苏教版数学高二-必修5导学案 1.1正弦定理(二)教师版
高中数学 1.1《正弦定理(1)》教案 苏教版必修5
第 1 课时： §1.1 正弦定理（1）【三维目标】：一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程；2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
三、情感、态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重点与难点】：重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
【学法与教学用具】：1. 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sin sin a b c A B C==，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？2.这种关系在任意三角形中也成立吗？3.介绍其它的证明方法二、研探新知1.正弦定理的推导（1）在直角三角形中：c a A =sin ,1sin ,sin ==C CB B ， 即 =c A a sin ，=c B b sin ，=cC c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形？（2）斜三角形中证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则s i n A D c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b c A B C==． 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，Cc sin R 2= 证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于−→−AC ，由−→−AC +=−→−CB −→−AB ，两边同乘以单位向量j 得j •(−→−AC +=−→−)CB j •−→−AB ，则j •−→−AC +j •=−→−CB j •−→−AB∴|j |•|−→−AC |cos90︒+|j |•|−→−CB |cos(90︒-C )=| j |•|−→−AB |cos(90︒-A )∴A c C a sin sin = ∴A a sin =Cc sin 同理，若过C 作j 垂直于−→−CB 得：C c sin =Bb sin ∴sin sin sin a bc A B C == 从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin ab =sinc =2.理解定理 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===；（2）A a sin =B b sin =C c sin 等价于A a sin =B b sin ，B b sin =C c sin ，A a sin =Cc sin ，即可得正弦定理的变形形式：1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；2）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===； 3）sin sin sin ::::A B C a b c =．（3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如BA b a sin sin =； 2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如B b a A sin sin =。
苏教版高中必修五数学导学案：1.1 正弦定理2
（3）已知 ， ， ，解这个三角形．
练习：
学案1,2,3
1.已知两边一对角，为什么分别会出现两解、一解和无解的情况呢？
教
学
过
程
设
计
教
学
二次备课
例2、仿照正弦定理的证明，证明 ，并运用此结论解决下面问题：
（1）在 中，已知 ， ， ，求 ；
（2）在 中，已知 ， ， ，求 和 ；
备课时间
2020年8月18日
上课时间
第周周月日
班级节次
课 题
正弦定理2
总课时数
第节
教 学目 标
1. 掌握正弦定理的内容；
2.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
教 学重 难点
利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题
教 学参 考
各省高考题 教学与测试
授 课方 法
自学引导 类比
教学辅助手段
多 媒 体
三、课堂小结
1．正弦定理的内容。
2．应用正弦定理解两类三角形问题。
3.两边一角解的不确定性的判断。
1.在 中：（1）已知 ，求 ， ；
（2）已知 ，求 ， ．
2. 已知两角一边会不会出现以上情况？
学生练习：
学案：5,7
6,9板演，
课 外作 业
见学案
教 学 小 结
专用教室
教
学
过
程
设
计
教பைடு நூலகம்
学
二次备课
一、引入新课
1．正弦定理：在△ABC中
===。
2．正弦定理可解决两类问题：
（1）已知，求；
（2）已知，求。
二、学生活动
2015年高二数学教案《正弦定理》(2)(苏教版必修五)
第一章 解三角形 第2课时 正弦定理(2)
教学目标：
1.会应用正弦定理确定三角形解的情况；
2.能够应用正弦定理求三角形的面积及解决其它一些综合问题.
教学重点：
正弦定理及其应用
教学难点：
正弦定理及其应用
教学过程：
Ⅰ.问题情境
设在ABC ∆中,AB=3,AC=4,A=︒60,你能求出ABC ∆的面积吗?
Ⅱ.建构数学
三角形面积公式：
Ⅲ.数学应用
例1.某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为︒30,沿倾斜角为︒15的斜坡前进 1000m 后到达D 处,又测得山顶的仰角为︒60,求山的高度BC.
练习.如图，有长100米的斜坡AB ，它的倾斜角是40°,现在要把斜坡的倾斜角改为 25°，求伸长的坡底的长.（sin15°＝0.2588，sin25°＝0.4226）
例2.在△ABC 中，已知
C
c B b A a cos cos cos ==,试判断△ABC 的形状.
练习：在△ABC 中，若a cos A 2 ＝b cos B 2 ＝c cos C 2 ，则△ABC 的形状是____________.
Ⅳ.课堂检测
Ⅴ.课时小结
Ⅵ.课后作业
书本P11习题5,6,7。
苏教版必修五1.1《正弦定理》word教案
第一章 解斜三角形1．1．1正弦定理（一）教学目标1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：正弦定理的推导即理解 （三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sin sin abc==，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学过程 1[创设情景]如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B2[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c==(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin ab=sin c=A c B(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
苏教版数学必修五同步讲义：1.1正弦定理(2)
1．1 正弦定理(2)1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能．2.理解三角形面积公式及解斜三角形．3．掌握把实际问题转化成解三角形问题．, [学生用书P3])1．三角形中常用的结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2.(2)在三角形中，大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 2．三角形面积公式(1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .1．在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积为________． 解析：由BC sin A ＝ABsin C ，知sin C ＝1，则C ＝90°，所以B ＝60°，从而S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝32.★答案★：322．若△ABC 中，cos A ＝13，cos B ＝14，则cos C ＝________．解析：由cos A ＝13得sin A ＝223；由cos B ＝14得sin B ＝154.所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－()cos A cos B －sin A sin B＝－⎝⎛⎭⎫13×14－223×154＝230－112.★答案★：230－1123．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 解析：由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， 所以3＝12×2·AC ·32，所以AC ＝2，所以△ABC 为正三角形， 所以AB ＝2. ★答案★：2三角形面积公式的应用[学生用书P4]在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.求△ABC 的面积． 【解】 由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32，又AB ·sin B ＜AC ＜AB ，故该三角形有两解：C ＝60°或120°，所以当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°， S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.所以△ABC 的面积为23或 3.把本例中的B ＝30°改为B ＝45°，AB ＝2 3 改为AB ＝3，其他条件不变，求△ABC 的面积．解：由正弦定理c sin C ＝bsin B ，得AB sin C ＝AC sin B ，则sin C ＝64， 又AC ＞AB ，故该三角形有一解，且C 为锐角，cos C ＝104，由sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝22×104＋22×64＝5＋34，则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×3×2×5＋34＝3＋154.三角形的面积公式是在解三角形中经常用到的一个公式，其应用关键是根据题目条件选择合适的两边及其夹角．1.在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于________．解析：b ＝a sin B sin A ＝2×sin 105°sin 30°＝6＋2，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝(6＋2)×22＝3＋1.★答案★：3＋1正弦定理在几何图形中的运用[学生用书P4]如图所示，D 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点，且AB ＝AD ，记∠CAD＝α，∠ABC ＝β.(1)求证：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC ＝3DC ，求β的值．【解】 (1)证明：因为AB ＝AD ，所以∠ADB ＝∠ABD ＝β.又因为α＝π2－∠BAD ＝π2－(π－2β)＝2β－π2，所以sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫2β－π2＝－cos 2β， 即sin α＋cos 2β＝0.(2)在△ADC 中，由正弦定理得DC sin α＝ACsin ∠ADC， 即DC sin α＝ACsin （π－β）， 即DC sin α＝3DCsin β，所以sin β＝3sin α. 由(1)知sin α＝－cos 2β，所以sin β＝－3cos 2β＝－3(1－2sin 2β)， 即23sin 2β－sin β－3＝0. 解得sin β＝32或－33.因为0＜β＜π2，所以sin β＝32，所以β＝π3.(1)先找出α与β之间的关系，再取正弦即得要证明的结论．(2)利用正弦定理先找出三角函数之间的关系，再利用(1)的结论将其化简，最后求得sin β的值，从而求出角β.2.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin ∠CED ＝________．解析：由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5.在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝55， 所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. ★答案★：1010正弦定理的实际应用[学生用书P5]为了求底部不能到达的水塔AB 的高，如图，在地面上引一条基线CD ＝a ，这条基线延长后不过塔底，若测得∠ACB ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，求水塔AB 的高．【解】 在△BCD 中，BC sin γ＝a sin ∠CBD ＝asin （β＋γ），所以BC ＝a sin γsin （β＋γ），在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan α＝a sin γ·tan αsin （β＋γ）.根据具体问题画出符合题意的示意图，把角、距离在示意图中表示出来，借助图形审题．在三角形中，利用正弦定理解决问题．3.在埃及，有许多金字塔，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了．考古人员在研究中测得一座金字塔的三角形横截面如图所示(顶部已经坍塌了)，A ＝50°，B ＝55°，AB ＝120 m ，则此金字塔的高约为________米．(sin 50°≈0.766，sin 55°≈0.819，精确到1米)解析：先分别从A ，B 出发延长断边，确定交点C ， 则C ＝180°－A －B ＝75°，AC ＝AB sin C ·sin B ＝120sin 75°×sin 55°≈101.7.设高为h ，则h ＝AC ·sin A ＝101.7×sin 50°≈78米．★答案★：781．三角形中的诱导公式sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C2，cos A ＋B 2＝sin C2.2．三角形中边角转化的等价关系 a >b >c ⇔A >B >C ⇔sin A >sin B >sin C . 3．三角形面积公式S ＝12(a ＋b ＋c )r (r 为三角形内切圆半径)．在△ABC 中，若C ＝3B ，求cb 的取值范围．[解] 由正弦定理可知c b ＝sin 3B sin B ＝sin B cos 2B ＋cos B sin 2B sin B ＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1.又因为A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ， 所以0°<B <45°，22<cos B <1， 所以1<4cos 2B －1<3， 故1<c b<3.即cb的取值范围是(1，3)．(1)错因：在解决有关三角形问题时，经常因忽视三角形中的隐含条件而出现解题错误．本题隐含条件0°<4B<180°，即0°<B<45°.(2)防范：①注意隐含条件，记住三角形中的常用结论，理清三角形中基本量的关系，②将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为求函数的值域或最值的问题．1．在△ABC中，B＝60°，b＝76，a＝14，则A＝________．解析：由正弦定理得sin A＝2 2，所以A＝45°或135°，又B＝60°，b＞a，所以B＞A，即A＜60°，故A＝45°.★答案★：45°2．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．解析：因为2R＝4sin 45°＝42，所以R＝2 2.所以S＝πR2＝8π.★答案★：8π3．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________三角形．解析：由已知，可得2R sin A＝2·2R sin B·cos C，即sin(B＋C)＝2sin B cos C，所以sin B cos C－cos B sin C＝0，sin(B－C)＝0，所以B＝C，即△ABC为等腰三角形．★答案★：等腰,[学生用书P71(单独成册)])[A 基础达标]1．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于________． 解析：由条件知A ＝2π3，B ＝C ＝π6，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1.★答案★：3∶1∶12．在△ABC 中，已知B ＝45°，c ＝22，b ＝433，则A 的值是________．解析：由正弦定理，得sin C ＝32，从而C ＝60°或120°，故A ＝15°或75°. ★答案★：15°或75°3．在△ABC 中，c b ＝cos Ccos B ，则此三角形为________三角形．解析：由正弦定理得c b ＝sin Csin B ，所以sin C sin B ＝cos C cos B.所以sin B cos C －sin C cos B ＝0. 所以sin(B －C )＝0. 所以B ＝C .所以△ABC 为等腰三角形． ★答案★：等腰4．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于________．解析：由题意得cos 2B －3cos B ＋2＝0， 即2cos 2B －3cos B ＋1＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝1(舍去)，所以sin B ＝32，由正弦定理得c sin C ＝b sin B ＝332＝2. ★答案★：25．如图，△ABC 是半径为R 的⊙O 的内接正三角形，则△ABC 的边长为________，△OBC 的外接圆半径为________．解析：因为ABsin 60°＝2R ，所以AB ＝3R .设△OBC 外接圆半径为x ，BC sin 120°＝2x ，x ＝3R2·32＝R .★答案★：3R R6．在△ABC 中，若a ＝c sin A ，sin C ＝2sin A sin B ，则△ABC 的形状为________三角形． 解析：由已知，2R sin A ＝2R sin C sin A ， 因为sin A ≠0，所以sin C ＝1，C ＝90°，又sin C ＝2sin A sin B ＝2sin A cos A ， 所以sin 2A ＝1，2A ＝90°，A ＝45°， 即△ABC 为等腰直角三角形． ★答案★：等腰直角7．海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是________．解析：如图，在△ABC 中，C ＝180°－(B ＋A )＝45°，由正弦定理，可得BC sin 60°＝ABsin 45°，所以BC ＝32×10＝56(海里)． ★答案★：5 6 海里8．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是________．解析：因为c sin C ＝a sin A ＝403，所以c ＝403sin C .所以0<c ≤403.★答案★：⎝⎛⎦⎤0，403 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b c ＝233，A ＋3C ＝π.(1)求cos C 的值；(2)若b ＝33，求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＋3C ＝π， 所以B ＝2C .又由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b c ＝sin B sin C ，233＝2sin C cos C sin C，化简得，cos C ＝33. (2)由(1)知B ＝2C ，所以cos B ＝cos 2C ＝2cos 2C －1＝2×13－1＝－13.又因为C ∈(0，π)， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－13＝63. 所以sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝2×63×33＝223. 因为A ＋B ＋C ＝π.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×33＋⎝⎛⎭⎫－13×63＝69. 因为b c ＝233，b ＝33，所以c ＝92.所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×33×92×69＝924.10．在△ABC 中，已知2B ＝A ＋C ，b ＝1，求a ＋c 的范围．解：由已知，B ＝60°，b ＝1， 所以△ABC 外接圆半径R ＝12sin 60°＝33.a ＋c ＝2R (sin A ＋sin C ) ＝2R [sin A ＋sin(120°－A )] ＝2×33×3sin(A ＋30°) ＝2sin(A ＋30°)． 因为0°<A <120°，所以a ＋c 的取值范围为(1，2]．[B 能力提升]1．已知锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，则△ABC 的面积＝______．解析：因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，根据根与系数的关系得ab ＝2，由2sin(A ＋B )－3＝0得sin(A ＋B )＝32.因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B ＝120°，C ＝60°.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2sin 60°＝32.★答案★：322．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)． ★答案★：100 63．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，c cos A ＝b ，则△ABC 的形状为________．解析：因为c cos A ＝b ， 所以sin C cos A ＝sin B .而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以sin A cos C ＝0.因为0°<A <180°，所以sin A >0， 所以cos C ＝0，且0°<C <180°.所以C ＝90°，即△ABC 是角C 为直角的直角三角形． ★答案★：直角三角形4. (选做题)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km 处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km 的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多少时间该考点才算合格？解：如图，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C 、D 两点到考点的距离为1 km.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32， 所以∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)，所以∠BAC ＝30°，所以BC ＝AC ＝1， 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， 所以△ACD 为等边三角形，所以CD ＝1. 因为BC12×60＝5(min)，所以在BC 上需5 min ，CD 上需5 min.最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 才算合格．。
2020-2021学年苏教版必修五 1.1正弦定理 学案
1．1 正弦定理(2)1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能．2.理解三角形面积公式及解斜三角形． 3．掌握把实际问题转化成解三角形问题．, [学生用书P3])1．三角形中常用的结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2. (2)在三角形中，大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 2．三角形面积公式(1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .1．在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积为________． 解析：由BC sin A ＝ABsin C ，知sin C ＝1，则C ＝90°， 所以B ＝60°，从而S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝32.答案：322．若△ABC 中，cos A ＝13，cos B ＝14，则cos C ＝________．解析：由cos A ＝13得sin A ＝223；由cos B ＝14得sin B ＝154.所以cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝－()cos A cos B －sin A sin B ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×14－223×154＝230－112.答案：230－1123．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 解析：由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， 所以3＝12×2·AC ·32，所以AC ＝2，所以△ABC 为正三角形， 所以AB ＝2. 答案：2三角形面积公式的应用[学生用书P4]在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.求△ABC 的面积． 【解】 由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32， 又AB ·sin B ＜AC ＜AB ， 故该三角形有两解：C ＝60°或120°，所以当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.所以△ABC 的面积为23或 3.把本例中的B ＝30°改为B ＝45°，AB ＝2 3 改为AB ＝3，其他条件不变，求△ABC 的面积． 解：由正弦定理c sin C ＝bsin B，得ABsin C ＝AC sin B ，则sin C ＝64， 又AC ＞AB ，故该三角形有一解，且C 为锐角，cos C ＝104，由sin A ＝sin [π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝22×104＋22×64＝5＋34， 则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×3×2×5＋34＝3＋154.三角形的面积公式是在解三角形中经常用到的一个公式，其应用关键是根据题目条件选择合适的两边及其夹角．1.在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于________． 解析：b ＝a sin B sin A ＝2×sin 105°sin 30°＝6＋2， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝(6＋2)×22＝3＋1.答案：3＋1正弦定理在几何图形中的运用[学生用书P4]如图所示，D 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点，且AB ＝AD ，记∠CAD ＝α，∠ABC ＝β.(1)求证：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC ＝3DC ，求β的值．【解】 (1)证明：因为AB ＝AD ，所以∠ADB ＝∠ABD ＝β.又因为α＝π2－∠BAD ＝π2－(π－2β)＝2β－π2，所以sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2β－π2＝－cos 2β， 即sin α＋cos 2β＝0.(2)在△ADC 中，由正弦定理得DC sin α＝ACsin ∠ADC ，即DC sin α＝ACsin （π－β），即DCsin α＝3DCsin β，所以sin β＝3sin α.由(1)知sin α＝－cos 2β，所以sin β＝－3cos 2β＝－3(1－2sin 2β)， 即23sin 2β－sin β－3＝0. 解得sin β＝32或－33. 因为0＜β＜π2，所以sin β＝32，所以β＝π3.(1)先找出α与β之间的关系，再取正弦即得要证明的结论．(2)利用正弦定理先找出三角函数之间的关系，再利用(1)的结论将其化简，最后求得sin β的值，从而求出角β.2.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin ∠CED ＝________．解析：由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5.在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝55，所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. 答案：1010正弦定理的实际应用[学生用书P5]为了求底部不能到达的水塔AB 的高，如图，在地面上引一条基线CD ＝a ，这条基线延长后不过塔底，若测得∠ACB ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，求水塔AB 的高．【解】 在△BCD 中，BC sin γ＝a sin ∠CBD ＝asin （β＋γ），所以BC ＝a sin γsin （β＋γ），在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan α＝a sin γ·tan αsin （β＋γ）.根据具体问题画出符合题意的示意图，把角、距离在示意图中表示出来，借助图形审题．在三角形中，利用正弦定理解决问题．3.在埃及，有许多金字塔，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了．考古人员在研究中测得一座金字塔的三角形横截面如图所示(顶部已经坍塌了)，A ＝50°，B ＝55°，AB ＝120 m ，则此金字塔的高约为________米．(sin 50°≈0.766，sin 55°≈0.819，精确到1米)解析：先分别从A ，B 出发延长断边，确定交点C ， 则C ＝180°－A －B ＝75°，AC ＝ABsin C ·sin B ＝120sin 75°×sin 55°≈101.7.设高为h ，则h ＝AC ·sin A ＝101.7×sin 50°≈78米．答案：781．三角形中的诱导公式sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B2＝cos C2， cosA ＋B2＝sin C2.2．三角形中边角转化的等价关系a >b >c ⇔A >B >C ⇔sin A >sin B >sin C .3．三角形面积公式S ＝12(a ＋b ＋c )r (r 为三角形内切圆半径)．在△ABC 中，若C ＝3B ，求c b的取值范围． [解] 由正弦定理可知c b ＝sin 3B sin B ＝sin B cos 2B ＋cos B sin 2B sin B＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1. 又因为A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ， 所以0°<B <45°，22<cos B <1， 所以1<4cos 2B －1<3， 故1<c b<3.即c b的取值范围是(1，3)．(1)错因：在解决有关三角形问题时，经常因忽视三角形中的隐含条件而出现解题错误．本题隐含条件0°<4B <180°，即0°<B <45°.(2)防范：①注意隐含条件，记住三角形中的常用结论，理清三角形中基本量的关系，②将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为求函数的值域或最值的问题．1．在△ABC 中，B ＝60°，b ＝76，a ＝14，则A ＝________． 解析：由正弦定理得sin A ＝22， 所以A ＝45°或135°， 又B ＝60°，b ＞a ，所以B ＞A ， 即A ＜60°，故A ＝45°.答案：45°2．如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．解析：因为2R ＝4sin 45°＝42，所以R ＝2 2.所以S ＝πR 2＝8π.答案：8π3．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________三角形． 解析：由已知，可得2R sin A ＝2·2R sin B ·cos C ， 即sin(B ＋C )＝2sin B cos C ， 所以sin B cos C －cos B sin C ＝0， sin(B －C )＝0，所以B ＝C ， 即△ABC 为等腰三角形． 答案：等腰, [学生用书P71(单独成册)])[A 基础达标]1．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于________． 解析：由条件知A ＝2π3，B ＝C ＝π6，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1.答案：3∶1∶12．在△ABC 中，已知B ＝45°，c ＝22，b ＝433，则A 的值是________．解析：由正弦定理，得sin C ＝32，从而C ＝60°或120°，故A ＝15°或75°. 答案：15°或75° 3．在△ABC 中，c b ＝cos Ccos B，则此三角形为________三角形．解析：由正弦定理得c b ＝sin Csin B，所以sin C sin B ＝cos C cos B.所以sin B cos C －sin C cos B ＝0. 所以sin(B －C )＝0. 所以B ＝C .所以△ABC 为等腰三角形． 答案：等腰4．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于________．解析：由题意得cos 2B －3cos B ＋2＝0， 即2cos 2B －3cos B ＋1＝0， 解得cos B ＝12或cos B ＝1(舍去)，所以sin B ＝32，由正弦定理得c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 答案：25．如图，△ABC 是半径为R 的⊙O 的内接正三角形，则△ABC 的边长为________，△OBC 的外接圆半径为________．解析：因为ABsin 60°＝2R ，所以AB ＝3R .设△OBC 外接圆半径为x ， BCsin 120°＝2x ，x ＝3R2·32＝R . 答案：3R R6．在△ABC 中，若a ＝c sin A ，sin C ＝2sin A sin B ，则△ABC 的形状为________三角形． 解析：由已知，2R sin A ＝2R sin C sin A ， 因为sin A ≠0，所以sin C ＝1，C ＝90°，又sin C ＝2sin A sin B ＝2sin A cos A ， 所以sin 2A ＝1，2A ＝90°，A ＝45°， 即△ABC 为等腰直角三角形． 答案：等腰直角7．海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是________．解析：如图，在△ABC 中，C ＝180°－(B ＋A )＝45°，由正弦定理，可得BC sin 60°＝ABsin 45°，所以BC ＝32×10＝56(海里)．答案：5 6 海里8．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是________．解析：因为c sin C ＝a sin A ＝403，所以c ＝403sin C .所以0<c ≤403.答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，4039．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b c ＝233，A ＋3C ＝π.(1)求cos C 的值；(2)若b ＝33，求△ABC 的面积． 解：(1)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＋3C ＝π， 所以B ＝2C .又由正弦定理b sin B ＝csin C， 得b c ＝sin B sin C ，233＝2sin C cos Csin C， 化简得，cos C ＝33. (2)由(1)知B ＝2C ，所以cos B ＝cos 2C ＝2cos 2C －1＝2×13－1＝－13.又因为C ∈(0，π)， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－13＝63. 所以sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝2×63×33＝223. 因为A ＋B ＋C ＝π.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×63＝69. 因为b c ＝233，b ＝33，所以c ＝92.所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×33×92×69＝924.10．在△ABC 中，已知2B ＝A ＋C ，b ＝1，求a ＋c 的范围．解：由已知，B ＝60°，b ＝1，所以△ABC 外接圆半径R ＝12sin 60°＝33.a ＋c ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R [sin A ＋sin(120°－A )] ＝2×33×3sin(A ＋30°) ＝2sin(A ＋30°)． 因为0°<A <120°，所以a ＋c 的取值范围为(1，2]．[B 能力提升]1．已知锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，则△ABC 的面积＝______．解析：因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，根据根与系数的关系得ab ＝2，由2sin(A ＋B )－3＝0得sin(A ＋B )＝32.因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B ＝120°，C ＝60°.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2sin 60°＝32. 答案：322．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)． 答案：100 63．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，c cos A ＝b ，则△ABC 的形状为________． 解析：因为c cos A ＝b ， 所以sin C cos A ＝sin B .而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin A cos C ＝0.因为0°<A <180°，所以sin A >0， 所以cos C ＝0，且0°<C <180°.所以C ＝90°，即△ABC 是角C 为直角的直角三角形． 答案：直角三角形4. (选做题)为保障北京朝阳期末的公平性，北京朝阳期末时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km 处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km 的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多少时间该考点才算合格？解：如图，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C 、D 两点到考点的距离为1 km.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32， 所以∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， 所以∠BAC ＝30°，所以BC ＝AC ＝1， 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， 所以△ACD 为等边三角形，所以CD ＝1. 因为BC12×60＝5(min)，所以在BC 上需5 min ，CD 上需5 min.最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 才算合格．。
高中数学苏教版必修5学案：1.1.2 正弦定理(2) Word版含解析
第2课时正弦定理(2)1．利用正弦定理判断三角形的形状，计算三角形的面积．(重点) 2．正弦定理与三角恒等变换的综合应用．(难点)3．利用正弦定理解题时，忽略隐含条件而致误．(易错点)[基础·初探]教材整理正弦定理的应用阅读教材P9～P12，完成下列问题．1．正弦定理的深化与变形(1)asin A＝bsin B＝csin C＝________＝________.(2)a＝________，b＝________，c＝________.(3)ab＝________，ac＝________，bc＝________.(4)a∶b∶c＝________：________：________.【答案】(1)2Ra＋b＋csin A＋sin B＋sin C(2)2R sin A2R sin B2R sin C(3)sin Asin Bsin Asin Csin Bsin C(4)sin A sin B sinC2．三角形面积公式S△ABC＝________＝________＝________.【答案】12ab sin C12bc sin A12ac sin B判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在有些三角形中，a ＝sin A ，b ＝sin B ，c ＝sin C ．( ) (2)在△ABC 中，asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C.( )(3)在△ABC 中，a ＝2，b ＝1，C ＝30°，则S △ABC ＝1.( )【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 可知(1)，(2)正确；又S △ABC ＝12×2×1×sin 30°＝12，故(3)错误．【答案】 (1)√ (2)√ (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]在△c ，且B ＝30°，c ＝23，b ＝2，求△ABC 的面积S .【精彩点拨】 先求C ，再求A ，最后利用S △ABC ＝12bc sin A 求解． 【自主解答】 由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝23sin 30°2＝32.又∵c >b ，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，∴S＝12bc sin A＝23；当C＝120°时，A＝30°，∴S＝12bc sin A＝3，∴△ABC的面积S为23或3.求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用．另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误．[再练一题]1．在△ABC中，cos A＝－513，cos B＝35.(1)求sin C的值；(2)设BC＝5，求△ABC的面积.【导学号：91730004】【解】(1)在△ABC中，0<A<π，0<B<π，A＋B＋C＝π，由cos A＝－513，得sin A＝1213，由cos B＝35，得sin B＝45，∴sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝1213×35＋⎝⎛⎭⎪⎫－513×45＝1665.(2)在△ABC中，由正弦定理得，AC＝BC×sin Bsin A＝5×451213＝133，∴S△ABC＝12×BC×AC×sin C＝12×5×133×1665＝83.在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状． 【精彩点拨】 根据正弦定理可以把问题转化为角的问题，借助三角恒等变换知识化简得到角与角的等量关系，再进一步判断．【自主解答】 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A . 由正弦定理得sin 2 A sin B cos B ＝sin 2 B sin Acos A ， 即sin A cos A ＝sin B cos B ，亦即sin 2A ＝sin 2B . ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＝π2－B ，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．根据边角关系判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦定理实施边、角转换．[再练一题]2．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．【解】 法一：在△ABC 中，根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R . ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2，即a 2＝b 2＋c 2. ∴A ＝90°，∴B ＋C ＝90°.由sin A ＝2sin B cos C ，得sin 90°＝2sin B cos(90°－B )，∴sin 2B ＝12，∵B 是锐角，∴sin B ＝22，∴B ＝45°，C ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 法二：在△ABC 中，根据正弦定理： sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形且A ＝90°. ∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ， ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0，∴B －C ＝0，即B ＝C ， ∴△ABC 是等腰直角三角形．[探究共研型]图1-1-1【提示】 如图，在B 侧选一条基线BC ，测得BC ＝a ，∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，则由正弦定理可知 AB sin β＝BCsin (α＋β)，即AB＝BC sin βsin(α＋β).探究2你能画出下列各角吗？(1)南偏西30°；(2)仰角30°，俯角45°.【提示】如图1-1-2，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.图1-1-2【精彩点拨】先求出∠CBD，利用正弦定理求BC，再在△ABC中，求AB.【自主解答】在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝180°－(α＋β)，∴BCsin β＝ssin[180°－(α＋β)]，即BCsin β＝ssin(α＋β)，∴BC＝sin βsin(α＋β)·s.在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴ABBC＝tan θ，∴AB＝BC·tan θ＝sin β·tan θsin(α＋β)·s.解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．[再练一题]3．一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，0.5 h后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A，D两处的距离．【解】如图所示，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠ACB＝180°－45°－120°＝15°，AB＝30×0.5＝15(n mile)．由正弦定理，得AC sin∠ABC ＝ABsin∠ACB，∴AC＝AB sin∠ABCsin∠ACB＝15×sin 120°sin 15°＝32＋62×15(n mile)．在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝2AC＝15(3＋3)(n mile)．∴A，D两处之间的距离是15(3＋3)n mile. 答：A，D两处的距离为15(3＋3)n mile.[构建·体系]1．在△ABC中，AB＝3，BC＝1，B＝30°，则△ABC的面积S△ABC＝________.【解析】S△ABC ＝12×AB×BC×sin B＝12×3×1×12＝34.【答案】3 42．在△ABC中，若acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC是________三角形．【解析】由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R可知a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.由acos A＝bcos B＝ccos C可知tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．【答案】等边3．如图1-1-3所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________ m.【导学号：91730005】图1-1-3【解析】 由题意可知∠ABC ＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理，得AB ＝AC ·sin ∠ACB sin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．【答案】 50 24．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －csin C ＝________. 【解析】 由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ＝csin C ， 故2a sin A －b sin B －csin C ＝0. 【答案】 05．如图1-1-4，A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ．在A 点测得山顶C 的仰角为30°，∠BAD ＝105°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C到水平面的垂足．求山高CD .图1-1-4【解】 在△ABD 中，由正弦定理，得 AD ＝AB sin ∠ABD sin ∠ADB ＝800sin 45°sin (180°－105°－45°)＝8002，在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan 30°＝8002×33＝80063(m)． 答：山高CD 为80063 m.我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知△ABC的面积为3且b＝2，c＝2，则A＝______.【解析】∵S△ABC ＝12bc sin A，b＝2，c＝2，∴12×2×2sin A＝3，∴sin A＝3 2.又A∈(0，π)，∴A＝π3或2π3.【答案】π3或2π32．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是________ n mile.【解析】如图所示，易知C ＝45°，由正弦定理得AB sin C ＝BC sin A ， ∴BC ＝AB sin Asin C ＝5 6. 【答案】 5 63．(2016·苏州高二检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________.【导学号：91730006】【解析】 由正弦定理知，b sin B ＝c sin C ，结合条件得c ＝b sin Csin B ＝2 2. 又sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝6＋24， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3＋1. 【答案】3＋14．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________.【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3， ∴1sin A ＝32sin A cos A .∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0，∴cos A ＝32. 又0＜A ＜π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，即△ABC 为直角三角形， 由勾股定理得c ＝12＋(3)2＝2. 【答案】 25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2 B －sin 2 Asin 2A的值为________．【解析】 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72.【答案】 726．(2016·泰州高二检测)在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是________三角形．【解析】 由a ＝2b cos C 可知 sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0， ∴B ＝C ，∴b ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形． 【答案】 等腰7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B ·cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝________.【解析】 根据正弦定理将边化角后约去sin B ，得sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12，又a >b ，所以A >B ，所以B ＝π6.【答案】 π68．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．【解析】 设最小角为α，则最大角为120°－α， ∴sin (120°－α)sin α＝3＋12，∴2sin(120°－α)＝(3＋1)sin α， ∴sin α＝cos α，∴α＝45°，∴最大角为120°－45°＝75°. 【答案】 75° 二、解答题9．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，求这时船与灯塔的距离．【解】 如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∴∠ABC ＝45°，AC ＝60.根据正弦定理， 得BC ＝AC sin ∠BAC sin ∠ABC＝60sin 30°sin 45°＝302(km)．10．在△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，用正弦定理证明：AB AC ＝BDDC . 【证明】 如图，由题意可知，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，在△ABD 中，由正弦定理得 AB sin ∠3＝BDsin ∠1，① 在△ADC 中，由正弦定理得 AC sin ∠4＝DCsin ∠2，②又sin ∠1＝sin ∠2，sin ∠3＝sin ∠4， 故①②得AB AC ＝BD DC. [能力提升]1．在△ABC 中，a cos B ＝bcos A ，则△ABC 的形状一定是________． 【解析】 在△ABC 中，∵a cos B ＝bcos A ，∴a cos A ＝b cos B ，由正弦定理， 得2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°， ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【答案】 等腰或直角三角形或等腰直角三角形2．(2016·南京高二检测)在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则ab 的取值范围为________．【解析】 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 均小于90°， 即⎩⎨⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ∈(2，3)， 故ab 的取值范围是(2，3)． 【答案】 (2，3)3．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为________(用B 表示).【导学号：91730007】【解析】 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π可知C ＝2π3－B . 由正弦定理得3sin π3＝AB sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝ACsin B ，∴AB ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ，AC ＝23sin B ，∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝23·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＋3＝3＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.【答案】 3＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π64．(2016·如东高二检测)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．【解】 (1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ， 所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A， 所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2 A ＝33. 又B ＝2A ，所以cos B ＝2cos 2 A －1＝13， 所以sin B ＝1－cos 2 B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539， 所以c ＝a sin Csin A ＝5.。
(苏教版)数学必修五导学案：1.1正弦定理(2)
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课题：§1.1 正弦定理（二） 总第____课时
班级_______________
姓名_______________ 【学习目标】
掌握正弦定理的内容及其等价形式；会运用正弦定理、内角和定理与三角形的面积公式解决一些与测量和几何计算与证明有关的实际问题.
【重点难点】
学习重点：正弦定理的等价形式及其基本应用.
学习难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.
【学习过程】
一、自主学习与交流反馈：
问题1：对于任意的三角形若已知两边及夹角怎样求三角形的面积?
问题2：正弦定理还有哪些等价的变形形式?
二、知识建构与应用：
例1 在ΔABC 中,已知
C
c B b A a cos cos cos ==，试判断ΔABC 的形状.
例2 在ΔABC中,AD是∠BAC的平分线，如图，用正弦定理证明：
DC
BD
AC
AB
=.
例3 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度.
例4 判断下列三角形解的情况：
（1）已知0
60
,
12
,
11=
=
=B
c
b;
（2）已知0
110
,3
,7=
=
=A
b
a;
（3）已知0
45
,9
,6=
=
=B
c
b.
180︒-β
α
β
α
D C
B
A
四、巩固练习
1．在ΔABC 中，已知,150,3,2o ===C b a 则=∆ABC S .
2．在ABC ∆中，_________,sin 23==B A b a 则.
3．在ABC ∆中，若,60,3︒==
A a 那么ABC ∆的外接圆的周长为____ ____.
4．在ABC ∆中，若3,600==a A ，则_______sin sin sin =++++C B A c b a .
5. 在ABC ∆中,
______,cos cos 的形状为则ABC B
C b c ∆=.
6. ABC ∆中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，则ABC ∆的形状为___ ____.
五、回顾反思:
六、作业批改情况记录及分析。