专题14 等比数列-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
①
1 n(n
k)
1 k
1 n
n
1
k
，特别地，当
k
1 时，
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
等）也可以直接使用公式求和.
（2）倒序相加法：如果一个数列 an 的前 n 项中，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，
那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法.
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个
数列的前 n 项和即可用此法来求.
数与方程、分类讨论、化归与方程等数学思想解题.
【答题模板】
等比数列基本运算的解题思路：
（1）设基本量 a1 和公比 q． （2）列、解方程组：把条件转化为关于 a1 和 q 的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 【方法总结】
1.求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用 an a1qn1 求解．但在某些情况下，利用等比数 列通项公式的变形 an amqnm 可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方 法为：（1）通项法．设数列的通项公式 an a1qn1 来求解；（2）对称设元法．
1 26
所以 S6 1 2 63 . 故答案是 63 .
【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后
写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令 n 1 ，求
1
得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可 得结果.
2.等比数列的判定与证明常用的方法：
（1）定义法：
anHale Waihona Puke 1 anq(q
为常数且
q
0)
数列{an} 是等比数列．
（2）等比中项法：
a2 n1
an
an2 (n N* , an
0)
数列{an} 是等比数列．
（3）通项公式法： an tqn (tq 0, n N* ) 数列{an} 是等比数列．
是等差数列或等比数列或常见的特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常
见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.
（6）并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
3
1．【广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）】若等比数列{an} 的各项均为正数， a2 3 ， 4a32 a1a7 ，
则 a5 3
A．
4
C．12 【答案】D
3
B．
8
D．24
【解析】因为数列{an} 是等比数列，各项均为正数， 4a32 a1a7 a42 ，
（2）只满足 an1 qan q 0 的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要 a1 0 .
3.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 m＋n=p＋q，则 am·an=ap·aq”， 可以减少运算量，提高解题速度．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适
专题 14 等比数列
【母题来源一】【2019
年高考全国Ⅰ卷理数】记
Sn 为等比数列{an}的前
n
项和．若
a1
1 3
，a42
a6
，
则 S5=___________．
121
【答案】
3 【解析】设等比数列的公比为 q ，
由已知
a1
1 3
,
a42
a6
，所以
(1 3
q3 )2
1 3
q5,
又 q 0 ，所以 q 3,
（4）前 n 项和公式法：若数列的前 n 项和 Sn Aqn A ( A 0, q 0, q 1) ，则该数列是等比数列．
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．
2
注意：
（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
【命题意图】
1.考查等比数列的通项公式及求和公式； 2.考查数列的求和方法；
3.考查运算求解能力、转化与化归思想以及分析问题、解决问题的能力.
【命题规律】
等比数列一直是高考的热点，尤其是等比数列的通项公式及其性质，等比数列的前 n 项和等为考查的重点，
有时会将等差数列和等比数列的通项、前 n 项和及性质综合考查，解题时要注意性质的应用，充分结合函
S6 ___________． 【答案】 63
【解析】根据 Sn 2an 1 ，可得 Sn1 2an1 1 ，
两式相减得 an1 2an1 2an ，即 an1 2an ，
当 n 1 时， S1 a1 2a1 1，解得 a1 1 ，
所以数列an 是以−1 为首项，以 2 为公比的等比数列，
当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用. 4.求数列的前 n 项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法： （1）公式法求和：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运
用等差、等比数列的前 n 项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列
所以
S5
a1(1 q5 ) 1 q
1 3
(1 35 ) 13
121 3
．
【名师点睛】准确计算是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考
生易出现运算错误．
【母题来源二】【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】记 Sn 为数列 an 的前 n 项和，若 Sn 2an 1 ，则
；
②
1
1 ( n k n) ，特别地，当 k 1 时，
1
n1 n ；
nk n k
n1 n
③
1
1[ 1
1
].
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
（5）分组转化求和法 ：有一类数列 an bn ，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{an},{bn}
函数与导数综合-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
专题20 函数与导数综合【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x=-+，21sin ())(1x 'x g x =-++. 当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点， 即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦π没有零点. （iii ）当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π⎥⎝⎦有唯一零点. （iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-. （i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =.当(0,()22a a x +∈+∞U 时，()0f x '<；当(22a a x -+∈时，()0f x '>. 所以()f x在(0,),(,)22a a -++∞单调递减，在(22a a -+单调递增. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >. 由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+， 由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<， 即1212()()2f x f x a x x -<--.【名师点睛】该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，通过构造新函数来解决问题的思路要明确. 【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2()e (2)e xx f x a a x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(0,1).【解析】（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2e (2)e 1(e 1)(2e 1)x x x x f x a a a '=+--=-+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减.（ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增. （2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 又422(2)e(2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n nf n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为(0,1).【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实数根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.【命题意图】考查导数的概念、导数公式、求导法则、导数的几何意义及导数的应用，考查数学式子的变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想及分析问题与解决问题的能力． 【命题规律】从全国看，高考在逐年加大对导数问题的考查力度，问题的难度、深度与广度在不断加大，对本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 【答题模板】求解应用导数研究函数的性质问题的一般思路：第一步：牢记求导法则，正确求导.在函数与导数类解答题中，通常都会涉及求导，正确的求导是解题关键，因此要牢记求导公式，做到正确求导，解题时应先写出函数定义域．第二步：研究（1）（2）问的关系，注意利用第（1）问的结果.在题设条件下，如果第（1）问的结果第（2）问能用得上，可以直接用，有些题目不用第（1）问的结果甚至无法解决．第三步：根据条件，寻找或构造目标函数，注意分类讨论.高考中函数与导数解答题，一般都会涉及分类讨论，并且讨论的步骤也是得分点，所以一定要重视分类讨论．第四步：选择恰当的方法求解，注意写全得分关键：在函数与导数问题中，求导的结果、分类讨论的条件、单调区间、零点等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚． 【方法总结】1.函数的单调性及应用是高考中的一个重点内容，常见的题型及其解法如下：（1）利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式()0f x '>（()0f x '<）在给定区间上恒成立．一般步骤为： ①求f ′(x )；②确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；③作出结论，()0f x '>时为增函数，()0f x '<时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．（2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.（3）由函数()f x 的单调性求参数的取值范围的方法①可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤)(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；②可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是()0f x '>(或()0f x '<)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；③若已知()f x 在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出()f x 的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.（4）利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解. 2.函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围. 3.求函数f (x )在[a ，b ]上最值的方法（1）若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增或递减，则f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f (x )在区间(a ，b )内有极值，先求出函数f (x )在区间(a ，b )上的极值，与f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点． 注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定. 4.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需min ()f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.1．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】已知函数()()ln f x x x a b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为210x y --=. （1）求a ，b 的值；（2）若对任意的()1,x ∈+∞，()()1f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值. 【答案】（1）1a =，0b =；（2）3.【解析】（1）由()()ln f x x x a b =++得：()ln 1f x x a '=++， 由切线方程可知：()1211f =-=，()112f a '∴=+=，()11f a b =+=，解得：1a =，0b =.（2）由（1）知()()ln 1f x x x =+，则()1,x ∈+∞时，()()1f x m x ≥-恒成立等价于()1,x ∈+∞时，()ln 11x x m x +≤-恒成立，令()()ln 11x x g x x +=-，1x >，则()()2ln 21x x g x x --'=-. 令()ln 2h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=， ∴当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，则()h x 单调递增，()31ln30h =-<Q ，()422ln 20h =->， ()03,4x ∴∃∈，使得()00h x =，当()01,x x ∈时，()0g x '<；()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()()()000min 0ln 11x x g x g x x +∴==-，()000ln 20h x x x =--=Q ，00ln 2x x ∴=-， ()()()()0000min 0213,41x x g x g x x x -+∴===∈-，()03,4m x ∴≤∈，即正整数m 的最大值为3.【名师点睛】本题考查根据在某一点处的切线方程求解函数解析式、利用导数解决恒成立问题.解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值的关系，利用导数求得函数的最值，从而求得结果.2．【陕西省2019届高三第三次联考数学】已知函数f(x)=lnx −ax ，g(x)=x 2，a ∈R . （1）求函数f(x)的极值点；（2）若f(x)≤g(x)恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）极大值点为1a ，无极小值点.（2）a ≥−1.【解析】（1）()ln f x x ax =-的定义域为(0,+∞)，f ′(x )=1x −a ， 当a ≤0时，f ′(x )=1x −a >0，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，无极值点； 当a >0时，解f ′(x )=1x −a >0得0<x <1a ， 解f ′(x )=1x−a <0得x >1a，所以f (x )在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减， 所以函数f (x )有极大值点，为1a ，无极小值点. （2）由条件可得ln x −x 2−ax ≤0(x >0)恒成立， 则当x >0时，a ≥ln x x−x 恒成立，令ℎ(x )=ln x x−x(x >0)，则ℎ′(x )=1−x 2−ln xx 2，令k (x )=1−x 2−ln x(x >0)， 则当x >0时，k ′(x )=−2x −1x <0，所以k(x)在(0,+∞)上为减函数.又k(1)=0，所以在(0,1)上，ℎ′(x)>0；在(1,+∞)上，ℎ′(x)<0.所以ℎ(x)在(0,1)上为增函数，在(1,+∞)上为减函数，所以ℎ(x)max=ℎ(1)=−1，所以a≥−1.【名师点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.3．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知函数f(x)=lnx−xe x+ax(a∈R).（1）若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若a=1，求f(x)的最大值.【答案】（1）a≤2e−1；（2）f(x)max=−1.【解析】（1）由题意知，f′(x)=1x −(e x+xe x)+a=1x−(x+1)e x+a≤0在[1,+∞)上恒成立，所以a≤(x+1)e x−1x在[1,+∞)上恒成立.令g(x)=(x+1)e x−1x，则g′(x)=(x+2)e x+1x2>0，所以g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(1)=2e−1，所以a≤2e−1.（2）当a=1时，f(x)=lnx−xe x+x(x>0).则f′(x)=1x −(x+1)e x+1=(x+1)(1x−e x)，令m(x)=1x −e x，则m′(x)=−1x2−e x<0，所以m(x)在(0,+∞)上单调递减.由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x0>0满足m(x0)=0，即e x0=1x0. 当x∈(0,x0)时，m(x)>0，f′(x)>0；当x ∈(x 0,+∞)时，m(x)<0，f′(x)<0.所以f(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减. 所以f(x)max =f (x 0)=lnx 0−x 0e x 0+x 0， 因为e x 0=1x 0，所以x 0=−lnx 0，所以f(x 0)=−x 0−1+x 0=−1， 所以f(x)max =−1.【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点存在性定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）】已知函数1()ln af x a x x x-=-++. （1）当2a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()2e 3xg x mx =+-，当2e 1a =+时，对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使得212()2e ()f x g x +≥，证明：2e e m ≤-.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x ----'=-++=，由()0f x '=，得1x =或1x a =-.当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-； 当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当2a >时，单调减区间是()1,1a -，单调增区间是()0,1，()1,a -+∞；当2a =时，单调增区间是()0,+∞，没有单调减区间.（2）当2e 1a =+时，由（1）知()f x 在()21,e 上单调递减，在()2e ,+∞上单调递增， 从而()f x 在[)1,+∞上的最小值为22(e )e 3f =--.对任意[)11,x ∈+∞，存在[)21,x ∈+∞，使得()()2212e g x f x ≤+，即存在[)21,x ∈+∞，使()g x 的值不超过()22e f x +在区间[)1,+∞上的最小值2e 3-.由222e 32e e 3xmx --+≥+-得22e e xmx +≤，22e e xm x-∴≤.令22e e ()xh x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()()222232e 2e e e 2e e ()x x x x x xx h x x x ---+-'==-Q ， 当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()2e 2e ee 2e 0x x x x x x +->-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)e e h x h ==-， 从而2e e m ≤-得证.【名师点睛】本题考查函数的单调区间，不等式有解及恒成立问题，分离参数求最值问题，转化与化归能力，是中档题.5．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】已知函数4211()42f x x ax =-，a ∈R . （1）当1a =时，求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）设函数2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--，其中e 2.71828...=是自然对数的底数，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【答案】（1）6100x y --=；（2）当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x在(,-∞和)+∞单调递增，在(单调递减，极大值为2e (2)e 4g a =+，极小值为2e (4g a =-+. 【解析】（1）由题意3()f x x ax '=-，所以当1a =时，(2)2f =，(2)6f '=，因此曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是26(2)y x -=-，即6100x y --=.（2）因为2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--，所以2()(22)e (22)e e '()x xg x x x x a f x '=-+-+-- 232()e e()()(e e )x x x a x ax x a x =---=--，令()e e x h x x =-，则()e e xh x '=-， 令()0h x '=得1x =，当(,1)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以当1x =时，min ()(1)0h x h ==，也就说，对于x ∀∈R 恒有()0h x ≥.当0a ≤时，2()()()0g x x a h x '=-≥， ()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，令()0g x '=，可得x =当x <x >2()()()0g x x a h x '=-≥，()g x 单调递增，当x <<()0g x '<，()g x 单调递减，因此，当x =()g x 取得极大值2e (2)e4g a =+；当x =()g x 取得极小值2e (4g a =-+. 综上所述：当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值为2e (2)e4g a =+，极小值为2e (4g a =-+. 【名师点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．6．【湖北省荆门市沙洋中学、龙泉中学、钟祥一中、京山一中四校2019届高三下学期六月考前模拟】已知函数()()e ln xf x a x x x=+-，a ∈R .（1）当e a =-时，求()f x 的最小值；（2）若()f x 有两个零点，求参数a 的取值范围【答案】（1）0；（2）e a <-.【解析】（1）e ()(ln )xf x a x x x =+-，定义域为(0,)+∞，()22(1)e e (1)1()(1)x x x ax x f x a x x x -+-'=+-=，当e a =-时，()2(1)e e ()x x x f x x --'=，由于e e x x >在(0,)+∞上恒成立，故()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故min ()(1)e 0f x f a ==+=.（2）()2(1)e ()x x ax f x x -+'=，当e a =-时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则min ()(1)e 0f x f a ==+=，()f x 只有一个零点；当e a >-时，e ax x >-，故e e e 0x x ax x +>-≥在(0,)+∞上恒成立，故()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则min ()(1)e f x f a ==+，故当e a >-时，()f x 没有零点；当e a <-时，令e 0x ax +=，得e ,xa x =- 令2e (1)e (),()x xx x x x x ϕϕ-'==，则()x ϕ在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故min ()(1)e x ϕϕ==，()x ϕ在(0,)+∞上有两个零点12,,x x 且1201x x <<<，则()f x 在1(0,)x 上单调递减，在1(,1)x 上单调递增，在2(1,)x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，(1)e 0f a =+<，又0,(),,()x f x x f x →→+∞→+∞→+∞，此时()f x 有两个零点，综上，()f x 有两个零点，则e a <-.【名师点睛】本题考查了导函数的应用，导数与函数零点的问题，掌握好分类讨论思想和导函数的应用是解题的关键，属于难题.7．【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试数学】已知函数()2e 23xf x x x =+-. （1）求函数()f x '在区间[]0,1上的零点个数（其中()f x '为()f x 的导数）；（2）若关于x 的不等式()()25312f x x a x ≥+-+在[)1,+∞上恒成立，试求实数a 的取值范围. 【答案】（1）只有一个零点；（2）3e 2a ≤-. 【解析】（1）函数()2e 23x f x x x =+-的导数()e 43x f x x '=+-，则()e 43x f x x '=+-在区间()0,1上单调递增，又()01320f '=-=-<，()1e 43e 10f '=+-=+>，则函数()f x '在区间[]0,1上只有一个零点.（2）若关于x 的不等式()()25312f x x a x ≥+-+在[)1,+∞上恒成立， 即e 12x x a x x≤--在[)1,+∞上恒成立， 令()e 12x x g x x x=--，[)1,x ∈+∞， 则只需min ()a g x ≤，()e 12x x g x x x =--的导数()()()222e 1e 1111122x x x x g x x x x --+'=-+=-， 由e 1x y x =--的导数为e 1xy '=-，可得0x >时，0y '>，函数e 1xy x =--单调递增， 0x <时，0y '<，函数e 1x y x =--单调递减，则e 10x x --≥，即e 10x x ≥+>，当1x ≥时，()()()22e 111111110222x x x x x x -++-+-≥-=>， 则()e 12x x g x x x=--在[)1,+∞上单调递增， 可得()()min 31e 2g x g ==-， 则3e 2a ≤-. 【名师点睛】本题考查了导数的应用，函数的零点存在性定理和恒成立问题，考查了计算能力和逻辑推理能力.8．【福建省龙岩市2019届高三5月月考数学】今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为(01)p p <<，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为()f p ，求()f p ；（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由.【答案】（1）−3p 5+12p 4−17p 3+9p 2；（2）若以此方案实施，不会超过预算.【解析】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 32p 2(1−p )+C 33p 3，一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 31p (1−p )2[1−(1−p )2]，所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为f (p )=C 32p 2(1−p )+C 33p 3+C 31p (1−p )2[1−(1−p )2]=3p 2(1−p )+p 3+3p (1−p )2[1−(1−p )2]=−3p 5+12p 4−17p 3+9p 2.（2）设每篇学位论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500.P (X =1500)=C 31p (1−p )2， P (X =900)=1−C 31p (1−p )2，所以E (X )=900×[1−C 31p (1−p )2]+1500×C 31p (1−p )2=900+1800p (1−p )2.令g (p )=p (1−p )2,p ∈(0,1),g ′(p )=(1−p )2−2p (1−p )=(3p −1)(p −1).当p ∈(0,13)时，g ′(p )>0，g (p )在(0,13)上单调递增； 当p ∈(13,1)时，g ′(p )<0，g (p )在(13,1)上单调递减， 所以g (p )的最大值为g (13)=427.所以实施此方案，最高费用为100+6000×(900+1800×427)×10−4=800（万元）.综上，若以此方案实施，不会超过预算.【名师点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查随机变量的期望的求法，考查利用导数求函数的最大值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
专题14 做守法的公民-2019年中考道德与法治母题题源系列(解析版)
专题14做守法的公民【母题来源】2019年中考湖北武汉卷【母题题文】李某因谎报险情，被公安机关拘留；某出版社未经作者同意发表其作品，作者将该出版社告上法庭。
李某、某出版社的行为分别属于A．严重违法行为、一般违法行为B．民事违法行为、行政违法行为C．行政违法行为、民事违法行为D．行政违法行为、刑事违法行为【试题答案】C【试题解析】根据教材所学可知，生活中最常见的行政违法行为是违反治安管理处罚法的行为，题文中李某谎报险情，被公安机关拘留，属于行政违法行为，民事违法行为是指违反民事法律规范，应当承担民事责任的行为，如欠债不还、侵犯著作权等行为，故题文中某出版社的行为属于民事违法行为，故C项符合题意，B项错误；A项不符合题意，违法行为根据对社会危害程度，可以分为一般违法行为（民事违法行为和行政违法行为）和严重违法行为（即犯罪）。
D项错误，出版社的行为不构成刑事违法，故排除，故选C。
【解题要点】1．正确认识法律（1）人类社会的存在和发展离不开各种行为规范。
作为一种行为规范，法律明确告知人们可以做什么，必须做什么，应当做什么，不应当做什么，为人们的行为提供一个模式、标准或方向。
法律还告知人们，哪些行为是合法的，哪些行为是非法的，它是评价人们的行为是否合法有效的准绳。
（2）法律是最刚性的社会规则，不违法是人们行为的底线。
要做到不违法，就要了解什么是违法。
一个人如果缺乏规则意识，法律观念不强，就难免做出违法的事情。
2．违法行为的含义违法行为是指出于过错违反法律、法规的规定，危害社会的行为。
3．违法行为的分类根据违反法律的类别，违法行为分为民事违法行为、行政违法行为和刑事违法行为。
民事违法行为是指违反民事法律规范，应当承担民事责任的行为，如欠债不还的行为。
行政违法行为是指违反行政法律规范，应当受到行政处分或行政处罚的行为，如扰乱社会治安的行为。
刑事违法行为是指违反刑事法律规范，应当受到刑罚处罚的行为，如故意杀人的行为。
《高考真题》专题14 等差数列-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________． 【答案】4【解析】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．【母题原题2】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-．故选A ．专题14 等差数列【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【命题意图】主要考查考生的数学运算能力和逻辑推理能力,以及考生对函数与方程思想的应用.要求： 1．熟练掌握等差的通项公式、前n 项和公式． 2．掌握与等差数列有关的数列的求和的常见方法． 3．了解等差数列与一次函数的关系．【命题规律】等差数列是高考的考查热点，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题． 【答题模板】求数列的通项、求和问题时，第一步：根据题意求通项．注意等差数列通项形如关于n 的一次函数的形式． 第二步：利用函数性质研究数列的性质，例如周期、单调性等． 第三步：利用函嫩、数列的交汇性质来综合求解问题．第四步：查看关键点、易错点及解题规范，例如错位相减去的计算量较大，注意检验． 【知识总结】1．等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n =a m +（n –m ）d （n ，m ∈N *）．（2）若{a n }是等差数列，且k+l=m+n （k ，l ，m ，n ∈N *），则a k +a l =a m +a n ；反之，不一定成立． （3）若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． （4）若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n +qb n }（p ，q ∈N *）也是等差数列．（5）若{a n }是等差数列，则a k ，a k+m ，a k+2m ，…（k ，m ∈N *）组成公差为md 的等差数列． 2．与等差数列各项的和有关的性质（1）若S m =n ，S n =m ，则S m+n =–（m+n ）；若S m =S n ，则S m+n =0． （2）若{a n }是等差数列，则{n S n}也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12．（3）若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m –S m ，S 3m –S 2m 成等差数列．（4）关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶–S 奇=nd ，S S 奇偶=1nn a a +； ②若项数为2n –1，则S 偶=（n –1）a n ，S 奇=na n ，S 奇–S 偶=a n ，S S 奇偶=-1nn ．（5）两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为2-12-1n n S T =nna b ． 【方法总结】 （一）等差数列1．等差数列的判定与证明方法有以下四种：（1）定义法：a n+1–a n =d （常数）（n ∈N *）或a n –a n –1=d （n ∈N *，n ≥2）⇔{a n }为等差数列． （2）等差中项法：2a n+1=a n +a n+2（n ∈N *）⇔{a n }为等差数列． （3）通项公式法：a n =an+b （a ，b 是常数，n ∈N *）⇔{a n }为等差数列． （4）前n 项和公式法：S n =an 2+bn （a ，b 为常数）⇔{a n }为等差数列．若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项a n ，a n+1，a n+2，使得这三项不满足2a n+1=a n +a n+2即可．判断一个数列是否为等差数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的方法，一般优先考虑定义法，即先表示出a n +1–a n ，然后验证其是否为一个与n 无关的常数．也可根据已知条件求出一些项，根据求解过程寻找具体的解题思路．注意常数列{a n }的通项公式为a n =a （a 为常数），它是一个首项为a ，公差为0的等差数列．2．等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差d 或项数n ．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．a 1和d 是等差数列的两个基本元素．（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4）求前n 项和．利用等差数列的前n 项和公式直接求解，或利用等差中项间接求解． 3．求数列前n 项和的最值的方法：（1）通项法：①若a 1>0，d<0，则S n 必有最大值，其n 可用不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，来确定；②若a 1<0，d>0，则S n 必有最小值，其n 可用不等式组100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，来确定．（2）二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n =na 1+–12n n （）d=2d n 2+（a 1–2d）n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值． （3）不等式组法：借助S n 最大时，有–11n n nn S S S S +≥⎧⎨≥⎩，（n ≥2，n ∈N *），解此不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值（即S n 的最值）． （二）其他数列1．求数列前n 项和的常用方法 （1）分组求和法分组转化法求和的常见类型①若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．②通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项． 如：是公差为的等差数列，求解：由∴ （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加．{}n a d 111nk k k a a =+∑()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑……11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭相加2．数列与函数综合（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决． 3．数列与不等式综合与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法（作差作商）、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点．利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩． 4．以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解； 5．以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明．1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】在数列{}n a 中，35a =，()120n n a a n ++--=∈N ，若25n S =，则n =A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】因为()120n n a a n ++--=∈N ，所以1=2n n a a +-=d ，所以数列{}n a 是等差数列，121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……所以()11145 ,1,512252a a n n n na +=⎧⎪∴==⎨-+⋅=⎪⎩．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的判定，考查等差数列的通项和前n 项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】等差数列{}n a 中，27a =，623a =，则4a = A ．11 B ．13 C ．15 D ．17【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，27a =，623a =，62423744,a a d d d =+⇒=+⇒= 根据等差数列的通项公式得到42215.a a d =+=故选C ．【名师点睛】这个题目考查了等差数列的概念以及通项公式的应用属于基础题． 3．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】等差数列{}n a 中，若46131520a a a a +++=，则101215a a -的值是A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】A【解析】∵()461315415220a a a a a a +++=+=，∴41510a a +=， ∴()1012101211555a a a a -=-()891011121215a a a a a a =++++- ()89101115a a a a =+++()41525a a =+4=．故选A ． 【名师点睛】本题考查等差数列中下标和性质的应用，解题的关键是进行适当的变形，以得到能运用性质的形式．本题也可转化为等差数列的首项和公差后进行求解，属于基础题．4．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若21016a a +=，714S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．3C ．6D ．2【答案】B【解析】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为1777()142a a S +==，得174a a +=①， 因为21016a a +=，所以11116a a +=②，②–①得，11712a a -=，即412d =，所以3d =，故选B ．方法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为21016a a +=，714S =，所以112101672114a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得173a d =-⎧⎨=⎩，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列基本量求解，属于基础题．等差数列基本量求解的通法是方程组法，利用等差数列的通项公式、求和公式将条件转化为关于1a 和d 的方程组，进而求解；另外也可以运用性质法，即利用等差数列的相关性质公式以及通项公式、求和公式直接求出基本量．5．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A ．66 B ．132 C ．–66 D ．–132【答案】D【解析】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以3924a a +=-， 又396242a a a +=-=，所以612a =-，61111111211()13222a a a S ⨯⨯+===-，故选D ．【名师点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式，考查方程思想，是基础题．6．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且728S =，则4a = A ．4 B ．7 C ．8 D ．14【答案】A 【解析】()177477282a a S a +===，故44a =，故选A ．【名师点睛】本题考查等差数列求和及基本性质，熟记求和公式及性质，准确计算是关键，是基础题． 7．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且86a =，828S =，则其公差为A ．47 B ．57 C ．47-D ．57-【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由86a =，828S =，则1176878282a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得57d =，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】已知等差数列{}n a ，12018a =-，其前n 项和为n S ，20192018120192018S S -=，则2019S = A ．0 B ．1 C ．2018 D ．2019【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n S na d -=+， 所以2019110092019S a d =+，20181201720182S a d =+，代入20192018120192018S S -=，得2d =． 所以()20192019201820192018202S ⨯=⨯-+⨯=．故选A ． 【名师点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和公式，考查方程思想及计算能力，属于中档题．9．【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学】等差数列{}n a 的前7项和为28，108a =，则7a = A ．6B ．7【答案】A【解析】由题得11717672822,2,,26623398a d a d a a d ⨯⎧+⨯=⎪∴==∴=+⨯=⎨⎪+=⎩．故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n 项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．10．【贵州省贵阳市2019届高三2月适应性考试（一）数学】已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=–8，则公差d = A ．6 B ．6- C ．2- D ．4【答案】A【解析】∵{a n }为递增的等差数列，且a 4+a 7=2，a 5•a 6=–8，∴a 5+a 6=2，∴a 5，a 6是方程22x 80x --=的两个根，且a 5<a 6，∴a 5=–2，a 6=4，∴d =a 6–a 5=6，故选A ． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查方程的构造及解法，是基础的计算题． 11．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，若35791155a a a a a ++++=，33S =，则5a 等于A ．9B ．7C ．6D ．5【答案】B【解析】因为35791155a a a a a ++++=，所以5a 7=55，所以711a =， 因为33S =，所以21a =，所以公差7225a a d -＝＝，所以5237a a d =+=．故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的第5项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．12．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，若357911355,3a a a a a s ++++==，则5a 等于A ．5B ．6【答案】C【解析】在等差数列{}n a 中，因为35791155a a a a a ++++=，所以7755511a a =⇒=， 又33S =，123223331a a a a a ∴++=⇒=⇒=，又因为7252a a d d =+⇒=，5237a a d ∴=+=，故选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列的性质．13．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】在数列{}n a 中，已知121n n n n a a a a +++-=-，10101a =，则该数列前2019项的和2019S =A ．2019B ．2020C ．4038D ．4040【答案】A 【解析】121n n n n a a a a +++-=-，122n n n a a a ++∴=+，{}n a ∴为等差数列，10101a =，()1201910102019201920192201922a a a S +⨯∴===．【名师点睛】本题考查等差中项，等差数列的基本性质，属于简单题．14．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】在等差数列{}n a 中，已知10101a =，则该数列前2019项的和2019S = A ．2018 B ．2019 C ．4036 D ．4038【答案】B【解析】由题得2019S =1201910102019)201920192a a a +==（．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，考查等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．15．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试数学】等差数列{}n a 中，2a 与4a 是方程2430x x -+=的两根，则12345a a a a a ++++=A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】∵2a 与4a 是方程2430x x -+=的两根，∴2a +4a ＝4＝1a +532a a =， 则1234510a a a a a ++++=．故选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题． 16．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（二）数学】若等差数列{}n a 的前n 项和为258,2,8n S a a S +=-=，则n S =A ．22n n -B ．27n n -C ．251n n ++D ．27n n -+【答案】B【解析】令()11n a a n d =+-，则1114287882a d a d a d +++=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩162a d =-⎧⇒⎨=⎩ 所以()216272n n n S n n n ⨯-=-⨯+⨯=-，故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列基本量的计算，关键在于能够将已知条件转化为关于基本量的方程，属于基础题．17．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和分别为n S ，912162a a =+，24a =，若数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和为1011，则k =A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11118116,24,a d a d a d ⎧+=++⎪⎨⎪+=⎩解得12a d ==．()21222n n n S n n n-∴=+⨯=+，()111111nS n n n n ∴==-++， 1211111111110112231111k S S S k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10k =．故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查裂项相消法，考查计算能力与推理能力，属于中档题．18．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，721S =，则4a = A ．0 B ．2 C ．3 D ．6【答案】C【解析】因为{}n a 是等差数列，所以1717744217)2(6263S a a a a a a ++=⇒=⇒=⇒==，故本题选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式和等差数列的性质．考查了运算能力． 19．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知等差数列{}n a 满足711a =，2810a a +=，则11=SA ．176B ．88C ．44D ．22【答案】B【解析】因为数列{}n a 是等差数列，由2810a a +=，得55a =，又711a =， 则()()111571*********a a a a S ++===，故选B ．【名师点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．20．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，34222S a S =+，则8a =A ．8B ．9C ．16D ．15【答案】D【解析】由题意，因为11a =，34222S a S =+， 即111322(3)2(3)22a d a d a d ⨯⨯+=+++，解得2d =， 所以81717215a a d =+=+⨯=，故选D ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和2n S n bn c =++，等比数列{}n b 的前n 项和3nn T d =+，则向量(,)c d =a 的模为A ．1 BCD ．无法确定【答案】A【解析】等差数列{}n a 前n 项和()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，即常数项为0的二次式， 而根据已知2n S n bn c =++，故可得0c =，等比数列{}n b 的前n 项()1111111n n n b q b bT q qq q-==----， 而根据已知3nn T d =+，可得11111b d q b q⎧=⎪-⎪⎨⎪-=⎪-⎩，即1d =-，因此向量()0,1=-a ，则1=a ，故选A ．【名师点睛】本题考查等差数列和等比数列求和公式的性质，属于中档题．22．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，1516a a +=，则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．31-【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中，1516a a +=，()51555164022S a a ∴=+=⨯=，故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．23．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且859a a -=，8566S S -=，则33a =A ．82B ．97C ．100D ．115【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且859a a -=，所以39d =，解得3d =， 又由8566S S -=，所以11875483536622a a ⨯⨯+⨯--⨯=，解得14a =， 所以331324323100a a d =+=+⨯=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．24．【四川省凉山州2019届高中毕业班第二次诊断性检测数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，116m S -=，25m S =，11a =（2m ≥，且m ∈N ），则m 的值是A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，116m S -=，25m S =， ∴19m m m a S S -=-=，又25m S =，11a =，∴()15252m m a a m S m +===，∴5m =，故选B ．【名师点睛】本题考查等差数列前n 项和公式，考查前n 项和与通项的关系，考查计算能力．25．【四川省内江市2019届高三第一次模拟考试数学】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =，621S =，则数列{}n a 的公差为 A ．1 B ．–1 C ．2 D ．–2【答案】A【解析】∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3＝3，S 6＝21，∴316123656212a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得a 1＝1，d ＝1．∴数列{a n }的公差为1．故选A ． 【名师点睛】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．26．【四川省成都市2019届高三毕业班第一次诊断性检测数学】设n S 为等差数列的前n 项和，且3652a a a +=+，则7S =A ．28B ．14C ．7D ．2【答案】B【解析】因为563542a a a a a +=+=+，所以42a =，177477142a a S a +=⨯==，故选B ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，属于中档题．求解等差数列有关问题时，要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系．27．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57a =，则9S =__________． 【答案】63【解析】因为57a =，所以()199599632a a S a +===．故答案为：63． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，以及等差数列的性质，熟记公式即可，属于基础题型． 28．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211n n n n a a a a +++-=-，12a =，38a =，则4S =__________．【答案】26【解析】因为211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，则8232d -==，所以443423262S ⨯=⨯+⨯=．故答案为：26． 【名师点睛】本题主要考查了等差数列的定义及求和公式的应用，属于基础题．29．【四川省南充市高三2019届第二次高考适应性考试高三数学】设等差数列{}n a 满足：127a a +=，136a a -=-，则5a =__________．【答案】14【解析】∵等差数列{a n }满足：a 1+a 2＝7，a 1–a 3＝–6．∴1111726a a d a a d ++=⎧⎨--=-⎩，解得a 1＝2，d ＝3，∴5a ＝a 1+4d ＝2+4×3＝14．故答案为：14． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质等基础知识，属于基础题． 30．【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学】中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走1260里，第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子的第三日走的里数为__________． 【答案】120【解析】由题意，男子每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为{}n a ，其公差为d ，前n 项和为n S ．根据题意可知，91471260,390S a a a =++=，法一：()199********,1402a a S a a +===∴=，147443390,130a a a a a ++==∴=， 5410d a a ∴=-=，34120a a d ∴=-=．故答案为：120．法二：91471260390S a a a =⎧⎨++=⎩，11119891260236390a d a a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩， 所以312120a a d =+=．故答案为：120．【名师点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题．。
《高考真题》专题14 函数的奇偶性的应用-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
专题14 函数的奇偶性的应用【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-．若(l n2)8f =，则a =______________． 【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =， 所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=， 所以3a -=，即3a =-．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++= A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1),(3)(1)(1),4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=， 因此[](1)(2)(3)(50)12(1)()(2)(3)4(1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1),(4)(2)f f f f =-=-，所以(1)(2)0())(34f f f f +++=， 因为(2)(0)0f f ==，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==．故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果．函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【命题意图】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．以抽象函数的奇偶性、对称性、周期性为载体考查分析问题、解决问题的能力和抽象转化的数学思想． 【命题规律】高考对该部分内容考查一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或中等上，热点是奇偶性、对称性、周期性之间的内在联系，这种联系成为命题者的钟爱，一般情况下可“知二断一”． 【答题模板】1．判断函数奇偶性的常用方法及思路 （1）定义法（2）图象法（3）性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断．注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x 的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．2．与函数奇偶性有关的问题及解决方法 （1）已知函数的奇偶性，求函数的值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()f x -()f x =，列式求解，也可以利用特殊值法求解．对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解．（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式．利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性． 【方法总结】1．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则(0)0f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()(||)f x f x f x -==．（5）定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）一些重要类型的奇偶函数 ①函数()xxf x a a-=+为偶函数，函数()x xf x a a-=-为奇函数．②函数221()1x x x x x x a a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数1()log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()log (a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数． 3．若()()f a x f a x +=-，则函数()f x 的图象关于x a =对称． 4．若()()f a x f a x +=--，则函数()f x 的图象关于(,0)a 对称．5．若函数()f x 关于直线x a =和()x b b a =>对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 6．若函数()f x 关于直线x a =和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为4()b a -． 7．若函数()f x 关于点(,0)a 和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 8．若函数()f x 是奇函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 9．若函数()f x 是偶函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 10．若函数()f x 是奇函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 11．若函数()f x 是偶函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 12．若函数()()f x x R ∈满足()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=均可以推出函数()f x 的周期为2a ．1．【重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试】下列函数为奇函数的是 A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可．【解析】A 选项中 ，故不是奇函数，B 选项中 ，故不是奇函数，C 选项中 ，故不是奇函数，D 选项中，是奇函数，故选D ．2．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】若函数2()22x a xx f x -=-是奇函数，则(1)f a -= A ．1- B ．23- C ．23D ．1【答案】B【分析】首先根据奇函数的定义，求得参数0a =，从而得到2(1)(1)3f a f -=-=-，求得结果． 【解析】由()()f x f x -=-可得22(2)22a x x x x--+=+，∴0a =，∴2(1)(1)3f a f -=-=-， 故选B ．【名师点睛】该题考查函数的奇偶性及函数求值等基础知识，属于基础题目，考查考生的运算求解能力． 3．【甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则3(log 5)f -的值为A ．4B ．4-C ．6D ．6-【答案】B【分析】根据奇函数的性质 求出 ，再根据奇函数的定义求出3(log 5)f -．【解析】当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则03(0)0m f =+=，则 ， ， 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴335log 35((log 5)()log )314f f -=-=--=-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的突破口是利用奇函数性质：如果函数是奇函数，且0在其定义域内，一定有 ．4．【甘青宁2019届高三3月联考】若函数3()1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=A ．2B ．4C ．2-D ．4-【答案】A【分析】3()1f x x =+，可得()()2f x f x -+=，结合1lglg22=-，从而求得结果． 【解析】∵3()1f x x =+，∴()()2f x f x -+=，∵1lglg22=-，∴1(lg 2)(lg )22f f +=， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有奇函数的性质，属于简单题目，注意整体思维的运用．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知函数2()e e 21xxxxf x -=-++，若(lg )3f m =，则1(lg )f m = A ．4- B ．3- C ．2-D ．1-【答案】C【分析】先由2()e e 21xxxx f x -=-++得到()()1f x f x -+=，进而可求出结果．【解析】因为2()e e 21x xxx f x -=-++，所以21()e e e e 2121x x xx x x xf x -----=-+=-+++， 因此()()1f x f x -+=； 又(lg )3f m =，所以(lg )1(lg 1(lg )132)f mf m f m =-=-=-=-． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型． 6．【山东省济宁市2019届高三二模】已知 是定义在 上的周期为4的奇函数，当 时， ，则 A ． B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意可得： ． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．7．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A ．3x y =B ．1ln||y x =C ．||2x y =D ．cos y x =【答案】B【解析】易知1ln||y x =，||2x y =，cos y x =为偶函数， 在区间(0,)+∞上，1ln ||y x =单调递减，||2x y =单调递增，cos y x =有增有减． 故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，当0x <时，2()log ()f x x m =-+，则实数m = A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】C【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =， 且0x <时，2()log ()f x x m =-+， ∴211()log 2144f m m -=+=-+=-， ∴1m =． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型．9．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知()f x 是定义在R 上奇函数，当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则3()f -= A ．2- B ．1- C ．2D ．1【答案】A【分析】利用函数()f x 是奇函数，得到(3)(3)f f -=-，再根据对数的运算性质，即可求解．【解析】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则22(3)(3)log (31)log 42f f -=-=-+=-=-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对数的运算的性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及熟练应用对数的性质运算是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．10．【甘肃省甘谷县第一中学2019届高三上学期第一次检测】已知定义在 上的函数 ，若 是奇函数，是偶函数，当 时， ，则 A ． B ． C ．0D ．【答案】A【分析】根据题意和函数的奇偶性的性质通过化简、变形，求出函数的周期，利用函数的周期性和已知的解析式求出 的值．【解析】因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ，则 ，即 ， 所以 ， 则奇函数 是以4为周期的周期函数， 又当 时， ，所以 ， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的周期性，函数的奇偶性的定义，正确转化题的条件是解题的关键．11．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-，当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则(2017)f +(2019)f =A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】A【分析】根据题意，对33())22(f x f x +=-变形可得()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，据此可得(2017)(1)f f =，(2019)(0)f f =，结合函数的解析式以及奇偶性求出(0)f 与(1)f 的值，相加即可得答案．【解析】根据题意，函数()f x 满足任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-， 则()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，所以(2017)(16723)(1)f f f =+⨯=，(2019)(6733)(0)f f f =⨯=， 又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则12(1)log [1(1)]1f -=--=-，则(1)(1)1f f =--=，故(2017)(2019)(0)(1)1f f f f +=+=， 故选A ．12．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三9月月考】奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为 A ．2B ．1C ．－1D ．－2【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的特征，首先得到 ，进而根据奇函数可得 ，根据 可得 ，即可得到结论．【解析】∵ 为偶函数， 是奇函数，∴设 ， 则 ，即 ，∵ 是奇函数，∴ ，即 ， ， 则 ， ，∴ ， 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴以及周期性是解决本题的关键，属于中档题．13．【陕西省彬州市2019届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集是A ．(,1)(2,3)-∞-B ．(1,0)(2,3)-C ．(2,3)D ．(,3)(0,1)-∞-【分析】根题设条件，分别求得，当0x >和0x <时，()0f x <的解集，由此可求解不等式(1)0f x -<的解集，得到答案．【解析】由题意，当0x >时，令()0f x >，即2log (1)0x -<，解得12x <<， 又由函数()y f x =是奇函数，函数()f x 的图象关于原点对称， 则当0x <时，令()0f x >，可得2x <-，又由不等式(1)0f x -<，可得112x <-<或12x -<-，解得23x <<或1x <-， 即不等式(1)0f x -<的解集为(,1)(2,3)-∞-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及数列应用函数的奇偶性的转化是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．【陕西省榆林市2019届高三第四次普通高等学校招生模拟考试】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =A ．3B ．3-C ．2D ．2-【答案】C【分析】根据(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，即()f x 的周期为8，再根据[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+及()f x 为R 上的偶函数即可求出(766)(2)2f f ==．【解析】由(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数， 当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，所以(96(7682)6)(2)2f f f ⨯-===， 又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以2(2)(2)log 42f f -===． 故选C ．15．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试】已知定义域为R 的奇函数 ，当时， ，当 时， ，则 A ．B ．C ．D ．【分析】由当 时， ，可得，根据奇偶性求出 即可． 【解析】定义域为R 的奇函数 ，当 时， ，则， 则 ．．．， 又当 时， ， — ， 故． 故选B ．16．【重庆市2018-2019学年3月联考】定义在[7,7]-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为 A ．(2,7]B ．(2,0)(2,7]-C ．(2,0)(2,)-+∞D ．[7,2)(2,7]--【答案】B【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(2,7]，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．【解析】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤<时，()f x 在[7,0)-上单调递增， 且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<， 所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．17．【宁夏平罗中学2019届高三上学期期中考试】已知定义在 上的函数 是奇函数，且当 时，，则 ______________． 【答案】18-【分析】先求(4)f ，再利用函数的奇偶性求4()f -．【解析】由题得22(4)log 4418f =+=，所以(4)(4)18f f -=-=-．18．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，(3)f =则(1)f =______________．【分析】由对称性及奇偶性求得函数的周期求解即可【解析】由题()()(4)f x f x f x =-=-，则函数的周期4T =，则()1f =(1)(1)(3)f f f =-==19．【辽宁省抚顺市2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是奇函数，且当0x <时1()()2xf x =，则(3)f 的值是______________． 【答案】8-【分析】先求(3)f -，再根据奇函数性质得(3)f ． 【解析】因为31(3)()82f --==，函数()f x 是奇函数，所以(3)(3)8f f =--=-．20．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，则( 2.5)f -=______________． 【答案】0.25-【分析】根据函数的奇偶性和周期性，求出( 2.5)(0.5)f f -=-，求出函数值即可． 【解析】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，∴( 2.5)( 2.52)(0.5)(0.5)f f f f -=-+=-=-，∵当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，∴(0.5)0.5(10.5)0.25f =⨯-=，∴( 2.5)0.25f -=-． 21．【陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三】已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，且(3)3f =，则(1)f -=______________．【答案】3【分析】先由函数关于(2，0)对称，求出(1)f ，然后由奇函数可求出(1)f -． 【解析】函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，所以(1)(3)3f f =-=-， 又函数()f x 为奇函数，所以(1)(1)3f f =-=-．22．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模】若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=______________．【答案】 【分析】利用解析式求出1()2f ，根据奇函数定义可求得结果．【解析】由题意知1212()233f ===， ()f x为奇函数，11()()22f f ∴-=-=．23．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1(())100f f 的值为______________． 【答案】2lg - 【分析】先求出1()100f 的值，设为a ，判断a 是否大于零，如果大于零，直接求出()f a 的值，如果不大于零，那么根据奇函数的性质()()f a f a =--，进行求解． 【解析】10,100>∴1()100f =21lg()lg102100-==-， 20-<∵，函数()f x 是奇函数，(2)(2)lg 2f f ∴-=-=-，所以1(())100f f 的值为lg2-．24．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）】若函数 为偶函数，则______________．【答案】2-【解析】函数 为偶函数，则 ， 即 恒成立， ．则．【名师点睛】本题主要考查偶函数的性质与应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．25．【甘肃省张掖市2019届高三上学期第一次联考】已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，2()()22xf xg x x x b -=+++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-=______________． 【答案】4-【分析】根据函数的奇偶性，先求b 的值，再代入1x =，求得(1)(1)4f g -=，进而求解(1)(1)f g -+-的值．【解析】由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，因为(0)0g =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，解得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1[(1)(1)](4)1)f g f g f g =-+=---+=--．【名师点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，涉及了函数求值的知识；注意解析式所对应的自变量区间．26．【陕西省安康市安康中学2019届高三第三次月考】若函数2()e 1x f x a =--是奇函数，则常数 等于______________． 【答案】【分析】由奇函数满足 ，代入函数求值即可． 【解析】 对一切 且 恒成立．恒成立，恒成立．， ．27．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末考试】已知函数 是定义在 上的周期为 的奇函数，当时， ，则______________． 【答案】【分析】根据 是周期为4的奇函数即可得到 ＝f (﹣8 )＝f ( )＝﹣f ()，利用当0＜x ＜2时，＝4x，求出，再求出 ，即可求得答案．【解析】∵ 是定义在R 上周期为4的奇函数，∴＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，∵当x∈（0，2）时，，∴＝﹣2，∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝＝，同时＝﹣，∴＝0，∴﹣2．【名师点睛】考查周期函数的定义，奇函数的定义，关键是将自变量的值转化到函数解析式所在区间上，属于中档题．28．【新疆昌吉市教育共同体2019届高三上学期第二次月考】下列函数：①；②，，；③；④．其中是偶函数的有______________．（填序号）【答案】①【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称可知②，，为非奇非偶函数；再利用偶函数的定义，分别检验①③④是否符合，从而得到结果．【解析】①，为偶函数；②定义域，关于原点不对称，为非奇非偶函数；③，为奇函数；④，为非奇非偶函数；故答案为①．【名师点睛】该题考查的是有关偶函数的选择问题，涉及到的知识点有函数奇偶性的定义，注意判断函数奇偶性的步骤，首先确定函数的定义域是否关于原点对称，再者就是判断与的关系．29．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考】已知，．若偶函数满足（其中，为常数），且最小值为1，则______________．【答案】【分析】利用函数是偶函数，确定，利用基本不等式求最值，确定的值，即可得到结论．【解析】由题意，，，为偶函数，，，，，， ，．30．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，当[0,1]x ∈时，3()1f x x =-，则29()2f =______________． 【答案】78-【分析】先由题意，()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，利用函数的奇偶性推出()f x 的周期4T =，可得291()()22f f =-，然后带入求得结果． 【解析】因为(1)f x -为奇函数，所以(1)(1),(2)()f x f x f x f x --=--∴--=-， 又()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，所以()()f x f x -=，即(2)(),(2)()f x f x f x f x --=--∴-=-，所以()f x 的周期4T =，因为295551()(12)()(2)()22222f f f f f =+==--=-，2117()1()228f =-=， 所以297()28f =-．31．【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟】已知函数 是定义域为 的偶函数，且 在 ， 上单调递增，则不等式 的解集为______________． 【答案】 ， ，【分析】利用偶函数关于 轴对称， 在 ， 上单调递增，将不等式 转化为 ，即可解得 的解集． 【解析】 函数 是定义域为 的偶函数，可转化为 ， 又 在 ， 上单调递增，，两边平方解得 ， ， ， 故 的解集为 ， ， ．32．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次双基测试】已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数，则20191()i f i ==∑______________．【答案】0【分析】根据函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数可得()(2)f x f x -=+和()(4)f x f x --=+，可得(4)()f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，结合函数的对称性可得(1)(3)0f f +=且(2)(0)(4)0f f f ===，从而可得结果．【解析】根据题意，(1)f x +为偶函数，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称， 则有()(2)f x f x -=+，若函数(2)f x +为奇函数，则函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则有()(4)f x f x --=+，则有(4)(2)f x f x +=-+， 设2t x =+，则(2)()f t f t +=-， 变形可得(4)(2)()f t f t f t +=-+=， 则函数()f x 是周期为4的周期函数， 又由函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则(1)(3)0f f +=且(2)0f =， 则有(2)(0)0f f =-=， 可得(4)0f =，则20191(1)(2)(019))(2i f i f f f ==+++∑[12(3)4][(2013)(2014()()(2015)(2016]))()f f f f f f f f =+++++++++[(2017)(2018)(201()9)]12((0)3)f f f f f f ++=++=，故答案为0．33．【内蒙古呼和浩特市2019届高三上学期期中调研】已知函数 与 都是定义在 上的奇函数，当 时， ，则的值为______________． 【答案】2【分析】根据题意，由 是定义在R 上的奇函数可得 ，结合函数为奇函数，分析可得 ，则函数是周期为2的周期函数，据此可得，结合函数的解析式可得的值，结合函数的奇偶性与周期性可得 的值，相加即可得答案． 【解析】根据题意 是定义在R 上的奇函数，则 的图象关于点（﹣1，0）对称， 则有 ，又由 是R 上的奇函数，则 ，且 ，则有，即，则函数是周期为2的周期函数，则，又由＝log2＝﹣2，则＝2，，故＝2+0＝2．。
2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)专题 立体几何综合
专题立体几何综合【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）5.【解析】（1）连结B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D．由题设知A1B1=P DC，可得B1C=P A1D，故ME=P ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN⊄平面EDC1，所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA uuu r的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-u u u r，1(12)A M =--u u u u r ，1(1,0,2)A N =--u u u u r，(0,MN =u u u u r．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则110A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r m m ，所以2040x z z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u ur ，．n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是cos ,||5⋅〈〉===‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型. 【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）4. 【解析】方法一：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ， 所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ， 所以平面PEF ⊥平面ABFD .（2）在平面DEF 中，过P 作PH ⊥EF 于点H ，连接DH ，如图，由于EF 为平面ABCD 和平面PEF 的交线，PH ⊥EF ， 则PH ⊥平面ABFD ，故PH ⊥DH . 则DP 与平面ABFD 所成的角为PDH ∠. 在三棱锥P -DEF 中，可以利用等体积法求PH . 因为DE ∥BF 且PF ⊥BF ，所以PF ⊥DE ，又△≌△PDF CDF ，所以∠FPD =∠FCD =90°， 所以PF ⊥PD ，由于DE ∩PD =D ，则PF ⊥平面PDE ， 故13F PDE PDE V PF S -=⋅△， 因为BF ∥DA 且BF ⊥平面PEF ， 所以DA ⊥平面PEF ， 所以DE ⊥EP .设正方形的边长为2a ，则PD =2a ，DE =a ，在△PDE 中，PE =，所以2PDE S =△，故36F PDE V a -=， 又2122DEF S a a a =⋅=△，所以23F PDE V PH a -==，所以在△PHD 中，sin 4PH PDH PD ∠==，故DP 与平面ABFD . 方法二：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ， 所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ， 所以平面PEF ⊥平面ABFD .（2）作PH ⊥EF ，垂足为H .由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF u u u r的方向为y 轴正方向，||BF uuu r 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .由（1）可得，DE ⊥PE . 又DP =2，DE =1，所以PE. 又PF =1，EF =2，故PE ⊥PF .可得3,22PH EH ==.则33(0,0,0),(1,,0),(1,22H P D DP --=u u ur HP =u u u r 为平面ABFD 的法向量.设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则3sin ||4||||HP DP HP DP θ⋅===u u u r u u u ru u ur u u u r . 所以DP 与平面ABFD. 【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ， 从而AB ⊥平面P AD .又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ， 由（1）可知，AB ⊥平面PAD ， 故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA u u u r的方向为x 轴正方向，||AB uuu r 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得2A，(0,0,2P，,1,0)2B，(2C -.所以(22PC =--u u u r，CB =u u u r，(22PA =-u u u r ，(0,1,0)AB =u u u r .设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则0,0,PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即0,0,x y z ⎧+=⎪=可取(0,1,=-n . 设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m即0,220.x z y -=⎨⎪=⎩可取(1,0,1)=m .则cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为【思路点拨】（1）根据题设条件可以得出AB ⊥AP ，CD ⊥PD .而AB//CD ，就可证明出AB ⊥平面P AD ，进而证明出平面P AB ⊥平面P AD .（2）先找出AD 中点，找出相互垂直的线，建立以F 为坐标原点，FA u u u r的方向为x 轴正方向，||AB uuu r 为单位长的空间直角坐标系，列出所需要的点的坐标，设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，(,,)x y z =m 是平面PAB的法向量，根据垂直关系，求出(0,1,=-n 和(1,0,1)=m ，利用数量积公式可求出二面角的平面角.【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查线面关系、面面关系、线面角及二面角的求解，考查数形结合的思想，空间想象能力及运算求解能力等． 【命题规律】高考对该部分内容的考查主要有两种形式：一是利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系；二是考查学生利用空间向量解决立体几何的能力，考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题. 【答题模板】运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤： （1）建立恰当的空间直角坐标系； （2）求出相关点的坐标； （3）写出向量坐标；（4）结合公式进行论证、计算； （5）转化为几何结论． 【方法总结】1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量判定方法设直线l 的方向向量为a =(a 1，b 1，c 1)，平面α，β的法向量分别为μ=(a 2，b 2，c 2)，v =(a 3，b 3，c 3)，则 （1）线面平行：l ∥α⇔a ⊥μ⇔a·μ=0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2=0； （2）线面垂直：l ⊥α⇔a ∥μ⇔a =k μ⇔a 1=ka 2，b 1=kb 2，c 1=kc 2； （3）面面平行：α∥β⇔μ∥v ⇔μ=λv ⇔a 2=λa 3，b 2=λb 3，c 2=λc 3； （4）面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v ⇔μ·v =0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3=0.注意：用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a ∥b ，只需证明向量a =λb （λ∈R ）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外. 2.利用向量求异面直线所成的角把角的求解转化为向量运算，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC ，BD 的夹角β的余弦值为cos β=||||AC BD AC BD ⋅⋅uuu r uu u ruuur uu u r . 注意：两条异面直线所成的角α不一定是两直线的方向向量的夹角β，即cos α=|cos β|. 3.利用向量求直线与平面所成的角（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； （2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．注意：直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化．设直线l 的方向向量为a =(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为μ=(a 3，b 3，c 3)，直线l 与平面α的夹角为π20θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则||sin |cos ,|||||θ⋅==〈〉a a a μμμ.4.利用向量求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．设平面α，β的法向量分别为μ=(a 3，b 3，c 3)，v =(a 4，b 4，c 4)，平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则|||cos ||cos ,|||||θ⋅==〈〉v v v μμμ.5.用向量解决探索性问题的方法（1）确定点在线段上的位置时，通常利用向量共线来求．（2）确定点在平面内的位置时，充分利用平面向量基本定理表示出有关向量的坐标而不是直接设出点的坐标．（3）解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．1．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学】如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，∥EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --的余弦值为3，求PF 的长度.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF I 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ， ∴AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,1F ，∴()0,2,1FD u u u v =-，()1,2,0AC =u u u v，()1,0,0AB =u u u r ，由题知，AB ⊥平面ADF ，∴()1,0,0AB =u u u r为平面ADF 的一个法向量，设()01FP FD λλ=≤<u u u v u u u v ，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-u u u v，设平面APC 的法向量为(),,x y z =m ，则00AP AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v m m ， ∴()21020y z x y λλ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，可得22,1,1λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭m ，∴cos ,3AB AB AB ⋅===u u u v u u u v u u u v m m m 解得13λ=或1λ=-（舍去），∴PF =【名师点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =.（1）证明：1∥CB 平面1A EF ；（2）若CA CB ⊥，平面CAB ⊥平面11ABB A ，求二面角1F A E A --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）29. 【解析】（1）连接1AB ，交1A E 于点G ，连接FG ．因为11△∽△AGA B GE ，所以1112AA AG GB EB ==， 又因为2AF FC =，所以1AF AG FC GB =，所以1∥FG CB ， 又1CB ⊄平面1A EF ，FG ⊂平面1A EF ， 所以1∥CB 平面1A EF .（2）过C 作CO AB ⊥于O ，因为CA CB =，所以O 是线段AB 的中点．因为平面CAB ⊥平面11ABB A ，平面CAB I 平面11ABB A AB =， 所以CO ⊥平面1ABA ，连接1OA ，因为1△ABA 是等边三角形，O 是线段AB 的中点，所以1OA AB ⊥.如图，以O 为原点，OA ，1OA ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标， 不妨设2AB =，则(1,0,0)A，1A ，(0,0,1)C ，(1,0,0)B -，12(,0,)33F ， 由11AA BB =u u u v u u u v，得1(B -， 则1BB的中点3(2E -，从而13(,2A E =-u u u r，112(,)33A F =u u u u r . 设平面1A FE 的法向量为1111(,,)x y z =n ，则111100A E A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u vu u u u v n n ，即111113022033x y x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，得一组解为11115x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩1(1=-n .易知平面1ABA 的一个法向量为2(0,0,1)=n ，则121212cos ,29⋅<>==n n n n n n ，所以二面角1F A E A --【名师点睛】本题考查直线与平面平行的证明，二面角的余弦值的求解，考查空间想象能力以及推理计算能力．3．【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五）】在五边形AEBCD 中，BC CD ⊥，∥CD AB ，22AB CD BC ==，AE BE ⊥，AE BE =（如图）.将△ABE 沿AB 折起，使平面ABE ⊥平面ABCD ，线段AB 的中点为O (如图）.（1）求证：平面ABE ⊥平面DOE ；（2）求平面EAB 与平面ECD 所成的锐二面角的大小. 【答案】（1）见解析；（2）45°. 【解析】（1）由题意2AB CD =，O 是线段AB 的中点，则OB CD =. 又∥CD AB ，则四边形OBCD 为平行四边形， 又BC CD ⊥，则AB OD ⊥，由AE BE =，OB OA =，得EO AB ⊥. 又EO DO O =I ，则AB ⊥平面EOD ． 又AB Ì平面ABE ， 故平面ABE ⊥平面EOD ．（2）由（1）易知OB ，OD ，OE 两两垂直，以O 为坐标原点，OB ，OD ，OE 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，△EAB 为等腰直角三角形，且AB =2CD =2BC ，则OA OB OD OE ===， 取1CD BC ==，则O （0，0，0），A （-1，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，1，0），E （0，0，1），则1,0,0（)CD =-u u u r ，(0,1,1）DE =-u u u r，设平面ECD 的法向量为（，，）x y z =n ，则0,0,CD DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vu u u v n n 即0x y z -=⎧⎨-+=⎩， 取1z =，得平面ECD 的一个法向量011（，，）=n ， 因为OD ⊥平面ABE ，所以平面ABE 的一个法向量为010OD =u u u r（，，）， 设平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角为θ，则cos cos ,2OD θ==u u u r n ，因为(0,90)θ∈︒，所以45θ=︒，故平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角为45°. 【名师点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题的关键在于熟练掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.4．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学】如图，在几何体1111ACD A B C D -中，四边形11ADD A ，11CDD C 为矩形，平面11ADD A ⊥平面11CDD C ，11B A ⊥平面11ADD A ，1111,2AD CD AA A B ====，E 为棱1AA 的中点.（1）证明：11B C ⊥平面1CC E ；（2）求直线11B C 与平面1B CE 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2.【解析】（1）因为11B A ⊥平面11ADD A ， 所以111B A DD ⊥，又11111111,DD D A B A D A A ⊥=I ， 所以1DD ⊥平面1111D C B A ， 又因为11//DD CC ， 所以1CC ⊥平面1111D C B A ， 又11B C ⊂平面1111D C B A ，所以111CC B C ⊥，因为平面11ADD A ⊥平面11CDD C ，平面11ADD A I 平面111CDD C DD =，111C D DD ⊥， 所以11C D ⊥平面11ADD A ，经计算可得1111B E BC EC 从而2221111B E B C EC =+，所以在11△B EC 中，111B C C E ⊥，又11,CC C E ⊂平面1111,CC E CC C E C =I ， 所以11B C ⊥平面1CC E .（2）如图，以点A 为原点，1,AD AA 所在的直线分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系，依题意得()()()10001,0,00,2,2A C B ，，，，，()()11,2,10,1,0C E ，.则1(1,1,1)(1,2,1)CE B C =--=--u u u r u u u r，，设平面1B CE 的法向量为(,,)x y z =m ，则100，，B C CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vu u u v m m 即200x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩，，消去x ，得20y z +=，不妨设1z =，可得()3,2,1=--m ，又()111,0,1B C =-u u u u r，设直线11B C 与平面1B CE 所成的角为θ，于是111111sin cos ,||B C B C B C θ⋅====⋅u u u u ru u u u r u u u u r m m m故直线11B C 与平面1B CE所成角的正弦值为7. 【名师点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质，平面与平面垂直的性质，直线与平面所成角的向量求法，属于中档题.解题的关键是认真审题，注意合理转化，计算准确.5．【安徽省1号卷A10联盟2019届高考最后一卷数学】如图，在四棱锥S ABCD -中，△BCD 为等边三角形，,120AD AB SD SB BAD ===∠=︒.（1）若点,M N 分别是线段,SC CD 的中点，求证：平面∥BMN 平面SAD ； （2）若二面角S BD C --为直二面角，求直线AC 与平面SCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）13. 【解析】（1）△BCD Q 为等边三角形，且N 是线段CD 的中点，90BND ∴∠=︒，AD AB =Q ，120BAD ∠=︒，30ADB ABD ∴∠=∠=︒，90ADC ∴∠=︒，∥BN AD ∴，BN ⊄Q 平面SAD ，AD ⊂平面SAD ，∥BN ∴平面SAD ，Q 点,M N 分别是线段,SC CD 的中点，∥MN SD ∴，MN ⊄Q 平面SAD ，SD ⊂平面SAD ，∥MN ∴平面SAD ， MN BN N =Q I ，∴平面∥BMN 平面SAD .（2）如图，设AC 交BD 于点O ，连接SO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，SO BD ⊥，Q 二面角S BD C --为直二面角，SO ∴⊥平面ABCD ，不妨设2AB =，则1SO AO ==，BO DO ==3CO =，以O 为坐标原点，,,OC OB OS 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系则()0,0,1S ，()1,0,0A -，()3,0,0C，()0,D ，()DC ∴=u u u v，()DS =u u u v ，()4,0,0AC =u u u v，设平面SCD 的法向量为(),,x y z =n ，则00DC DS ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vu u u v n n，即30x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令y =1x =-，3=-z，()3∴=--n ，cos ,AC C A A C ⋅∴<>===u u u r u u u r u u u r n n n ，∴直线AC 与平面SCD所成角的正弦值为13.【名师点睛】本题考查面面平行关系的证明、空间向量法求解直线与平面所成角的问题，关键是能够利用面面垂直的性质证得线面垂直，从而建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量法来求解线面角.6．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AA AC CB ==，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若1A A 与平面ABC 所成的线面角为60︒，求二面角11C AB C --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A I 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠=︒，所以BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC A C ⊥. 因为11B C BC ∥，所以111AC B C ⊥. 因为11ACC A 是平行四边形，且1AA AC =， 所以四边形11ACC A 是菱形，则11A C AC ⊥. 因为1111AC B C C =I ，所以1A C ⊥平面11AB C .又1AC ⊂平面11A B C ，所以平面11AB C ⊥平面11A B C . （2）如图，取AC 的中点M ，连接1A M ， 因为四边形11ACC A 是菱形，160A AC ∠=︒，所以1△ACA 是正三角形，所以1A M AC ⊥，且1A M AC =. 令122AA AC CB ===，则1A M =以C 为坐标原点，以CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过点C 且平行于1A M 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()2,0,0A，(1C -，()0,1,0B，(1A ，()2,0,0CA =u u u r，(()111110,1,0CB CC C B CC CB =+=+=-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u ur (=-，(1CA =u u u r.设平面1ACB 的法向量为(),,x y z =n ，则100CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，所以20x x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，得0x =，令1z =，则y =()0,=n .由（1）知1A C ⊥平面11AB C，所以(1CA =u u u r是平面11AB C 的一个法向量，所以111cos ,CA CA CA ⋅<>=⋅u u u ru u u r u u u r n nn ==. 所以二面角11C AB C --的余弦值为4. 【名师点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的求解，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量法求解空间角，是中档题．7．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模）数学】已知正方形的边长为4,,E F 分别为,AD BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60︒的二面角，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF ，由,,A D E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线∥OD 平面EMC ；（2）是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为直线MF ⊂平面ABFE ， 故点O 在平面ABFE 内也在平面ADE 内，所以点O 在平面ABFE 与平面ADE 的交线上，如图所示，因为AO BF P ，M 为AB 的中点，所以△≌△OAM MBF ， 所以OM MF =，AO BF =，所以点O 在EA 的延长线上，且2AO =， 连结DF ，交EC 于N ，因为四边形CDEF 为矩形，所以N 是EC 的中点，连结MN ，因为MN 为△DOF 的中位线，所以MN OD P ， 又因为MN ⊂平面EMC ，所以直线OD P 平面EMC .（2）由已知可得，EF AE ⊥，EF DE ⊥，所以EF ⊥平面ADE ，所以平面ABEF ⊥平面ODE ，取AE 的中点H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,0,0)E -，D，(0,C ，(1,4,0)F -，所以ED =u u u r，(1,EC =u u u r ，设(1,,0)(04)M t t ≤≤，则(2,,0)EM t =u u u u r ，设平面EMC 的法向量为(,,)x y z =m，则20040x ty EM EC x y ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩u u uu vu u u v m m ，取2y =-，则x t =，z =所以平面EMC的一个法向量为,t ⎛=- ⎝m ，因为DE 与平面EMC 所成的角为60︒2=，2=，所以2430t t -+=，解得1t =或3t =，所以存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒，取ED 的中点Q ，则QA u u u r 为平面CEF 的法向量，因为1,0,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以3,0,22QA ⎛=- ⎝⎭u u u r，,t ⎛=- ⎝m ，设二面角M EC F --的大小为θ，所以|||cos |||||QA QA θ⋅===⋅u u u r u u u r m m ，因为当2t =时，cos 0θ=，平面EMC ⊥平面CDEF ，所以当1t =时，θ为钝角，所以1cos 4θ=-. 当3t =时，θ为锐角，所以1cos 4θ=. 【名师点睛】此题考查了线面平行的证明，用空间向量法解决线面所成的角，二面角等，综合性较强，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度适中．。
2019年高考物理母题题源系列专题14理想气体状态方程(含解析)
专题14 理想气体状态方程【母题来源一】2019年普通高等学校招生全国统一考试物理（全国Ⅰ卷）【母题原题】（2019·新课标全国Ⅰ卷）（5分）某容器中的空气被光滑活塞封住，容器和活塞绝热性能良好，空气可视为理想气体。
初始时容器中空气的温度与外界相同，压强大于外界。
现使活塞缓慢移动，直至容器中的空气压强与外界相同。
此时，容器中空气的温度__________（填“高于”“低于”或“等于”）外界温度，容器中空气的密度__________（填“大于”“小于”或“等于”）外界空气的密度。
【答案】低于 大于【解析】由题意可知，容器与活塞绝热性能良好，容器内气体与外界不发生热交换，故0Q ∆=，但活塞移动的过程中，容器内气体压强减小，则容器内气体正在膨胀，体积增大，气体对外界做功，即0W <，根据热力学第一定律可知：0U Q W ∆=∆+<，故容器内气体内能减小，温度降低，低于外界温度。
最终容器内气体压强和外界气体压强相同，根据理想气体状态方程：PV nRT =，又m V ρ=，m 为容器内气体质量。
联立得：Pm nRTρ=，取容器外界质量也为m 的一部分气体，由于容器内温度T 低于外界温度，故容器内气体密度大于外界。
【母题来源二】2019年全国普通高等学校招生统一考试物理（全国Ⅰ卷）【母题原题】（2019·新课标全国Ⅰ卷）（10分）热等静压设备广泛用于材料加工中。
该设备工作时，先在室温下把惰性气体用压缩机压入到一个预抽真空的炉腔中，然后炉腔升温，利用高温高气压环境对放入炉腔中的材料加工处理，改善其性能。
一台热等静压设备的炉腔中某次放入固体材料后剩余的容积为0.13 m 3，炉腔抽真空后，在室温下用压缩机将10瓶氩气压入到炉腔中。
已知每瓶氩气的容积为3.2×10-2 m 3，使用前瓶中气体压强为1.5×107 Pa ，使用后瓶中剩余气体压强为2.0×106 Pa ；室温温度为27 ℃。
2019年高考全国Ⅰ卷理数试题答案解析
2019年高考全国Ⅰ卷理数试题1.已知集合，则=A. B. C. D.【答案】C本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【解析】由题意得，，则．故选C．2.设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A. B. C. D.【答案】C本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【解析】则．故选C．3.已知，则A. B. C. D.【答案】B运用中间量比较，运用中间量比较【解析】则．故选B．4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm 【答案】B理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【解析】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．5.函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为A. B.C. D.【答案】D先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. B. C. D.【答案】A本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【解析】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．7.已知非零向量a，b满足=2，且（a–b）b，则a与b的夹角为A. B. C. D.【答案】B本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【解析】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．【迁移】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．8.如图是求程序框图，图中空白框中应填入A. A=B. A=C. A=D.A=【答案】A本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【解析】执行第1次，是，因为第一次应该计算=，=2，循环，执行第2次，，是，因为第二次应该计算=，=3，循环，执行第3次，，否，输出，故循环体为，故选A．【迁移】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为．9.记为等差数列的前n项和．已知，则A. B. C. D.【答案】A等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．【解析】由题知，，解得，∴，故选A．10.已知椭圆C的焦点为，过F 2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为A. B. C. D.【答案】B由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．【迁移】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11.关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（,）单调递增③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C化简函数，研究它性质从而得出正确答案．【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．【迁移】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A. B. C. D.【答案】D先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【解析】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为、中点，，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即，故选D．解法二:设，分别为中点，，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，，为中点，，，，，又，两两垂直，，，，故选D. 13.曲线在点处的切线方程为___________．【答案】.本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【解析】解析：所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即．【迁移】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．14.记S n为等比数列{a n}的前n项和．若，则S5=____________．【答案】.本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以．【迁移】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是【迁移】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．16.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．【答案】2.通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．（一）必考题：共60分。
专题14 记叙文阅读-2019年中考语文母题题源系列(原卷版)
母题十四：记叙文阅读【母题来源】2019年中考湖南湘潭卷【母题原题】1．阅读下文，完成下列各题。
月白湖荡余飞鱼六月，湖里绿了一片，绿的是苇草，是荷叶，是其他水草。
水草下当然有鱼，有虾。
水面有菱角，青嫩嫩的，随手捞起一个，洗一洗就可以生吃，味道青鲜鲜的。
水下呢，还有嫩嫩的藕。
棒子捞了几个菱角，还有几个嫩藕，不是自己吃，是给小王叔叔的。
每次等待小王叔叔时，棒子都会这么做。
等到芦苇那边传来两声鸟鸣，小王叔叔就会出现，来时，骑着匹大白马。
小王叔叔吃着菱角，还有嫩藕。
棒子就跑过去，羡慕地摸着大白马的鬃毛。
小王叔叔笑道，“想骑？”棒子点点头，“当然。
”小王叔叔就老气横秋地说：“小鬼，太矮了，脑袋高过马背时，才能骑。
”棒子噘着嘴，暗地里和白马比比，头刚刚挨着马背。
他想，再过一年就高过马背了，就可以了。
可是，离开后，小王叔叔却再没有来过，他牺牲了。
那天，棒子撑着一只小划子，藏在苇草里，等着小王叔叔送信来，没有等到，几声鸟鸣后，他等来的是一个陌生人，是张叔叔。
棒子忙问：“小王叔叔呢？”张叔叔红了眼圈，轻声告诉他，小王叔叔遭遇了小鬼子，牺牲了。
棒子眼睛顿时模糊了，他喃喃地道：“怎么会？小王叔叔有大白马，又高又大，跑起来飞快。
”张叔叔叹息，小鬼子的东洋马比新四军的马更高更大，跑起来比小王叔叔的大白马快多了。
棒子咬着牙，狠狠地道：“东洋马，真可恨！”张叔叔也点点头咬着牙说：“我们要报仇。
”报仇的机会就在眼前。
原来，张叔叔这次来，是传达上级命令的。
最近，一支新四军骑兵营要经过这儿，准备和湖东新四军二团会合，端掉小鬼子的碉堡。
张叔叔告诉棒子，骑兵营来时，希望棒子能给带路。
棒子高兴极了，说声是。
骑兵营来时是在一个晚上。
张叔叔带头，将骑兵营营长介绍给棒子。
棒子很高兴，看看这匹骏马，又摸摸那匹。
骑兵营营长开玩笑说，没骑过吧？棒子使劲地点头，傻乎乎的样子。
逗得骑兵营营长笑了，张叔叔也笑了。
湖里芦苇丛中隐藏着一条暗道，在湖中间，有新四军的监察哨把守着。
(完整word)2019年高考试题汇编理科数学--数列,推荐文档
解答: 13，设等比数列公比为q3、25•- (ag )ag••• q 3• S 121 …S 53（1）证明:a nb n 是等比数列，a n b n 是等差数列;(2 )求a n 和b n 的通项公式. 答案： (1) 见解析 1 x n 11 x n 1(2)a n () n，b n () n2222解析：(1)将 4a n 1 3a n b n 4 , 4b n 1 3b n a n 4 相加可得 4a n1 4b n 1 3a n 3b n a n b n ,11 整理可得a n 1 b n 1丄(a n b n )，又玄1 Q 1，故a . b n 是首项为1,公比为1的等比数列22将 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 13b n a n 4 作差可得 4a n14b n13a n 3b n a . b n 8,整理可得a n 1 b n 1a nb n 2，又a 1 Q 1，故a .b n 是首项为1，公差为2的等差数列1 1A. a n 2n 5B.3n 3n 10 CS2n 28nD.S n■In 2 2n 2答案：A解析：S 4 4冃 6d 0a 1 3 5, S n2依题意有 可得 a nn 4n .3S 31 4d 5 d 2 n（2019全国1理）9•记S n 为等差数列 a n 的前n 项和•已知S 40 , a 5 5，则（2（2019全国1理）14.记S n 为等比数列 a n 的前 n 项和,a 436，则 S5答案: S 51213 2019全国2理)19.已知数列a n 和b n满足a 10 , 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 1 3b n a n 4.-31 2 3436(2)由a n b n是首项为1 ,公比为?的等比数列可得a n b n ()"①；由a n bn 是首项为1公差为2的等差数列可得a n b n 2n 1②;【解析】 【分析】首先确定公差，然后由通项公式可得 a 5的值，进一步研究数列中正项 ？负项的变化规律,得到和的最小值.【详解】等差数列 a n 中，8s 5a 3 10,得a 3 2& 3,公差da 3 a ?1, a§% 2d 0,由等差数列a n 的性质得n 5时，a n 0, n 6时，a n 大于0,所以S n 的最小值为S 4或S 5,即为10.①②相加化简得a n（!）n n 1，①②相减化简得b n 2 2（2019全国3理）5.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且a s 3a 3 4印，则a ?（）A. 16B. 8 答案： C解答：C. 4D.设该等比数列的首项 a i ，公比由已知得,4a©3dq 24a i ， 因为a 0且q 0， 则可解得2，又因为 a i (1q 3) 15,即可解得c 1，则4.（2019全国3理）14.记S n 为等差数列 a n 的前n 项和，若q0, a 2 3a ，则 3°S 5答案:4解析:设该等差数列的公差为d 2a 1 a 1 0,d 0 ,10 a 1 a 10S 0____________2S 55 a 1 a 522 2a 1 9d3 4.2a 1 4d 5d（2019北京理）10.设等差数列 的前n 项和为S n,若a 2=-3 ,S s =-10，则a s = ,S n 的最小值为【答案】 (1). 0. (2). -10.【点睛】本题考查等差数列的通项公式？求和公式？等差数列的性质，难度不大，注重重要知识？基础知识？基本运算能力的考查a i (2019北京理)20.已知数列｛a n｝，从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i l<i2<・・Vm)，若a h a2则称新数列a h, a i2, , a m为｛a n｝的长度为m的递增子列•规定：数列｛a n｝的任意一项都是｛a n｝的长度为1的递增子列．(I)写出数列1 , 8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列；(H)已知数列｛a n｝的长度为p的递增子列的末项的最小值为a m o，长度为q的递增子列的末项的最小值为a n0.若p<q,求证：a m°<a n°；(川)设无穷数列｛a n｝的各项均为正整数，且任意两项均不相等若｛ a n｝的长度为s的递增子列末项的最小值为2s -, 且长度为S末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1 , 2,…)，求数列｛a n｝的通项公式.【答案】(I )1,3,5,6.(n )见解析; (川)见解析.【解析】【分析】(I )由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；(n )利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；(川)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可•【详解】(I )满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.(n)对于每一个长度为q的递增子列a n a2丄a q，都能从其中找到若干个长度为p的递增子列色总丄a p，此时a p a q ，设所有长度为q的子列的末项分别为：a q, ,a q2,a q3 ,L ,所有长度为p的子列的末项分别为：a p1,a p2,a p3,L ,则a n0 min a q1,a q2,a q3,L ，注意到长度为P的子列可能无法进一步找到长度为q的子列，故a m0 min a p1,a p2,a p3,L ，据此可得：a m0a n0n 1, n为偶数(川)满足题意的一个数列的通项公式可以是a n 斗才来朴2,1,4,3,6,5,8,7,L ,n 1,n为奇数面说明此数列满足题意很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1，下面用数学归纳法证明长度为s 末项为2s-1 的递增子列恰有2s 1个s 1,2,L ：当n 1 时命题显然成立，假设当n k时命题成立，即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有21个，则当n k 1时，对于n k 时得到的每一个子列a s1,a s2,L ,a s k 1,2k 1，可构造：aq,a s2丄，a s「2k 1,2 k 1 1和a5^,a S2,L ,a^l,2k,2 k 1 1两个满足题意的递增子列，则长度为k+1 末项为2k+1 的递增子列恰有 2 2k 12k2k 1 1个，n 1, n为偶数综上可得，数列a n、，卄沁.2,1,4,3,6,5,8,7,L是一个满足题意的数列的通项公式•n 1, n为奇数注：当s 3时，所有满足题意的数列为：2,3,5 , 1,3,5 , 2,4,5 , 1,4,5 ，当s 4 时，数列2,3,5 对应的两个递增子列为：2,3,5,7 和2,3,6,7 .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2019天津理) 19.设a n 是等差数列，b n 是等比数列.已知a1 4,b1 6，b2 2a2 2,b3 2a3 4.(I)求a n和b n的通项公式;（n）设数列q满足G 1,c n X 2 J 2「其中k Nn 1 n b k,n 2k ,i )求数列a2n c2n1 的通项公式;2nii ）求a i c i n Ni1答案】（I ）a n 3n 1 ; b n 3 2n（n ）（i ）a2n c2n 1 9 4n1 （ii ）* 2n 1n 1 *aqnN 27 25 2 n 12 nNi 1【解析】 【分析】(I )由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可; (n )结合(I )中的结论可得数列a 2n c 2n 1的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等2n价变形，结合等比数列前n 项和公式可得aG 的值.i 12 4 d 26 2d，解得2 4 2d 4 12 4d故a n 4 (n 1) 33n1 ,b n6 2n13 2n.所以,a n的通项公式为 a n 3n 1 , b n的通项公式为b n3 2n (n )( i ) a 2n C 2n 1 a ?n b n 1 3 2n 1 3 2n 19 4n 1所以,数列 a ?n c?n1 的通 项公式 :为a2nc 2n 19 4n 12n 2n2n2n(ii )a &a i a C i 1a ia c 2i1i 1i 1i 1i 12n 2n 1n2 n4-39 412i 14 1 4n3 ?2 n5 2n 19n1 427 _2n•1J 112N*25 2n n【点睛】本题主要考查等差数列 ？等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列 求和的基本方法以及运算求解能力.【详解】(I )设等差数列a n 的公db n 的公比为q .依题意得6q6q 2（2019上海）18•已知数列｛a n ｝ , a 1 3，前n 项和为S n •（1）若｛an ｝为等差数列,且 a 4 15, 求S n ；（2）若｛a n ｝为等比数列,且 lim n S n 12，求公比 q 的取值范围 【解答】解：（1） Q a 4 a 3d 3 3d 15 ,d 4 ,n(n 1),S n 3n4 2n 2 n；2lim S n 存在，nlim 3(^ 2 ,n1 q 1 q3 4公比q 的取值范围为（1 , 0） （0 , 3）.42综上，d -或者d3Hm S n存在， lim S n n （2019上海）21.已知等差数列｛务｝的公差d (0， ］，数列｛b n ｝满足 b n sin (a n )，集合 S x|xb n ,n2 、（1 ）若a 1 0,d 一，求集合 30,d —,3｛乜，0, △.2 2根据三角函数线，①等差数列 ｛a n ｝的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时此时d —,3（2）若a 1，求d 使得集合 2 S 恰好有两个（3）若集合S 恰好有三个元素: b n T b n , T 是不超过7的正整数，求 T 的所有可能的值.【解答】解：（1） Q 等差数列｛a n ｝的公差d (0，］，数列｛b n ｝满足 b n sin (a n )，集合 S x|xb n ,n当a 1集合S (2) Q，数列｛b n ｝满足 b n sin (a .),2集合S x|x N *恰好有两个元素，如图:②a 1终边落在OA 上，要使得集合 S 恰好有两个元素，可以使 a 2, a 3的终边关于y 轴对称，如图OB , OC ,(3)①当T 3 时，b n 3 b n，集合S {bl，b2, b3},符合题意.②当T 4 时，b n 4 b n ，sin(a n 4d) sina. a n 4d a n 2k ，或者a n 4d 2k a n ，4d a n 2k，又k 1，2当k1时满足条件，此时S {，1, 1}.③当T 5时，b n 5b n，si n(a n5d)sina n，故k1，2.当k1时，S{sin—，1，sin}满足题意1010④当T 6时，b n 6b n，sin (an6d)sina n，a na n等差数列{a n}的公差d (0，］，故a n5d a n 2k ，或者a n 5d 2k a n，因为 d (0 ,所以6d a n 2k 或者a n 6d 2k a n，d (0，1 , 2, 3.1时，S {-^O, —3}，满足题意.2 2⑤当T 7 时，b n 7 b n，si n(a n 7d) si na n si na n，所以a n 7d a n 2k ，或者a n 7d 2k a n，d (0，故k 1 , 2, 31时，因为b i ~b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n 2 ，d m 7，不符合条件.k 2时，因为b i~b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n 2 ，d n不是整数，不符合条件.k 3时，因为bi ~ b7对应着3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n—，或者d7—，此时，m n均不是整数，不符合题意.7综上，T3，4，5，6.(2019江苏)8.已知数列{a n}( n N*)是等差数列，S n是其前n项和若a2^ 兎0,S9 27 ,则Q的值是 _____________________ 【答案】16【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.a 2a 5CBa 1 d a-i 4d7d 0【详解】由题意可得：9 8S99a 1 9 8d227解得： a 1 51 ，则 S 8 8a 1 8 7d40 28 216.d 22【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应 用通项公式、求和公式等，构建方程(组)，如本题，从已知出发，构建a 1, d 的方程组.(2019江苏)20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M—数列”.(1)已知等比数列｛a n ｝满足：a ?a 4 a 5,a 3 4a ? 4印 0 ,求证：数列｛a n ｝为“M—数列”；u . 1 2 2(2)已知数列｛b n ｝满足：b 1 1,S b b ，其中S 为数列｛b n ｝的前n 项和.S n b n b n 1① 求数列｛b n ｝的通项公式；② 设m 为正整数，若存在 “M—数列” ｛｝ (n € N *)，对任意正整数k ，当k 呦 时，都有C k b k q 1成立，求m 的 最大值.【答案】(1)见解析； (2［① b n = n n N * :② 5. 【解析】 【分析】(1 )由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论； (2)①由题意利用递推关系式讨论可得数列｛b n ｝是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定b k 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得【详解】(1)设等比数列｛a n ｝的公比为q ,所以a 1^0, q 丰0.因此数列｛a n ｝为M —数列”1 22 (2) ①因S n—，所以b nb nbn11 2 2由b| 1,S 1th 得1 1 ，则 b 22.1由2 2 得 S nb n b n 1m 的最大值.a 2&4 a s由a 3 4a ： 4ci|。
2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版) 不等式选讲
专题 不等式选讲【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c++≤++． （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知()|1||1|f x x ax =+--． （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）1{|}2x x >；（2）(0,2]．【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ． （1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）1{|1}2x x --≤≤；（2）[1,1]-． 【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤； 当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤． 所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -≤≤． （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤． 所以a 的取值范围为[1,1]-．【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞（此处设a b <）三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． （2）图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．【命题意图】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）a b a b +≤+. （2） a b a c c b -≤-+-.（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：; ; ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥.2．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.3．主要考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查分类讨论、数形结合思想方法，考查逻辑推理、数学运算等核心素养. 【命题规律】从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等. 【方法总结】（一）解绝对值不等式的常用方法有：（1）公式法：对于形如|f (x )|>g (x )或|f (x )|<g (x )，利用公式|x|<a ⇔−a<x<a (a>0)和|x|>a ⇔x>a 或x<−a (a>0)直接求解不等式；（2）平方法：对于形如|f (x )|≥|g (x )|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f (x )|≥|g (x )|⇔f (x )2≥g 2(x )；（3）零点分段法：对于形如|f (x )|±|g (x )|≥a ，|f (x )|±|g (x )|≤a ，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；（4）几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c ，|x±a|±|x±b|≥c ，利用绝对值三角不等式的性质求解，即 ①定理1:如果a ，b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立.②定理2:如果a ，b ，c 是实数，那么|a −c|≤|a −b|+|b −c|，当且仅当(a −b )(b −c )≥0时，等号成立.③推论1:||a|−|b||≤|a+b|. ④推论2:||a|−|b||≤|a −b|.（5）图象法：对于形如|f (x )|+|g (x )|≥a 可构造y=|f (x )|+|g (x )|−a 或y=|f (x )|+|g (x )|与y=a ，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数. （二）含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：（1）分享参数法运用“max min ()(),()()f x a f x a f x a f x a ≤⇔≤≥⇔≥”可解决恒成立中的参数范围问题.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“||||||||||||a b a b a b -≤±≤+”求最值. （2）更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法. （3）数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题. （三）不等式的证明（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.（2）基本不等式:如果a ，b>0，那么2a b+≥，当且仅当a=b 时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即12n a a a n+++≥L 当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立.1．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学试题】设函数3()|21|,2f x x x =--+,[1,),a b ∀∈+∞|||1|a b m ab ++„.（1）解不等式()2f x „；（2）x ∀∈R ，证明：()1f x m --…. 【答案】（1）59,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）见解析. 【解析】（1）根据题意，53,22131()3,22251,22x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=---⎨⎪⎪->⎪⎩，，，剟由()2f x „得32522x x ⎧<-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩„或31221322x x ⎧-≤⎪⎪⎨⎪--⎪⎩„„或12522x x ，，⎧>⎪⎪⎨⎪-⎪⎩„ 解之得5962x -剟， 故不等式()2f x „的解集为59,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）易得当1,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递减，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递增. ∴当12x =时，函数min ()2f x =-. 由题知|||1|a b m ab ++„，即1a bm ab ++„，∵()(1)(1)(1)0a b ab a b +-+=--„， ∴1a b ab ++„， ∴11a b ab ++„. ∴1m …， ∴12m ---„， ∴()1f x m --….【名师点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，不等式证明，属于中档题.（1）去绝对值号，转化为分段函数，解不等式即可； （2）由（1）可知函数min ()2f x =-，且1a bm ab ++„恒成立，求得1m …，故12m ---„，由不等式传递性可得()1f x m --….2．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模）数学试题】已知函数1()||2a f x x a =--，a ∈R ．（1）若将函数()f x 的图象向左平移m 个单位后，得到函数()g x ，要使()()1g x f x -…恒成立，求实数m 的最大值；（2）当12a >时，函数()()|21|h x f x x =+-存在零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）112a <≤.【解析】（1）由函数()f x 的图象向左平移m 个单位可得，函数1()||2ag x x m a =+--， 要使()()1g x f x ≥-恒成立，则()()1f x g x -≤， 即||||1x a x m a --+-≤恒成立，因为|||||()|||x a x m a x a x m a m --+-≤-+--+=， 所以只需||1m ≤， 即实数m 的最大值为1.（2）当12a >时，函数1()|||21|2a h x x a x =-+--=1131,22111,22131,2a a a x a x x a x a x a x a ⎧-+-+<⎪⎪⎪+--≤≤⎨⎪⎪--->⎪⎩，若函数()h x 存在零点，则满足函数min 111()0222a h x h a ⎛⎫==--≤⎪⎝⎭， 即121122a a a ⎧>⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，因为函数1()2f x x =-与函数1()2x f x =的图象有且只有一个交点11,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以实数a 的取值范围为112a <≤. 【名师点睛】本题考查了绝对值三角不等式及函数零点存在性定理，考查函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属中档题．3．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学试题】已知函数()12f x x x m =-+-，m ∈R .（1）当3m =时，解不等式()2f x ≤；（2）若存在0x 满足()0013x f x -+<，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）()1,5-.【解析】（1）当3m =时，()123f x x x =-+-.当1x <时，1232x x --+≤，解得：213x ≤<； 当312x ≤≤时，1232x x --+≤，解得：312x ≤≤； 当32x >时，1232x x -+-≤，解得：322x <≤.()2f x ∴≤的解集为：2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）若存在0x 满足()0013x f x -+<等价于2223x x m -+-<有解，2222222x x m x x m m -+-≥--+=-Q ， 23m ∴-<，解得：15m -<<.∴实数m 的取值范围为：()1,5-.【名师点睛】本题考查绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用、能成立问题的求解问题，关键是能够将能成立问题转化为最值的求解问题，通过求解最值得到不等关系，从而求得结果. （1）分别在1x <，312x ≤≤，32x >三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果； （2）将问题转化为2223x x m -+-<有解；利用绝对值三角不等式可求得2222x x m m -+-≥-，从而得到23m -<，解不等式求得结果.4．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学试题】已知函数()2f x x a =--1x +.（1）当1a =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）若()20f x a --≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(],0-∞；（2）[]1,1-.【解析】（1）当1a =时，()3,22112,123,1x f x x x x x x ->⎧⎪=--+=--≤≤⎨⎪<-⎩，当2x >时，31-≥不成立，无解；当12x -≤≤时，121x -≥，解得0x ≤，所以10x -≤≤； 当1x <-时，31≥，符合.综上，不等式()1f x ≥的解集为(],0-∞.（2）()20f x a --≤恒成立等价于()max 2f x a ≤+， 因为()212121x a x x a x a --+≤--+=+， 所以212121a x a x a -+≤--+≤+. 所以212a a +≤+，所以2212a a a --≤+≤+，解得11a -≤≤. 所以所求实数a 的取值范围为[]1,1-.【名师点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题． （1）将a ＝1代入f （x ）中去绝对值，然后分别解不等式；（2）f （x ）﹣a ﹣2≤0恒成立等价于f （x ）max ≤a +2，求出f （x ）的最大值后解不等式． 5．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一数学试题】已知函数()f x x x a =+-. （1）当2a =时，求不等式()4f x <的解集；（2）若()1f x ≥对任意x ∈R 成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}13x x -<<；（2）(][),11,-∞-+∞U .【解析】（1）当2a =时，不等式()4f x <可化为24x x +-<. 讨论：①当0x <时，()24x x ---<，所以1x >-，所以10x -<<； ②当02x ≤≤时，()24x x --<，所以24<，所以02x ≤≤； ③当2x >时，()24x x +-<，所以3x <，所以23x <<. 综上，当2a =时，不等式()4f x <的解集为{}13x x -<<. （2）因为()x x a x x a --≤+-， 所以x x a a +-≥.又因为()f x x x a =+-，()1f x ≥对任意x ∈R 成立， 所以1a ≤， 所以1a ≤-或1a ≥.故实数a 的取值范围为(][),11,-∞-+∞U .【名师点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，恒成立问题一般是转化为最值问题求解，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养. （1）把2a =代入，利用零点分段讨论法求解；（2）()1f x ≥对任意x ∈R 成立转化为求()f x 的最小值可得.6．【2019年湖北省武汉市高考数学（5月份）模拟数学试题】设函数()213f x x a x =++--. （1）当4a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[4,2]-；（2）(,12][8,)-∞-+∞U .【解析】（1）当4a =时，不等式()6f x „化为2|2||1|9x x ++-„. 当2x -„时，不等式为2(2)19x x -+-+„，即4x ≥-，有42x -≤-„；当21x -<<时，不等式为2(2)19x x +-+„，即4x „，有21x -<<； 当1x ≥时，不等式为2(2)19x x ++-„，即2x „，有12x ≤„； 综上所述，当4a =时，不等式()6f x ≤的解集为[4,2]-.（2）()|2||1|32f x x a x =++--…，即()|2||1|5g x x a x =++-…. 当2a =-时，()3|1|5g x x =-≥不恒成立；当2a <-时，31,1,()1,1,231,,2x a x a g x x a x a x a x ⎧⎪-+-<⎪⎪=---≤-⎨⎪⎪+->-⎪⎩„所以min ()1522a a g x g ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭…，即12a -„. 当2a >-时，31,,2()1,1,231,1,a x a x a g x x a x x a x ⎧-+-<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪+->⎪⎪⎩所以min ()1522a ag x g ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭…，即8a …. 综上所述，a 的取值范围为(,12][8,)-∞-+∞U .【名师点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，绝对值不等式的解法一般是利用分类讨论来解决.（1）把4a =代入，利用分类讨论法去掉绝对值求解；（2）先求()f x 的最小值，然后利用这个最小值不小于2可得实数a 的取值范围． 7．【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知()221f x x x =-++． （1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤． 【答案】（1）()1,3-；（2）见解析.【解析】（1）①2x ≥时，()24133f x x x x =-++=-，由()6f x <，得336x -<，∴3x <，即23x ≤<；②12x -<<时，()4215f x x x x =-++=-，由()6f x <，得56x -<，∴1x >-，即12x -<<；③1x ≤-时，()42133f x x x x =---=-，由()6f x <，得336x -<，∴1x >-，可知无解. 综上，不等式()6f x <的解集为()1,3-.（2）∵()221f x x x =-++，∴()36f =，∴()36m n p f ++==，且,,m n p 为正实数，∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=，∵222m n mn +≥，222m p mp +≥，222n p np +≥，∴222m n p mn mp np ++≥++，∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++，又,,m n p 为正实数，∴12mn np pm ++≤．【名师点睛】求解本题时，（1）对x 分三种情况进行讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）先求得()36m n p f ++==，结合()2m n p ++=222m n p ++2mn ++2236mp np +=，利用基本不等式可得结果.绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．8．【福建省泉州市2019届普通高中毕业班第二次质量检查数学试题】已知函数11()44f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集.（1）求M ；（2）证明：当,a b M ∈时，a b -.【答案】（1）[1,1]M =-；（2）见解析.【解析】（1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩不等式()2f x ≤等价于1422x x ⎧≤-⎪⎨⎪-≤⎩或1144122x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或1422x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩， 解得114x -≤≤-或1144x -<<或114x ≤≤，所以不等式的解集为[]1,1M =-.（2）要证a b ≥-，只需证a b ≥-，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b -≥-+，即2242a ab b ≥++，即证()24a b ≥+， 只需证2a b ≥+，因为,a b M ∈， 所以2a b +≤，所以所证不等式成立.【名师点睛】本题考查绝对值不等式的解法和分析法证明不等式，基础题.（1）利用定义去掉绝对值，化简函数()f x ，再逐段解不等式.（2）利用分析法证明.9．【河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟考试一(B 卷)数学试题】设函数()13f x x x =--+.（1）求不等式()1f x ≤的解集；（2）若函数()f x 的最大值为m ，正实数,p q 满足2p q m +=，求212p q++的最小值. 【答案】（1）32x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭；（2）43. 【解析】（1）不等式可化为3131x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩或31131x x x -<<⎧⎨---≤⎩或1131x x x ≥⎧⎨---≤⎩， 解得32x ≥-， ()1f x ∴≤的解集为32x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭. （2）1+3134x x x x --≤-++=，4,24m p q ∴=+=，()226p q ∴++=，()2112114222426262q p p q p q p q p q ⎛⎫⎛⎫++=+++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭14463⎛≥+= ⎝. 当且仅当223p q +==时，即132p q =⎧⎪⎨=⎪⎩时，取“=”， 212p q ∴++的最小值为43． 【名师点睛】求解本题时，（1）不等式可化为3131x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩或31131x x x -<<⎧⎨---≤⎩或1131x x x ≥⎧⎨---≤⎩，据此求解不等式的解集即可；（2）由题意可得4m =，结合均值不等式求解212p q ++的最小值即可，注意等号成立的条件.绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．10．【湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷（一）数学试题】已知函数()2,f x m x =--m ∈R ，且(2)0f x -≥的解集为［3，5］.（1）求m 的值；（2）a ，b 均为正实数，11,,a b a bαβ=+=+且a b m +=，求αβ+的最小值. 【答案】（1）1m =；（2）5.【解析】（1）(2)|2(2)||4|0f x m x m x -=---=--≥，等价于4x m -≤.其解集为{|44}x m x m -≤≤+.又(2)0f x -≥的解集为[3,5]，故1m =.（2）由（1）得1a b +=. 方法一：1111a b a b ab αβ+=+++=+21152a b +=+⎛⎫ ⎪⎝⎭…， 当且仅当12a b ==时等号成立， 故αβ+的最小值为5. 方法二：111a b a b a b a b a b αβ+++=+++=++335b a a b =++≥+=， 当且仅当12a b ==时等号成立， 故αβ+的最小值为5.【名师点睛】本题考查不等式的解法，考查了运用基本不等式求最值的方法，正确运用基本不等式是关键．（1）根据f （x -2）的解析式得出4x m -≤，根据解集得出m ；（2）利用基本不等式即可得出结论．。