第二章 拉伸、压缩与剪切

' 泊松比 •横向变形（泊松效应）: 横向变形与纵向变形的方向是相反的。
•弹性模量与泊松比是材料的两个弹性常数。 一般钢材在常温下的弹性模量和泊松比： E=2.0×105MPa，0.25～0.3。 •例轴力变化的变形量计算：
N1 L1 N 2 L2 轴力分段变化的变形量： L EA EA
l A A1 100 % A
其它材料拉伸时的机械性质及材料的压缩试验
铸铁拉伸的应力-应变图
低碳钢压缩的应力-应变图
铸铁压缩的应力-应变图
塑性材料和脆性材料机械性能 的主要区别
1．塑性材料在断裂时有明显的塑性变形；
而脆性材料在断裂时变形很小； 2．塑性材料在拉伸和压缩时的弹性极限、 屈服极限和弹性模量都相同，它的抗拉 和抗压强度相同。而脆性材料的抗压强 度远高于抗拉强度，因此，学是工程设计（Engineering Design）的重要 理论基础，为设计出设备及其零部件合理的形状和几 何尺寸，保证其具有足够的强度、刚度及稳定性提供 一般性的原理和基本的计算方法。 强度（Strength）：构件在外力作用下抵抗破坏的能 力。 刚度(Stiffness)：构件在外力作用下抵抗变形的能力。 稳定性(Stability)：构件保持原有平衡形态的能力。干 扰力使构件偏离原有的平衡形态，干扰力消失后能否 恢复原有的平衡形态。 依据一定的原理建立强度、刚度及稳定性条件，成为 工程设计时必须遵循的准则。 材料力学的任务是在满足强度、刚度和稳定性的要 求下，为设计即经济又安全的构件，提供必要的理论基 础和计算方法。
工程方法：设置挠性元件——膨
胀节，预留伸缩缝等。
实例：管路用膨胀节，固定管板
式换热器设置膨胀节，卧式设备设 置活动支座。
2.5剪切的概念与实例
数 控 剪 板 机
受力特点：外力相距很近，方向相反。
变形特点：剪切面的两侧材料发生相对错
动。 内力特点：剪切面上弯矩近似为零，主要 为剪力。 实例：转动的传递（键及销）、剪板机等。 强度条件与剪断条件（破坏条件）。

例1：立式容器重20KN，用四根φ88.5×4mm钢 管作为容器的支脚，其总高H=200mm，已知钢 管许用应力[σ]=108MPa，试校核钢管的强度
垫板 H
88.5 4
例2：管架由横梁AB、拉杆AC 组成。横梁AB 受管道的重力分别为G1=8KN，G2=G3=5KN。 LAB=6m，B端由支座支撑，A端由直径d的两根 拉杆（圆钢）吊拉着。圆钢的许用应力 [σ]=100MPa，试确定圆钢截面尺寸。

2.6剪切与挤压的实用计算 剪应力计算公式： 剪切强度条件：
Q A
b Q [ ] A n
Q b A
jy
F [ jy ] Ajy
剪断条件：
挤压强度条件：
F L 温差应力： Eat A L
实际伸长量ΔL的值表示约束的强弱： ΔL愈大， 约束愈弱； ΔL愈小，约束愈强。当 ΔL=0时， 约束最强，温差应力最大；ΔL=ΔLt时，没有约 束，即自由伸长，温差应力为零。
减小温差应力的方法（途径）：
减弱约束，即尽量减小对于自由膨 胀位移的限制。

2.l.2 外力、内力和应力
外力(载荷 Load)：主动力和约束反力。 内力(Internal Force)：物体内部各质点由于外力作用产生 变形而引起的附力内力，简称内力。这种内力与外力系相 平衡。 截面法：用假想的截面把物体截开分成两部分，使内力系 暴露出来成为每一部分的“外力”。内力系要满足平衡条 件及变形协调条件。 内力分量：轴力、剪力、弯矩及扭矩（内力素）。满足平 衡条件，是截面上的内力系向截面的形心简化的结果。 应力(Stress)矢量及应力分量：截面上某点微小面积上的 内力矢量与微小面积的比值称为应力矢量。应力矢量沿截 面的分量称为剪应力，与截面相垂直的分量称为正应力。 正应力和剪应力与截面上一点处的拉压变形及剪切变形相 关联。
E1 E2 E， 杆3的横截 设 l1 l2 l ，A1 A2 A ， 面积为A3，材料的弹性模量为E3，试求三 杆的内力？
B
D
C
A G
温差应力：自由膨胀受到限制。 ΔLt 自由伸长量：
L
ΔLt=aLΔt
ΔL ΔLF
压缩量：LF FL EA
实际伸长量：ΔL=ΔLt-ΔLF (变形协调方程)
2.4 直杆轴向拉伸(压缩)时的变形 计算和简单拉压的超静定问题
2.4.1 直杆轴向拉伸(压缩)时的变形计算 •小变形，即材料处于弹性阶段的变形，应力— 应变关系服从虎克定律: σ＝Eε •纵向变形: σ＝Ｎ/A
L NL EA
ε＝ΔL/L
意义：在长为L横截面积为A的一段内，轴力N 为常量时的变形量。当轴力或截面积等变化时， 要分段计算，求出各段变形量的代数值，叠加求 出总变形量。
2.3.2许用应力与安全系数
危险应力：屈服极限和强度极限 屈服安全系数与断裂（强度）安全系数 安全系数的考虑因素：（1）材料的素质
（是否均匀，质地好坏，塑脆性等）； （2）对载荷估计的近似性；（3）实际 构件简化过程和计算方法的精确程度； （4）构件的工作条件及重要程度。除此 之外还有一些次要及未知的因素，需要 一定的强度储备。
反映材料力学性能的主要指标： 强度指标：抵抗破坏的能力，用σs和σb表示； 刚度指标：抵抗弹性变形的能力，用E表示； 塑性指标：塑性变形的能力，用延伸率δ和截面 收缩率ψ表示 l1 l 100 % 延伸率 ：

截面收缩率： δ≥5%为塑性材料；δ<5%为脆性材料。 低碳钢：20-30%，铸铁：1%
C d
G3 A
G2
G1
1m
2m
6m
2m
B
例3：旋臂起重机的结构如图，通过小车起吊 重物，小车工作时能沿着横梁AB移动。已知小 车自重G=5KN，拉杆BC的直径d=20mm，材 料为低碳钢，许用应力[σ]=120MPa，试由拉杆 BC确定此起重机的许可起吊重[Q]
C
1.5m
α A 3m
B
G+Q
2.3 材料的机械性质
第2章 拉伸与压缩
2.1材料力学引言 2.l.l基本概念 材料力学(Strength of Materials 或 Mechanics of Materials)研究杆件的变形。 小变形：构件的变形与其原有的几何尺 寸相比是很小的，可以忽略不计。因此， 从宏观上看构件的几何尺寸没有变化， 就像刚体一样，从而刚体静力学的平衡 方程就可以应用于变形体。
2.3.1 材料的拉神与压缩试验 室温、静载（缓慢加载）、小变形等条件
金属标准试件，圆截面长试件标距L=10d；短试 件 L=5d，d=10mm。
拉伸试验曲线：应力、应变曲线，反映材料的机 械性质（外力与变形之间的关系）。 试件尺寸等按国家标准规定，在拉伸试验机上进 行。 低碳钢在拉伸时的机械性质： (1)弹性阶段：弹性极限、比例极限与虎克定律。 (2)屈服阶段：屈服极限 (3)强化阶段：强度极限 (4)局部变形（颈缩）阶段：变形集中于某一局部 ， 承载能力大大降低，外力减小变形仍在继续，直至 断裂，试验结束。

应力反映一点的危险程度。
杆件变形的基本形式：拉（压），剪切，弯曲，扭转。 组合变形（复杂变形）
2.2轴向拉伸与压缩
2.2.l直杆受拉伸(压缩)时横截面上的内力与应力 内力：轴力。通过截面的形心。 轴力的符号规定：与截面的外法线同向为正， 反之为负（受拉为正，受压为负）。与坐标选 取无关，与变形形式相联系。 轴力图：反映轴力随截面位置的变化而变化的 情况。 横截面上应力分布：研究变形的规律—平面假 设。结论：轴向拉压（简单拉压）正应力沿横 截面均匀分布。
轴力连续变化（直杆自重作用下）的变形量：
L

L
0
N ( x)dx EA
2.4.2简单拉压的超静定问题 静定与超静定（静不定）问题：未知反力 数与静力平衡方程数相等与不等。一个有 效的承载结构其约束反力数不能少于静力 平衡方程数。超静定结构中存在“多余约 束”。
►超静定问题的求解：列出变形协调方程。
例：图示等截面杆，作出轴力图。
2.2.2直杆轴向拉伸(压缩)时的强度条件
危险应力：反映材料承载能力的极限应力。 通过试验测量。 许用应力：实际构件允许承受的最大应力值。 考虑众多影响安全的实际因素，引入安全系 数。由危险应力除以安全系数得到。 强度条件式：最大应力不大于许用应力。 强度条件能够解决的问题： 1）强度校核： 2）截面设计： 3）确定许用载荷：