人教版八年级数学上册第十一章三角形11.2与三角形有关的角导学案

人教版八年级数学上册第十一章三角形11．2 与三角形有关的角导学案11．2.1 三角形的内角第1课时三角形的内角和教学目标1.会阐述三角形内角和定理．2.会应用三角形内角和定理进行计算(求三角形的角的度数)．情景导入阅读教材P11～13，完成预习内容．问题1 揭示三角形的内角和1．幻灯片出示：解释“什么是三角形的内角”，并通过“内角三兄弟之争”的数学故事引出本节内容．数学故事：在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结．可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了…….”“为什么？”老二很纳闷．同学们，你们知道其中的道理吗？2．利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形的内角和．30°＋60°＋90°＝180°45°＋45°＋90°＝180°想一想：任意三角形的三个内角之和也为180°吗？问题2 探索并证明三角形的内角和定理做一做1．在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码．2．让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处(如图2)，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.图13．剪下∠A，按图2拼在一起，从而还可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.图2 图34．把∠B和∠C剪下按图3拼在一起，用量角器量一量∠MAN的度数，会得到什么结果．想一想如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面结论的正确性呢？已知△ABC，说明∠A＋∠B＋∠C＝180°，你有几种方法？结合图1、图2、图3说明这个结论成立．知识探究三角形三个内角的和等于180°．例题讲解例1如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．解：由∠BAC ＝40°，AD 是△ABC 的角平分线， 得∠BAD ＝12∠BAC ＝20°.在△ABD 中，∠ADB ＝180°－∠B －∠BAD ＝180°－75°－20°＝85°.【跟踪训练1】 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，且∠B ＝3∠BAD ，求∠B 的度数．解：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝12∠BAC ，∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°，而∠B ＝3∠BAD ， ∴2∠BAD ＋3∠BAD ＋90°＝180°. ∴∠BAD ＝18°. ∴∠B ＝3∠BAD ＝54°.例2 如图是A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向．从B 岛看A ，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 呢？【点拨】 A ，B ，C 三岛的连线构成△ABC ，所求的∠ACB 是△ABC 的一个内角，如果能求出∠CAB ，∠ABC ，就能求出∠ACB.解：∠CAB ＝∠BAD －∠CAD ＝80°－50°＝30°. 由AD ∥BE ，得∠BAD ＋∠ABE ＝180°.所以∠ABE ＝180°－∠BAD ＝180°－80°＝100°，∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°.在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°.答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.【跟踪训练2】如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，求∠A的度数．解：根据题意，得∠1＝∠2＝30°.∵∠ACD＝60°，∴∠ACB＝30°＋60°＝90°.∵∠CBA＝75°－30°＝45°，∴∠A＝180°－∠ACB－∠CBA＝180°－90°－45°＝45°.巩固训练1．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，则∠C的度数为(D)A．80°B．90°C．20°D．100°2．下面有关三角形内角的说法，正确的是(A)A．一个三角形中最大的内角不能小于60°B．一个三角形中可以有两个直角C．一个三角形的三个内角能都大于60°D．一个三角形的三个内角都能小于60°3．如图是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，则这块三角板的另一个角的度数是(B)A．30°B．40°C．50°D．60°4．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C的度数为(C)A．45°B．60°C．75°D．90°5．在△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝50°．6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上．若∠B＋∠C＝120°，则∠1＋∠2＝120°．7．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.若∠A＝70°，则∠BOC的度数为125°．课堂小结会运用三角形内角和定理求三角形中内角的度数．第2课时直角三角形的两个锐角互余教学目标1．通过三角形的内角和定理推导出直角三角形的两锐角互余．2．理解并会运用直角三角形的两锐角互余及其逆定理．预习反馈阅读教材P13～14，完成预习内容．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋90°＝180°．所以∠A＋∠B＝90°．知识探究1．直角三角形的两个锐角互余．2．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．3．由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形．例题讲解例1如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？解：∠CAE＝∠DBE.在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED.∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE.【跟踪训练1】如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个例2 如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？解：△ADE是直角三角形．理由：∵∠C＝90°，∴∠A＋∠2＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠1＝90°.∴∠ADE＝90°，即△ADE是直角三角形．【跟踪训练2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B，∠2＝∠3，则图中共有5个直角三角形．巩固训练1．在直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数为(A) A．30°B．60°C．90°D．120°2．在Rt△ABC中，∠B＝90°.若∠C比∠A大20°，则∠A等于(A)A．35°B．40°C．55°D．60°3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有(C) A．0个B．1个C．2个D．3个4．在△ABC中，满足下列条件：①∠A＝60°，∠C＝30°；②∠A＋∠B＝∠C；③∠A＝90°－∠C；④∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，能确定△ABC为直角三角形的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个5．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为(B) A．140°B．160°C．170°D．150°6．如图，DF⊥AB，∠A＝40°，∠D＝43°，则∠ACD的度数是87°．7．在△ABC中，如果∠A＝12∠B＝13∠C，那么△ABC是什么三角形？解：设∠A＝x，那么∠B＝2x，∠C＝3x.根据题意，得x＋2x＋3x＝180°.解得x＝30°.∴∠A＝30°，∠B＝60°.∴△ABC是直角三角形．课堂小结1．直角三角形的两个锐角互余．2．有两个角互余的三角形是直角三角形.11.2.2 三角形的外角教学目标1．探索并了解三角形的外角的性质．2．利用三角形的外角性质解决与其有关角度的问题．预习反馈阅读教材P14～15，完成预习内容．1．如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做外角．图1图2如图2，一个三角形有6个外角．每个顶点处有2个外角．2．如图1，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝120°．试猜想∠ACD与∠A，∠B的关系是∠A＋∠B＝∠ACD．3．试结合图形写出证明过程：证明：过点C作CM∥AB，延长BC到D.则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，∠2＝∠B(两直线平行，同位角相等)，所以∠1＋∠2＝∠A＋∠B，即∠ACD＝∠A＋∠B.知识探究一般地，由三角形内角和定理可以推出：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．例题讲解例如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋∠2.所以∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)．由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°.【点拨】你还有其他解法吗？试试看！【跟踪训练】如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°.(1)求∠B的度数；(2)若∠D＝42°，求∠AFE的度数．解：(1)∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠A＝35°，∠ACD＝83°，∴∠B＝∠ACD－∠A＝48°.(2)∵∠AFE是△BDF的一个外角，∠B＝48°，∠D＝42°，∴∠AFD＝∠B＋∠D＝48°＋42°＝90°.巩固训练1．下面说法正确的是(D)A．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角和B．三角形的一个外角小于它的一个内角C．三角形的一个外角大于这个三角形的内角D．以上说法均不正确2．三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是(C)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．如图所示，已知AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数是(A) A．63°B．83°C．73°D．53°4．如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是(B)A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠A C．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠15．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A ＝40°，∠1＝60°，则∠2的度数为100°．6．如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝50°，试求：(1)∠D的度数；(2)∠ACD的度数．解：(1)∵∠DAE＝∠B＋∠D，∴∠D＝∠DAE－∠B＝50°－30°＝20°.(2)∵AD平分∠CAE，∴∠CAE＝2∠DAE＝100°.∴∠BAC＝80°.∴∠ACD＝∠B＋∠BAC＝110°.7．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝81°，求∠DAC 的度数．解：设∠1＝x，则∠1＝∠2＝x.∵∠3＝∠1＋∠2，∴∠3＝∠4＝2x.∴∠BAC＝180°－2x－x＝81°.∴x＝33°.∴∠DAC＝81°－33°＝48°.课堂小结三角形外角的性质：1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．三角形的外角和是360°.。