基于Lyapunov指数的时间序列

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基于Lyapunov指数的电阻点焊声音混沌时间序列识别

ｅｉｓｏｉａｓｍｓｉｎｓｇｌ．Ｔｈｅｕｔｉｄｃｔｄａｍｅｈｄｔｖｕｔｎｒｄｃｈｕｌｙｎｅｒｓｌｎｉａｅｔｏｏｅａａｅａｄｐｅｉｔｔｅｑａｉ．Ｔｈｏｏｎｉｇｄｍｅｓｏｌｔｅｂｘｃｕｔｎｉｎｉｎ
数作为特征值来量化具有混沌特性的点焊声音信息，结果表明，盒维数能反映点焊质量微小变化，可提高质量检验
的准确性．
关键词：点焊；声音信号；Ｌａｕｏｙｐｎｖ指数；混沌时间序列；盒维数中图分类号：ＴＡ５Ｃ３文献标志码：Ａ文章编号：０９ — １７２０）６０５ — ５４３２３（０７０ — ７２０
ｗａｍｐｅｎｅｏｑａｔｔｔｅｙｄｓｒｂｈｈａｔｒｓｉｓｏｈｃｕｔｃｅｓｉｎｓｇａｓｂｃｕｅｃａｓｃｓｉｌｍｅｔｄｔｕｎｉａｉｌｅｃｅｔｅｃａｃｅｔｆｔｅａｏｓｉｍｉｓｏｉｌｅａｓｌｓｉａｖｉｒｉｃｎｌＥｕｌｅｎｇｏｔａｅｉｔｉｅａｔ．Ｔｅｒｓｌｎｉａｅｔａｈｏｏｎｔｇｄｍｅｓｏｆａｏｓｉ — ｃｉａｅｍｅｒｃｎｔｄｐｃｔｘｃｌｄｙｙｈｅｕｔｉｄｃｔｈｔｔｅｂｘｃｕｉｉｎｉｎｏｃｕｔｃｅｓｎｍｉｓｏｉａａｅｅｔｔｅｔｙｃａｇｆｓｏｌｉｇｑａｉｙｔｍｐｏｅｔｅａｃｒｃｆｍｏｉｒ．ｓｉｎｓｇｌｃｎｒｆｃｈｉｈｎｅｏｐｔｗｅｄｎｕｔｏｉｒｖｈｃｕａｙｏｎｔｉｎｌｎｌｏｎｇＫｅｗｏｄｓｓｏｌｉｇ；ａｏｔｃｅｉｓｏｉａｓｙｐｎｖｅｐｎｎｓｈｏｉｅｅ；ｂｘｃｕｔｇｄ－ｙｒ：ｐｔｗｅｄｎｃｕｓｉｍｓｉｎｓｇｌ；Ｌａｕｏｘｏｅｔ；ｃａｓｔｎｍｅｓｒｓｏｏｎｉｉｉｎ

-Lyapunov指数的计算方法

【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。

关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。

（1）定义法定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。

以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数% a=0.15,b=0.20,c=10.0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为———— 0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09 0 -9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。

毕业设计__基于神经网络的时间序列Lyapunov指数普的计算毕业设计论文

摘要 (II)Abstract (III)第一章绪论 (1)1.1 引言 (1)1.2 Lyapunov计算方法的定义 (2)第二章基于神经网络的Lyapunov指数谱的计算 (3)2.1 相空间重构 (3)2.2 Oseledec矩阵的确定 (3)2.3 QR分解 (5)2.4 小波神经网络 (7)2.5 基于RBF神经网络的Lyapunov指数谱计算方法 (10)2.6 Lyapunov指数实验计算代码 (11)2.6.1确定嵌入维数 (11)2.6.2确定延迟时间 (11)2.6.3计算Lyapunov指数普 (12)2.7 Lyapunov指数仿真实验结果 (14)2.7.1 实验一 (14)2.7.2 实验二 (16)小结 (18)总结 (19)参考文献 (20)致谢 (21)Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。

对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov 指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。

利用RBF 神经网络的非线性函数逼近能力, 由实验观察数据列计算系统的Lyapunov指数谱实例计算表明, 此种方法精度较高且计算量较小, 有重要的实际意义.关键词: Lyapunov 指数谱; 相空间重构; 人工神经网络AbstractLyapunov exponent is an important measure of system dynamics quantitative indicators, It is characterized by the average rate in the phase space between adjacent tracks convergence or divergence. For the existence of chaotic dynamics, can be very intuitive judgment from the largest Lyapunov exponent is greater than zero: a positive Lyapunov exponent, means that the system in phase space, regardless of the initial two-rail line spacing, however small, the difference will cannot predictAs time evolved exponential increase in the rate of so reached, which is chaos. Lyapunov exponents are one of a number of parameters that characterize the nature of a chaotic dynamical system. We calculate the Lyapunov exponents from an observed time series based on the ability thata RBF neural network can approximate nonlinear functions. The results show that this method needs less computing time and has higher precision, soit has practical significance.Keywords: Lyapunov exponents;Reconstruction of phase space;Artificial neural network第一章绪论1.1引言混沌系统的基本特点就是系统对初始值的极端敏感性，两个相差无几的初值所产生的轨迹，随着时间的推移按指数方式分离，Lyapunov指数[1]就是定量的描述这一现象的量。

基于Lyapunov指数的混凝土体积变形混沌预测

维普资讯
第３９卷第１４期
２０８年７月０
人民长江
ＹａｇｚＲｉｅｎｔｅｖｒ
Ｖ０．９．ｏ１１３Ｎ．４
Ｊｌ，ｕｙ
２００８
文章编号：０１１９２０）４—０７ —０１０ —４７（０８１０２３
１概述
特制的Ｍ混凝土具有延迟微膨胀特点，可用于补偿混凝
ｌ
，ｔｘｉ（
…
一Ｄ ’
式中ｒ是用自相关函数法计算出来的，序列｛｝间跨度为弦时
的自相关系数：
１生
土因水化热后温降过程的收缩变形，达到改善温度应力、防裂快
由于混凝土系统在一定条件下是一个混沌系统，实测的故
２相空问重构、ｙｕｏ指数与相空问预报Ｌａｎｖｐ
２１相空间重构．
一
变形时间序列可认为是确定性混凝土系统在不同时刻的特解集合。从复杂性理论可知，时间序列不仅包含系统所有变量以往的
Ｄ（）＝Ｄ（）Ｘ，Ｉ（）：ＩＤ（）＋。，最大ｉｊ０ｅ－有ｎｉｎｊ０ｋ则Ａｔ
碾压混凝土中高掺粉煤灰，Ｍｇ对ｏ的微膨胀性能具有抑制
作用。由于碾压混凝土具有水泥用量少，高掺粉煤灰等特点，因
此，胶凝材料的安定性、ｇＭｏ的合理掺量以及外掺Ｍ微膨胀
碾压混凝土的自生体积变形能力等问题，有与常规Ｍ微膨具胀混凝土不同的规律。本文针对Ｍ混凝土自生体积变形的时间序列，于相空基间重构给出最大Ｌａｕｏ指数的计算，ｙｐｎｖ以判断其混沌行为；在分别给出近邻等距预报模式和Ｌａｕｏ指数预报模式的基础上，ｙｐｎｖ

基于Lyapunov指数能谱分布的转子-机匣系统故障诊断研究

其切空间中在Ｘ（）的切向量可线性化表示为ｔ处
ｒｘ（）（ｔ）・式中，ＤＯ／Ｘ，Ｆ的Ｊｅｂａ阵。Ｔ＝Ｆ＝ＦＯ为ａｏｉｎ矩
＝
上式为一线性非自治方程，其解为
（）＝Ａ０ｔ（）（）１式中，为将向量（）（）Ａ０向ｔ映射的线性算子。切向量的平均指数发散率定义为
采用更为先进的各向异性材料和复合材料，而且向着灵、、等方向发展，料非线性和结构非线性效应轻柔材日益突出，使得发动机结构系统，特别是发动机转子～机匣系统的振动响应日益彰显丰富的以混沌特性为代表的非线性动力学特性。系统的混沌动力学特性通常用Ｌａｕｏｙｐｎｖ指数来表
机匣实测振动信号时间序列的Ｌａｕｏ数谱；出ｙｐｎｖ指提并定义了Ｌａｕｏ数能、ｙｐｎｖ指数能谱和Ｌａｙｐｎｖ指Ｌａｕｏｙ－ｐｎｖ数能谱分布的概念，得了某型航空发动机在ｕｏ指获不同故障状态下的机匣实测振动信号时间序列的Ｌａｙ。
维普资讯
振
动
与
冲
击
第２７卷第５期
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＶＩＲＡＴＩＢＯＮＡＮＤＳＨＯＣＫ
基于Ｌａｕｏｙｐｎｖ指数能谱分布的转子一机匣系统故障诊断研究
江龙平，徐可君，唐有才
中图分类号：Ｖ３Ｔ６Ｔ１３＋．２；Ｈ１５；Ｈ３３文献标识码：Ａ

常微分方程中的Lyapunov指数

常微分方程中的Lyapunov指数Lyapunov指数是一种用于研究动力系统稳定性的重要工具。

在常微分方程中，Lyapunov指数可以帮助我们判断一个系统的稳定性，从而可以更好地理解物理现象。

本文将从以下几个方面介绍Lyapunov指数。

一、什么是Lyapunov指数？Lyapunov指数是法国数学家Lyapunov在19世纪末首次引入的一个概念，用于描述动力系统在某一相空间内的稳定性。

Lyapunov指数是一个实数，通常用λ表示，其大小代表了系统的稳定程度。

当λ>0时，系统是不稳定的；当λ<0时，系统是稳定的；当λ=0时，系统处于稳态。

二、如何计算Lyapunov指数？计算Lyapunov指数的方法有很多种，其中最为常用的是Kaplan-Yorke公式。

这种方法需要进行线性化处理，将非线性动力系统转化为线性动力系统。

通常用牛顿迭代法求解微分方程，并对每个时间步长进行雅可比矩阵的计算，从而最终得到系统的Lyapunov指数。

三、Lyapunov指数在物理学中的应用Lyapunov指数在物理学中有着广泛的应用，尤其是在研究混沌现象中。

混沌是指系统发生不可预期的非周期性运动，常常出现在分子动力学、天体力学和流体力学中。

利用Lyapunov指数可以判断混沌现象的发生，从而更好地理解这些物理现象。

四、Lyapunov指数在控制系统中的应用除了在物理学中的应用外，Lyapunov指数还被广泛应用于控制系统中。

在控制系统中，通过计算Lyapunov指数可以判断系统是否稳定，并且可以设计出更好的控制策略。

此外，Lyapunov指数还可以用于描述系统的鲁棒性，即系统对干扰的抵抗能力。

五、Lyapunov指数的局限性尽管Lyapunov指数在控制系统和物理学中有着广泛的应用，但是它也存在一些局限性。

首先，计算Lyapunov指数常常非常复杂，需要耗费大量时间和计算资源。

其次，Lyapunov指数只能用于描述系统局部的稳定性，而不能用于描述全局的稳定性。

基于最大李亚普诺夫指数的改进混沌时间序列预测

基于最大李亚普诺夫指数的改进混沌时间序列预测
张勇;关伟
【期刊名称】《信息与控制》
【年(卷),期】2009(38)3
【摘要】分析了基于最大李亚普诺夫指数的混沌时间序列预测方法,提出了一种选取重构相空间中的多个邻近参考向量来提高预测精度的改进方法。

对洛伦兹混沌系统产生的时间序列进行了预测,结果表明改进方法比原方法的预测精度要高。

讨论了噪声和参考邻近点数对预测结果的影响。

应用改进方法预测实际的交通流量时间序列的平均相对误差在8%以下,说明了改进方法的有效性。

【总页数】5页(P360-364)
【关键词】混沌时间序列预测;李亚普诺夫指数;相空间重构;交通流量预测
【作者】张勇;关伟
【作者单位】北京交通大学交通运输学院
【正文语种】中文
【中图分类】O545;U491
【相关文献】
1.多变量时间序列最大李雅普诺夫指数的计算 [J], 卢山;王海燕
2.黑河日径流量混沌变化特性的研究——Ⅲ最大李雅普诺夫(Lyapunov)指数的确定 [J], 陈引锋;马长铃
3.一维气候时间序列的李亚普诺夫指数所显示的动态系统的演化特征 [J], 严绍瑾
4.短期负荷预测最大李亚普诺夫指数法的改进 [J], 杨正瓴;田勇;张广涛;林孔元
5.基于条件李亚普诺夫指数的混沌系统的脉冲同步研究 [J], 蒋飞;刘中
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如何计算时间序列的一维李雅普诺夫指数谱

时间序列的一维李雅普诺夫指数谱是一种用于衡量时间序列非线性动力学特征的重要指标。

通过计算时间序列的一维李雅普诺夫指数谱，我们可以了解时间序列的混沌程度、非线性动力学特征以及系统的演化规律。

下面将从计算一维李雅普诺夫指数谱的基本原理、计算步骤以及应用案例等方面进行介绍。

一、计算一维李雅普诺夫指数谱的基本原理1. 时间序列的非线性动力学特征在进行一维李雅普诺夫指数谱的计算之前，我们首先需要了解时间序列的非线性动力学特征。

时间序列通常是由一系列按时间顺序排列的数据点组成，而这些数据点之间可能存在着复杂的非线性关系。

传统的线性分析方法已经不能完全满足对时间序列的分析需求，非线性动力学理论的引入为我们提供了一种新的分析时间序列的思路。

2. 李雅普诺夫指数的概念李雅普诺夫指数是刻画动力学系统混沌行为的重要指标，它能够反映系统中微小扰动的增长率，从而揭示系统的混沌特性。

对于一维的时间序列数据，我们可以通过计算一维李雅普诺夫指数来揭示时间序列的混沌特征。

3. 一维李雅普诺夫指数谱一维李雅普诺夫指数谱可以帮助我们更直观地了解时间序列的非线性动力学特征。

它能够给出时间序列中各个频率对应的李雅普诺夫指数，从而揭示时间序列在不同频率下的混沌特性，为我们深入分析和理解时间序列提供了重要的参考。

二、计算一维李雅普诺夫指数谱的步骤1. 数据预处理我们需要对时间序列数据进行预处理，包括数据清洗、去噪等操作。

在数据预处理的过程中，我们需要确保数据的准确性和完整性，以保证后续计算的准确性和可靠性。

2. 计算傅里叶变换接下来，我们需要对预处理后的时间序列数据进行傅立叶变换，将时间序列数据转换到频域中。

通过傅立叶变换，我们可以将时间序列从时域转换到频域，从而得到时间序列在不同频率下的分量。

3. 计算相空间重构在得到时间序列在不同频率下的分量之后，我们需要进行相空间重构，将时间序列的不同分量映射到相应的高维空间中。

相空间重构是计算一维李雅普诺夫指数谱的关键步骤，它能够帮助我们更好地理解时间序列的非线性动力学特征。

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通过跟踪邻近点的演化轨迹实现当前点的状态预测，短期预测可以达到提高预测精度。这其中邻近点的选择对预测结果影响很大。本文采取最小距离点作为邻近点，利用其在相空间中的演化趋势预测当前点的演化行为，仿真结果说明了本文方法的有效性。针对本文经过相空间重构，和Lyapunov指数的计算，并且基于Lyapunov指数完成了混沌预测，得到了初步预测结果。

Lyapunov 指数定义
1）、Lyapunov指数的提取

最大Lyapunov指数计算示意图
（2）、基于相空间重构理论的预测原理

基于模型逼近的混沌序列预测

基于最大Lyapunov指数的预测
四、混沌预测的仿真研究
4.1 Logistic序列的相空间重构
4.2 最大Lyapunov指数计算
4.3 混沌预测
4.4 结果分析
六、结论
本文基于Lyapunov指数，对混沌时间序列进行预测方法的研究。首先基于混沌时间序列，合理选择嵌入维数和嵌入时间延迟，完成相空间重构。其次，计算Lyapunov指数。 Wolf法计算最大Lyapunov指数概念明确，思路清晰，原理相对简单，因此本文选择Wolf 法来求取最大Lyapunov指数的值。经过验证，求取的Lyapunov指数值大于零，根据混沌信号特性，说明此时产生了混沌，需要研究混沌序列预测方法。
f
n
y,
0, x, y S , x y，
二、混沌预测理论基础

典型混沌方程介绍 Logistic映射分析相空间重构
(1) 典型混沌方程介绍

连续混沌系统:
1)
2) 3) 4)
Dffing方程 Lorenz方程 Rossler方程四维超混沌Rossler方程

离散混沌系统：
定理1.1
定理1.2
定理1.3
定义1.3说明混沌映射具有三个要素:不可预测性，不可分解性以及具有规律性。
（2）、混沌的特征

混沌具有内在随机性混沌具有分性特征混沌具有标度不变性，是一种无周期的有序混沌现象具有对初始条件的敏感依赖性遍历性
lim sup f
n
n
x,
1)
2) 3) 4)
Logistic映射 Kent映射 Henon映射 Ushiki映射
(2) Logistic映射分析

Logistic映射定义如下：
Lyapunov指数主要由混沌系统参数决定的
（3）、相空间重构
分线性复杂系统中包含多个变量，但通常情况下只能观测到其中某一分量的离散样序列。如果用表示观测到的变量分量，为观测序列。Takens定理认为根据一个变量的时间序列可以重构系统相空间。因为时间序列本身蕴藏了参与动力系统的全部变量的有关信息，通过考察观测到的变量分量，将它在某些固定的时间延迟点上的观测量看成新的坐标，以形成一个多维状态空间，即重构的相空间。相空间重构的基本方法有三种：时间延迟法、导数法和基本分量坐标法。
基于Lyapunov指数的时间序列
班级：姓名：指导老师：
一、混沌的基本知识

混沌的基本概念混沌的特征混沌预测概述混沌预测发展历史
（1）、基本概念
迄今为止，混沌还没有一个被人们普遍接受的定义。1986年伦敦国际混沌会议上提出：数学上的混沌是指确定性系统中出现的一种藐似无规则的，类似随机的现象。
七、致谢
在本次毕业设计过程中，我遇到了不少的困难，但是越是在困难的时候，就越能感受的老师和同学的关心。每当遇到困难时，李世涛老师都会帮我分析，给出最合适的解决方法。而且还会不定时的检查我的设计进展，及时指出系统的问题，使我少走了很多弯路。在翻译，开题报告等方面，对我们也是严格要求，让我们提前交，然后老师会给我们纠正不规范的地方，然后再改再纠正。李世涛老师这种严谨的态度，对学生的认真负责，让我深深地感动。在调试程序过程中遇到的问题更是不少，但是，不管是大问题还是小问题，同组的同学都会一起帮我分析、讨论，找出解决办法，帮我调试。能够顺利的完成此次毕业设计，真的离不开老师的指导和同学们的帮助，在此致以崇高的谢意。
THANK YOU
OVER1）、基于时间延迟来自相空间重构原理2）、相空间重构参数选择

嵌入维数的确定嵌入维数m取3

嵌入延迟的确定时间延迟t取1
三、Lyapunov指数混沌序列预测
Lyapunov指数的计算 Logistic映射的Lyapunov指数计算基于相空间重构理论的预测原理

（1）、Lyapunov指数的计算