将军饮马问题讲

4. 如图，点 边的距离之和最小类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚 M 出发，先赶到河 OA 上的某一位置 P ，再马上赶到河 OB 上的某一位置 Q ，然后立即返回校场 N ．请为将军重新设计一条路线 （即选择点 P 和 Q ）， 使得总路程 MP ＋ PQ ＋QN 最短．3、将军要检阅一队士兵，要求 （如图所示 ） ：队伍长为 a ，沿河 OB 排开（从点 P 到点 Q ）；将 军从马棚 M 出发到达队头 P ，从 P 至 Q 检阅队伍后再赶到校场 N ．请问：在什么位置列队 （即 选择点 P 和 Q ），可以使得将军走的总路程 MP ＋PQ ＋ QN 最短?将军饮马问题变式】如图所示，将军希望从马棚 OB 上的某一位置 Q ．请为将军设计一条路线 MP ＋PQ 最短．，再马上赶到河P 到5 已知∠ MON内有一点 P，P 关于 OM，ON的对称点分别是和，分别交 OM, ON于点A、B，已知＝ 15，则△ PAB 的周长为( )A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知∠ AOB，试在∠ AOB内确定一点 P，如图，使 P 到 OA、OB的距离相等，并且到 M、N两点的距离也相等 .7、已知∠ MON＝ 40， P为∠ MON内一定点， OM上有一点 A，ON上有一点 B，当△PAB的周边上一动点，则 DP长的最小值为练习1、已知点A在直线l 外，点P为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，长取最小值时，求∠APB的度数 .8. 如图，在四边形ABCD中，∠ A＝90°，ADB＝∠ C.若 P 是请作出定点 B ；若不存在，请说明理由．2、 如图，在公路 a 的同旁有两个仓库 A 、 B ，现需要建一货物中转站，要求到 A 、B 两仓 库的距离和最短，这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？ABa3、 已知： A 、B 两点在直线 l 的同侧， 在l 上求作一点 M ，使得 |AM BM |最小．4、如图，正方形 ABCD 中， AB 8， M 是DC 上的一点，且 DM 2， N 是 AC 上的一动 点，求 DN MN 的最小值与最大值．5、如图，已知∠ AOB 内有一点 最小。

试画出图形，并说明理由。

A 、B, 在坐标轴上找两点 C 、D,使得四边形 ABCD 的周长最小。

.A6、如图，直角坐标系中有两点 MP ，试分别在边7、如图，村庄 A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸 a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸 垂直的桥 CD ，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程最近？最小时，求 a 的值 .10、如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB=CD=AD=，2∠ D=120°，点 E 、F 是底边 AD 与 BC 的中点， 连接 EF ，在线段 EF 上找一点 P ，使 BP+AP 最短．练习1、观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4 个2、以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）3、在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是4 ,当 x 为何值时， y 的值最小， 并求出这个最小值9、在平面直角坐标系中， A(1，-3) 、B(4 ，-1) P(a,0) 、 N(a+2,0), 当四边形 PABN 的周长A ．等边三角形B ．矩形C ．等腰梯形D ．平行四边形8、y x 21(9 x)24、在等边三角形、 正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中， 是中心对称图形的个数为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4 个5、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们 把这样的图形变换叫做滑动．对．称．变．换．． ．在自然界和日常生活中， 大量地存在这种图形变 换（如图甲）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质， 你认为在滑．动．对．称．变．换． 过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是 （ ） （A ） 对应点连线与对称轴垂直 （B ） （C ） 对应点连线被对称轴垂直平分 （D ）6、对右图的对称性表述，正确的是（ ）．D ．既不是轴对称图形又不是中心对称图形对应点连线被对称轴平分A ．轴对称图形B ．中心对称图形C ．既是轴对称图形又是中心对称图形7、如图，△ A ′ B ′ C′是由△ ABC 经过变换得到的，则这个变换过程是 A ）平移B ）轴对称 （C ）旋转D ）平移后再轴对称A ′BB ′BC ′AC8、如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C 的坐标分别为（ 3，0），（0，1），点D 是线段1BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y ＝－x＋b 交折线OAB 于点E．2（1）记△ ODE的面积为S，求S关于b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，9、探究OA1B1C1 与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由 .【答案】（1）由题意得 B（ 3，1）．3若直线经过点A（3， 0）时，则b＝25若直线经过点B（3， 1）时，则b＝2若直线经过点C（0， 1）时，则b＝13 ①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即 1<b≤ ，如图 25-a，2此时E（ 2b，0）11∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b22 35 ②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即3<b< 5，如图 23此时E（3，b ），D（2b－2，1）25∴S 四边形 DNEM ＝ NE · DH ＝4∴矩形 OA 1B 1C 1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A （0,1），B （-1,1 ），C（-1,3 ）。

（1）画出△ ABC 关于 x 轴对称的△ A 1B 1C 1，并写出点 C 1 的坐标；（2）画出△ ABC 绕原点 O 顺时针方向旋转 90°后得到的△ A 2B 2C 2，并写出点 C 2 的坐标；，（3）将△ A 2B 2C 2 平移得到△ A 3B 3C 3，使点 A 2 的对应点是 A 3，点 B 2 的对应点是 B 3 ，点 C 2的对应点是 C 3（ 4， -1 ），在坐标系中画出△ A 3B 3C 3，并写出点 A 3， B 3的坐标。

∴S ＝S 矩－ ( S △OCD ＋ S △OAE ＋S △DBE )1 ＝ 3 － [ (2b 2－1）×1＋1 5 1 3 5 ×(5－2b )·( b )＋ ×3( b )] ＝ b b2b∴S5b2b23 2 5 2M ，OA 与 C 1B 1相交于点 N ，则矩形 OA 1B 1C 1 与矩形 DNEM 的面积。

本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！2）如图 3，设 O 1A 1 与 CB 相交于点 的重叠部分的面积即为四边形OABC由题意知， DM ∥ NE ，DN ∥ ME ，∴四边形 DNEM 为平行四边形 根据轴对称知，∠ MED ＝∠ NED又∠ MDE ＝∠ NED ，∴∠ MED ＝∠ MDE ，∴ MD ＝ME ，∴平行四边形 过点 D 作 DH ⊥ OA ，垂足为 H ，1由题易知， tan ∠DEN ＝ ， DH ＝ 1，∴ HE ＝2，2DNEM 为菱形． 则在 Rt △DHM 中，由勾股定理知：2 2 2a2(2 a)2 12，∴ a答案】1) C1(-1,-3) (2)C2(3,1) (3)A3(2,-2),B3(2,-1) 11、分别按下列要求解答：（1）在图 1中,将△ ABC先向左平移 5个单位,再作关于直线AB的轴对称图形 ,经两次变换后得到△ A1B1 C1.画出△ A1B1C1；（2）在图 2 中, △ ABC经变换得到△ A2B2C2. 描述变换过程 .0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案】(1) 如图．(2) 将△ ABC 先关于点 A 作中心对称图形 , 再向左平移2 个单位 , 得到△ A 2B 2C 2．(变换过程不唯一)12、 (1) 观察发现如题 26(a) 图，若点 A ，B 在直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P ，使 AP+BP 的值最小． 做法如下：作点 B 关于直线 l 的对称点 B ，连接 AB ，与直线 l 的交点就是所求的点 P 再如题 26(b) 图，在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在 AD 上找 一点 P ，使 BP+PE 的值最小．做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这 点就是所求的点 P ，故 BP+PE 的最小值为 ．题 18(a) 图(2) 实践运用 如题 26(c) 图，已知⊙ O 的直径 CD 为 4，AD 的度数为 60°，点 B 是 ?AD的题 18(b) 图中点，在直径 CD 上找一点 P，使 BP+AP的值最小，并求 BP+AP的最小值．（3） 拓展延伸 如题 26（d ） 图，在四边形 ABCD 的对角线 AC 上找一点 P ，使∠ APB=∠ APD ．保留 作图痕迹，不必写出作法．作点 B 关于 CD 的对称点 E ，则点 E 正好在圆周上，连接 一点 P ， AP+BP 最短，因为 AD 的度数为 60°，点 B 是 ?AD 的中点， 所以∠AEB=15°，因为 B 关于 CD 的对称点 E ，所以∠ BOE=60°，所以△ OBE 为等边三角形，所以∠ OEB=60°，所以∠ OEA=45°，又因为 OA=OE ，所以△ OAE 为等腰直角三角形，所以 AE=2 2 .（3）找 B 关于 AC 对称点 E ，连 DE 延长交 AC 于 P 即可，OA 、 OB 、 OE ，连接 AE 交 CD 与答案】2）如图：13、如图所示， A、B 两村之间有一条河，河宽为 a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，（Ⅰ）要使 AB两村路程最近，请确定修桥的地点。

（Ⅱ）桥建在何处才能使 AB 两村到桥的距离相等？。