第四章弹塑性波的相互作用
弹 塑 性 力 学第四章
x e 2 x y e 2 y z e 2 z
（4-3）
y y x y 3 2 2 3 2
且
K
E 3 1 2
因此
E K e 3 1 2v
广义胡克定律
3、 应力张量和应变张量表示的广义胡克定律
球张量
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
m
1 x y z x y z x y z 3 3E 1 E 2 1 2 x y z 1 2 m m, K 3 3K 3 1 2 3 E E m
1 m 3K 2 K 3
对比等式两边，可得：sij 2Geij
广义胡克定律
（4-12） 广 sij 2Geij 西 工 物体的变形可分为两部分：一部分是各向相等的正应力引起的 学 院 相对体积改变；一部分是应力偏量引起的物体几何形状的变化。
广义胡克定律可写为 m 3K m
x y z
2 ij sij m ij ij e 2 ij 3 ij m 2G eij m ij 2Geij 3 G m ij 3
偏张量
eij ij m ij
xy yz zx
xy
G
yz
G
zx
G
式中， G
E 2 1 v
为各向同性物体的剪切弹性模量。
表示材料弹性性能的常数有3个（E、v、G)，但只有两个是 独立的。 1 v v 张量记法： ij ij ij E E vE ij e E ij ij 1 v 1 v 1 2v
弹性波和塑性波
第一题：推导波动方程，简述弹性波和塑性波的主要区别？要求给出主要的推导步骤，主要的方程，以及弹性波和塑性波的本质区别。
圆柱杆中的弹性波的传播，如图所示为撞击杆以速度V 撞击长圆柱杆，并在圆柱杆中产生了自左向右传播的压缩应力波。
T 时刻，这个扰动的波阵面在x 位置处。
分析时忽略横向即杆Oy 方向的应变和惯性。
在t 时刻，考察波阵面在截面AB 和A`B`的情况，截面A`B`离起始位置的距离为x+δx,对AA ’BB ’部分。
这里需要设定几个假设：1、忽略细长杆的横向应变和横向惯性效应；2、忽略杆的重力和材料阻尼；3、变形前后横截面为平面，即平截面假定。
应用牛顿第二定律，有图：波在杆中的传播（a ）冲击前；（b ）冲击后F ma =22x A A x A x x t σσσδρδ⎡∂⎤∂⎛⎫--+= ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎦ 22u x tσρ∂∂=∂∂ 而变形是弹性的且假定满足胡克定律：=E σε其中ε为应变，定义为/u x ∂∂，负号表示压应变，因此有22u u E x x tρ∂∂∂⎡⎤=⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 和2222u E u t xρ∂∂=∂∂ 上式即为弹性波的波动方程，其中0EC ρ=为波速。
二、弹性波和塑性波的区别当物体某部分突然受力时，该处将产生弹性变形，并以波的形式向周围传播，使整个物体产生弹性变形，这种波称为弹性波。
当物体受到超过弹性极限的冲击应力扰动后产生的应力和应变的传播、反射，并使得物体产生塑性变形，这种波称为塑性波。
由于固体材料弹性性质和塑性性质的不同，因此在均匀的弹塑性介质中传播的塑性波和弹性波是有区别的，主要表现在：1、塑性波波速与应力有关，它随着应力的增大而减小，较大的变形将以较小的速度传播，而弹性波的波速与应力大小无关；2、在应力σ和应变ε的关系满足()σσε=时，塑性波波速总比弹性波波速小；3、塑性波在传播的过程中波形会发生变化,而弹性波则保持波形不变。
弹性波和塑性波的这些本质区别可以从波动方程中看出，在波动方程中的C 表示的就是应力波的传播速度，其中 弹性波的波速为：001d C C d σερ==，,Y d d E σσε≤= 塑性波的波速为：001d C C d σερ=<，,Y d d E σσε>< 其中Y 表示材料的屈服强度，E 表示材料的弹性模量。
弹塑性力学第四章
代入广义胡克定律
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
b
广义胡克定律
由应力分量的坐标变换公式（2-20）可得：
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
xy l11l22 xy xy 2 x l11 x x 2 y l22 y y 2 z l33 z z
上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下 的推广，因此又称作广义胡克定律。
广义胡克定律
广义胡克定律的张量表示： ij cijkl kl cijkl 称为弹性系数，一共有36个。
i, j, k , l 1, 2.3
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将 有不同的弹性效应，因此一般的讲，cmn 是坐标x，y，z 的函数。 如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点， 如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各 点如果有相同的应变，必承受同样的应力。 因此cmn为弹 性常数，与坐标无关。 各向同性材料，独立的弹性常数只有两个。
xy yz zx
xy
G
yz
G
zx
G
式中， G
E 2 1 v
为各向同性物体的剪切弹性模量。
表示材料弹性性能的常数有3个，但只有两个是独立的。 张量记法：
1 v v ij ij E E vE ij e E ij ij 1 v 1 v 1 2v
弹塑性详解
弹塑性的未来发展
智能材料
未来弹塑性材料将与智能传感器和控制系统集成,实现自主监测和自适应调节,提高结构系统的稳定性和可靠性。
高性能应用
在航空航天、汽车制造、能源等领域,弹塑性材料将发挥更大作用,提高关键部件的抗冲击和耐疲劳能力。
仿生设计
从生物体的运动机理中吸取灵感,开发出更高效、协调的弹塑性机构,应用于机器人、生化假肢等领域。
制造工艺控制
弹塑性理论在冲压、挤压、锻造等成形加工中发挥重要作用,可预测工件变形、确定最佳工艺参数,提高产品质量。
生物医学应用
医疗器械和义肢设计需要利用弹塑性分析,确保其能适应人体组织的变形特性,提高舒适度和功能性。
弹塑性的重要性
1
提高结构安全性
弹塑性能够增强材料和结构在外力作用下的变形能力,有效降低意外事故发生的风险,提高结构的安全可靠性。
弹塑性的影响因素
应力-应变关系
材料的弹塑性行为主要取决于其应力-应变曲线的形状,包括弹性模量、屈服强度和最大强度等关键参数。
材料成分与微观结构
材料的化学成分、晶粒大小、相组成等微观结构特征直接影响其宏观力学性能和弹塑性行为。
应力状态与几何形状
零件或结构的受力状态和几何形状会导致局部应力集中,从而影响弹塑性响应和失效模式。
工程应用
20世纪中后期,弹塑性理论和方法广泛应用于工程实践,在航空、汽车、建筑等领域发挥了重要作用。
现代进展
当前,随着计算机技术的发展,弹塑性分析方法不断创新,在复杂结构设计、材料选择和工艺优化中展现强大的潜力。
弹塑性的基本原理
数学描述
弹塑性通过应变-应力关系的数学模型来描述材料在力学作用下的变形行为。这些模型结合了材料的弹性特性和塑性特性。
第四章 塑性本构关系
一 、理想材料的加卸载准则 理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。 由于屈服面不能扩大，所以当应力点达到屈服面上， 应力增量 d 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切线。 d 加载 f ( ij ) 0, 弹性状态
d
n
f ( ij ) 0, f df d ij 0 ij
（4-1）
其中 张量写法：
G E / 2(1 )
ij 3 ij m ij 2G E
1 m kk 为平均正应力。 3
（4-2）
其中
本构关系
将三个正应变相加，得：
kk
3 1 2 m kk kk 2G E E
kk
(5 37)
对理想塑性材料，比例系数d要联系屈服条件来确定。 1 dw sij ( dsij d sij ) 2G 1 dJ 2 2 J 2 d dWe dW p 2G
进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。
e d ij d ij d ijp
（4-30） （4-31） （4-32）
由Hooke定律， d
e ij
d ij 2G
3 d m ij E
由Drucker公设，d d ij
p ij
其中为加载函数。塑性加载 d 0，中性变载或卸载时 0 时 d
e
注意到（5 - 5）式，We可表示为：
1 1 1 1 1 2 2 W J 2 G 2G 2 2 2 6G
e
本构关系
§4.2 Drucker公设
两类力学量 外变量：能直接从外部可以观测得到的量。如总应变，应力等。 内变量：不能直接从外部观测的量。如塑性应变，塑性功等。 内变量只能根据一定的假设计算出来。 关于塑性应变和塑性功的假设： 1、材料的塑性行为与时间，温度无关。
第四章弹塑性波的相互作用1110
弹塑性波的相互作用
一种 弹塑性加载波的相互作用;
迎面加载（同号加载） 追赶加载（递增硬化材料）形成冲击波
二种：卸载波的相互作用;
1
第四章
弹塑性波的相互作用
4.1 弹塑性加载波的相互作用 4.1.1 强间断塑性波的迎面加载 问题: 长为L的均匀等截面杆,原先处于静止的自然状态.两 端突然受到突加恒速冲击载荷,右端X=L处v3 >0,在左端 v4<0.讨论杆中的弹塑性波的传播.
初始状态对应于va ,σa（>0）状态，杆两端分别受到渐加
载荷到vc和vb后均保持恒值，有vY < vc < va < vb 。分析波 的传播规律. 连续波的动量守恒条件:
d 0Cdv
代替强间断的动量守恒条件: [ ] 0C[v]
X
13
第四章
弹塑性波的相互作用
杆中迎面传播两弱间断弹塑性拉伸波的相互作用
把特征线ab和ac分别分成m段和n段，根据分割点做出 相应的特征线将相互作用区域分成许多小网格，近似认为网
格内的质点速度、应力等参量值是相等的。
19
第四章 弹塑性波的相互作用
于是特征线段 Qs 的斜率可近似按 Q 点的状态 来确定，特征线段 Rs 的斜率可近似按 R 点的 状态来确定。
X s X Q C ( Q )(ts tQ ) S点的位置： X X C ( )(t t ) R R s R s
2
第四章
分析:
弹塑性波的相互作用
杆中波的传播 ：撞击面开始,从杆的左端向右传播弹塑性强
间断拉伸波,同时从杆的右端向左传播弹塑性强间断拉伸波,
但由于初始冲击速度不同,引起应力扰动幅度不同。两波相
弹性波和塑性波
第一题：推导波动方程，简述弹性波和塑性波的主要区别？要求给出主要的推导步骤，主要的方程，以及弹性波和塑性波的本质区别。
圆柱杆中的弹性波的传播，如图所示为撞击杆以速度V 撞击长圆柱杆，并在圆柱杆中产生了自左向右传播的压缩应力波。
T 时刻，这个扰动的波阵面在x 位置处。
分析时忽略横向即杆Oy 方向的应变和惯性。
在t 时刻，考察波阵面在截面AB 和A`B`的情况，截面A`B`离起始位置的距离为x+δx,对AA ’BB ’部分。
这里需要设定几个假设：1、忽略细长杆的横向应变和横向惯性效应；2、忽略杆的重力和材料阻尼；3、变形前后横截面为平面，即平截面假定。
应用牛顿第二定律，有图：波在杆中的传播（a ）冲击前；（b ）冲击后F ma =22x A A x A x x t σσσδρδ⎡∂⎤∂⎛⎫--+= ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎦ 22u x tσρ∂∂=∂∂ 而变形是弹性的且假定满足胡克定律：=E σε其中ε为应变，定义为/u x ∂∂，负号表示压应变，因此有22u u E x x tρ∂∂∂⎡⎤=⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 和2222u E u t xρ∂∂=∂∂ 上式即为弹性波的波动方程，其中0EC ρ=为波速。
二、弹性波和塑性波的区别当物体某部分突然受力时，该处将产生弹性变形，并以波的形式向周围传播，使整个物体产生弹性变形，这种波称为弹性波。
当物体受到超过弹性极限的冲击应力扰动后产生的应力和应变的传播、反射，并使得物体产生塑性变形，这种波称为塑性波。
由于固体材料弹性性质和塑性性质的不同，因此在均匀的弹塑性介质中传播的塑性波和弹性波是有区别的，主要表现在：1、塑性波波速与应力有关，它随着应力的增大而减小，较大的变形将以较小的速度传播，而弹性波的波速与应力大小无关；2、在应力σ和应变ε的关系满足()σσε=时，塑性波波速总比弹性波波速小；3、塑性波在传播的过程中波形会发生变化,而弹性波则保持波形不变。
弹性波和塑性波的这些本质区别可以从波动方程中看出，在波动方程中的C 表示的就是应力波的传播速度，其中 弹性波的波速为：001d C C d σερ==，,Y d d E σσε≤= 塑性波的波速为：001d C C d σερ=<，,Y d d E σσε>< 其中Y 表示材料的屈服强度，E 表示材料的弹性模量。
弹塑性力学第四章
若通过物体每一点可作这
样的轴（如x3轴），在此轴 成垂直的平面内，所有射
线方向的弹性性质都是相
同的，称这个平面为各向
同性面，如地层属于此类。
[C]中独立系数为5个：
x1
x3 x2’
x2Fra bibliotek各向同性面
x1’
2019/10/18
28
§4-2 线弹性体的本构关系
2.4 横观各向同性材料——弹性体对一个轴对称
ij
2019/10/18
12
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
W ijij
比较上面二式，得：
W
W
ij
ij
ij
W
ij
fij ( kl )——本构关系（方程）
适用于各种弹性情况（线性、非线性）
2019/10/18
13
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
本构关系
时刻达到 应变增量
t
+t：位移有增量 u
ijeie j
uiei
外力功增量 ：
A V f udV SF udS
2019/10/18
8
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
：函数增量
A V f udV SF udS
WdV
V
S Fi uidS S (ij ui )njdS V ( ji ui ), j dV
代入外力功增量
2019/10/18
10
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章 弹塑性波的相互作用
于是可得：
X S X Q C(Q )(tS tQ ) X S X R C( R )(tS tR )
S Q R a S Q R a
第四章 弹塑性波的相互作用
有限差分数值法求解弱间断弹塑性波相互作用
解abdc区这类在两条不 同系的特征线上给定 v 和 ，则可在以这两条 特征线和经过它们端点 的另两条特征线为界的 曲线四边形中求得单值 解的问题，常称为 Darboux问题或特征线 边值问题。
两弹性波波相遇后t2时刻应力图
两弹性前驱波首先相 遇于a点。两波相遇界面的 右侧有：
5
1
5 1 0C1
Y
5 Y 0C1
，
两波相遇界面的左侧有：
5 2
5 2 0C1
Y
5 Y 0C1
第四章 弹塑性波的相互作用
在界面上应满足质点速度相等 和应力相等条件，即有：
5 5 5
5 5 5
X
E
X
d dX
m
Em
0C02
X
d m
dX
0C02
dm
dX
第四章 弹塑性波的相互作用
如果X点和X +dX 两点卸载开始时的 分m 别如图中的a点和b点所示，某时刻t此两点 的卸载应力 分别如图中i点和h点所示，则表
达式 /中X 各项的意义如图中所示。
X
E
X
d dX
m
Em
b1
0C02
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
§4-2 卸载波的控制方程 和特征线
弹塑性材料在加载和卸载时遵循不同 的应力应变关系，因而相应地有不同的控 制方程。
X
d m
dX
0C02
dm
dX
第四章 弹塑性波的相互作用
卸载时杆的运动学方程和动力学
方程和加载时相同，连同卸载应力应
变关系就可列出卸载区的控制方程组
为：
t X
0
t
X
m E( m )
第四章 弹塑性波的相互作用
消去 ，则得
X t
t
C02
X
1
0
d m
dX
C02
d
m
dX
第四章 弹塑性波的相互作用
一维应力下弹性卸载的应力应变关系
用字母上加一横来表 示卸载后的量，则一维 应力下弹性卸载的应力 应变关系可写作：
m E （ 4-1m）
第四章 弹塑性波的相互作用
对卸载区而言， m 和 m 都只是X的 函数，与t无关。
上式对t和X分别求导可得：
t
E
t
0C02
t
由上述四个方程联立求解得：
5 0
5
Y
0C1Y
(1
C1 )Y C0
第四章 弹塑性波的相互作用
内反射与入射塑性波相遇后t3时刻应力图
第四章 弹塑性波的相互作用
入射塑性波相遇后t4时刻应力图
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性强间断加载波相互作用的 ~ v 图
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性强间断加载波相互作用的 ~ v 图
第四章 弹塑性波的相互作用
1．强间断弹塑性波的迎面加载 先讨论线性硬化材料的情况，
这时弹性波速 C0 ( E / 0 ) 和塑性波 速 C1( E1 / 0 ) 都是恒值。
第四章 弹塑性波的相互作用
设有一长为l 的均匀等截面杆， 原先处于静止的自然状态。两端同时 受到突加恒速冲击载荷，其值在右端 为 v3 0 ，在左端为 v4 0 。于是在 杆中有迎面传播两强间断弹塑性拉伸 波。
第四章 弹塑性波的相互作用
t t1 时，1区和2区的状态有:
1
Y，1
Y
Y E
1
Y0C0Y Nhomakorabea2 *2 * E1 (1 E1 1 E )Y
2
1
0C0
1
0C1
Y
* 0C1
*
第四章 弹塑性波的相互作用
当 t t1 时 ,卸载区3区的状态有：
3 0 3 2 2 E *
3
2
2 0C0
第四章 弹塑性波的相互作用
强间断弹塑性加载波相互作用
第四章 弹塑性波的相互作用
两波相遇前，和弹塑性简单波的情
况完全一样。图中0，1、2、3、4各区
的状态均可作为已知，即：
0 0 0
1
2
Y，1
2
Y
0C0
3 1 0C1(3 1)
4 2 0C1(4 2 )
第四章 弹塑性波的相互作用
第四章 弹塑性波的相互作用
消去 ，则得
t
0C02
X
X
0
t
第四章 弹塑性波的相互作用
也可以表示为以位移为未知函数 的两阶偏微分方程：
2u t 2
C02
2u X 2
1
0
d m
dX
C02
dm
dX
第四章 弹塑性波的相互作用
采用特征线法求解，可得对应的特 征线方程和特征线上相容条件。
dX C0dt
第四章 弹塑性波的相互作用
2．弱间断弹塑性波的迎面加载
递减硬化材料(d 2 / d 2 0) 的弹性波速
C0 (
E / 0 )是恒值，但塑性波速 C()
1 d d
不再是恒值，塑性波以连续波的形式传播。
第四章 弹塑性波的相互作用
设有一长为 l 的递减硬化材料 等截面杆，原先处于va ( 0) ， a ( 0) 的状态。右端受到渐加冲击载荷到 vb ( va ) ，在左端受到渐加冲击载荷 到 vc ( va ) 后保持恒值，于是在杆 中迎面传播两束弱间断弹塑性拉伸 波，在相遇前都是已知的简单波。
d d b 0C
对于杆的左侧有 ：
d c
d d c 0C
第四章 弹塑性波的相互作用
在界面上应满足质点速度相等 和应力相等条件，即有：
vd vd vd
d d d
由上述四个方程联立求解得 vd， 和 d 。
第四章 弹塑性波的相互作用
如果用 来表示，则上四式可化为：
d b
弹塑性波在固定端的反射
带有(”)的区域 都是恒值区，在平 面上正负特征线都 是直线，在状态平 面上只对应于一点。
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
带有(’)的区域都是 简单波区，它总是和 恒值区相邻出现。
在状态平面上它 对应于一线段。如果 这线段是正向的，则 平面上的负向特征线 族为直线，而另一族 特征线为曲线。
即：
R
d
a
2b
a
2 I
弹塑性波在刚壁反射后应力 扰动值加倍。
第四章 弹塑性波的相互作用
递减硬化弹塑性材料有限长杆， 其左端(X=0)固定，右端(X=L)在t=0 时受一突加恒速撞击。弹塑性波在 固定端和撞击端间来回反射而逐渐 增强。
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
在应力波到达 固定端之前，在弹 性前驱波波阵面LA 上，应力、应变、 质点速度分别从零
第四章 弹塑性波的相互作用
§4-3 追赶卸载
一线性硬化材料的半无限长杆，原来 处于静止的自然状态，在t = 0时受一突加 恒值冲击载荷 ，经过时间t1后又突然卸 载到零。
在两杆突然相撞后又突然跳开的情况 下就会遇到这类问题。
第四章 弹塑性波的相互作用
加载扰动和卸载扰动都以强间断 波阵面的形式在杆中传播，并且卸载 扰动的传播快于塑性加载扰动的传播。
(d a ) (c a ) (b a )
第四章 弹塑性波的相互作用
弱间断弹塑性波的迎面加载 ，引 入 来代替 ，就可应用叠加原理来 求解。
第四章 弹塑性波的相互作用
有限差分数值法求解弱间断弹塑性波相互作用
把特征线ab和ac分 别分成m段和n段 ，经 过ab线上诸分割点的左 行特征线和经过线ac上 诸分割点的右行特征线 将把区域划分成许多小 网格，而网格内的质点 速度和应力可以近似地 看作是均匀的。
第四章 弹塑性波的相互作用
三种类型的定解问题：
Cauchy问题(初值问题)； Picard问题(混合问题)； Darboux问题(特征线边值问题)。
第四章 弹塑性波的相互作用
3．弹塑性加载波在固定端的反射
弹性波在刚壁(固定端)的反射，等 同于两应力值相同弹性波的相互撞击。
和弹性波相似，弹塑性波在刚壁 (固定端)的反射，也等同于两应力值相 同弹塑性波的相互撞击。
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
不带(”)和(’) 的区域都是混合 波区，在物理平 面和状态平面上 有一一对应的区 域。
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
d
C0d
1
0C0
d m
C0d m
dX C0dt
d
1
0C0
d
第四章 弹塑性波的相互作用
以 和 v 为未知函数的控制方程
组及其相应的特征线方程组，与弹性 波中的形式完全一致，这是弹性卸载 假定的必然结果。
第四章 弹塑性波的相互作用
追赶卸载：在半无限长杆中，杆端先受到 弹塑性加载，然后卸载。由于卸载扰动的 传播比塑性加载扰动的传播快，后发生的 卸载扰动将追上先发生的塑性加载扰动而 相互作用的问题。 迎面卸载：在有限长杆中，由另一端传 来的卸载扰动迎面与塑性加载扰动相互作 用的问题。