2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-函数与导数
2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-函数与导数
1.〔天津文〕19、〔本小题总分值14分〕函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈、 〔Ⅰ〕当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； 〔Ⅱ〕当0t ≠时，求()f x 的单调区间；
〔Ⅲ〕证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点、
【解析】〔19〕本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线
方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，总分值14分。 〔Ⅰ〕解：当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-
(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-
〔Ⅱ〕解：22()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得
.
2
t x t x =-=或
因为0t ≠，以下分两种情况讨论：
〔1〕假设
0,,2
t
t t x
<<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
所以，()f x 的单调递增区间是
(),,,;()2t t f x ?
?-∞-+∞ ???的单调递减区间是,2t t ??- ?
??
。
〔2〕假设
0,2
t t t >-<
则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
所以，()f x 的单调递增区间是
(),,,;()
2t t f x ??
-∞-+∞ ???
的单调递减区间是
,.2t t ?
?- ???
〔Ⅲ〕证明：由〔Ⅱ〕可知，当0t >时，()f x 在
0,2t ?
? ???内的单调递减，在,2t ??+∞ ???
内单
调递增，以下分两种情况讨论： 〔1〕当1,2
2
t
t ≥≥即时，()f x 在〔0，1〕内单调递减，
2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-?+?+<
所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间〔0，1〕内均存在零点。
〔2〕当
01,022t t <<<<即时，()f x 在0,2t ?? ???内单调递减，在,12t ?? ???
内单调递增，假设
33177(0,1],10.
244t f t t t ??
∈=-+-≤-< ???
2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+>
所以
(),12t f x ??
?
??
在内存在零点。
假设
()3377(1,2),110.
244t t f t t t ??
∈=-+-<-+< ???
(0)10f t =->
所以
()0,2t f x ?? ?
??
在内存在零点。
所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间〔0，1〕内均存在零点。
综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间〔0，1〕内均存在零点。
2.〔北京文〕18、〔本小题共13分〕 函数()()x f x x k e =-.
〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；
〔Ⅱ〕求()f x 在区间[0,1]上的最小值.
【解析】〔18〕〔共13分〕 解：〔Ⅰ〕.)1()(3e k x x f +-=' 令()0='x f ，得1-=k x 、
)(x f 与)(x f '的情况如下：
所以，)(x f 的单调递减区间是〔1,-∞-k 〕；单调递增区间是),1(+∞-k 〔Ⅱ〕当01≤-k ，即1≤k 时，函数)(x f 在[0，1]上单调递增， 所以f 〔x 〕在区间[0，1]上的最小值为;)0(k f -= 当21,110<<<- 由〔Ⅰ〕知()[0,1]f x k -在上单调递减，在(1,1]k -上单调递增，所以()f x 在区间[0，1]上的最小值为 1(1)k f k e --=-； 当1,2k t k -≥=即时，函数()f x 在[0，1]上单调递减， 所以()f x 在区间[0，1]上的最小值为(1)(1).f k e =- 3.(全国大纲文)21、〔本小题总分值l2分〕〔注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．． 〕 函数 {} 32()3(36)124f x x ax a x a a R =++---∈ 〔I 〕证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点〔2，2〕； 〔II 〕假设0()f x x x =在处取得极小值，0(1,3)x ∈，求a 的取值范围。 【解析】21、解：〔I 〕2'()3636.f x x ax a =++- …………2分 由(0)124,'(0)36f a f a =-=-得曲线()0y f x x ==在处的切线方程为 由此知曲线()0y f x x ==在处的切线过点〔2，2〕 …………6分 〔II 〕由2'()02120.f x x ax a =++-=得 〔i 〕当 11,()a f x ≤≤时没有极小值； 〔ii 〕当 11,'()0a a f x ><=或时由得 12x a x a =-=- 故02.x x = 由题设知1 3.a <- 当1a > 时，不等式13a <-<无解。 当1a < 时，解不等式 5 13 1. 2 a a <-<-<<得 综合〔i 〕〔ii 〕得a 的取值范围是 5 (,1).2 - …………12分 4.〔全国新文〕21、〔本小题总分值12分〕 函数 ln ()1a x b f x x x =+ +，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=、 〔I 〕求a ，b 的值； 〔II 〕证明：当x>0，且1x ≠时， ln ()1 x f x x > -、 【解析】〔21〕解： 〔Ⅰ〕 22 1( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= - + 由于直线230x y +-=的斜率为 12-，且过点(1,1)，故(1)1, 1 '(1),2 f f =???=-??即 1,1,22b a b =???-=-?? 解得1a =，1b =。 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知 ln 1f ()1x x x x =+ +，所以 )1ln 2(11 1ln )(22 x x x x x x x f -+-=-= 考虑函数()2ln h x x =+x x 12-(0)x >，那么 2 2 2 22)1() 1(22)(x x x x x x x h -- =---= ' 所以当1≠x 时，,0)1(,0)(=<'h x h 而故 当)1,0(∈x 时， ;0)(11 ,0)(2 >->x h x x h 可得 当),1(+∞∈x 时， ; 0)(11 ,0)(2 >- 从而当 . 1 ln )(,01ln )(,1,0->>--≠>x x x f x x x f x x 即且 5.〔辽宁文〕20、〔本小题总分值12分〕 设函数)(x f =x +ax 2+b ln x ，曲线y =)(x f 过P 〔1,0〕，且在P 点处的切斜线率为2、 〔I 〕求a ，b 的值； 〔II 〕证明：)(x f ≤2x -2、 【解析】20、解：〔I 〕 ()12. b f x ax x '=++…………2分 由条件得 (1)0,10, (1) 2.12 2. f a f a b =+=??? ?'=++=??即 解得1, 3.a b =-=………………5分 〔II 〕()(0,)f x +∞的定义域为，由〔I 〕知2()3ln .f x x x x =-+ 设2()()(22)23ln ,g x f x x x x x =--=--+那么 3(1)(23)()12. x x g x x x x -+'=--+=- 01,()0;1,()0.()(0,1),(1,). x g x x g x g x ''<<>><+∞当时当时所以在单调增加在单调减少 而(1)0,0,()0,()2 2.g x g x f x x =>≤≤-故当时即………………12分 6.〔江西文〕20、〔本小题总分值13分〕 设 32 1(). 3 f x x mx nx =++ 〔1〕如果()'()23x 2 g x f x x =--=-在处取得最小值-5，求f (x)的解析式； 〔2〕如果m n 10(m,n N),f (x)+<∈的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值；〔注；区间〔a ，b 〕的长度为b-a 〕 【解析】20、〔本小题总分值13分〕 解：〔1〕由题得222()2(1)(3)(1)(3)(1)g x x m x n x m n m =+-+-=+-+--- ()2g x x =-在处取得最小值-5 所以 2 12 (3)(1)5 m n m -=??---=-?，即3,2m n == 即得所要求的解析式为 32 1()32. 3 f x x x x =++ 〔2〕因为2'()2,()f x x mx n f x =++且的单调递减区间的长度为正整数， 故'()0f x =一定有两个不同的根， 从而22440m n m n ?=->>即， 不妨设为 1221,,||x x x x -=则为正整数， 故2m ≥时才可能有符合条件的m ，n 当m=2时，只有n=3符合要求 当m=3时，只有n=5符合要求 当4m ≥时，没有符合要求的n 综上所述，只有m=2，n=3或m=3，n=5满足上述要求。 7.〔山东文〕21、〔本小题总分值12分〕 某企业拟建造如下图的容器〔不计厚度，长度单位：米〕，其中容器的中间为圆柱 形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803 π立方米，且2l r ≥、假设 该容器的建造费用仅与其表面积有关、圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞、设该容器的建造费用为y 千元、 〔Ⅰ〕写出y 关于的函数表达式，并求该函数的定义域； 〔Ⅱ〕求该容器的建造费用最小时的、 【解析】21、解：〔I 〕设容器的容积为V ， 由题意知 2 3480,, 33 V r l r V πππ=+=又 故 3 22 248044203()333V r l r r r r r ππ-==-=- 由于2l r ≥ 因此0 2.r <≤ 所以建造费用 2 2 24202342()34, 3y rl r c r r r c r ππππ=?+=?-?+ 因此 2 1604(2),0 2. y c r r r π π=-+<≤ 〔II 〕由〔I 〕得 3221608(2)20 '8(2)(),0 2. 2 c y c r r r r r c πππ-=--=-<<- 由于3,20,c c >->所以 当 3 200,2r r c -==-时 ,m =则 所以 22 2 8(2)'()(). c y r m r rm m r π-=-++ 〔1〕当 9022 m c <<> 即时， ∈∈当r=m 时,y'=0; 当r (0,m)时,y'<0;当r (m,2)时,y'>0. 所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点。 〔2〕当2m ≥即 932 c <≤ 时， 当(0,2),'0,r y ∈<时函数单调递减， 所以r=2是函数y 的最小值点， 综上所述，当 932 c <≤ 时，建造费用最小时2;r = 当 92c > 时，建造费用最小时r = 8.〔陕西文〕21、〔本小题总分值14分〕 设()ln .()()()f x x g x f x f x '==+。 〔Ⅰ〕求()g x 的单调区间和最小值； 〔Ⅱ〕讨论()g x 与 1()g x 的大小关系； 〔Ⅲ〕求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1a 对任意x ＞0成立。 【解析】21、解〔Ⅰ〕由题设知 1()ln ,()ln f x x g x x x ==+ ， ∴ 21(), x g x x -'=令()g x '=0得x =1， 当x ∈〔0，1〕时，()g x '＜0，故〔0，1〕是()g x 的单调减区间。 当x ∈〔1，+∞〕时，()g x '＞0，故〔1，+∞〕是()g x 的单调递增区间，因此，x =1是()g x 的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1) 1.g = 〔II 〕 1 ()ln x g x x =-+ 设 11()()()2ln h x g x g x x x x =-=-+，那么22 (1)()x h x x -'=- ， 当1x =时，(1)0h =即 1()() g x g x =， 当(0,1)(1,)x ∈?+∞时(1)0h '=， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减， 当01x <<时，()(1)0h x h >= 即 1()(). g x g x > 当x 1,()(1)0h x h ><=时 1()() g x g x <即 〔III 〕由〔I 〕知()g x 的最小值为1，所以， 1()()g a g x a -<，对任意0x >，成立1()1, g a a ?-< 即ln 1,a <从而得0a e <<。 9.〔上海文〕21、〔14分〕函数()23x x f x a b =?+?，其中常数,a b 满足0ab ≠。 〔1〕假设0ab >，判断函数()f x 的单调性； 〔2〕假设0ab <，求(1)()f x f x +>时x 折取值范围。 【解析】21、解：⑴当0,0a b >>时，任意1212 ,,x x R x x ∈<，那么 12 112()()(22)(33)x x x x f x f x a b -=-+- ∵121222,0(22)0x x x x a a <>?-<，121233,0(33)0x x x x b b <>?-<， ∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数。 当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数。 ⑵(1)()2230x x f x f x a b +-=?+?> 当0,0a b <>时，3 ()22x a b >-，那么 1.5log ()2a x b >-； 当0,0a b ><时，3 ()22x a b <-，那么 1.5log ()2a x b <-。 10.〔四川文〕22、〔本小题共l4分〕 函数 21()32 f x x =+ ，()h x = 〔Ⅰ〕设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； 〔Ⅱ〕设a ∈R ，解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---； 〔Ⅲ〕设*n ∈N ，证明： 1()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥ 、 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力、 解：〔Ⅰ〕223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥， 2()312F x x '∴=-+、 令()0F x '∴=，得2x =〔2x =-舍去〕、 当(0,2)x ∈时、()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0F x '<， 故当[0,2)x ∈时，()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时，()F x 为减函数、 2x =为()F x 的极大值点，且(2)824925F =-++=、 〔Ⅱ〕方法一：原方程可化为 42233 log [(1)]log ()log (4) 24 f x h a x h x --=---， 即为4222log (1)log log log x -==，且,14, x a x ? < ①当14a <≤时，1x a <<，那么14a x x x --= -，即2640x x a -++=， 364(4)2040a a ?=-+=-> ，此时3x =1x a <<， 此时方程仅有一解3x = ②当4a >时，14x <<，由 14a x x x --= -，得2640x x a -++= ，364(4)204a a ?=-+=-， 假设45a <<，那么0?> ，方程有两解3x =± 假设5a =时，那么0?=，方程有一解3x =； 假设1a ≤或5a >，原方程无解、 方法二：原方程可化为422 log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-， 即21log (1)log log 2x -+=10,40,0,(1)(4).x x a x x x a x ->??->? ??->??--=-?2 14,(3) 5.x x a a x ?< 时，原方程有一解3x = ②当45a << 时，原方程有二解3x = ③当5a =时，原方程有一解3x =； ④当1a ≤或5a >时，原方程无解、 〔Ⅲ〕由得(1)(2)()]12h h h n n ++ +=+ + +， 11()()6 6 f n h n -、 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 1()()6 n S f n h n =- 〔*n ∈N 〕 从而有11 1a S ==，当2100k ≤≤ 时，1k k k a S S -=-= 又1[(4(46k a k k =+- 2216= 106=>、 即对任意2k ≥时， 有k a >，又因 为1 1a ==，所以 1212n a a a n +++≥++ +、 那么(1)(2)()n S h h h n ≥++ +，故原不等式成立、 11.〔浙江文〕〔21〕〔本小题总分值15分〕设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a 〔Ⅰ〕求)(x f 的单调区间； 〔Ⅱ〕求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立、 注：e 为自然对数的底数、 【解析】〔21〕此题主要考查函数的单调性、导数运算法那么、导数应用等基础知识，同时 考查抽象概括、推理论证能力。总分值15分。 〔Ⅰ〕解：因为22()ln .0f x a x x ax x =-+>其中 所以 2()(2)()2a x a x a f x x a x x -+'=-+=- 由于0a >，所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞ 〔Ⅱ〕证明：由题意得，(1)11,f a c a c =-≥-≥即 由〔Ⅰ〕知()[1,]f x e 在内单调递增， 要使21()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立， 只要 222(1)11, ()f a e f e a e ae e =-≥-??=-+≤? 解得.a e = 12.〔重庆文〕19、〔本小题总分值12分，〔Ⅰ〕小题5分，〔Ⅱ〕小题7分〕 设 3.2()21f x x ax bx =+++的导数为()f x '，假设函数()y f x '=的图像关于直线 12 x =- 对称，且(1)0f '=、 〔Ⅰ〕求实数,a b 的值 〔Ⅱ〕求函数()f x 的极值 【解析】19、〔此题12分〕 解：〔I 〕因322()21,()62.f x x ax bx f x x ax b '=+++=++故 从而 22()6(), 66 a a f x x b '=++- 即()y f x '=关于直线 6a x =-对称，从而由题设条件知1, 3. 62 a a -=-=解得 又由于(1)0,620,12.f a b b '=++==-即解得 〔II 〕由〔I 〕知32()23121,f x x x x =+-+ 2()6612f x x x '=+- 6(1)(2).x x =-+ 令12 ()0,6(1)(2)0.2, 1.f x x x x x '=-+==-=即解得 当(,2),()0,()(,2)x f x f x '∈-∞->-∞-时故在上为增函数； 当(2,1),()0,()(2,1)x f x f x '∈-<-时故在上为减函数； 当(1,),()0,()(1,)x f x f x '∈+∞>+∞时故在上为增函数； 从而函数1()2f x x =-在处取得极大值2 (2)21,1f x -==在处取得极小值(1) 6.f =- 13.〔安徽文〕〔18〕〔本小题总分值13分〕 设 2 1)(ax e x f x += ，其中a 为正实数. 〔Ⅰ〕当 3 4= a 时，求()f x 的极值点； 〔Ⅱ〕假设()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 【解析】〔18〕〔本小题总分值13分〕此题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函 数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. 解：对)(x f 求导得 .)1(1)(2 22 ax ax ax e x f x +-+='① 〔I 〕当 34=a ，假设. 2 1,23,0384,0)(212===+-='x x x x x f 解得则 综合①,可知 所以, 231=x 是极小值点,2 12= x 是极大值点. 〔II 〕假设)(x f 为R 上的单调函数，那么)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0， 知0122≥+-ax ax 在R 上恒成立，因此,0)1(4442≤-=-=?a a a a 由此并结合0>a ，知.10≤ 14.〔福建文〕22、〔本小题总分值14分〕 a ， b 为常数，且a ≠0，函数f 〔x 〕=-ax+b+axlnx ，f 〔e 〕=2〔e=2、71828…是自然对数的底数〕。 〔I 〕求实数b 的值； 〔II 〕求函数f 〔x 〕的单调区间； 〔III 〕当a=1时，是否同时存在实数m 和M 〔m 与曲线y=f 〔x 〕〔x ∈[1e ，e]〕都有公共点？假设存在，求出最小的实数m 和最大 的实数M ；假设不存在，说明理由。 【解析】22、本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、 运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，总分值14分。 解：〔I 〕由()22,f e b ==得 〔II 〕由〔I 〕可得()2ln .f x ax ax x =-++ 从而'()ln .f x a x = 0a ≠因为，故： 〔1〕当0,a >时由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得0 当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为〔0，1〕， 单调递减区间为(1,)+∞。 〔III 〕当a=1时，()2ln ,'()ln .f x x x x f x x =-++= 由〔II 〕可得，当x 在区间1 (,) e e 内变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表： 又 21 22,'()([,])f x x e e e -<=∈所以函数的值域为[1，2]。 据经可得，假设 1, 2 m M =?? =?，那么对每一个[,]t m M ∈，直线y=t 与曲线 1 ()([,]) y f x x e e =∈都有公共点。 并且对每一个(,)(,)t m M ∈-∞+∞， 直线y t =与曲线1 ()([,]) y f x x e e =∈都没有公共点。 综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个[,]t m M ∈，直线y=t 与曲线 1 ()([,]) y f x x e e =∈都有公共点。 15.〔湖北文〕19、〔本小题总分值12分〕 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v 〔单位：千米/小时〕是车流密度x 〔单位：辆/千米〕的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究说明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数。 〔I 〕当0200 x ≤≤时，求函数v 〔x 〕的表达式； 〔II 〕当车流密度x 为多大时，车流量〔单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位： 辆/小时〕()()f x x vx =?可以达到最大，并求出最大值。 〔精确到1辆/小时〕。 【解析】19、本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题 的能力。〔总分值12分〕 解：〔Ⅰ〕由题意：当020,()60x v x ≤≤=时；当20200,()x v x ax b ≤≤=+时设 再由得 1,2000,32060,200. 3a a b a b b ? =-?+=???? +=??=?? 解得 故函数()v x 的表达式为 60,020,()1 (200),202003 x v x x x ≤≤??=?-≤≤?? 〔Ⅱ〕依题意并由〔Ⅰ〕可得 60,020,()1 (200),202003 x x f x x x x ≤ 当020,()x f x ≤≤时为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200； 当20200x ≤≤时， 211(200)10000()(200)[]3323 x x f x x x +-=-≤= 当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立。 所以，当100,()x f x =时在区间[20，200]上取得最大值10000. 3 综上，当100x =时，()f x 在区间[0，200]上取得最大值10000 3333 3 ≈。 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。 16.〔湖北文〕20、〔本小题总分值13分〕 设函数32()2f x x a x b x a =+++，2()32 gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，曲 线()y f x =与()y g x =在点〔2,0〕处有相同的切线l 。 〔I 〕求a 、b 的值，并写出切线l 的方程； 〔II 〕假设方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的 [] 12,x x x ∈，()()(1) fx g x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。 【解析】20、此题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，〔总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕2()34,()2 3.f x x ax b g x x ''=++=- 由于曲线()()y f x y g x ==与在点〔2，0〕处有相同的切线， 故有(2)(2)0,(2)(2) 1.f g f g ''==== 由此得 8820,2, 1281, 5. a b a a a b b +++==-??? ?++==??解得 所以2,5a b =-=，切线l 的方程为20x y --= 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得32()452f x x x x =-+-，所以32()()32.f x g x x x x +=-+ 依题意，方程2(32)0x x x m -+-=有三个互不相同的实数120,,x x ， 故12,x x 是方程2320x x m -+-=的两相异的实根。 所以 194(2)0,. 4 m m ?=-->>-即 又对任意的12 [,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-成立， 特别地，取1x x =时，111()()f x g x mx m +-<-成立，得0.m < 由韦达定理，可得12121230,20,0.x x x x m x x +=>=-><<故 对任意的1221 [,],0,0,0x x x x x x ∈≤-≥>有x-x 那么12111()()()()0,()()0f x g x mx x x x x x f x g x mx +-=--≤+-=又 所以函数12 ()()[,]f x g x mx x x x +-∈在的最大值为0。 于是当0m <时，对任意的12 [,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-恒成立， 综上，m 的取值范围是 1 (,0).4 - 17.〔湖南文〕22、〔本小题总分值13分〕 设函数 1 ()ln () f x x a x a R x =--∈. 〔Ⅰ〕讨论函数()f x 的单调性. 〔Ⅱ〕假设()f x 有两个极值点12 ,x x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k . 问：是否存在a ，使得2k a =-？假设存在，求出a 的值；假设不存在，请说明 理由. 【解析】22、〔本小题13分〕 解析：〔I 〕()f x 的定义域为(0,).+∞ 222 11'()1a x ax f x x x x -+=+-= 令2()1,g x x ax =-+其判别式2 4.a =- (1) 当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥时故()(0,)f x +∞在上单调递增、 (2) 当2a <-时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故 ()(0,)f x +∞在上单调递增、 (3) 当2a >时,>0,g(x)=0 的两根为 12x x == ， 当10x x <<时，'()0f x >；当12x x x <<时，'()0f x <；当2x x >时，'()0f x >， 故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12 (,)x x 上单调递减、 〔II 〕由〔I 〕知，2a >、 因为 12 12121212 ()()()(ln ln ) x x f x f x x x a x x x x --=-+--，所以 1212121212 ()()ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x --==+--- 又由(I)知，12 1x x =、于是 1212 ln ln 2x x k a x x -=-- 假设存在，使得2.k a =-那么 12 12 ln ln 1 x x x x -=-、即1212 ln ln x x x x -=-、亦即 22221 2ln 0(1)(*) x x x x --=> 再由〔I 〕知，函数 1()2ln h t t t t =--在(0,)+∞上单调递增，而2 1x >，所以 22211 2ln 12ln10. 1 x x x -->--=这与(*)式矛盾、故不存在，使得2.k a =- 18.〔广东文〕19、〔本小题总分值14分〕 设a ＞0,讨论函数f 〔x 〕=lnx+a 〔1-a 〕x 2 -2〔1-a 〕的单调性。 【解析】19、〔本小题总分值14分〕 解：函数()f x 的定义域为(0,).+∞ 22(1)2(1)1(), a a x a x f x x ---+'= 当212(1)10a a x ≠--+=时,方程2a(1-a)x 的判别式 112(1). 3a a ? ??=-- ?? ? ①当 1 0,0,() 3 a f x '< 时有两个零点， 1211 0,22x x a a ≠->=+ 且当12120,()0,()(0,)(,)x x x x f x f x x x '<<>>+∞或时在与内为增函数； 当1212,()0,()(,)x x x f x f x x x '<<<时在内为减函数； ②当1 1,0,()0,()(0,) 3 a f x f x '≤ ③当 1 1,()0(0),()(0,) a f x x f x x '==>>+∞时在内为增函数； ④当 11 1,0,0, 2a x a >?>=->时 21 0,() 2x f x a '=+<所以在定义域内有唯一零点1 x ， 且当110,()0,()(0,)x x f x f x x '<<>时在内为增函数；当1 x x >时， 1 ()0,( )(,)f x f x x '<+∞在内为减函数。 ()f x 的单调区间如下表： 〔其中 1211 22x x a a =-=+ 〕 19.〔江苏〕19、a ，b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+=)(x f '和)(x g '是 )(),(x g x f 的导函数，假设0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，那么称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致