清华大学自主招生考试试题

2010清华大学自主招生考试试题（语文+数学+化学+物理）

数学（共9题）（缺第2题）

1.设1

51

5-+的整数部分为A ，小数部分为B, 1）求A,B 2）求AB B 21A 22+

+ 3）求)1(lim 21n n B B B +++++∞

→ . 3.(1),1,Y X 0,Y 0,X +∈=+>>N n 证明：122221

X -≥+n n n Y

(2)正实数x,y,z,任意打乱顺序后成为a,b,c,求证：3≥++c

z b y a x 4.椭圆C ：)0,(1x 22

22>=+b a b

y a ，直线l 过点A （-a,0），与C 交于点B ，与y 轴交于点D,过原点的平行于l 的直线与椭圆交于点E 证明：OE AD 2AB 、、成等比数列

5.,sin cos )(,1cos sin t i t t z t t +==+求∑==n k k n

z t I 0)(

6.求所有3项的公差为8的自然数数列,满足各项均为素数

7.M 为三位的自然数

1）M 含因子5的概率

2）M 中恰有两位数码相同的概率

8.一个四面体，对边相等。证明：(1)每个面都是锐角三角形 (2)底面与三个斜面的三个二面角的余弦值和为1

9.证明:正整数列1221,,n a a a + 是常数列的充要条件是其满足性质p:对数列中任意2n 项,存在一种方法将这2n 项分为两类(每类n 个数),使得两类数之和相等.

物理

一．不定项选择题（顺序不定）

1.（天体运动）下列说法正确的是：

A.卫星运行速度总不超过7.9km/s

B.卫星轨道必为圆形

C.卫星运行速度与卫星质量无关

D.？

E.？

2.如图，细棒质量m ，初始时 =30度。方形木块以恒定速度向正左方运动。则细棒受到木块的力：

A.一直增大

B.一直减小

C. 先增大后减小

D. 先减小后增大

3.如图，O 处磁感应强度

A.方向竖直向上

B.方向竖直向下

C.为0

D.不能确定

4.物体放在赤道上，当引力突然消失时，物体运动方向

A.竖直向上

B.东偏上

C.西偏上

D.水平向东

E.原地不动，但与地面间无作用力

5.地球半径为R 。单摆置于水平地面上，T 时间内摆动N 次，置于高为h 的高山上，T 时间内摆动N-1次。则h/R=________。

A.1/N

B.1/(N-1)

C.1/(N+1)

D.(N-1)/(N+1)

6.如图，无一切摩擦，弹簧压缩。由静止释放，m 至左端时即与小车固定，则

A.m 撞到左端后，小车静止

B.某一时刻小车可能向左运动

C.？

D.？

二．填空题

1.如图，外界大气压强cmHg p 760=,初始温度27摄氏度。缓慢加热，当水银全部溢出时，空气柱温度为

______。

2.2kg的静止小车受与光滑水平面成60度角的20N的力F的作用，经过5s，则F的冲量的大小为________，小车动量的大小为_________，小车末速度大小为________。

3.无一切摩擦，由静止释放，则A运动到半圆底端时的速度为________。

4.已知AB=AC时δ取最大值mδ，用α与mδ表示棱镜绝对折射率n=_______。（设空气折射率为1）

三．实验题

1.有ABCD四个接头的黑箱内有一内阻不记的电源与若干等阻值的电阻。用理想电压表测得接头间电压如下：AB-2V,AD-5V,BC-3V,CD-0V.请画出电阻数量最少时的接线情况

2.（欧姆表简单计算）

四．解答题

1.三根相同的细棒，质量均为m，搭成图中所示形状。已知棒与地面间摩擦力足够大，

1）求甲棒顶端所受力的大小与方向。

2）若一质量为m的人站在甲棒的中点处，求此时甲棒顶端所受力的大小与方向。

2.321m m m 、、间无相对滑动，

1）求32m m 间摩擦力与12m m 间摩擦力。

2）F 逐渐增大，问32m m 哪个先滑动。

3.一质量为M ，长度为L 的柔软绳自由悬垂，下端恰与一秤的托盘接触。某一时刻，绳顶端烧断（绳长不变），求此时刻后秤的最大读数为绳所受重力的几倍。

4.如图，弯曲细管内盛有水银，保持平衡。外界大气压强076p cmHg 。现迅速将此管倒转至管口向下，并迅速截去管口处的50cm 长的一段管。求再次平衡时水银液面的位置。

5.（导轨上2细棒切割磁感线，磁场均匀变化，题目不清楚）

6.（L1、L2数值自编，不知是否有解）

如图，求L3。

数学（全）

第1题10分，第2-7题各15分

1.求545222ππi i e e ++

2.找一个整系数．．．

多项式f(x)，满足0)32(3=+f 3.有限条抛物线及其内部能否覆盖整个平面？并证明。（抛物线内部指焦点所在的一侧）

4.有200件物品，可以用100个相同的箱子装下（每箱装2件）。现不小心将这200件物品弄乱，于是采用如下装法：任取一件物品，装入第一个箱子；再取一件，若能装入第一箱则装入第一箱，否则装入第二箱；再取一件，若能装入第二件所在箱，则装入，否则装入下一箱；以此类推，直至所有物品都装箱。问：至少需准备多少箱子才能确保装下这200件物品？

5.AB 两人在黑板上轮流写正整数。要求每次写的数不能表示为黑板上已有数的加权和的形式（加权和指

i i k k a N n a n a n a n ,,2211∈+++ 为黑板上已有的数）

。先写1者即输。现黑板上已有数5，6，A 先写，问谁有必胜策略？说明理由。

6.64匹马，速度各不相同。每场比赛只能有8匹马参赛。问：能否用不超过50场比赛排出所有马的速度大小顺序？若不能，给出证明；若能，给出比赛方案。（所有马速度恒定，不考虑疲劳等因素）

7.在一个图上玩游戏：A 指定棋子数N ，B 按策略将N 枚棋子置于图的顶点上，并指定图的一个顶点为“目标顶点”。A 可进行任意多次的“操作”在每次操作中，A 将一个顶点上的2枚棋子拿走，并在与此顶点相邻的一个顶点上添1枚棋子。若在某时刻，目标顶点上有棋子，则A 获胜。问，在以下两种独立的情形下，A 若想必胜所需说出的最小的N 。