SPSS相关分析
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8.4.1 偏相关分析和偏相关系数 （1）简单相关系数研究两变量间线性相关性，若 还存在其他因素影响，其往往夸大变量间的相关性， 不是两变量间线性相关强弱的真实体现。 例如，研究商品的需求量、价格和消费者收入之 间的线性关系时，需求量和价格的相关关系实际还包 含了消费者收入对价格和商品需求量的影响。此时， 单纯利用简单相关系数来评价变量间的相关性是不准 确的，需要在剔除其他相关因素影响的条件下计算变 量间的相关。偏相关的意义就在于此。
one2world@yahoo.com.cn
8.1.3 正线性相关与负线性相关 线性相关可以分为： （1）正线性相关：两个变量线性的相随变动方向 相同。 （2）负线性相关：两个变量线性的相随变动方向 相反。
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8.1.4 相关分析 如果仅仅研究变量之间的相互关系的密切程度和 变化趋势，并用适当的统计指标描述。这就是相关分 变化趋势，并用适当的统计指标描述。这就是相关分 析。 如果要把变量间相互关系用函数表达出来，用 一个或多个变量的取值来估计另一个变量的取值，这 就是回归分析 就是回归分析。 回归分析。 绘制散点图和计算相关系数是相关分析最常用的 工具，它们的相互结合能够达到较为理想的分析效果。
one2world@yahoo.com.cn
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8.3 计算相关系数 8.3.1 相关系数的特点 利用相关系数进行变量间线性关系的分析通常需 要完成以下两个步骤： 1.计算样本相关系数r； 1.计算 相关系数r ①相关系数r的取值在①相关系数r的取值在-1～+1之间 +1之间 ②r>0表示两变量存在正的线性相关关系；r<0表 r>0表示两变量存在正的线性相关关系；r<0表 示两变量存在负的线性相关关系 ③r＝1表示两变量存在完全正相关；r＝-1表示两 表示两变量存在完全正相关；r 变量存在完全负相关；r 变量存在完全负相关；r＝0表示两变量不相关 ④|r|>0.8表示两变量有较强的线性关系； |r|<0.3 |r|>0.8表示两变量有较强的线性关系； 表示两变量之间的线性关系较弱
2 (1 − ry22 )(1 − r12 )
其中，ry1、ry 2、r12 分别表示y和x1的相关系数、y和x 2的相关系数、 x1和x 2的相关系数。
偏相关系数的取值范围及大小含义与相关系数 相同。
one2world@yahoo.com.cn
（2）对样本来自的两总体是否存在显著的净相 关进行推断，检验统计量为：
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Kendall τ 相关系数
τ = (U − V )
2 n(n − 1)
U − 一致对数目， − 非一致对数目， V
在小样本下，Kendall相关系数服从Kendall分 在小样本下，Kendall相关系数服从Kendall分 布；在大样本下， Kendall相关系数的检验统计量 Kendall相关系数的检验统计量 为Z统计量，定义为： 9n(n − 1) Z =τ 2(2n + 5) Z统计量近似服从标准正态分布。
t= r n−2 1− r 2 ~ t (n − 2)
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2 Spearman等级相关系数 Spearman等级相关系数 ①Spearman等级相关系数用来度量定序变量间的线性 Spearman等级相关系数用来度量定序变量间的线性 相关关系， ②设计思想与Pearson简单相关系数相同，只是数据为 ②设计思想与Pearson简单相关系数相同，只是数据为 非定距的，故计算时并不直接采用原始数据( xi , yi )，而 是利用数据的秩，用两变量的秩 (U i ,Vi ) 代替 ( xi , yi ) 代入 Pearson简单相关系数计算公式 Pearson简单相关系数计算公式 ③于是其中的 xi 和 yi 的取值范围被限制在1和n之间， 的取值范围被限制在1 且可被简化为：
第8章：相关分析 章 Correlations
8.1 相关分析 8.1.1 统计关系与函数关系 客观事物之间的关系大致可分为两大类关系： 函数关系： （1）函数关系：当一个或几个变量取一定的值时， 另一个变量有确定值与之相对应，我们称这种关系为 确定性的函数关系。 统计关系： （2）统计关系：两事物之间的一种非一一对应的 关系，即当一个变量x取一定值时，另一变量y无法依 确定的函数取唯一确定的值。
r = 1−
6∑ Di2 n(n −1)
2
，其中∑ D = ∑(Ui −Vi )
i =1 2 i i =1
n
n
2
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①如果两变量的正相关性较强，它们秩的变化具有同 n n 步性，于是 ∑ Di2 = ∑ (U i − Vi )2 的值较小，r趋向于1； 的值较小，r趋向于1 ②如果两变量的正相关性较弱，它们秩的变化不具有 n n 2 同步性，于是 ∑ Di = ∑ (U i − Vi )2 的值较大，r趋向于0； 的值较大，r趋向于0 ③小样本下，在零假设成立时， Spearman等级相关系 Spearman等级相关系 数服从Spearman分布； 数服从Spearman分布； ④在大样本下， Spearman等级相关系数的检验统计量 Spearman等级相关系数的检验统计量 为Z统计量，定义为 Z = r n − 1 Z统计量近似服从标准正态分布。
one2world@yahoo.com.cn
8.2 绘制散点图 8.2.1 散点图的特点 散点图： 散点图：是将数据以点的形式画在直角坐标系上， 通过观察散点图能够直观的发现变量间的相关关系及 它们的强弱程度和方向。 在实际分析中，散点图经常表现出某些特定的形 式。如绝大多数的数据类似于“橄榄球”的形状，或 集中形成一根“棒状”，而剩余的少数数据点则零散 地分布在四周。通常“橄榄球”和“棒状”代表了数 据对的主要结构和特征，可以利用曲线将这种主要结 构的轮廓描绘出来，是数据的主要特征更突出。
one2world@yahoo.com.cn
8.3.3 计算相关系数的应用举例 对于案例8 对于案例8-1，通过绘制散点图得知家庭收入与计 划购买的住房面积之间存在一定的正的弱相关关系， 为更确定地反映两者之间线性关系的强弱，采用计算 相关系数的方法。由于这两个变量为定距变量，故采 用Pearson相关系数。 Pearson相关系数。 【分析（Analyze）】 分析（Analyze） 【相关（correlate）】 相关（correlate） 【两变量 （bivariate）】 bivariate）
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y
y
r=1
完全正相关
r=0.7~0.8
正相关
x
r=0
无相关
x
y
y
y
r=-1
完全负相关
x
r=-0.7 ~ -0.8
负相关
x
r=0
无相关
x
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8.2.2 散点图应用举例
案例： 案例： 利用住房状况问卷调查数据，分析家庭收 入与打算购买的住房面积之间存在怎样的统计 关系。（数据：住房状况调查.sav） 关系。（数据：住房状况调查.sav） 操作： 图形（Graps） 操作：【图形（Graps）】 【散点图（Scatter）】 散点图（Scatter）
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偏相关系数的分析步骤 （1）计算样本的偏相关系数 假设有三个变量y 假设有三个变量y、x1和x2，在分析x1和y之间的 ，在分析x 净相关时，需控制x 的线性作用，则x 净相关时，需控制x2的线性作用，则x1和y之间的一 阶偏相关定义为：
ry1,2 = ry1 − ry 2 r12
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8.3.2 相关系数的种类 对不同类型的变量应采用不同的相关系数来度量， 常用的相关系数主要有Pearson简单相关系数、 常用的相关系数主要有Pearson简单相关系数、 Spearman等级相关系数和Kendall Spearman等级相关系数和Kendall 相关系数等。 τ 1.Pearson简单相关系数 1.Pearson简单相关系数（适用于两个变量都是数 简单相关系数（适用于两个变量都是数 n 值型的数据） ∑(xi − x)( yi − y) Rxy = n i=1 2 2 n ∑(xi−x) ∑(yi−y) i=1 i=1 Pearson简单相关系数的检验统计量为： Pearson简单相关系数的检验统计量为：
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8.1.2 线性相关和非线性相关
统计关系可再进一步分为： （1）线性相关：当一个变量的值发生变化时，另 线性相关： 线性相关 外的一个变量也发生大致相同的变化。在直角坐标系 中，如现象观察值的分布大致在一条直线上，则现象 之间的相关关系为线性相关或直线相关 线性相关或直线相关（Linear 线性相关或直线相关 correlation）。 （2）非线性相关：如果一个变量发生变动，另 非线性相关： 非线性相关 外的变量也随之变动，但是，其观察值分布近似的在 一条曲线上，则变量之间的相关关系为非线性相关或 非线性相关或 曲线相关（ correlation） 曲线相关（Curvilinear correlation）
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Baidu Nhomakorabea
（3）偏相关分析也称净相关分析，它在控制其他 变量线性影响的条件下分析两变量间的线性关系，所 采用的工具是偏相关系数。 （4）控制变量个数为1时，偏相关系数称一阶偏 ）控制变量个数为1 相关；当控制两个变量时，偏相关系数称为二阶偏相 关；当控制变量的个数为0 关；当控制变量的个数为0时，偏相关系数称为零阶 偏相关，也就是简单相关系数。
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因p=0.000<a(0.01) 故拒绝原假设，即拒绝零相关 因相关系数为0.323，意味着两者存在弱相关。 因相关系数为0.323，意味着两者存在弱相关。
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8.4 偏相关分析
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简单散点图 ①表示一对变量间统计关系的散点图 ②将纵轴变量选入【 ②将纵轴变量选入【Y 轴】， ③将横轴变量选入【 ③将横轴变量选入【X轴】， ④将分组变量选入【设置标记】 ④将分组变量选入【设置标记】:用该变量分组，并在 一张图上用不同颜色绘制若干个散点图。 ⑤将标记变量选入【标注个案】 ⑤将标记变量选入【标注个案】：将标记变量的各变量 值标记在散点图相应点的旁边。
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2.对样本来自的两总体是否存在显著的线性关系 2.对样本来自的 进行推断。 由于存在随机抽样和样本数量较少等原因，通常 样本相关系数不能直接用来说明样本来自的总体是否 具有显著的线性相关性，而需要通过假设检验的方式 对样本来自的总体是否存在显著的线性相关关系进行 统计推断。基本步骤是： （1）提出原假设，即两总体无显著的线性关系。 （2）选择检验统计量，即不同的相关系数。 （3）计算检验统计量的观测值和对应的概率值。 （4）决策：p与a的关系。 ）决策：p
i =1 i =1
i =1
i =1
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3.Kendall 相关系数
（1）用非参数检验方法度量定序变量间的线性相关关 系 （2）利用变量秩数据计算一致对数目和非一致对数目。 ①当两个变量具有较强的正相关关系，则一致对数目 较大，非一致对数目较小， ②当两个变量具有较强的负相关关系，则一致对数目 较小，非一致对数目较大， ③当两个变量相关性较弱，则一致对数目和非一致对 数目大致相等，
n−q−2 t =r 1− r 2
其中，r为偏相关系数，n为样本数，q 其中，r为偏相关系数，n为样本数，q为阶数。 t统计量服从n-q-2个自由度的t分布。 统计量服从n 个自由度的t
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8.1.3 正线性相关与负线性相关 线性相关可以分为： （1）正线性相关：两个变量线性的相随变动方向 相同。 （2）负线性相关：两个变量线性的相随变动方向 相反。
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8.1.4 相关分析 如果仅仅研究变量之间的相互关系的密切程度和 变化趋势，并用适当的统计指标描述。这就是相关分 变化趋势，并用适当的统计指标描述。这就是相关分 析。 如果要把变量间相互关系用函数表达出来，用 一个或多个变量的取值来估计另一个变量的取值，这 就是回归分析 就是回归分析。 回归分析。 绘制散点图和计算相关系数是相关分析最常用的 工具，它们的相互结合能够达到较为理想的分析效果。
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8.3 计算相关系数 8.3.1 相关系数的特点 利用相关系数进行变量间线性关系的分析通常需 要完成以下两个步骤： 1.计算样本相关系数r； 1.计算 相关系数r ①相关系数r的取值在①相关系数r的取值在-1～+1之间 +1之间 ②r>0表示两变量存在正的线性相关关系；r<0表 r>0表示两变量存在正的线性相关关系；r<0表 示两变量存在负的线性相关关系 ③r＝1表示两变量存在完全正相关；r＝-1表示两 表示两变量存在完全正相关；r 变量存在完全负相关；r 变量存在完全负相关；r＝0表示两变量不相关 ④|r|>0.8表示两变量有较强的线性关系； |r|<0.3 |r|>0.8表示两变量有较强的线性关系； 表示两变量之间的线性关系较弱
2 (1 − ry22 )(1 − r12 )
其中，ry1、ry 2、r12 分别表示y和x1的相关系数、y和x 2的相关系数、 x1和x 2的相关系数。
偏相关系数的取值范围及大小含义与相关系数 相同。
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（2）对样本来自的两总体是否存在显著的净相 关进行推断，检验统计量为：
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Kendall τ 相关系数
τ = (U − V )
2 n(n − 1)
U − 一致对数目， − 非一致对数目， V
在小样本下，Kendall相关系数服从Kendall分 在小样本下，Kendall相关系数服从Kendall分 布；在大样本下， Kendall相关系数的检验统计量 Kendall相关系数的检验统计量 为Z统计量，定义为： 9n(n − 1) Z =τ 2(2n + 5) Z统计量近似服从标准正态分布。
t= r n−2 1− r 2 ~ t (n − 2)
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2 Spearman等级相关系数 Spearman等级相关系数 ①Spearman等级相关系数用来度量定序变量间的线性 Spearman等级相关系数用来度量定序变量间的线性 相关关系， ②设计思想与Pearson简单相关系数相同，只是数据为 ②设计思想与Pearson简单相关系数相同，只是数据为 非定距的，故计算时并不直接采用原始数据( xi , yi )，而 是利用数据的秩，用两变量的秩 (U i ,Vi ) 代替 ( xi , yi ) 代入 Pearson简单相关系数计算公式 Pearson简单相关系数计算公式 ③于是其中的 xi 和 yi 的取值范围被限制在1和n之间， 的取值范围被限制在1 且可被简化为：
第8章：相关分析 章 Correlations
8.1 相关分析 8.1.1 统计关系与函数关系 客观事物之间的关系大致可分为两大类关系： 函数关系： （1）函数关系：当一个或几个变量取一定的值时， 另一个变量有确定值与之相对应，我们称这种关系为 确定性的函数关系。 统计关系： （2）统计关系：两事物之间的一种非一一对应的 关系，即当一个变量x取一定值时，另一变量y无法依 确定的函数取唯一确定的值。
r = 1−
6∑ Di2 n(n −1)
2
，其中∑ D = ∑(Ui −Vi )
i =1 2 i i =1
n
n
2
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①如果两变量的正相关性较强，它们秩的变化具有同 n n 步性，于是 ∑ Di2 = ∑ (U i − Vi )2 的值较小，r趋向于1； 的值较小，r趋向于1 ②如果两变量的正相关性较弱，它们秩的变化不具有 n n 2 同步性，于是 ∑ Di = ∑ (U i − Vi )2 的值较大，r趋向于0； 的值较大，r趋向于0 ③小样本下，在零假设成立时， Spearman等级相关系 Spearman等级相关系 数服从Spearman分布； 数服从Spearman分布； ④在大样本下， Spearman等级相关系数的检验统计量 Spearman等级相关系数的检验统计量 为Z统计量，定义为 Z = r n − 1 Z统计量近似服从标准正态分布。
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8.2 绘制散点图 8.2.1 散点图的特点 散点图： 散点图：是将数据以点的形式画在直角坐标系上， 通过观察散点图能够直观的发现变量间的相关关系及 它们的强弱程度和方向。 在实际分析中，散点图经常表现出某些特定的形 式。如绝大多数的数据类似于“橄榄球”的形状，或 集中形成一根“棒状”，而剩余的少数数据点则零散 地分布在四周。通常“橄榄球”和“棒状”代表了数 据对的主要结构和特征，可以利用曲线将这种主要结 构的轮廓描绘出来，是数据的主要特征更突出。
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8.3.3 计算相关系数的应用举例 对于案例8 对于案例8-1，通过绘制散点图得知家庭收入与计 划购买的住房面积之间存在一定的正的弱相关关系， 为更确定地反映两者之间线性关系的强弱，采用计算 相关系数的方法。由于这两个变量为定距变量，故采 用Pearson相关系数。 Pearson相关系数。 【分析（Analyze）】 分析（Analyze） 【相关（correlate）】 相关（correlate） 【两变量 （bivariate）】 bivariate）
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y
y
r=1
完全正相关
r=0.7~0.8
正相关
x
r=0
无相关
x
y
y
y
r=-1
完全负相关
x
r=-0.7 ~ -0.8
负相关
x
r=0
无相关
x
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8.2.2 散点图应用举例
案例： 案例： 利用住房状况问卷调查数据，分析家庭收 入与打算购买的住房面积之间存在怎样的统计 关系。（数据：住房状况调查.sav） 关系。（数据：住房状况调查.sav） 操作： 图形（Graps） 操作：【图形（Graps）】 【散点图（Scatter）】 散点图（Scatter）
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偏相关系数的分析步骤 （1）计算样本的偏相关系数 假设有三个变量y 假设有三个变量y、x1和x2，在分析x1和y之间的 ，在分析x 净相关时，需控制x 的线性作用，则x 净相关时，需控制x2的线性作用，则x1和y之间的一 阶偏相关定义为：
ry1,2 = ry1 − ry 2 r12
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8.3.2 相关系数的种类 对不同类型的变量应采用不同的相关系数来度量， 常用的相关系数主要有Pearson简单相关系数、 常用的相关系数主要有Pearson简单相关系数、 Spearman等级相关系数和Kendall Spearman等级相关系数和Kendall 相关系数等。 τ 1.Pearson简单相关系数 1.Pearson简单相关系数（适用于两个变量都是数 简单相关系数（适用于两个变量都是数 n 值型的数据） ∑(xi − x)( yi − y) Rxy = n i=1 2 2 n ∑(xi−x) ∑(yi−y) i=1 i=1 Pearson简单相关系数的检验统计量为： Pearson简单相关系数的检验统计量为：
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8.1.2 线性相关和非线性相关
统计关系可再进一步分为： （1）线性相关：当一个变量的值发生变化时，另 线性相关： 线性相关 外的一个变量也发生大致相同的变化。在直角坐标系 中，如现象观察值的分布大致在一条直线上，则现象 之间的相关关系为线性相关或直线相关 线性相关或直线相关（Linear 线性相关或直线相关 correlation）。 （2）非线性相关：如果一个变量发生变动，另 非线性相关： 非线性相关 外的变量也随之变动，但是，其观察值分布近似的在 一条曲线上，则变量之间的相关关系为非线性相关或 非线性相关或 曲线相关（ correlation） 曲线相关（Curvilinear correlation）
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（3）偏相关分析也称净相关分析，它在控制其他 变量线性影响的条件下分析两变量间的线性关系，所 采用的工具是偏相关系数。 （4）控制变量个数为1时，偏相关系数称一阶偏 ）控制变量个数为1 相关；当控制两个变量时，偏相关系数称为二阶偏相 关；当控制变量的个数为0 关；当控制变量的个数为0时，偏相关系数称为零阶 偏相关，也就是简单相关系数。
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因p=0.000<a(0.01) 故拒绝原假设，即拒绝零相关 因相关系数为0.323，意味着两者存在弱相关。 因相关系数为0.323，意味着两者存在弱相关。
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8.4 偏相关分析
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简单散点图 ①表示一对变量间统计关系的散点图 ②将纵轴变量选入【 ②将纵轴变量选入【Y 轴】， ③将横轴变量选入【 ③将横轴变量选入【X轴】， ④将分组变量选入【设置标记】 ④将分组变量选入【设置标记】:用该变量分组，并在 一张图上用不同颜色绘制若干个散点图。 ⑤将标记变量选入【标注个案】 ⑤将标记变量选入【标注个案】：将标记变量的各变量 值标记在散点图相应点的旁边。
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2.对样本来自的两总体是否存在显著的线性关系 2.对样本来自的 进行推断。 由于存在随机抽样和样本数量较少等原因，通常 样本相关系数不能直接用来说明样本来自的总体是否 具有显著的线性相关性，而需要通过假设检验的方式 对样本来自的总体是否存在显著的线性相关关系进行 统计推断。基本步骤是： （1）提出原假设，即两总体无显著的线性关系。 （2）选择检验统计量，即不同的相关系数。 （3）计算检验统计量的观测值和对应的概率值。 （4）决策：p与a的关系。 ）决策：p
i =1 i =1
i =1
i =1
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3.Kendall 相关系数
（1）用非参数检验方法度量定序变量间的线性相关关 系 （2）利用变量秩数据计算一致对数目和非一致对数目。 ①当两个变量具有较强的正相关关系，则一致对数目 较大，非一致对数目较小， ②当两个变量具有较强的负相关关系，则一致对数目 较小，非一致对数目较大， ③当两个变量相关性较弱，则一致对数目和非一致对 数目大致相等，
n−q−2 t =r 1− r 2
其中，r为偏相关系数，n为样本数，q 其中，r为偏相关系数，n为样本数，q为阶数。 t统计量服从n-q-2个自由度的t分布。 统计量服从n 个自由度的t