数论知识点之约倍质合
小学数论基础知识
数论基础知识一质数和合数（1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.(2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。
任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
要特别记住:0和1不是质数，也不是合数.（3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数,其他质数都为奇数;最小的合数是4。
（4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数.互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５),可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。
（５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（６）１００以内的质数有２５个:２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７二整除性（１）概念一般地,如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b(b不等于0),除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说,a能被b 整除(或者说b能整除a）。
记作b|a.否则，称为a不能被b整除，(或b不能整除a），记作b a.如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数.(２）性质性质1:（整除的加减性）如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。
即:如果c|a，c|b，那么c|（a±b）.例如：如果2|10，2|6,那么2｜（10＋6）,并且2|（10—6）。
也就是说,被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即:如果bc|a,那么b|a，c｜a。
性质3：（整除的互质可积性）如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
数论 质合数 因倍数
数论（质合数、因倍数、奇偶数）知识点精讲一、质数与合数(一)概念: 只能被两个不同的自然数整除的自然数叫质数。
因为任何自然数都能被1和它本身整除，所以这类自然数的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。
(二)100以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
(三)质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解：30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。
找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.小超写了四个小于10的自然数,它们的积是360.已知这四个数中只有一个是合数.这四个数是____、____、____和____.(四)乘积与和(将乘积分解成符合要求的形式)1.两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____.2.三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.3.从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.木条的面积是_____平方分米.4.两个数的和是107,它们的乘积是1992,这两个数分别是_____和_____.5. 如果两个数之和是64,两数的积可以整除4875, 那么这两数之差是_____.(五)两个数的乘积一定的时候，这两个数越渐进，他们的和越小；两个数的和一定的时候，这两个数越接近，他们的积越大。
1. 9216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_____.2. 30可以写成两个数的和，这两个数的积最大可以达到_____.(六)完全平方数完全平方数分解质因数之后，每个不同质因数的个数都是偶数。
小升初_数论发散(数学)
第七讲数论发散本讲任务板块一、约倍质合、余数操作问题板块二、进位制和位值原理的综合运用板块三、整除性质的综合运用知识点11．三种求法：短除法、分解质因数法、辗转相除法2．最大公约与最小公倍模型3．大数操作问题：尝试着找规律4．100以内的质数，质数明星：2和5板块一、约倍质合的综合运用例1如果某整数同时具备如下3条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5。
那么我们称这个整数为幸运数。
求出所有的两位幸运数。
例2一个正整数m满足下列条件：①24，42和m任意两个数最大公约数相同；②18，30和m任意两个数最小公倍数相同。
求m的值是多少？例3包包往一个水池里扔石子。
第一次扔1颗石子，第二次扔2颗石子，第三次扔3颗石子。
第四次扔4颗石子……她准备扔到水池的石子数是106的倍数。
请问：包包最少需要扔多少次？例4如下图所示，有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？余数周期的综合运用例5某班43名同学围成一圈。
由班长起从1开始顺时针连续报数，谁报到100，谁就表演一个节目；然后再由这个同学从1开始连续报数，结果第一个演节目的是巍巍，第六个演节目的是铮铮。
那么从巍巍到铮铮之间顺时针数有多少名同学？例650位同学围成一圈，从某同学开始顺时针报数。
第一位同学报1，跳过一人第三位同学报2，跳过两人第六位同学报3，……这样下去，报到2008为止。
报2008的同学第一次报的是_______。
板块二、N进制和位值原理的综合运用知识点21．N进制的数码只有0、1、2…（N－1）2．N进制加减法中逢N进1，借1当N3．N进制化十进制：位值原理4．十进制化N进制：除N倒取余数法例7现有六个筹码，上面分别标有数值：1，3，9，27，81，243。
任意搭配这些筹码(也可以只选择一个筹码可以得到多少个不同的和？例8在循环小数中类似于＝0.4285，＝0.7692等，循环节是从小数点右边的第一位(即十分位就开始的小数，叫做纯循环小数，包括7和13在内，共有_______个正整数，其倒数是循环节恰好为六位的纯循环小数。
小升初数学：倍数与约数知识点总结
小升初数学：倍数与约数知识点总结小升初数学：倍数与约数知识点总结倍数与约数最大公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。
公因数有有限个。
其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。
公倍数有无限个。
其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。
相临的两个数一定互质。
两个连续奇数一定互质。
1和任何数互质。
通分：把异分母分数的分别化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分。
(通分用最小公倍数)约分：把一个分数的分子、分母同时除以公约数，分数值不变，这个过程叫约分。
最简分数：分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。
分数计算到最后，得数必须化成最简分数。
质数(素数)：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的'数叫做质数(或素数)。
合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。
1不是质数，也不是合数。
质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。
分解质因数：把一个合数用质因数相成的方式表示出来叫做分解质因数。
倍数特征：2的倍数的特征：各位是0，2，4，6，8。
3(或9)的倍数的特征：各个数位上的数之和是3(或9)的倍数。
5的倍数的特征：各位是0，5。
4(或25)的倍数的特征：末2位是4(或25)的倍数。
8(或125)的倍数的特征：末3位是8(或125)的倍数。
7(11或13)的倍数的特征：末3位与其余各位之差(大-小)是7(11或13)的倍数。
17(或59)的倍数的特征：末3位与其余各位3倍之差(大-小)是17(或59)的倍数。
19(或53)的倍数的特征：末3位与其余各位7倍之差(大-小)是19(或53)的倍数。
23(或29)的倍数的特征：末4位与其余各位5倍之差(大-小)是23(或29)的倍数。
倍数关系的两个数，最大公约数为较小数，最小公倍数为较大数。
互质关系的两个数，最大公约数为1，最小公倍数为乘积。
2018六年级奥数.数论.质数、合数、约数、倍数(ABC级).学生版
质数合数、约数倍数知识框架一、质数与合数一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。
一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
质数有无限多个。
最小的质数是2。
合数有无限多个。
最小的合数是4。
常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数2如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.常用质数整理：101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017．三、约数、公约数与最大公约数概念(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数；(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；(4)0被排除在约数与倍数之外1.求最大公约数的方法●分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；●短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；●辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷= ；6003151285÷= ；315285130÷= ；28530915÷= ；301520÷= ；所以1515和600的最大公约数是15．2.最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．3.求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求．4.约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数四、倍数的概念与最小公倍数1.倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数1)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数2)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
数论--约数倍数-第4讲约数和倍数竞赛班学生
第四讲约数和倍数一、基础知识1. 1. 常用的特殊自然数的整除特征1）2系列：被2整除只需看末位能否被2整除被4整除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依次类推2）5系列:被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75我们以被8整除看末三位为例证明以上两个系列的性质假设一个多位数末三位是abc，末三位之前的部分为x那么该数=1000x+abc，由于8|1000,所以8|1000x,因此该数能否被8整除就决定于末三位abc能否被8整除，证毕.3）3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除.被9整除只需看各位数字之和能否被9整除.我们以三位数为例来证明被9整除只需看各位数字之和这一性质假设该三位数为abc=100a+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)很明显第一个括号里的数是9的倍数，因此只要a+b+c，即各位数字之和能被9整除，那么这个三位数abc 就能被9整除，反之亦然。
推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立，请大家自己尝试一下.4）7,11,13系列被7，11，13整除的判别方法：看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除[思考]：为什么要从末三位把这个数一分为二呢？仔细想一想我们会发现7ｘ11ｘ13=1001，正好比1000大1，由此我们可以得到如下证明和2系列的证明类似，我们仍然设一个多位数的末三位是abc，前面部分是x那么我们要证明的就是这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除该数=1000x+abc=1001x+（abc-x）由于1001同时是7，11，13的倍数，所以这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除，证毕.特别的，我们还有另外一种判别能否被11整除的性质，就是看奇数位数字之和与偶数为数字之和能否被11整除，若能整除则原数可被11整除，反之亦然.请大家自己想一想这个如何证明？（思考题）2.整除的性质1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c.2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a.3.最大公约数和最小公倍数两个基本性质一.两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即若a=a1*(a,b),b=b1*(a,b),则(a1,b1)=1二.两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积.[a,b]*(a,b)=ab二、例题部分例1．（★★第16届希望杯第2试）我们用记号“|”表示两个正整数之间的整除关系，如3|12表示3整除12，那么满足x | (y+1)和y | (x+1)的正整数组(x,y)有__________组.例2.(★★第12届希望杯第2试) 两个正整数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是__________例3.（★★★★ 1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。
质合因倍PPT课件
1
倍数、因数
• 如果数a能被数b（b≠0）整除，那么，a就 叫做b的倍数，b就叫做a的因数。例：35能 被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大 的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
2
2、3、5、9的倍数特征
如果给定一个范围，最大公倍数是存在的。
8
互质数
• 公因数只有1的两个数，叫做互质数。 • 成互质关系的两个数，有下列几种情况： （1）1和任何自然数互质。 （2）相邻的两个自然数互质。 （3）两个不同的质数互质。 （4）当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个
质数互质。 （5）两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质。9
• 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。
• 个位上是0或5的数，都能被5整除。
• 一个数各位上的数的和能被3整除，这个数就 能被3整数。
• 一个数各位上的数的和能被9整除，这个数就 能被9整除。
• 能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9
整除的数一定能被3整除。
3
质数
• 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这 样的数叫做质数。
方法
• 分解质因数法 • 短除法
10
偶数、奇数
• 能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数 叫奇数。
• 除0之外的自然数按能否被2整除的特征可 分为奇数和偶数。
11
• 最小的自然数是 0 • 最小的奇数是 1 • 最小的偶数是 2 • 最小的质数是 2 • 最小的合数是 4
12
同分类，可分为质数、合数和1。
6
公因数
• 几个自然数公有的因数，叫做这几个数的 公约数，其中最大的一个，叫做这几个数 的最大公因数。
数论知识点
一 质数与合数质数：除了1和本身，没有其他约数的正整数叫质数。
合数：除了1和本身，还有其他约数的正整数叫合数。
特殊地，1既不是质数也不是合数。
最小的合数是4，最小的质数是2，且2是唯一的偶质数。
质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
互质数：公约数只有1的两个正整数，叫做互质数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
已知a ，b 均为质数，且39a b +=，求a 、b 的值。
【分析】 若a 、b 均为奇数，则a b +必定为偶数，而39是奇数，所以a 、b 中至少包含一个2，则另一个为37。
A ，B ，C 为3个小于20的质数，A +B +C =30，求这三个质数。
【分析】 三个质数之和为偶数，这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是2，另两个奇质数之和为28，又因为这三个数都要小于20，所以只能为11和17，所以这三个质数分别是2，11，17。
将下列各数分解质因数：6= 12= 72= 2310= 【分析】 623=× 21232232=××=× 327223=× 2310235711=××××二 约数与倍数约数和倍数的定义：如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a 的约数． 最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数．在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数．例如：(8,12)4=，(6,9,15)3=．求最大公约数的方法：①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=××，22252237=××，所以(231,252)3721=×=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘． 例如：2181239632，所以(12,18)236=×=；（1）求48和72的最大公约数？（用两种不同的方法）【分析】分解质因数法：44823=×，327223=×，所以（48，72）32324=×=。
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质数与合数
质数：一个数除了 1 和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：一个数除了 1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N= ，其中 a1、a2、a3……an都是合数 N 的质因数，且
a1<a2<a3<……<an。
求约数个数的公式：P=（r1+1）×（r2+1）×（r3+1）×……×（rn+1）
互质数：如果两个数的最大公约数是 1，这两个数叫做互质数。
约数与倍数
约数和倍数：若整数 a 能够被 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数 m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如：12 的约数有 1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么 12 和 18 的公约数有：1、2、3、6；
那么 12 和 18 最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……；
18的倍数有：18、36、54、72……；
那么 12 和 18 的公倍数有：36、72、108……；
那么 12 和 18 最小的公倍数是 36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法。