（1）根据古典概型的概率公式可计算出答案； （2）求出随机变量及其概率，列出分布列即可. 【详解】（1）据题意，从8名优秀年青教师中任选3名共有3856C =种，其中优秀年青教师甲和优秀年青教师乙均被选到的共有166C =种，设A=“8名优秀年青教师中，优秀年青教师甲和优秀年青教师乙均被选到”，所求概率635628p A ==（）. （2）ξ的所有可能取值为0，1，2，()0326385014C C P C ξ===， ()12263815128C C P C ξ===，()2126383228C C P C ξ===，所以ξ的分布列为17．（1）分布列见解析，()20.7E X p =+；（2）①0.92；②277棵. 【分析】（1）根据题意得出随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望； （2）①由（1）知当0.8p =时，()E X 最大，然后分一棵B 种树苗自然成活和非自然成活两种情况，可求得所求事件的概率；②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，由题意可知(),0.92Y B n ~，利用二项分布的期望公式得出()0.92E Y n =，根据题意得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围即可得解. 【详解】（1）依题意，X 的所有可能值为0、1、2、3， 则()()2200.310.30.60.3P X p p p ==-=-+，()()()2210.710.3210.10.80.7P X p p p p p ==-+⨯-=-+，()()22220.710.3 1.1 1.4P X p p p p p ==⨯-+=-+， ()230.7P X p ==.所以，随机变量X 的分布列为：10.10.80.72 1.1 1.430.720.7E X p p p p p p ∴=⨯-++⨯-++⨯=+；（2）由（1）知当0.8p =时，()E X 取得最大值．①一棵B 种树苗最终成活的概率为：()0.810.80.750.80.92+-⨯⨯=，②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，则(),0.92Y B n ~，()0.92E Y n =，()0.924000.0880100000n ∴⨯-⨯≥，100000276.55361.6n ≈≥． 所以该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元．【点睛】本题通过“果树种植”的例子，第（1）问考查了随机变量及其分布列，数学期望等基础知识点，第（2）问考查了考生数学建模的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力提出较高要求，属中等题． 18．（1）属于“不合格”的零件；（2）35. 【分析】(1)利用频率分布直方图能求出样本的平均数，即可判断；（2）用列举法把所有可能的结果一一列举出来，利用古典概型概率公式进行计算． 【详解】 （1）由题意()0.005350.01450.015550.03650.02750.015850.005951066.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故()()2,236.5,96.5x s x s -+=， ∵()9736.5,96.5∉， 故该零件属于“不合格”的零件；（2）用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件，则[)30,40中取1个，[)40,50中取2个，[)50,60中取3个，分别记为1A ，1B ，2B ，1C ，2C ，3C ，从中任取两件，所有可能结果有：()11,A B 、()12,A B 、()11,A C 、()12,A C 、()13,A C 、()12,BB 、()11,BC 、()12,B C 、()13,B C 、()21,B C 、()22,B C 、()23,B C 、()12,C C 、()13,C C 、()23,C C 共15个，满足条件的有()11,A C 、()12,A C 、()13,A C 、()11,B C 、()12,B C 、()13,B C 、()21,B C 、()22,B C 、()23,B C 共9个，故概率93155P ==. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的计算以及古典概型的概率计算问题，属于基础题． 19．（1）12，15；（2）45，1；（3）相互独立，理由见解析； 【分析】（1）B ＝“该生选了化学”，得1000名学生中选化学的学生有500名，由此能求出P。
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2019年高中数学单元测试试题 概率专题（含答案）学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ）511（B ）681（C ）3061（D ）4081(2008山东理) 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题2．某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为_______．3．将一颗质地均匀的 正方体骰子先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ，则事件“3≤+y x ”的 概率为 ____4．设a ∈{－1，0，1，3}，b ∈{－2，4}，则以（a ，b ）为坐标的点落在第四象限的概率为 ▲ ．5．已知()为常数a a 100≤≤，在区间[]100，上任取两个实数y x ,，设“a y x ≤+2”的概率为p ，“a y x ≥-2”的概率为q ，若有q p ≤，则实数a 的取值范围 6．一个总体分为A ,B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本｡已知B 层中每个个体被抽到的概率都为112,则总体中的个体数为_____. 〖解〗7．用数字1,2,3作为函数c bx ax y ++=2的系数，则该函数有零点的概率为 ▲ ．8． 把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．26279． 从{-1,1,2}中随机选取一个数记为k,从{-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b 不 经过第三象限的概率为 ▲ .10．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，则方程组3,2 2.ax by x y +=⎧⎨+=⎩只有一个解的概率为 ▲ ．11．对总数为N 的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N 的值为 ．12．某学校有两个食堂，甲，乙，丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ．13．从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率 为 ▲ .14．在区间（0,1）内任取两个实数，则它们的和大于12而小于32的概率是____________________15．在等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上任取一点M ，则AM AC <的概率为 ▲ ．16．已知函数n my x =，其中,m n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为___▲___．17．在坐标平面内，点()x y ，在x 轴上方的概率是．（其中{}012345x y ∈，，，，，，） 18．在ABC ∆的边AB 上随机取一点P , 记CAP ∆和CBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则122S S >的概率是 ．19．从3名男生和n 名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为3534，则=n 4 ． 20．在ABC ∆的边AB 上随机取一点P , 记CAP ∆和CBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则122S S >的概率是 ▲ ．21．已知甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是8.0、6.0、5.0，则三人中至少有一人达标的概率是 ▲ ．22．从11,,2,332⎧⎫⎨⎬⎩⎭中随机抽取一个数记为a ，从{}1,1,2,2--中随机抽取一个数记为b ，则函数x y a b =+的图象经过第三象限的概率是 ．三、解答题23．（2013年高考四川卷（文））某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在24,,3,2,1 这24个整数中等可能随机产生.(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =;(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.当2100n =时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大. 24．(本小题满分12分)已知正三角形ABC 内接于半径为R 的圆O ．（1）若在线段AB 上任取一点D ，求线段AD 、DB 的长都不小于12R 的概率；（2）若随机地向圆内丢一粒豆子，假设豆子落在圆内任一点是等可能的，求豆子落入正三角形ABC 内的概率．25． (本小题满分15分)甲、乙、丙三个人独立地翻译同一份密码，每人译出此密码的概率依次为0.4，0.35，0.3．设随机变量X 表示译出此密码的人数，求： （1）恰好有2个人译出此密码的概率P （X =2）； （2）此密码被译出的概率(1)P X ≥．26．有三个人,每个人都以相同的概率被分配到四个房间中的每一间.试求 (1)三个人都分配到同一房间的概率; (2)至少有两个人分配到同一房间的概率.27．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：（1（2）估计成绩不低于240分的学生约占多少；（3）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数．28．某市调查高中学生的肥胖状况，随机抽取1000名调查，数据如下：已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0．15．（1）求x的值；（2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？（3）已知193y≥，193z≥，肥胖学生中男生不少于女生的概率．29．某老师从参加高一年级一次考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)[)[]40,50,50,60,90,100⋅⋅⋅后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：(1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2）该老师不小心洒了一个墨水点在直方图的矩形区域内，求恰好落在第四组的小矩形内的概率(不计墨水点大小)； (3）若60分及以上为及格，请你估算从高一年级及格的学生中抽取一名学生分数不低于80分得概率。
数学必修二概率习题答案
数学必修二概率习题答案数学必修二概率习题答案概率是数学中一个非常重要的概念，它用于描述事件发生的可能性。
在数学必修二中，我们学习了许多与概率相关的知识，包括概率的基本概念、概率的计算方法等。
在这篇文章中，我将为大家提供数学必修二中一些概率习题的答案，并对其中的一些解题思路进行解析。
1. 一副扑克牌中抽取一张牌，求抽到黑桃的概率。
解析：一副扑克牌中共有52张牌，其中有13张黑桃牌。
因此，抽到黑桃牌的概率为13/52，即1/4。
2. 从1到100中随机抽取一个数，求抽到质数的概率。
解析：在1到100之间，一共有25个质数。
因此，抽到质数的概率为25/100，即1/4。
3. 有一个装有5个红球和3个蓝球的袋子，从中任取两个球，求取到两个红球的概率。
解析：首先，计算取第一个球时取到红球的概率。
由于袋子中共有8个球，其中5个是红球，因此取到红球的概率为5/8。
当第一个球取到红球后，袋子中还剩下4个红球和3个蓝球。
因此，取第二个球时取到红球的概率为4/7。
根据概率的乘法原理，取到两个红球的概率为(5/8) * (4/7) = 20/56，即5/14。
4. 有一个盒子，里面有4个红球和6个白球。
从盒子中连续取出3个球，求取到3个红球的概率。
解析：首先，计算取第一个球时取到红球的概率。
由于盒子中共有10个球，其中4个是红球，因此取到红球的概率为4/10。
当第一个球取到红球后，盒子中还剩下3个红球和6个白球。
因此，取第二个球时取到红球的概率为3/9。
同样地，取第三个球时取到红球的概率为2/8。
根据概率的乘法原理，取到3个红球的概率为(4/10) * (3/9) * (2/8) = 24/720，即1/30。
通过以上习题的解析，我们可以看出，概率的计算涉及到对事件发生的可能性进行分析和计算。
在解题过程中，我们需要根据具体情况确定事件的样本空间和有利结果的个数，然后利用概率的定义和计算方法来求解。
在实际生活中，概率的概念和计算方法也有广泛的应用，例如在统计学、金融学、生物学等领域。
第10章概率专题2 古典概型-新教材高中数学必修(第二册)常考题型专题练习(教育机构专用)
a,b,a, x, a, y , a, z , b, x , b, y , b, z , x, y , x, z , y, z 两名组长分别选自 20, 40和 40,60的共有以下 6种情况： a, x,a, y , a, z , b, x , b, y , b, z
B.3
10
5
C.2
D.1
5
5
解析：选 C 若函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数，则 a2－2＜0，又 a∈{－2,0,1,2,3}， 故只有 a＝0，a＝1 满足题意，又 b∈{3,5}，所以函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数的概率是 2×2＝2. 5×2 5
2.从分别标有 1,2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
5
【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）
21
【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3∶2∶2，由于采用 分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人． （Ⅱ）（i）从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B， F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}， {E，G}，{F，G}，共 21 种． （ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D，
A．
B．
2019高中数学第二章概率2.4二项分布精练含解析北师大选修232019041624
§4 二项散布A组1.随意投掷三枚质地平均的硬币,恰有2枚正面向上的概率为()A. B. C. D.分析:每枚硬币正面向上的概率为,因此所求概率为.应选B.答案:B2.流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002,流星数目为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为()××10-9××10-9分析:相当于1个流星独立重复10次,此中落在地面有4次的概率,故所求的概率为(0.002)4(1-0.002)6≈×10-9.故应选B.答案:B3.(2016·济南模拟)位于坐标原点的一个质点P按下述规则挪动:质点每次挪动一个单位;挪动的方向为向上或向右,而且向上、向右挪动的概率都是.质点P挪动五次后位于点(2,3)的概率是()A. B.C. D.分析:因为质点每次挪动一个单位,挪动的方向为向上或向右,挪动五次后位于点(2,3),因此质点P 一定向右挪动两次,向上挪动三次,故其概率为,应选B.答案:B4.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击能否击中目标互相之间没有影响.有以下结论:①×0.9;②他第3次射击时,初次击中目标的概率是××0.12;③×0.1;④他恰巧击中目标3次的概率是××0.1.此中正确的选项是()A.①③B.②④C.①④D.②③×0.9,故①正确;击中目标的次数听从二项散布,因此恰巧击中目标3次的概率为××0.1,故④正确,应选C.答案:C5.假如X~B,Y~B,那么当X,Y变化时,以下对于P(X=k)=P(Y=j)(k,j=0,1,2,…,20)建立的(k,j)的个数为()分析:依据二项散布的特色可知,(k,j)(k,j=0,1,2,…,20)分别为(0,20),(1,19),(2,18),…,(20,0),共21个,应选C.答案:C6.(2016·湖南师大附中高二期中)某班有4位同学住在同一个小区,上学路上要经过1个路口.假定每位同学在路口能否碰到红绿灯是互相独立的,且碰到红灯的概率都是,则最多1名同学碰到红灯的概率是.?分析:P=.答案:7.某同学进行了2次投篮(假定这两次投篮互不影响),每次投中的概率都为p(p≠0),假如最多投中1次的概率不小于起码投中1次的概率,那么p的取值范围为.?分析:(1-p)2+p(1-p)≥p(1-p)+p2,解得0<p≤.答案:0<p≤8.某企业能否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决议人投票决定,他们三人都有“赞同”“中立”“反对”三类票各一张,投票时,每人一定且只好投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,他们的投票互相没有影响,规定:若投票结果中起码有两张“赞同”票,则决定对该项目投资;不然,放弃对该项目的投资.(1)求该企业决定对该项目投资的概率;(2)求该企业放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.解(1)该企业决定对该项目投资的概率为P=.(2)该企业放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情况:“赞同”票张数“中立”票张数“反对”票张数事件A 0 0 3事件B 1 0 2事件C 1 1 1事件D 0 1 2P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.∵A,B,C,D互斥,∴P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.9.导学号43944037现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增添兴趣性,商定:每一个人经过掷一枚质地平均的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的散布列.解依题意知,这4个人中,每一个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有k人去参加甲游戏”为事件Ak(k=0,1,2,3,4).则P(Ak)=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2)=.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3+A4.因为A3与A4互斥,故P(B)=P(A3)+P(A4)=.因此,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)ξ的全部可能取值为0,2,4.因为A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(ξ=0)=P(A2)=,P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=.因此ξ的散布列是ξ0 2 4PB组1.在4次独立重复试验中,随机事件A恰巧发生1次的概率不大于其恰巧发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()A.[0.4,1]B.(0,0.4]C.(0,0.6]D.[0.6,1)分析:∵P(1)≤P(2),∴·p(1-p)3≤p2(1-p)2,∴4(1-p)≤6p,∴≤p≤1.答案:A2.口袋里放有大小、形状、质地都同样的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{an},an=假如Sn为数列{an}的前n项和,那么S7=3的概率为()A. B.C. D.分析:由S7=3知,在7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为,摸取白球的概率为,则S7=3的概率为,应选B.答案:B3.设随机变量X~B,则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是()A. B. C. D.分析:∵函数f(x)=x2+4x+X存在零点,∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4.∵X~B,∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-.答案:C4.某篮球决赛在广东队与山东队之间进行,竞赛采纳7局4胜制,即如有一队先胜4场,则此队获胜,竞赛就此结束.因两队实力相当,每场竞赛两队获胜的可能性均为.据过去资料统计,第一场竞赛组织者可获取门票收入40万元,此后每场竞赛门票收入比上一场增添10万元,则组织者在此次决赛中要获取的门票收入许多于390万元的概率为.?分析:依题意,每场竞赛获取的门票收入数构成首项为40,公差为10的等差数列,设此数列为{an},则易知a1=40,an=10n+30,因此Sn=.由Sn≥390得n2+7n≥78,因此n≥6.因此若要获取的门票收入许多于390万元,则起码要竞赛6场.①若竞赛共进行了6场,则前5场竞赛的比分必为2∶3,且第6场竞赛为当先一场的球队获胜,其概率P(6)=;②若竞赛共进行了7场,则前6场输赢为3∶3,其概率P(7)=.因此门票收入许多于390万元的概率P=P(6)+P(7)=.答案:5.设在一次试验中事件A发生的概率为p,在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为Pk,则P0+P1+…+Pn=.分析:P0+P1+…+Pn=(1-p)np0+(1-p)n-1·p1+…+(1-p)0pn=(1-p+p)n=1.答案:16.甲、乙两支排球队进行竞赛,商定先胜3局者获取竞赛的成功,竞赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其他每局竞赛甲队获胜的概率都是.假定各局竞赛结果互相独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2成功的概率;(2)若竞赛结果为3∶0或3∶1,则成功方得3分,对方得0分;若竞赛结果为3∶2,则成功方得2分,对方得1分.求乙队得分X的散布列.解(1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2成功”分别为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.(2)X的可能的取值为0,1,2,3,则P(X=0)=P(A)+P(B)=,P(X=1)=P(C)=,P(X=2)=,P(X=3)=.因此X的散布列为X 0 1 2 3P7.导学号43944038(2016·内蒙古师范大学隶属中学高二练习)某射手每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不影响.(1)假定这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率;(2)假定这名射手射击5次,求有3次连续击中目标,此外2次未击中目标的概率;(3)假定这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,在3次射击中,如有2次连续击中,而此外1次未击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加3分,记ξ为射手射击3次后的总的分数,求ξ的散布列.解(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数,则X~B.在5次射击中,恰有2次击中目标的概率P(X=2)=.(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i=1,2,3,4,5);“射手在5次射击中,有3次连续击中目标,此外2次未击中目标”为事件A,则P(A)=P(A1A2A3)+P(A2A3A4)+P(A3A4A5)=.(3)由题意可知,ξ的全部可能取值为0,1,2,3,6.P(ξ=0)=P()=;P(ξ=1)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=;P(ξ=2)=P(A1A3)=;P(ξ=3)=P(A1A2)+P(A2A3)=;P(ξ=6)=P(A1A2A3)=.因此ξ的散布列是ξ0 1 2 3 6P。
高2数学试题概率及答案
高2数学试题概率及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，下列哪个概率是正确的？A. 取出红球的概率是1/3B. 取出蓝球的概率是1/2C. 取出红球的概率是5/8D. 取出蓝球的概率是3/82. 抛一枚公正的硬币两次，下列哪个事件的概率是1/4？A. 两次都是正面B. 两次都是反面C. 至少一次是正面D. 至少一次是反面3. 一个班级有30个学生，其中10个是男生，20个是女生。
随机选择一个学生，下列哪个概率是正确的？A. 选择男生的概率是1/3B. 选择女生的概率是2/5C. 选择男生的概率是1/2D. 选择女生的概率是3/54. 一个骰子有6个面，每个面出现的概率相等。
投掷一次骰子，下列哪个事件的概率是1/6？A. 得到1点B. 得到2点C. 得到3点D. 所有选项都是1/65. 一个盒子里有3个白球和2个黑球，随机取出两个球，下列哪个组合的概率是1/5？A. 两个都是白球B. 两个都是黑球C. 一个白球和一个黑球D. 没有可能的组合二、填空题（每题2分，共10分）6. 如果一个事件的概率是0.6，那么它的对立事件的概率是________。
7. 一个袋子里有7个球，其中2个是红球，5个是蓝球。
如果随机取出一个球，再放回去，然后再取出一个球，两次取出的都是红球的概率是________。
8. 抛一枚公正的硬币三次，至少出现一次正面的概率是________。
9. 一个袋子里有4个白球和6个黑球，随机取出3个球，取出的球都是同一种颜色的概率是________。
10. 如果一个事件的概率是p，那么它的必然事件的概率是________。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 一个袋子里有10个球，其中4个是红球，6个是蓝球。
求以下事件的概率：- 随机取出一个球，是红球的概率。
- 随机取出两个球，两个都是红球的概率。
12. 一个班级有50个学生，其中25个是男生，25个是女生。