-Lyapunov指数地计算方法
克隆法计算李雅普诺夫指数
克隆法计算李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数（Lyapunov exponent）是用来衡量动态系统稳定性的一个重要指标。
在混沌理论中，李雅普诺夫指数可以用来预测一个系统对初始条件的敏感性。
克隆法是一种计算李雅普诺夫指数的数值方法。
其基本思想是：对于一个给定的动态系统，我们首先生成两个几乎完全相同的初始条件，然后让它们分别演化。
随着时间的推移，这两个初始条件会逐渐分离，我们可以通过测量它们之间的距离来计算李雅普诺夫指数。
具体步骤如下：
生成两个几乎完全相同的初始条件。
让这两个初始条件分别演化。
计算它们之间的距离。
重复上述步骤多次，并取平均值。
将平均值与时间作图，并求出斜率，即为李雅普诺夫指数。
需要注意的是，克隆法是一种数值方法，其结果会受到初始条件的选择、时间步长的选择等因素的影响。
因此，在使用克隆法计算李雅普诺夫指数时，需要选择合适的参数，并进行多次模拟以获得更准确的结果。
切换系统Lyapunov指数的算法综述
切换系统Lyapunov指数的算法综述
郭建丽;高庆
【期刊名称】《科技信息》
【年(卷),期】2014(000)005
【摘要】Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的重要指标.本文针对切换系统,综述了目前常用Lyapunov指数的三种计算方法:庞加莱映射法、时间序列法和混沌同步法.通过分析和比较其特点及优缺点,详细探讨各方法在切换系统中的应用.【总页数】2页(P3-4)
【作者】郭建丽;高庆
【作者单位】重庆邮电大学工业物联网与网络化控制教育部重点实验室,中国重庆400065;重庆邮电大学工业物联网与网络化控制教育部重点实验室,中国重庆400065
【正文语种】中文
【相关文献】
1.条件Lyapunov指数和时间τ-条件Lyapunov指数的研究 [J], 何岱海;徐健学;陈永红;谭宁
2.切换系统的鲁棒二次公共Lyapunov函数矩阵寻找算法 [J], 张晓宇;李平
3.时滞切换系统指数稳定性分析:多Lyapunov函数方法 [J], 丛屾;费树岷;李涛
4.非线性切换系统的振荡行为及其Lyapunov指数计算 [J], 余跃;张春;毕勤胜
5.基于Adomian分解法的分数阶非线性系统的分析及Lyapunov指数算法的实现[J], 雷腾飞;贺金满;王艳玲;臧红岩;黄丽丽;付海燕
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常微分方程中的Lyapunov指数
常微分方程中的Lyapunov指数Lyapunov指数是一种用于研究动力系统稳定性的重要工具。
在常微分方程中，Lyapunov指数可以帮助我们判断一个系统的稳定性，从而可以更好地理解物理现象。
本文将从以下几个方面介绍Lyapunov指数。
一、什么是Lyapunov指数？Lyapunov指数是法国数学家Lyapunov在19世纪末首次引入的一个概念，用于描述动力系统在某一相空间内的稳定性。
Lyapunov指数是一个实数，通常用λ表示，其大小代表了系统的稳定程度。
当λ>0时，系统是不稳定的；当λ<0时，系统是稳定的；当λ=0时，系统处于稳态。
二、如何计算Lyapunov指数？计算Lyapunov指数的方法有很多种，其中最为常用的是Kaplan-Yorke公式。
这种方法需要进行线性化处理，将非线性动力系统转化为线性动力系统。
通常用牛顿迭代法求解微分方程，并对每个时间步长进行雅可比矩阵的计算，从而最终得到系统的Lyapunov指数。
三、Lyapunov指数在物理学中的应用Lyapunov指数在物理学中有着广泛的应用，尤其是在研究混沌现象中。
混沌是指系统发生不可预期的非周期性运动，常常出现在分子动力学、天体力学和流体力学中。
利用Lyapunov指数可以判断混沌现象的发生，从而更好地理解这些物理现象。
四、Lyapunov指数在控制系统中的应用除了在物理学中的应用外，Lyapunov指数还被广泛应用于控制系统中。
在控制系统中，通过计算Lyapunov指数可以判断系统是否稳定，并且可以设计出更好的控制策略。
此外，Lyapunov指数还可以用于描述系统的鲁棒性，即系统对干扰的抵抗能力。
五、Lyapunov指数的局限性尽管Lyapunov指数在控制系统和物理学中有着广泛的应用，但是它也存在一些局限性。
首先，计算Lyapunov指数常常非常复杂，需要耗费大量时间和计算资源。
其次，Lyapunov指数只能用于描述系统局部的稳定性，而不能用于描述全局的稳定性。
基于神经网络的Lyapunov指数谱的计算
(1) 所示系统的全部L yap unov 指数Ζ
α 收稿日期: 1999212221 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
10
系统工程理论与实践
2001 年 8 月
从实验观察到的数据确定系统的 L yap unov 指数, 可采用W o lf 方法[3]和 BBA [4]方法等Λ 其中W o lf 方 法仅适用于求系统的最大 L yap unov 指数, BBA 法可求出系统的全部 L yap unov 指数, 但此种方法运算量 很大, 而且需要的数据点很多, 使其应用受到很大限制Λ本文利用B P 神经网络能够任意逼近非线性函数的 性质, 用于求解实验观察数据的全部 L yap unov 指数, 可克服上述困难Λ
A (i)Q (i - 1) = Q (i)R (i)
(16)
式中, Q (i) 为正交矩阵, R (i) 为上三角矩阵, Q (0) 是 d ×d 阶单位矩阵Ζ 按 (16) 式所示过程 Q R 分解 N 次,
得到矩阵 A 的 Q R 分解如下:
A = Q (N ) R (N ) R (N - 1) …R (1)
第8期
基于神经网络的L yap unov 指数谱的计算
11
Χk1 =
5Χ 5x k, 1
,
Χk2
=
5Χ 5x k, 2
,
…,
Χkd
=
5Χ 5x k, d
(11)
确定雅可比矩阵D F (k) 的过程即为确定 (11) 式的过程Ζ
(9) 式表明, 对于重构的相空间向量 y (k ) , 它在 k 时刻的微小变化 ∃y (k ) , 在雅可比矩阵D F (k ) 的作用
第三章 Lyapunov指数的非线性控制
stable. Such systems are conservative and in a steady state mode. They exhibit Lyapunov stability.
<0 - the system is chaotic
and unstable. Nearby points will diverge irrespective of how close they are.
ｉ
Definition of Lyapunov Exponents
Given a continuous dynamical system in an ndimensional phase space, we monitor the long-term evolution of an infinitesimal n-sphere of initial conditions. The sphere will become an n-ellipsoid due to the locally deforming nature of the flow. The i-th one-dimensional Lyapunov exponent is then defined as following:
L.E.（李雅普诺夫指数 ）是1892年提出的， 直到近几年，才认识到它的重要性 —— 它是判断有界非线性系统是否为混沌 系统的一个重要方法。
lyapunov指数计算
lyapunov指数计算
Lyapunov指数（Lyapunov exponent）是一种用于描述动态系统混沌性质的指标。
在数学上，Lyapunov指数是描述线性化系统的稳定性的指标，它可以判断非线性系统是否具有混沌性质。
计算Lyapunov指数的基本过程如下：
1.首先，选择一个合适的初始状态，并计算该状态在系统中的轨迹。
2.然后，选取一个邻域，计算在该邻域内的状态与初始状态的差异随时间的变化情况。
3.对于每个时间步长，计算邻域中的点向初始状态点移动的距离与时间的比值。
4. 重复上述步骤，直到获得足够的数据，然后计算Lyapunov指数。
5. Lyapunov指数表示在该系统中相邻轨迹的指数级别分离速度。
具体计算Lyapunov指数的过程比较复杂，一般需要借助计算机进行模拟和计算。
-Lyapunov指数的计算方法
【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。
关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。
（1）定义法定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。
以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数% a=0.15,b=0.20,c=10.0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为———— 0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09 0 -9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。
关于Lyapunov指数计算方法的比较_张海龙
混沌从本质上说是指在确定性系统中出现的一种貌似无规则 、 类似随机的现象． 混沌系统的基本特点 Lyapunov 指数 两个靠近的初值产生的轨道随时间推移按指数方式分离 ， 是运动对初值条件极为敏感， （ LE ） 就是定量描述这一现象的量， 是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标， 它表征了系统在相空间 ［1 ， 2 ］ ． 中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率 如何快速、 准确地计算出 LE 是分析混沌系统的关键， 近年来国内学者对 LE 的计算方法做了很多研 ［3 ］ ， Yan Wen logistic lyapunov Liao［4］利用 wolf 法计算出几种 究 利用定义法求解了 模型的最大 指数（ LLE ） 、 Wang［5］ 在比较 wolf 法与小数据量法后选择采用小数据量法计算出 logistic 模型的 典型混沌系统 LLE 、 LLE 、 Xie［6］在实际应用中又提出改进的小数据量法 ． 对于不同系统可以选择不同的计算方法 ， 虽然各种方 法均取得了较好的计算结果， 不同的计算方法可以适用于不同的系统中 ， 但是目前对多种 LE 计算方法的 综合比较和选择依据的说明很少． 本文讨论混沌吸引子的 Lyapunov 指数计算问题， 主要是对实际应用中 wolf 法、 即定义法、 正交法和小数据量法， 以典型的 Lorenz 系统为例， 分别用各 常用的几种方法进行比较， 种方法计算其 Lyapunov 指数或者最大 Lyapunov 指数， 详细比较出各种求解精度、 求解复杂度和抗干扰能 力的差异， 从而给出各方法的适用范围和选择依据 ． 关于其他动力学系统的 Lyapunov 指数计算结果， 由于 这里不再给出． 篇幅的限制，
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张海龙， 等： 关于 Lyapunov 指数计算方法的比较
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【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。
关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。
（1）定义法定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。
以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数% a=0.15,b=0.20,c=10.0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为———— 0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09 0 -9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。
正交化程序可以根据上面的扩展到N*N向量，这里就不加以说明了，对matlab用户来说应该还是比较简单的！（2）Jacobian方法通过资料检索，发现论坛中用的较多的LET工具箱的算法原理就是Jacobian方法。
基本原理就是首先求解出连续系统微分方程的近似解，然后对系统的Jacobian 矩阵进行QR分解，计算Jacobian矩阵特征值的乘积，最后计算出LE和分数维。
经过计算也证明了这种方法精度较高，对目前常见的混沌系统，如Lorenz、Henon、Duffing等的Lyapunov指数的计算精度都很高，而且程序编写有一定的规范，个人很推荐使用。
（虽然我自己要做的系统并不适用）LET工具箱可以在网络上找到，这里就不列出了！关于LET工具箱如果有问题，欢迎加入本帖讨论！Jacobian法求解Lyapunov指数.JPG对离散动力系统，或者说是非线性时间序列，往往不需要计算出所有的Lyapunov指数，通常只需计算出其最大的Lyapunov指数即可。
“1983年，格里波基证明了只要最大Lyapunov指数大于零，就可以肯定混沌的存在”。
目前常用的计算混沌序列最大Lyapunov指数的方法主要有一下几种：（1）由定义法延伸的Nicolis方法（2）Jacobian方法（3）Wolf方法（4）P－范数方法（5）小数据量方法其中以Wolf方法和小数据量方法应用最为广泛，也最为普遍。
下面对Nicolis方法、Wolf方法以及小数据量方法作一一介绍。
（1）Nicolis方法这种方法和连续系统的定义方法类似，而且目前应用很有限制，因此只对其理论进行介绍，编程应用方面就省略了Nicolis方法求最大LE.JPG（2）Wolf方法Wolf方法求最大LE.JPGWolf方法的Matlab程序如下：function lambda_1=lyapunov_wolf(data,N,m,tau,P)% 该函数用来计算时间序列的最大Lyapunov 指数--Wolf 方法% m: 嵌入维数！一般选大于等于10% tau:时间延迟！一般选与周期相当，如我选2000% data:时间序列！可以选1000；% N:时间序列长度满足公式：M=N-(m-1)*tau=24000-(10-1)*1000=5000 % P:时间序列的平均周期,选择演化相点距当前点的位置差，即若当前相点为I，则演化相点只能在|I－J|>P的相点中搜寻 ! P=周期=600% lambda_1: 返回最大lyapunov指数值min_point=1 ; %&&要求最少搜索到的点数MAX_CISHU=5 ; %&&最大增加搜索范围次数%FLYINGHAWK% 求最大、最小和平均相点距离max_d = 0; %最大相点距离min_d = 1.0e+100; %最小相点距离avg_dd = 0;Y=reconstitution(data,N,m,tau); %相空间重构可将此段程序加到整个程序中，在时间循环内，可以保存时间序列的地方。
见完整程序。
M=N-(m-1)*tau; %重构相空间中相点的个数for i = 1 : (M-1)for j = i+1 : Md = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,j));endd = sqrt(d);if max_d < dmax_d = d;endif min_d > dmin_d = d;endavg_dd = avg_dd + d;endendavg_d = 2*avg_dd/(M*(M-1)); %平均相点距离dlt_eps = (avg_d - min_d) * 0.02 ; %若在min_eps～max_eps中找不到演化相点时，对max_eps的放宽幅度min_eps = min_d + dlt_eps / 2 ; %演化相点与当前相点距离的最小限max_eps = min_d + 2 * dlt_eps ; %&&演化相点与当前相点距离的最大限% 从P+1～M-1个相点中找与第一个相点最近的相点位置(Loc_DK)及其最短距离DKDK = 1.0e+100; %第i个相点到其最近距离点的距离Loc_DK = 2; %第i个相点对应的最近距离点的下标for i = (P+1):(M-1) %限制短暂分离，从点P+1开始搜索d = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,1))*(Y(k,i)-Y(k,1));endd = sqrt(d);if (d < DK) & (d > min_eps)DK = d;Loc_DK = i;endend% 以下计算各相点对应的李氏数保存到lmd()数组中% i 为相点序号，从1到(M-1)，也是i-1点的演化点；Loc_DK为相点i-1对应最短距离的相点位置，DK为其对应的最短距离% Loc_DK+1为Loc_DK的演化点，DK1为i点到Loc_DK+1点的距离，称为演化距离% 前i个log2（DK1/DK）的累计和用于求i点的lambda值sum_lmd = 0 ; % 存放前i个log2（DK1/DK）的累计和for i = 2 : (M-1) % 计算演化距离DK1 = 0;for k = 1 : mDK1 = DK1 + (Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1))*(Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1));endDK1 = sqrt(DK1);old_Loc_DK = Loc_DK ; % 保存原最近位置相点old_DK=DK;% 计算前i个log2（DK1/DK）的累计和以及保存i点的李氏指数if (DK1 ~= 0)&( DK ~= 0)sum_lmd = sum_lmd + log(DK1/DK) /log(2);endlmd(i-1) = sum_lmd/(i-1); 此处可以保存不同相点i对应的李氏指数，见完整程序。