人教版七年级数学《整式的加减》教案
整式的加减
[教学目标]
1．知识与能力：
理解并掌握合并同类项的概念，能够利用整式的加减法则对整式进行加减运算．
2．过程与方法：
能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，使学生经历对具体问题的探索过程，培养符号感．
3．情感、态度与价值观：
通过丰富有趣的现实情境，使学生经历从具体问题中抽象出数量关系的过程，在解决问题中了解数学的价值，增强学生“用数学”的信心．
[重点难点]
1．教学重点：合并同类项的概念，整式的加减法则．
2．教学难点：合并同类项的理解．
[教学方法]
创设情境——主体探究——合作交流——应用提高．
[教学过程]
一、创设情境，激发学生的兴趣，引出本节课所要研究的内容
活动 1：填空，并解释等式成立的依据．
（1）x + 2x + 4x - 3x =________；
（2）3x2 + 2x2 =_________；
（3）3ab2 - 4ab2 =________．
学生活动设计：
学生自己解决上述问题，然后观察结果，解释等式成立的依据．经过思考可以发现，上述等式可以利用乘法分配律进行运算，从而把上述多项式进行合并．
教师活动设计：
引导学生在观察的基础上归纳出合并同类项的定义：
若两个单项式中所含字母相同，且相同字母的指数也相同,那么这两个单项式叫做同类项，
利用分配律可以把同类项进行合并,合并时把它们的系数相加作为新的系数,而字母部分不变．
所以上述各式计算结果应为（1）x +2 x +4 x -3x =（1+2+4-3）x = 4 x ；
（2）3x 2 + 2x 2 =（3+2）x 2 = 5x 2；
（3)3ab 2 - 4 ab 2=（3-4）ab 2 = - ab 2．
活动 2：1.合并下列各式的同类项．
（1）2251xy xy -
； （2）-3x 2y + 2x 2y + 3xy 2 - 2xy 2
； （3）4a 2 + 3b 2 + 2ab - 4a 2 – 4b 2．
解：（1）2251xy xy - 2511xy ??? ??-= 25
4xy =； （2）-3x 2y + 2x 2y + 3xy 2 - 2xy 2
=（-3 + 2）x 2y +（3 - 2）xy 2
= - x 2y+ xy 2
；
（3）4a 2 + 3b 2 + 2ab - 4a 2 – 4b 2 =(4a 2 - 4a 2)+(3b 2 – 4b 2
) + 2ab =（4 – 4）a 2 + （3 - 4）b 2 + 2ab
= - b 2 + 2ab ．
学生活动设计：
学生独立思考，只需要辨别清楚各个问题中的同类项即可．
教师活动设计：
引导学生在解决问题后，分析各个多项式的项，找到同类项并进行合并,进行交流，在交流中纠正一些不正确的想法．
2．（1）求多项式 2x 2 - 5x + x 2 + 4x – 3x 2 – 2 的值，其中 2
1=
x ； （2）求多项式 22313313c a c abc a +--
+ 的值，其中 61-=a ,b = 2，c = –3． 分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再求值，这样做往往可以简化计算．
解：（1）2x 2 - 5x + x 2 + 4x – 3x 2
– 2
=（2 + 1 - 3）x 2
+（-5 + 4）x – 2
= - x – 2； 当 21=
x 时，原式 = 21- - 2 =25-． （2）22313313c a c abc a +--+
23131)33(c abc a ??
? ??+-++-=
= abc ；
当 61-=a
，b = 2，c = -3 时，原式13)(261=-????
? ??-=． 3．（1）水库中水位第一天连续下降了 a 小时，每小时平均下降 2 cm ；第二天连续上升了 a 小时，每小时平均上升 cm ，这两天水位总的变化情况如何？
（2）某商店原有 5 袋大米，每袋大米为 x 千克，上午卖出 3 袋，下午又购进同样包装的大米 4 袋． 进货后这个商店有大米多少千克？
解：（1）把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正． 第一天水位的变化量为 -2a cm ，第二天水位的变化量为 a cm ．
两天水位的总变化量为
-2a + =(-2 + a = （cm ）．
这两天水位总的变化情况为下降了 cm ．
（2）把进货的数量记为正，售出的数量记为负．进货后这个商店共有大米
5x - 3x + 4x =（5 - 3 + 4）x = 6x （千克）．
活动 3：
合并下列各式中的同类项．
（1）4x 2 + 2x + 7 + 3x - 8x 2
- 2；
（2）2x 2 - 3x + 1 - 3x 2 + 5x - 7．
学生活动设计：
学生独立思考，分析问题（1）可以发现，这个多项式中 4x 2 与 -8x 2 是同类项，可以合并；2x 与 3x 是同类项，7 与 -2 是同类项，于是
4x 2 + 2x + 7 + 3x - 8x 2 - 2 =（4 - 8）x 2 +（2 + 3）x +（7 - 2）= -4x 2 + 5x + 5．
对问题（2）也作同样的分析．
教师活动设计：
引导学生在解决问题时，分析多项式的各个项，从中找到同类项并进行合并，进行交流．然后在交流中纠正一些不正确的想法．
二、问题引申、探索整式的加减法则
活动 4：观察下列式子的变形，你能发现什么？
（1）＋120（t－）＝＋120 t－60；
（2）－120（t－）＝－120 t＋60．
发现：
括号外的因数是正数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反．以上为去括号法则，依据是乘法分配律
做一做．
1．化简下列各式:
（1）8a + 2b +（5a - b)；（2）（5a –3b）-3（a2-2b）．解：（1）8a + 2b +（5a - b）
= 8a + 2b + 5a - b
= 13a + b；
（2）（5a - 3b）- 3（a2 - 2b）
= 5a - 3b –（3a2 - 6b)
= 5a - 3b –3a2+6b
= -3a2+5a + 3b．
2．计算下列各式，看看你有什么发现？
（1）163 + 87 - 77，163 +（87 - 77）；
9a + 6a - a，9a +(6a - a)；
（2）123 – 68 - 32，123 -（68 + 32）；
9a - 6a + a，9a -(6a - a)．
学生活动设计：学生独立完成以上问题的解答，在活动中获取相应的结论．解答：
（1）163 + 87 – 77 = 163 +（87 - 77），①
9a + 6a– a = 9a +(6a - a)；②
（2）123 – 68 – 32 = 123 -（68 + 32），①
9a - 6a + a = 9a -(6a - a)．②
添括号法则：
添括号后，括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；
添括号后，括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
做一做．
1．计算：
（1）127x + 44x + 56x；（2）131a - 67a - 33a．解：（1）127x + 44x + 56x
= 127x +（44x + 56x）
= 127x + 100x
= 227x；
（2）131a - 67a - 33a
= 131a -（67a +33a）
= 131a - 100a
= 31a．
2．计算：
（1）（2x - 3y）+(5x + 4y)；
（2）(8a - 7b)-(4a - 5b)．
分析：第（1）题是计算多项式 2x - 3y和 5x +4y 的和；第（2）题是计算多项式
8a–7b 和 4a –5b的差．
解：（1）（2x - 3y）+(5x + 4y)
= 2x - 3y + 5x + 4y
=（2x +5x）-(3y -4y)
= 7x - (-y)
= 7x + y；
（2）(8a - 7b)-(4a - 5b)
= 8a - 7b - 4a +5b
=（8a– 4a）-（7a - 5b）
= 4a - 2b．
3．一种笔记本的单价是x 元，圆珠笔的单价是y 元．小红买这种笔记本 3 个，买圆珠笔 2 支；小明买这种笔记本 4 个，买圆珠笔 3 支．买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花了多少钱？
解法一：小红买笔记本和圆珠笔共花（3x + 2y）元，小明买笔记本和圆珠笔共花（4x+3y）元．
小红和小明共花
（3x + 2y）+(4x+3y)
= 3x + 2y + 4x + 3y
=（3x + 4x）+（2y + 3y）
=7x+5y（元）．
解法二：小红和小明买笔记本共花（3x + 4x）元，买圆珠笔共花(2y+3y)元．
小红和小明共花
（3x + 4x）+(2y + 3y)
=7x + 5y（元）．
4．做两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）：
长宽高小纸盒a b c
大纸盒 2b 2c
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
（2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？
学生活动设计：
学生自主探索，完成上述两个问题，有困难时可以进行适当的讨论、交流，进一步总结归纳整式的加减法则．
经过分析可以发现，小纸盒的表面积是（2ab + 2bc + 2ac ）cm 2；大纸盒的表面积是 （6ab + 8bc + 6ac ）cm 2．对于问题（1），上述两个多项式作加法
（2ab + 2bc + 2ac ）+（6ab + 8bc + 6ac ）
= 2ab + 2bc + 2ac + 6ab + 8bc + 6ac
= 8ab + 10bc + 8ac ；
对于问题（2），上述两个多项式作减法
（6ab + 8bc + 6ac ）-（2ab + 2bc + 2ac ） = 6ab + 8bc + 6ac - 2ab - 2bc - 2ac
= 4ab + 6bc + 4ac ．
教师活动设计：
让学生独立完成上述问题，接着引导学生对整式的加减法则进行归纳：
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，合并同类项．
活动 5：计算：
（1）)2
3421()213(2222y xy x y xy x -+---+-； （2）（5y + 3x - 15z 2）-（12y - 7x + z 2）．
学生活动设计：
学生自己解决上述问题，进一步体会整式加减的本质——合并同类项． （1）)23421()213(2222y xy x y xy x -+---
+-
22222
3421213y xy x y xy x +-+-
+-=
222223214321y y xy xy x x +--++
-= 222
1y xy x +--
=； （2）（5y + 3x - 15z 2）-（12y - 7x + z 2）
= 5y + 3x - 15z 2 - 12y + 7x - z 2
= 5y - 12y + 3x + 7x - 15z 2 - z 2s
= -7y + 10x - 16z 2．
教师活动设计：
鼓励学生根据对多项式的理解自己解决问题，并分析学生在计算过程中存在的问题（比如去括号的问题等）．
三、应用提高、拓展创新
问题 1：求
)3123()31(22122y x y x x +-+--的值，其中 x= -2，3
2=y . 学生活动设计：
学生独立进行分析，发现可以把字母的值直接代入计算，但是过于麻烦，仔细分析可以发现所给的多项式中有同类项，通过合并可以简化形式，再代入求值比较简单．
教师活动设计：
在不同的方法中引导学生利用简单的方法求解，进而培养学生的简化思想．
〔解答〕原式 )3
123()31(22122y x y x x +-+--=
= - 3x + y 2．
当 x= -2，32=
y 时，原式94632)2(3322=??
? ??+-?-=+-=y x ． 问题 2：任意取一个两位数，交换个位数字和十位数字的位置得到一个新的两位数，这两个两位数的差是否能够被 9 整除？再研究这两个两位数的和的特点．
学生活动设计：
学生在思考的基础上进行讨论．对于任意一个两位数，可以用字母表示数的形式表示出来，设 a 、b 分别表示两位数十位上的数字和个位上的数字，那么这个两位数可以表示为 10a + b ．交换这个两位数的十位数字和个位数字，就得到一个新的两位数 10b + a ．要求这两个数的差，
可以列出计算的式子（10a + b）-（10b + a）= 10a + b - 10b - a =（10a - a）+（b - 10b）= 9a - 9b = 9（a - b），显然是 9 的倍数；若求这两个数的和，则有（10a + b）+（10b + a）= 10a + b + 10b + a =（10a + a）+（b + 10b）= 11a + 11b = 11（a + b），显然是 11 的倍数．
教师活动设计：
教师组织学生进行思考、讨论、交流，提醒学生用字母表示数字时的规律，引导学生利用整式的加减运算解决问题．
〔解答〕略．
问题 3：某花店一枝黄色康乃馨的价格是x元，一枝红色玫瑰的价格是y元，一枝白色百合的价格是z元，下面这三束鲜花的价格各是多少？这三束鲜花的总价是多少元？
师生活动设计：
第（1）束鲜花的价格为（3x + 2y + z）元；第（2）束鲜花的价格为（2x + 2y + 3z）元；第（3）束鲜花的价格为（4x + 3y + 2z）元．这三束花的总价为
（3x + 2y + z）+（2x + 2y + 3z）+（4x + 3y + 2z）
= 3x + 2y + z + 2x + 2y + 3z + 4x + 3y + 2z
= 9x + 7y + 6z（元）．
四、归纳小结、布置作业
小结：
同类项的概念；整式的加减法则．
作业：
习题．