平均变化率教案及教案说明

平均变化率江苏省南京外国语学校严青一、教材：苏教版《普通高中课程标准实验教科书（选修2—2）·数学》第1章。

二、地位和作用：《导数及其应用》在整个高中教材中的地位和作用是非常重要的，它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础。

通过本章的学习，使学生对变量数学的思想方法有新的感悟，促进学生全面认识数学的价值（应用价值、科学价值、文化价值），从而进一步发展学生的数学思维能力。

新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。

平均变化率是是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。

三、教学目标✧通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；✧理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；✧感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力。

四、教学重点平均变化率概念教学难点平均变化率概念的形成过程五、教学方法与教学手段✧启发式教学与探究式学习相结合。

通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题。

这样学生不会感到突兀，并能进一步感受到数学来源于生活，生活中处处蕴含着数学化的知识，同时可以提高他们学习数学的主观能动性。

教师在教学中应遵循五“W”原则（who，what，why，when，how），尤其要关注其中的三个原则,即“谁在学？为什么要学？怎么学？”✧利用多媒体辅助教学，突出重点、突破难点，提高教学效率。

5390539654605510时间相差上证指数180分钟六、教学过程问题情境，感受概念 情境1 GDP “猛增”胡锦涛同志在党的十七大报告中提出：“增强发展协调性，努力实现经济又好又快发展。

转变发展方式取得重大进展，在优化结构、提高效益、降低消耗、保护环境的基础上，人均国内生产总值（GDP ）到2020年比2000年翻两番”。

（2000年中国人均GDP 为856美元，2020年约为3500美元．）尤其令人振奋的是：十六大以来，我国国民经济保持平稳快速发展， 2002年我国人均GDP 首次超过1000美元，达到1100美元，在短短的4年内于2006年又超过2000美元，达到2010美元。

我国已经由低收入国家步入了中等收入国家行列，标志着我国在向全面建设小康社会的进程中又迈出了坚实的一步。

时间 x (年) 2000 2002 2006 2020 人均GDPy (美元)856110020103500问题1 如何从数学角度刻画2002年至2006年这4年我国人均GDP “猛增”？ 情境2 房价“暴涨”南京龙江小区近十来年的房价变化如下图所示：问题2 如何从数学角度刻画房价“暴涨”？情境3 股指“跳水”2007年9月25日沪市A 股走势图30342 A (1, 3.5) B (32, 18.6)C (34, 33.4)210T (℃)t 问题3 如何从数学角度刻画股指“跳水”？情境4 气温“陡升”现有某市2004年3月和4月某天日最高气温记载如下列图表所示：时间 t (d) 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 T (℃) 3.5℃18.6℃33.4℃问题4 如何从数学角度刻画气温“陡升”？✧ 建立模型，形成概念问题5 用怎样的数学模型刻画函数值变化的快慢程度？思考1 你能给出函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的定义吗？定义 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率为2121()()--f x f x x x 。

思考2 平均变化率有怎样的几何意义？平均变化率的几何意义就是函数f (x )图象上两点(x 1, f (x 1))、(x 2, f (x 2))所在直线的斜率。

✧ 探究活动，感悟概念活动1 (1) 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，据此，你能评价甲、乙两人的经营成果吗？(2) 甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，你能评价甲、乙两人的经营成果吗？活动2 试举出生活中与平均变化率有关的例子。

✧ 例题讲解，运用概念例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。

例2 已知函数f (x ) = 2x +1， g (x ) =－2x ，分别计算在区间[－3，－1]、[0，5]上f (x )及g (x )的平均变化率。

想一想 一次函数y = kx + b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？ 例3 求函数1y x=在区间 00[,]x x x +∆ 0(0)x ≠上的平均变化率。

✧ 反馈练习，巩固概念一运动质点的位移S 与时间t 满足S (t )=t 2，分别计算S (t )在下列区间上的平均变化率。

(位移单位为m,时间单位为s)(1) [1，3]； (2) [1，2]； (3) [1，1.1]； (4) [1，1.001]； (5) [1，1.0001]； (6) [0.999，1]； (7) [0.99，1]； (8) [0.9，1]。

思考3 如何刻画t =1这一时刻质点运动的快慢程度呢？✧ 回顾反思，理解概念定义：函数()f x 在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为2121()()f x f x x x --。

七、分层作业 ✧ 必做作业 第7页2，3题✧选做作业 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?✧ 思考作业 一运动质点的位移S 与时间t 满足S (t )=t 2, 如何刻画t =1这一时刻质点运动的快慢程度呢？(位移单位为m, 时间单位为s)八、板书设计关注概念生成过程，促进学生主动建构江苏省南京外国语学校严青一、创设情境，引导探索【教学安排】四个情境提出问题：如何刻画变量变化的快慢程度？情境1：师生合作，共同计算出平均每年增长的GDP；师生探究，得出“比值”反映了在某一时间段内我国人均GDP变化的快慢程度。

情境2：师生合作，共同计算出平均每年增长的房价；师生探究，得出“比值”反映了在某一时间段内房价变化的快慢程度。

情境3：师生合作，共同计算出平均每分钟股指下跌的点数；师生探究，得出“比值”反映了在某一时间段内股指变化的快慢程度。

情境4：师生合作，共同计算出平均每天气温升高的度数；师生探究，得出“比值”反映了在某一时间段内气温变化的快慢程度。

【设计意图】通过GDP“猛增”、房价“暴涨”、股指“跳水”、气温“陡升”等贴近学生的实例，让学生感知客观世界存在着变化快慢不同的现象，而这种快慢程度可以用某种比值来刻画。

通过生活中的实例分析从而达到概念的自然形成，学生不会感到突兀，并能体会数学来源于生活，生活中处处蕴含着数学化的知识，有利于提高他们学习数学的主观能动性。

紧密联系实际，创设丰富情境，通过启发诱导，激发学生的求知欲，形成“认知冲突”，让学生尝试学习，并经历数学化的过程，体现数学素材与学生已有的知识和生活经验之间的密切联系，对发展学生从数学角度认识问题的能力，以及认识数学的应用价值和文化价值都十分重要。

二、分析归纳，建立概念【教学安排】通过图表分析形式概念【设计意图】通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，并建立数学概念，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题。

在讨论和研究中引导学生寻找一种数学模型来刻画函数值的“变化快慢程度”，即由特殊到一般得出函数f (x)的平均变化率的定义，解决原先提出的问题，并了解它的几何意义。

目的是充分发挥学生的学习主动性，经历和体验概念的建立过程。

三、辨析讨论，领会内涵【教学安排】交流讨论，突出知识的理解过程【设计意图】通过这些活动，让学生用“平均变化率”模型解释生活中的数学问题，丰富了对“平均变化率”模型的认识，同时启发学生运用“平均变化率”概念探究新问题，提高了学生学习数学的主观能动性．使学生加深了对“平均变化率”的理解．再通过模仿举例，使学生进一步理解平均变化率概念在生活中的应用价值。

在得出“平均变化率”概念后，为了加深学生对概念内涵的理解和掌握．教师又安排了以下的交流讨论活动，从而使学生进一步理解“平均变化率”的概念，这其中活动1和活动2是由教材中的练习1改编而成。

四、例题讲解，尝试应用【教学安排】讲解例题1，2，3【设计意图】数学概念形成之后，通过具体例子，说明概念的内涵，认识概念的“原型”，引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生的对数学概念的巩固，以及解题能力的形成。

例题1问题尽管简单，但需要规范地表达，以培养学生好的解答习惯，同时师生合作，共同感悟平均变化率这个数学模型的实际意义。

例题2可以运用概念计算得出结论，从“数”的角度理解“平均变化率”概念；同时也可从“形”的角度通过平均变化率的几何意义得出解答，两者殊路同归。

启发学生运用概念探究新问题，提高学习数学的主观能动性。

例题教学的过程加深了学生对平均变化率概念的认识，提高了学生运用概念解决问题的能力．例3是概念的代数形式的应用。

五、反馈练习，巩固提炼【教学安排】学生练习【设计意图】利用几何画板进行数与形相结合教学，感悟瞬时变化率可以刻画质点在某一时刻运动的快慢程度．由区间长度的缩小，通过计算从数的角度观察相应的平均变化率变化的趋势，通过几何画板的演示，从形的角度进一步感悟变量数学的思想，通过逼近的思想方法为瞬时变化率的学习作好铺垫，也达到承上启下的作用。

在师生共同完成例题教学后，教师提供思维拓展材料和变式训练，目的是为了提高学生的认知水平以及及时进行知识的反馈矫正，使学生始终面对适度的挑战，并进一步巩固所学的知识。

【教学安排】作业1，2，3【设计意图】设置必做题、选做题和拓展题目的是为了实施因材施教，选择不同层次的练习，有利于不同层次的学生巩固知识，提升思维能力．教师通过这些练习和作业，及时回授评定的结果，以期有针对性地进行答疑和讲解，突出了知识的巩固过程，在此基础上，可以帮助学生克服思维障碍。