数值分析习题

第一章 绪论习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。

（误差限的计算）6 设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。

（函数误差的计算）7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）8 设⎰-=11dx e xeI x nn ，求证：（1）)2,1,0(11 =-=-n nI I n n（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。

（计算方法的比较选择）第二章 插值法习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。

1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。

（拉格朗日插值）2 已知9,4,10===x x x y ，用线性插值求7的近似值。

（拉格朗日线性插值）3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有)())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=+-+-试证明),...1,0()(0n k x x l xnj k jk j =≡∑=。

（拉格朗日插值基函数的性质） 4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===，用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。

（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数x cos 在00=x ，41π=x ，22π=x 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式, 并近似计算6cos π及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。

（拉格朗日二次插值）6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ，求函数的四阶均差]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。

（均差的计算）7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---= 求][1,0p x x x f 之值，其中1+≤n p ，而节点)1,1,0(+=n i x i 互异。

（均差的计算）8 如下函数值表建立不超过三次的牛顿插值多项式。

（牛顿插值多项式的构造）9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ，满足如下插值条件：2)1(=p ，4)2(=p ，3)2(='p ，12)3(=p 。

（插值多项式的构造）10 构造一个三次多项式)(x H ，使它满足条件1)1(,1)2(,0)1(,1)0(='===H H H H （埃尔米特插值）。

11 设4/9,1,4/1,)(21023====x x x x x f 。

(1)试求)(x f 在[]4/9,4/1上的三次埃尔米特插值多项式)(x H ，使得)()(,2,1,0),()(11x f x H j x f x H j j '='==，)(x H 以升幂形式给出。

(2)写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式。

（埃尔米特插值及其余项的计算）。

12 若0)()(],,[)(2==∈b f a f b a c x f ，试证明：()|)( |max 81|)( |max 2x f a b x f b x a bx a ''-≤≤≤≤≤（插值余项的应用）13 设,2)2(,1)0(,1)2(==-=-f f f 求)(x p 使)2,1,0()()(==i x f x p i i ； 又设 M x f ≤'''|)(| ，则估计余项)()()(x p x f x r -=的大小。

（插值误差的估计）习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。

1 设x x f πsin )(=，求)(x f 于]1,0[上的线性最佳平方逼近多项式。

（最佳平方逼近）2 令11,)(≤≤-=x e x f x，且设x a a x p 10)(+=,求10,a a 使得)(x p 为)(x f 于]1,1[- 上的最佳平方逼近多项式。

（最佳平方逼近） 3证明：切比雪夫多项式序列)arccos cos()(x k x T k =在区间[]1,1-上带权211)(xx -=ρ正交。

（正交多项式的证明）4求矛盾方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2423212121x x x x x x 的最小二乘解。

（最小二乘法）5 已知一组试验数据试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。

（最小二乘线性逼近） 6 用最小二乘原理求一个形如2bx a y +=的经验公式,使与下列数据相拟合。

（最小二乘二次逼近）习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。

1给定求积公式)()0()()(h cf bf h af dx x f hh++-≈⎰-试确定c b a ,,使它的代数精度尽可能高。

（代数精度的应用和计算） 2 求积公式)0()1()0()(0101f B f A f A dx x f '++≈⎰，试确定系数0A ,1A 及0B ，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。

（代数精度的应用和计算） 3数值积分公式)]2()1([23)(3f f dx x f +≈⎰，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征）4如果0)(>''x f ，证明用梯形公式计算积分⎰badx x f )(所得到的结果比准确值大，并说明其几何意义。

（梯形求积） 5用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰211dx x，并估计误差。

（复化梯形求积） 6设2)1(,9)5.0(,6)0(,4)5.0(,1)1(====-=-f f f f f ,则用复化辛甫生公式计算⎰-11)(dx x f ，若有常数M 使 M f ≤||)4(，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。

（复化辛甫生公式）7已知高斯求积公式)57735.0()57735.0()(11-+≈⎰-f f dx x f 将区间[0,1]二等分，用复化高斯求积法求定积分⎰1dx x 的近似值。

（高斯公式）8 试确定常数A ，B ，C 和a ，使得数值积分公式)()0()()(22a Cf Bf a Af dx x f ++-≈⎰-有尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）9设{})(x P n 是[0,1]区间上带权x x =)(ρ的最高次幂项系数为1的正交多项式系 （1）求)(2x P 。

（2）构造如下的高斯型求积公式)()()(11001x f A x f A dx x xf +≈⎰。

（高斯求积）习题主要考察点：高斯消去法，LU 分解法，平方根法和追赶法解线性方程组。

1用高斯消去法解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120621911432321x x x 。

（高斯消去法的应用）2用LU 分解法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++12302321321321x x x x x x x x x 。

（LU 分解法的应用）3设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=322214112A ，求A 的LU 分解。

（LU 分解法的应用） 4试用“追赶法”解方程组b Ax =，其中：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=520142013A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=971b （追赶法的应用） 5设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112111A ，求2)(cond A （条件数的计算） 6求证：1≥I，AA11≥-（范数的性质） 7求证：∞⋅≤A A A122。

（范数的性质） 8对矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=2100121001210012A ，求∞A ，1A ，2A 和2)(cond A 。

（范数，条件数的计算）9方程组b Ax =，其中nn RA ⨯∈，A 是对称的且非奇异。

设A 有误差A δ，则原方程组变化为b x x A A =++))((δδ，其中x δ为解的误差向量，试证明：22122A A xx xn δλλδδ≤+，其中1λ和n λ分别为A 的按模最大和最小的特征值。

（范数的性质，误差的分析）10证明：若n n ij a A ⨯=)(为严格对角占优矩阵，则A 非奇异。

（严格对角占优矩阵的性质）习题主要考察点：雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，及其收敛性讨论。

1证明：迭代格式f Bx x k k +=+)()1(收敛，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21,8.03.009.0f B 。

（迭代法收敛性判断）2若用雅可比迭代法求解方程组)0(221122221211212111≠⎩⎨⎧=+=+a a b x a x a b x a x a 迭代收敛的充要条件是122112112<a a a a 。

（雅可比迭代法的收敛性）3 用雅可比、高斯-塞德尔迭代法，求解方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 是否收敛？为什么？若将方程组改变成为⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？（雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性）4证明解线性方程组b Ax =的雅可比迭代收敛，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110121014A 。

（雅可比迭代收敛性判断）5已知方程组b Ax =，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=13.021A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21b(1) 试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。

(2) 若有迭代公式)()()()1(b Ax x xk k k ++=+α，试确定α的取值范围，使该迭代公式收敛。