Lyapunov 指数
描述混沌的指标
描述混沌的指标全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：混沌是一个具有高度不确定性和复杂性的系统状态，常被描述为无序的、难以理解的状态。
在科学研究和实践中，我们常常需要寻找一些指标来描述混沌系统的特征，以便更好地理解和分析混沌现象。
下面将介绍一些常用的描述混沌的指标。
1. Lyapunov指数：Lyapunov指数是描述混沌系统的一个重要指标，它是衡量系统状态变化速率的指标。
当系统的Lyapunov指数为正时，系统将呈现混沌状态；当Lyapunov指数为负时，系统将呈现稳定状态。
通过计算Lyapunov指数，可以判断系统是否处于混沌状态。
2. 分形维数：分形维数是描述混沌系统结构的一个重要指标，它反映了系统结构的复杂程度。
分形维数越高，系统结构越复杂。
通过计算分形维数，可以揭示混沌系统的结构特征。
3. 自相关函数：自相关函数是描述混沌系统时间演化规律的一个重要指标，它反映了系统状态之间的相关性。
通过分析系统的自相关函数，可以揭示混沌系统的时间演化规律。
4. 峰谱特性：峰谱是描述混沌系统频率分布特性的一个重要指标，它反映了系统在不同频率上的能量分布。
通过分析系统的峰谱特性，可以了解混沌系统的频率分布规律。
以上是一些常用的描述混沌的指标，它们可以帮助我们更好地理解和分析混沌系统的特征。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的指标来描述混沌现象，从而更好地理解混沌系统的特性。
混沌系统是一种具有复杂性和不确定性的系统，通过研究混沌系统的特征和规律，有助于我们更好地理解自然界的复杂现象。
【此为创作文章，仅供参考】。
第二篇示例：混沌理论最早由美国数学家爱德华·洛伦茨提出，它描述了一类非线性动力系统的行为特征。
混沌系统的演化非常敏感于初始条件，即所谓“蝴蝶效应”，微小的扰动可能导致系统的行为出现巨大的变化。
由于混沌系统的复杂性和不可预测性，其研究领域涉及到物理、天文、生物、社会和经济等方方面面。
在混沌系统中，我们需要一些指标来描述系统的混沌程度。
常微分方程中的Lyapunov指数
常微分方程中的Lyapunov指数Lyapunov指数是一种用于研究动力系统稳定性的重要工具。
在常微分方程中，Lyapunov指数可以帮助我们判断一个系统的稳定性，从而可以更好地理解物理现象。
本文将从以下几个方面介绍Lyapunov指数。
一、什么是Lyapunov指数？Lyapunov指数是法国数学家Lyapunov在19世纪末首次引入的一个概念，用于描述动力系统在某一相空间内的稳定性。
Lyapunov指数是一个实数，通常用λ表示，其大小代表了系统的稳定程度。
当λ>0时，系统是不稳定的；当λ<0时，系统是稳定的；当λ=0时，系统处于稳态。
二、如何计算Lyapunov指数？计算Lyapunov指数的方法有很多种，其中最为常用的是Kaplan-Yorke公式。
这种方法需要进行线性化处理，将非线性动力系统转化为线性动力系统。
通常用牛顿迭代法求解微分方程，并对每个时间步长进行雅可比矩阵的计算，从而最终得到系统的Lyapunov指数。
三、Lyapunov指数在物理学中的应用Lyapunov指数在物理学中有着广泛的应用，尤其是在研究混沌现象中。
混沌是指系统发生不可预期的非周期性运动，常常出现在分子动力学、天体力学和流体力学中。
利用Lyapunov指数可以判断混沌现象的发生，从而更好地理解这些物理现象。
四、Lyapunov指数在控制系统中的应用除了在物理学中的应用外，Lyapunov指数还被广泛应用于控制系统中。
在控制系统中，通过计算Lyapunov指数可以判断系统是否稳定，并且可以设计出更好的控制策略。
此外，Lyapunov指数还可以用于描述系统的鲁棒性，即系统对干扰的抵抗能力。
五、Lyapunov指数的局限性尽管Lyapunov指数在控制系统和物理学中有着广泛的应用，但是它也存在一些局限性。
首先，计算Lyapunov指数常常非常复杂，需要耗费大量时间和计算资源。
其次，Lyapunov指数只能用于描述系统局部的稳定性，而不能用于描述全局的稳定性。
第三章 Lyapunov指数的非线性控制
stable. Such systems are conservative and in a steady state mode. They exhibit Lyapunov stability.
<0 - the system is chaotic
and unstable. Nearby points will diverge irrespective of how close they are.
ｉ
Definition of Lyapunov Exponents
Given a continuous dynamical system in an ndimensional phase space, we monitor the long-term evolution of an infinitesimal n-sphere of initial conditions. The sphere will become an n-ellipsoid due to the locally deforming nature of the flow. The i-th one-dimensional Lyapunov exponent is then defined as following:
L.E.（李雅普诺夫指数 ）是1892年提出的， 直到近几年，才认识到它的重要性 —— 它是判断有界非线性系统是否为混沌 系统的一个重要方法。
-Lyapunov指数的计算方法
【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。
关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。
（1）定义法定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。
以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数% a=0.15,b=0.20,c=10.0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为———— 0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09 0 -9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。
李雅普诺夫指数的综述
李雅普诺夫指数• 1.李雅普诺夫指数的定义• 2. 李雅普诺夫指数的划分意义• 3. 李雅普诺夫指数用在混沌中，如何应用一李雅普诺夫指数的定义李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移，按指数分离或聚合的平均变化速率。
李雅普诺夫指数的定义:首先考虑一维映射假设初始位置附近有一点，则经过一次迭代后，这两点之间的距离为：（1）并利用微分中值定理有：（2）n次迭代后，并利用微分中值定理，这两点之间的距离为：（3）由（3）式可得：（4）又由复合函数的微分规则有：其中那么式（4）就变为：（5）则称（6）为Lyapu nov指数。
一维映射就对应一个李雅普诺夫指数，而且当时，该系统具有混沌特性。
当时，对应着分岔点或系统的周期解，既系统出现周期现象。
时，系统有稳定的不动点，即此时对应的是一个点。
而对于多维系统则有多个李雅普诺夫指数。
Lyapun ov 特性指数沿某一方向取值的正负和大小表示长时间系统在吸引子中相邻轨线沿该方向平均发散或收敛i的快慢程度，仅从数学角度考虑，Lyapun ov特性指数无量纲。
n维系统具有 n个Lyapun ov 特性指数，形成指数谱。
其中数值最大的被称为最大Lyapun ov 特性指数。
最大Lyapun ov 指数定义为其中，表示时刻最邻近零点间的距离；M为计算总步数。
最大Lyapun ov指数不仅是区别混沌吸引子的重要指标，也是混沌系统对于初始值敏感性的定量描述。
其中一维系统只有一个指数，二维系统有两个指数来表征。
在实际计算中,要计算所有的Lyapu n ov指数,计算量较大,尤其当系统维数L较大时更为突出.所以注意力集中在计算系统的最大L y apun ov指数λm上.二李雅普诺夫指数的物理意义系统的Lya punov指数谱可有效地表征变量随时间演化时，系统对初值的敏感性。
Lyapunov指数的计算方法
【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚,瞧了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线,把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1、关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法,或者通过求解系统的微分方程,得到微分方程解的时间序列,然后利用时间序列(即离散系统)的LE求解方法来计算得到。
关于连续系统LE的计算,主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。
(1)定义法定义法求解Lyapunov指数、JPG关于定义法求解的程序,与matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。
以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子,用来计算Lyapunov指数% a=0、15,b=0、20,c=10、0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0、15;b = 0、20;c = 10、0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化,必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码:% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0、15;b = 0、20;c = 10、0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下:%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为———— 0、063231 0、092635 -9、8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0、09 0 -9、77需要注意的就是——定义法求解的精度有限,对有些系统的计算往往出现计果与理论值有偏差的现象。
李雅普诺夫指数 迁移率边
李雅普诺夫指数迁移率边【原创实用版】目录一、李雅普诺夫指数的概念和背景二、李雅普诺夫指数与混沌运动的关系三、李雅普诺夫指数的应用案例四、李雅普诺夫指数的意义和影响正文一、李雅普诺夫指数的概念和背景李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponent）是一种用于描述非线性系统动力学行为的数学指标，由俄国数学家亚历克谢·李雅普诺夫于 19 世纪末提出。
李雅普诺夫指数可以用来衡量一个系统在给定初始条件下，经过一定时间后，其状态变量偏离初始值的速度。
在数学上，李雅普诺夫指数可以表示为系统状态变量的对数增量与相应时间间隔的比值。
二、李雅普诺夫指数与混沌运动的关系混沌运动是指在确定性非线性系统中，系统的演化行为表现出极度敏感依赖于初始条件的现象。
在混沌运动中，系统的状态变量在经过一定时间后，会与初始条件相差甚远，呈现出无规律、不可预测的特征。
李雅普诺夫指数是判断一个非线性系统是否具有混沌行为的重要依据。
当李雅普诺夫指数大于零时，可以断定系统处于混沌状态；当李雅普诺夫指数小于零时，系统则趋于稳定或周期解。
三、李雅普诺夫指数的应用案例李雅普诺夫指数在许多领域都有广泛应用，例如气象学、生态学、经济学等。
其中，最为著名的应用案例是洛伦兹提出的天气预报模型。
在1961 年的一个冬季，洛伦兹通过计算机模拟天气模式，发现从几乎相同的初始条件出发，经过一段时间后，天气模式的预测结果却出现了巨大的差异。
这一发现揭示了混沌现象在气象学中的重要作用，并为后来的气象预报研究提供了重要的理论依据。
四、李雅普诺夫指数的意义和影响李雅普诺夫指数的提出和应用，对于理解和预测非线性系统的动力学行为具有重要意义。
它为我们提供了一种定量的方法来分析系统的稳定性和混沌现象，从而帮助我们更好地掌握系统的演化规律。
Lyapunov指数的计算方法
【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法? ? 连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。
关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。
（1）定义法定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。
以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)%??Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数%? ?? ???a=0.15,b=0.20,c=10.0%? ?? ???dx/dt = -y-z,%? ?? ???dy/dt = x+ay,%? ?? ???dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);? ? X(5), X(8), X(11);? ? X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;? ?? ??? 1 a?? 0;? ?? ??? z 0??x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;? ?? ?? ?? ???0 1 0;? ?? ?? ?? ???0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimes? ? tspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps);? ? ? ? [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);? ? % 取积分得到的最后一个时刻的值? ? y = Y(size(Y,1),:);? ? % 重新定义起始时刻? ? tstart = tstart + tstep*steps;? ? y0 = [y(4) y(7) y(10);? ?? ?? ? y(5) y(8) y(11);? ?? ?? ? y(6) y(9) y(12)];? ? %正交化? ? y0 = ThreeGS(y0);? ? % 取三个向量的模? ? mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));? ? mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));? ? mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));? ? y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);? ? y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);? ? y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);? ? lp = lp+log(abs(mod));? ? %三个Lyapunov指数? ? Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);? ? Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);? ? Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);? ?? ???y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3) 程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V)??% V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为————??0.063231??0.092635??-9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09? ?0? ?-9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。
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3Lyapunov指数3最大Lyapunov指数 (1)3.1引言 (2)3.2Lyapunov指数谱的理论计算方法 (4)3.3Wolf法求Lyapunov指数 (5)3.4小数据量和Kantz法计算最大Lyapunov指数 (6)3.5尺度相关的Lyapunov指数 (8)3.6海杂波的最大Lyapunov指数 (10)3.7本章小结 (10)3.8后记 (10)3.1 引言最大Lyapunov指数是判断和描述非线性时间序列是否为混沌系统的重要参数，因此是一个重要的混沌不变量。
对于混沌系统来说，耗散是一种整体性的稳定因素，动力系统一方面作为耗散系统最终要收缩到相空间的有限区域即吸引子上。
另一方面系统在相体积收缩的同时，运动轨道又是不稳定的，要沿某些方向进行指数分离。
奇怪吸引子的不稳定的运动轨道在局部看来总是指数分离的。
为了有效刻画吸引子，我们有必要研究动力系统在整个吸引子或无穷长的轨道上平均后的特征量，如Lyapunov指数、关联维和Kolmogorov熵等。
混沌运动的基本特点是运动对初始条件极为敏感，两个极为靠近的初始值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分离，Lyapunov指数就是描述这一现象的量。
在一维动力系统1()n n x F x +=中，初始两点迭代后互相分离还是靠拢，关键取决于导数dF dx 的值。
若1dF dx >，则迭代使得两点分开；若1dF dx<，则迭代使得两点靠拢。
但是在不断的迭代过程中，dF dx 的值也随之而变化，呈现出时而分离时而靠拢。
为了表示从整体上看相邻两个状态反而情况，必须对时间(或迭代次数)取平均。
不妨设平均每次迭代所引起的指数分离中的指数为λ，于是原来相距为ε的两点经过次迭代后距离为n ()00()(n x n n e F x F λεε=+−0)x (3.1) 取极限0,n ε→→∞，则(3.1)变为()()00000()()11lim lim ln lim ln n n n n n x x dF x F x F x x n n εελε→∞→→∞=+−==dx (3.2) 上式变形后，可简化为： ()()01001lim ln n n i x x dF x x n dx λ−→∞===∑ (3.3) (3.3)中的λ与初始值的选取没有关系，称为原动力系统的Lyapunov 指数，它表示系统在多次迭代中平均每次迭代所引起的指数分离中的指数。
若0λ<，则意味着相邻点最终要靠拢合并成一点，这对应于稳定的不动点和周期运动；若0λ>，则意味着相邻点最终要分离，对应于轨道的局部不稳定，如果轨道还有整体的稳定因素(如整体有界、耗散、存在捕捉区域等)，系统要在有限的几何对象上实现指数分离，必须无穷次折叠。
则在此作用下反复折叠并形成混沌吸引子，故0λ>可以作为混沌行为的一个判据。
对于一般的维动力系统，定义Lyapunov 指数如下：n设为上的n 维映射，假设一个维离散动力系统：F n →R R n n ()1F n n x x +=。
将系统的初始条件取为一个无穷小的维小球，由于演化过程中的自然变形，球将变成椭球。
将椭球上所有主轴按其长度顺序排列，那么第i 个Lyapunov 指数根据第i 个主轴的长度的增加速率定义为n ()i P n ()()(1001lim ln ,1,2,,n i i i n i i n P n P σ−→∞===∑ )n (3.4) 这样Lyapunov 指数是与相空间的轨线收缩或扩张的性质相关联的，在Lyapunov 指数小于零的方向上轨线收缩，运动稳定，对于初始值不敏感；而在Lyapunov 指数为正的方向上，轨道迅速分离，对初始值敏感。
Lyapunov 指数的前个指数之和由前个主轴定义的维立体指数增加的长期平均速率确定，如椭球长度按j j j 1e σ增加，由前两个主轴定义的区域面积按12e σσ+增加，由前三个主轴的体积按123e σσσ++增加，以此类推。
在Lyapunov指数谱中，最小的Lyapunov 指数决定轨道收缩的快慢；最大的Lyapunov 指数则决定轨道发散即覆盖整个吸引子的快慢；而所有的指数之和i λ∑可以认为是大体上表征轨线总的平均发散快慢。
Lyapunov 指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。
对于系统是否存在动力学混沌，可以从最大Lyapunov 指数是否大于零非常直观的判断出来：一个正的Lyapunov 指数，意味着在系统相空间中，无论初始两条轨线的间距多么小，其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测，这就是混沌现象[1]。
Lyapunov 指数对应混沌系统的初始值敏感性，它与吸引子至少有如下关系[2]:1) 任何吸引子，不论是否为奇怪吸引子，都至少有一个Lyapunov 指数是负的，否则轨线就不可能收缩为吸引子。
2) 稳定定态和周期运动(以及准周期运动)都不可能有正的Lyapunov 指数。
稳定定态的Lyapunov 都是负的；周期运动的最大Lyapunov 等于0，其余的Lyapunov 都是负的。
3) 对于任何混沌运动，都至少有一个正的Lyapunov 指数，如果经过由计算得知系统至少有一个正的李雅普诺夫指数，则可肯定系统作混沌运动。
Lyapunov 指数的计算方法可分为两类：如果知道系统的动力学方程，则可以根据定义来计算[3, 4]；如果不知道系统的动力学方程，则只有通过观测时间序列来估计。
目前在工程上, 由观测时间序列来计算Lyapunov 指数的方法主要有以下两种[5]:(1)分析法：该方法通常先进行相空间重构，求系统状态方程的雅可比矩阵，然后对雅可比矩阵进行特征值分解或奇异值分解求取系统的Lyapunov 指数，但该方法对噪声非常敏感。
(2)轨道跟踪法：该方法以Wolf 方法[3]和Rosenstein 的小数据法[6-8]为代表，对系统两条或更多条的轨道进行跟踪，获得它们的演变规律以提取Lyapunov 指数。
该方法的优点是计算结果不易受拓扑复杂性(如Lorenz 吸引子)的影响。
本文主要研究以Wolf 方法为基础的轨道跟踪法及其改进算法，本章中各节主要内容如下：3.2节介绍 Lyapunov 指数谱的理论计算方法，3.3节介绍Wolf 提出的基于轨道跟踪的Lyapunov 指数计算方法，3.4节介绍Wolf 方法的改进：小数据量和Kantz 算法，3.5节介绍能有效区分混沌、噪声、分形布朗运动等多种时间序列的尺度相关Lyapunov 指数，3.6节介绍海杂波的Lyapunov 指数，3.7节为本章小结。
3.2 Lyapunov 指数谱的理论计算方法在已知动力学微分方程的情况下，经过理论推导或对微分方程离散化采用某种数值迭代算法，就可以得到已知动力学系统的精确Lyapunov 指数谱。
本文介绍的算法基本原理是首先求解出系统常微分方程的近似解，然后对系统的Jacobi 矩阵进行QR 分解，同时对多个小时间段进行必要的正交化重整过程，反复迭代计算后从而得到系统的Lyapunov 指数谱。
设动力学系统由右侧方程式决定： (3.5) ()F =XX 并考虑轨道相邻两点和(X ′X ′=−ξX X )，将(3.5)式线性化得(3.6) (())T t =ξX ξ i 式中(F =∂∂T )X 是雅可比矩阵，ξ是切平面上的切矢量，将(3.6)式积分有()(0)t ′=ξA ξ (3.7) 其中，是切向量到的线性映射算子，因此得到平均指数增长率为′A (0)ξ()t ξ ()()(0),(0)lim (0)t t λ→∞=ξX ξξ (3.8) 对于重构相空间中的某一点，与点距离小于i X i X ε的所有点为{,，它们的位移矢量为1,2,i =i k X }{}{}ε=−−≤i i i k i k i Y X X X X (3.9) 经过一段时间后，数据点演化为，因此原位移矢量{映射为t ,→→i i i i+t k k X X X X +t }i Y {}{}ε=−−≤i i i k +t i+t k i Z X X X X (3.10) 如果半径ε足够小，则位移矢量{和{可近似为切平面上的切矢量，因此从到的矩阵}i Y }i Z iY i Z j A 满足(3.11) =i j Z A Y i d 使用最小二乘法，可以求得式(3.11)中的矩阵，应用QR 分解矩阵，同时在不同的时间段内进行必要的Gram-Schmidt 正交化重整过程，即可得到所需的lyapunov 指数A A ,1,2,,i i λ= [3, 4, 9]。
3.3 Wolf 法求Lyapunov 指数对于一般的实际时间序列，我们无法确切知道该时间序列代表的原始动力学过程，因此无法根据动力学方程求得该时间序列的精确Lyapunov指数。
一般只能对单变量的时间序列进行相空间重构，然后使用分析法和轨道跟踪法来提取系统的Lyapunov指数。
由于在1985年，Wolf等人首先提出直接基于相平面、相体积等演化来估计Lyapunov指数，因此传基于轨道跟踪的这类方法有被统称为Wolf方法，它在混沌系统的研究和基于Lyapunov指数的混沌时间序列预测中应用十分广泛[1, 3]。
设混沌时间序列为{}12,,,n x x x ，嵌入维数，时间延迟为m τ，则重构相空间为()()()(),(),,(m-1),1,2,,(m-1)i i i i Y t x t x t x t i N τττ=++=− (3.12) 相空间重构后，利用混沌吸引子的轨道分离特性，Wolf 方法计算最大Lyapunov 指数的整个过程如图 3-1所示。
图 3-1：Wolf 法求最大Lyapunov 指数示意图(此图取自wolf 论文[3]，因时间关系没有重绘)我们取相空间中的初始点为()0Y t ，设它的最邻近点为()00Y t ，两点之间的距离设为0()L t ，从时刻开始追踪这两点的时间演化，直至时刻两点的间距超过规定值0t 1t ε()()1(),0L t εε′=−>101Y t Y t > (3.13) 此时保留点，并在临近找一点()1Y t ()1Y t ()11Y t ，此时需要保证两点间距离不但保证()()1(),0L t εε=−<111Y t Y t > (3.14) 并且使得1()L t 与1()L t ′之间的夹角1θ尽可能的小，继续重复上述过程，直至到达时间序列的终点，这时追踪演化过程总的迭代次数为()Y t M ，则最大Lyapunov 指数为1101()1ln ()M k k M k L t t t L t λ=−′=−∑ (3.15) 如果要计算次大的Lyapunov 指数，如图 3-2所示，则要追踪一个点以及相邻两个点构成三角形0()A t 的演化过程，当这个三角形1()A t ′变得太偏斜或者面积太大，则重新取一个两边与原三角形两边夹角最小的三角形1()A t ，反复重复该过程直到终点，则次大的Lyapunov 指数为2101()1ln ()M k k M k A t t t A t 1λλ=−′=−∑− (3.16)图 3-2：Wolf 法求次大Lyapunov 指数示意图(此图取自wolf 论文[3]，因时间关系没有重绘)从理论上，对于无噪声的无限长数据，Wolf 方法可以精确求得系统所有的Lyapunov指数，但实际时间序列长度有限，并且由于噪声的影响，该方法只能较为可靠地计算最大Lyapunov 指数。