7-克莱姆法则
克莱姆法则
作者介绍
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书， 1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的 旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数 学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一 生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
克莱姆法则
线性代数中一个关于求解线性方程组的定理
01 作者介绍
目录
02 基本介绍
03 法则总结
04 技术应用
05 不确定的情况
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于 变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》 中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为 记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解 为 其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。 记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。
克莱姆法则
第三节 克莱姆法则教学目的及要求： 1.克莱姆法则2.利用克莱姆法则求解线性方程组教学重点、难点： 克莱姆法则的应用教学过程：一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授1.n 元线性方程组的概念 从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。
在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关 n 元线性方程组的概念。
含有 n 个未知数 x 1,x 2, , x n 的线性方程组a 11x 1 a 12x 2 a 1n x nb 1,a 21x 1a 22x 2a 2n x nb 2,(1)a n1x 1 a n2x 2 a nn x nb n ,a 11 a 12 a 1n Da 21a 22a 2na n1 a n2 a nn2. 克莱姆法则定理 1 ( 克莱姆法则 ) 若线性方程组 解,其解为性方程组 ,当 b 1,b 2 , ,b n 全为零时 , 线性方程组 (1)称为齐次线性方程组，即a 11x 1 a 12x 2 a 1n x n0,a 21x 1a 22x 2 a 2n x n0,(2)a n1x 1 a n2x 2 a nn x n0.称为 n 元线性方程组 .当其右端的常数项 b 1,b 2, 线性方程组 (1)的系数 a ij 构成的行列式称为该方程组的系数行列式 D ，即,b n 不全为零时 ,线性方程组 (1) 称为非齐次线 (1)的系数行列式 D 0, 则线性方程组 (1)有唯一2 2 5 20,20,8545D jx j D(j 1,2, ,n) (3)其中D j(j 1,2, ,n)是把D中第j列元素a1j,a2j, ,a nj对应地换成常数项b1,b2, ,b n,而其余各列保持不变所得到的行列式.一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法.克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3), 克莱姆法则可叙述为下面的定理.定理 2 如果线性方程组(1)的系数行列式 D 0, 则(1)一定有解,且解是唯一的.在解题或证明中，常用到定理 2 的逆否定理:定理 2 如果线性方程组(1) 无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零.对齐次线性方程组(2), 易见x1 x2 x n 0 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论.定理 3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理3 如果齐次方程组(2) 有非零解,则它的系数行列式D 0.注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)有非零解.三、例题选讲例 1 用克莱姆法则求解线性方程组：2x1 3x2 5x3 2x1 2x2 53x 2 5x3 4解D20235D1( 2) 2 5D260,1820.D 1D 2 D 3x 11, x 23, x 311D2D 3D例 3（ E02） 大学生在饮食方面存在很多问题 ，很多人不重视吃早饭，多数大学生日常饮食 没有规律， 为了身体的健康就要制订营养改善行动计划， 大学生一日食谱配餐： 需要摄入一 定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下边是三种食物，它们的质量用适当的单位计量。
7 克莱姆法则
定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)没有非零解.
© 2009, Henan Polytechnic University §7 克莱姆法则
6 6
第一章 行列式
定理4 如果齐次线性方程组(2)有非零解, 则它 的系数行列式必为零. 反之，若系数行列式 D 0 a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n 则 an1 x1 an 2 x2 ann xn 0 有非零解.
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7 7
第一章 行列式
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3 x 6 x 9, 1 2 4 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组;
若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组.
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2 2
第一章 行列式
一、克拉默法则 如果线性方程组
27,
D2 108 x2 4, D 27
D4 27 x4 1. D 27
1010
第一章 行列式
例2 问 取何Biblioteka 时，齐次方程组1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
行列式克莱姆法则
利用克莱姆法则，可以将一个行列式表示为一个数值，通过计算该数值即可得到行列式的值。这种方法适用于系 数行列式不为零的情况，可以简化行列式的计算过程。
实例三：解的唯一性验证
总结词
克莱姆法则可以用于验证线性方程组解的唯一性。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式，利用克莱姆法则判断解的唯一性。如果行列式不为零，则线性方程组有 唯一解；如果行列式为零，则线性方程组可能无解或有无穷多解。这种方法可以用于判断线性方程组 解的情况，为求解问题提供依据。
03 适用范围
研究克莱姆法则的适用范围，探索其在更广泛领 域的应用可能性。
应用领域的拓展
数值分析
将行列式克莱姆法则应用于数值分析中，解决 大规模线性方程组的求解问题。
科学计算
将克莱姆法则与其他科学计算方法相结合，提 高计算效率和精度。
工程领域
将克莱姆法则应用于工程领域，解决实际工程问题，如结构分析、流体动力学 等。
线性方程组解的唯一性条件是克莱姆法则应用的 重要前提之一，它确保了线性方程组的解是唯一 的，从而使得行列式中的每个子式可以代表一个 唯一的解向量。
03
克莱姆法则的推导过程
推导步骤一：行列式的计算
计算行列式的值
根据行列式的定义，按照行或列展开，计算得到行列 式的值。
展开方式的选择
选择合适的展开方式，使得计算过程简化，提高计算 效率。
计算方法的改进
算法优化
优化克莱姆法则的计算方法，提高计算效率，减少计算量。
并行计算
利用并行计算技术，实现克莱姆法则的高效计算，处理大规模数 据。
软件实现
开发适用于克莱姆法则的软件或库，方便用户进行实际应用和计 算。
THANKS
克莱姆法则
7 − 5 13 = − 2 −1 2 7 − 7 12
= −3 3 −7 −2
−3 −5 3 c1 + 2c2 − 0 −1 0 c3 + 2c2 −7 −7 −2
= 27 ≠ 0,
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8 1 −5 1 9 −3 0 −6 D1 = = 81, − 5 2 −1 2 0 4 −7 6
解 系数行列式
−5 1 1 −3 0 −6 D= 0 2 −1 2 2 1 1 4 −7 6
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2 1 −5 1 0 7 − 5 13 1 − 3 0 − 6 r1 − 2r2 1 − 3 0 − 6 D= 0 2 −1 2 r4 − r2 0 2 − 1 2 1 4 −7 6 0 7 − 7 12
1 1
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λ
×A j 1 ×A2 j M ×An j
将所得各方程两端相加，得方程： 将所得各方程两端相加，得方程： （a11A1j+ a21A2j+···+ ai1Aij+···+ an1Anj）x1+ +（a12A1j+ a22A2j+···+ ai2Aij+···+ an2Anj）x2 （ + ··· ··· +（a1jA1j+ a2jA2j+···+ aijAij+···+ anjAnj）xj + ··· （ ··· +（a1nA1j+ a2nA2j+···+ ainAij+···+ annAnj）xn （ = b1A1j+ b2A2j+···+ biAij+···+ bnAnj
授课题目7克莱姆法则授课时数2课时教学目标了解多重...
a11x1 a12 x 2 a x a x 21 1 22 2 （ 1） an1x1 an2 x 2
a1n xn b1 a 2n xn b 2 ann xn bn
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2．系数行列式
把（1）的左端未知量的系数取出（不改变相 对位置）得到的行列式
ain Dn 0,
Dn D1 D2 ai1 ai 2 ain bi (i 1,2,, n) D D D
即（2）为（1）的解. 综上所述（1）当 D 0时有惟一解。
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例1
解方程组
2x1 x 2 x 3 x 4 1 x x x3 5 1 2 x1 2x 2 x 3 x 4 2 x 1 3x 2 x 3 4x 4 5
n
n
n
n
3.
a b a b ( a b a (b )) .
i 1 j 1 i j j 1 i 1 i j i 1 j 1 i j i 1 i j 1 j
n
n
n
n
n
n
n
n
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证明：
n n
a b a b ( a b a (b )) .
解
因为 D
2 1 1 1 1 1 1 0 1 2 1 1 1 3 1 4
18 0
所以方程组有唯一的解，又因为
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D1
1 1 1 1 5 1 1 0 2 2 1 1 5 3 1 4 2 1 1 1 1 1 5 0 1 2 2 1 1 3 5 4
18
D2
2. Cramer 法则的意义
克莱姆(Cramer)法则
0 2 1 2
1 4 7 6
又
8 1 5 1
9 3 0 6
D1 5
2
1
81 2
0 4 7 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108 2
1 0 7 6
21 8 1
1 3 9 6
D3 0
2
5
27 2
14 0 6
2 1 5 8
1 3 0 9
D4 0
2
27 1 5
Байду номын сангаас
1 4 7 0
1 cn cn2 cnn
为 n+1阶范德蒙行列式的转置,故D≠0 .由定
理1.4.2,齐次线性方程组(1.4.7)只有零解,从
而 an=0,此与题设条件矛盾.
n
bk Akj ( j 1,2,, n)
k 1
于是
n aij
j 1
Dj D
1 D
n j 1
aij
n
( bk
k 1
Akj )
1 D
nn
aijbk Akj
j1 k 1
1 D
n
(
k 1
n
aij Akj
j 1
)bk
1 D
bi
(
n
aij Aij
j 1
)
1 D
bi D
bi
(i 1,2,,n)
k1 1 D 1 k 1 (k 1)(k 4)
2 1 1
所以, k = 1或k=4 ，且易验证k = 1或k=4 时方程组确有非零解.
例1.4.4 试证: n次多项式
f (x) a0 a1x an x n (an 0)
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则的证明及应用a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1,a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2,...a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n = b_n.我们将系数矩阵记作A，未知数向量记作X，常数向量记作B，则上述线性方程组可以写成矩阵形式为AX=B。
根据矩阵的乘法，可以将AX表示为列向量的线性组合：AX=x_1A_1+x_2A_2+...+x_nA_n其中A_1，A_2，...，A_n分别是A的列向量。
现在我们假设A_1，A_2，...，A_{i-1}，B，A_{i+1}，...，A_n都不变，而将A_i替换成B。
则记新的系数矩阵为A'。
原方程组可以写成AX=B，新的方程组可以写成A'X=B。
根据线性方程组的解唯一性定理，在方程组有解时，系数矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵C，使得AX=B等价于CAX=CB。
即X=C^-1B。
而根据矩阵乘法的结合性，CAX=CB可以改写为ACX=CB。
我们可以将AC视为n个列向量A_1，A_2，...，A_{i-1}，C，A_{i+1}，...，A_n组成的矩阵形式。
同样，我们可以将CB视为n个列向量A_1，A_2，...，A_{i-1}，B，A_{i+1}，...，A_n组成的矩阵形式。
则ACX=CB可以写成AX=B的形式。
由于X=C^-1B，所以原方程组的解为X=C^-1B。
同理，新方程组的解为X'=(AC)^-1CB。
我们可以通过计算矩阵(AC)^-1和AC，然后使用矩阵乘法运算得出X'。
将X'中位于第i行的元素记作x'_i。
则根据X'=(AC)^-1CB得出x'_i=，AC_i，/，A，其中，X，表示矩阵X的行列式。
克莱姆法则的应用可以用于求解n个方程和n个未知数的线性方程组。
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解
3 5 2 0 3 0 D= 1 1 1 1 −1 − 3
1 4 = 67 ≠ 0, 1 2
3 4 D1 = 11 6 56
5 2 3 0 1 1 −1 − 3
3 3 2 1 0 4 0 4 67 = , D2 = 1 3 1 11 6 1 2 1 5 6 −3
1 4 = 0, 1 2
3 5 3 0 3 4 D3 = 1 1 11 6 1 −1 5 6
等价, 由于方程组 (2 ) 与方程组 (1) 等价 故
Dn D1 D2 D2 x1 = , x2 = , x3 = ,⋯ , x n = . D D D D
也是方程组的 (1) 解.
二、重要定理
定理1 定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D ≠ 0, 一定有解, 则 (1)一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 (1) 无解或有两个不同的 定理2 则它的系数行列式必为零. 解，则它的系数行列式必为零.
证明
用 D中第 j列元素的代数余子式 A1 j , A2 j ,⋯ , Anj 依次乘方程组 (1)的 n个方程 , 得
(a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1 n x n ) A1 j = b1 A1 j (a x + a x + ⋯ + a x ) A = b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (a n1 x1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a nn x n ) Anj = bn Anj
有非零解. 有非零解.
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 + x2 − 5 x3 + x4 = 8, x − 3 x − 6 x = 9, 1 2 4 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = − 5, x1 + 4 x2 − 7 x3 + 6 x4 = 0.
解
2 1 −5 1 1 −3 0 −6 D= 0 2 −1 2 1 4 −7 6
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1 n x n = 0 a x + a x + ⋯+ a x = 0 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a n1 x1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a nn x n = 0
定理
(2 )
如果齐次线性方程组 (2 ) 的系数行列式 D ≠ 0 则齐次线性方程组 (2 ) 没有非零解. 没有非零解.
定理 如果齐次线性方程组 (2 ) 有非零解,则它 有非零解, 的系数行列式必为零. 的系数行列式必为零. 系数行列式 D = 0
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = 0 a x + a x + ⋯+ a x = 0 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ an1 x1 + an 2 x2 + ⋯ + ann xn = 0
三、小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (1)方程个数等于未知量个数; 方程个数等于未知量个数 (2)系数行列式不等于零. (2)系数行列式不等于零. 系数行列式不等于零 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
1 3 0 4 67 = , D4 = 1 1 2 1 2
5 2 3 3 0 4 = 67, 1 1 11 6 −1 − 3 5 6
D1 3 = 1, ∴ x1 = = D 67 3 67 D3 2 = 1, x3 = = D 67 2
67
D2 0 x2 = = = 0, D 67
D4 67 x4 = = = 1. D 67
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 当线性方程组的系数行列式为零时 能否用克拉默 法则解方程组?为什么 此时方程组的解为何? 法则解方程组 为什么?此时方程组的解为何 为什么 此时方程组的解为何
思考题解答
不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解 不能 此时方程组的解为无解或有无穷多解. 此时方程组的解为无解或有无穷多解
非齐次与齐次线性方程组的概念
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 a x + a x + ⋯+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ an1 x1 + an 2 x2 + ⋯ + ann xn = bn
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 阶行列式， 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a11 ⋯ a1 , j −1 b1 a1 , j +1 ⋯ a1n D j = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a n1 ⋯ a n , j −1 bn a n , j +1 ⋯ a nn
则称此方程组为非 若常数项 b1 , b2 ,⋯, bn不全为零 , 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 齐次线性方程组 若常数项 b1 , b2 ,⋯, bn 全为零 , 此时称方程组为齐次线性方程组 此时称方程组为齐次线性方程组. 齐次线性方程组
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = b1 a x + a x + ⋯ + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a n1 x1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a nn x n = bn
由代数余子式的性质可知, 由代数余子式的性质可知 上式中 x j的系数等于 D ,
而其余 xi (i ≠ j )的系数均为0; 又等式右端为 D j .
于是
Dx j = D j ( j = 1,2,⋯, n ).
(2 )
当 D ≠ 0 时,方程组 (2 ) 有唯一的一个解 方程组
Dn D1 D2 D2 x1 = , x2 = , x3 = ,⋯ , x n = . D D D D 5 13 1 −3 0 −6 0 2 −1 2 0 7 − 7 12
7 − 5 13 = −2 −1 2 7 − 7 12
c1 + 2c2
c3 + 2c2
−3 −5 3 − 0 −1 0 −7 −7 −2
−3 3 = = 27, −7 −2
8 1 −5 1 9 −3 0 −6 D1 = − 5 2 −1 2 0 4 −7 6 = 81,
个方程依次相加， 在把 n 个方程依次相加，得
n n n ∑ ak 1 Akj x1 + ⋯ + ∑ akj Akj x j + ⋯ + ∑ akn Akj xn k =1 k =1 k =1 = ∑ bk Akj ,
k =1 n
3
−2 3−λ 1
4 1 1− λ
1− λ = 2 1
−3+λ 1− λ 0
4 1 1− λ
= (1 − λ ) + (λ − 3 ) − 4 (1 − λ ) − 2 (1 − λ )(− 3 + λ ) = (1 − λ ) + 2 (1 − λ ) + λ − 3
3 2
齐次方程组有非零解， 齐次方程组有非零解，则 D = 0 时齐次方程组有非零解. 所以 λ = 0 , λ = 2 或 λ = 3时齐次方程组有非零解
例3 问 λ 取何值时，齐次方程组 取何值时，
(1 − λ ) x 1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 0 , 2 x 1 + (3 − λ ) x 2 + x 3 = 0 , x + x + (1 − λ ) x = 0 , 1 2 3
有非零解？ 有非零解？
解
1− λ D= 2 1
(1)
a11 a12 ⋯ a1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ≠0 的系数行列式不等于零， 的系数行列式不等于零，即D = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a n1 a n 2 ⋯ a nn
有解，并且解是唯一的， 那么线性方程组(1) 有解，并且解是唯一的，解 可以表为
Dn D1 D2 D2 x1 = , x2 = , x3 = ,⋯ , x n = . D D D D
D4 27 x4 = = = 1. D 27
= −27,
D1 81 ∴ x1 = = = 3, D 27
D3 − 27 x3 = = = −1, D 27
例2 用克拉默法则解方程组 3 x1 + 5 x2 + 2 x3 + x4 = 3, 3 x + 4 x = 4, 2 4 x1 + x2 + x3 + x4 = 11 6 , x1 − x2 − 3 x3 + 2 x4 = 5 6 .
2 8 −5 1 1 9 0 −6 D2 = 0 − 5 −1 2 1 0 −7 6 = −108,
2 1 8 1 1 −3 9 −6 D3 = 0 2 −5 2 1 4 0 6
2 1 −5 8 1 −3 0 9 D4 = 0 2 −1 −5 1 4 −7 0 = 27,
D2 − 108 x2 = = = −4, D 27