《实变函数》复习题

《实变函数》复习题黔南民族师范学院数学系2006年7月第一章 集 合 论 基 础一、填空题1.设⎭⎫⎩⎨⎧−≤≤+−=i x i x A i 1111,，则U =_________________.N i ∈∞=1i i A 2.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<≤=i x x A i 110,，则_________________.N i ∈=∞=I 1i i A 3.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=+1212,012m A m ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=m A m 211,02,L ,2,1=m ,则=n nA lim ____________，=n nA lim ______________.4.,,2,1),,0(1,0(212L ===−m m A mA m m 则=n nA lim ____________，=n nA lim _______________.5.欲使{自然数全体}～{正奇数全体},只须令映照=)(n ϕ___________，为自然数. n6.欲使～),0(+∞),(+∞−∞，只须令映照=)(x ϕ___________＿＿,x 为正实数.7.设M ={代数数全体},则M =________＿__，=M R \1___________________.8.设{实数列全体}，则的势为___________. E ∞=E ∞9.设[0,1]中无理数全体所成集为E ，则=E _________.10.设集合A 、B 、满足：，若C A B C ⊂⊂A ～，则___________________. C二、证明题1.证明:)()()(C A B A C B A U I U I U =.2.证明:.)\(\)(B A B A IIαααα∈∈=U U 3.对任一给定的集列{}i E ，试将U 表示成一个彼此互不相交集列的并集.∞=1i iE4.证明：)\(lim lim \n nn nA S A S =.5.证明：单调函数的不连续点最多只有可数多个.6.设A 是1R 上互不相交的开区间构成的集合，证明：A 至多是一个可数集． 7.证明:若集合M 的所有子集构成的集类为ℜ，则M >ℜ. 8.证明:设A 至多可数，B 是任一无限集，则B B A =U .第二章 中 点 集n R一、填空题1.设，则[]Q E I 1,0==′E ____________， =0E ____________，=E ____________．2.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧=>=x y x y x E 1cos ,0),(，则=′E ___________________________________________．3.设nR E ⊂,试用邻域描述：是0P E 的孤立点__________________________________________；⇔⇔∈E P 0______________________________________________.4.设nR E ⊂，若_______________，则称E 为闭集；若_____________，则称E 为自密集；若_____________，则称E 为完备集．5.无限个开集的交未必是开集，试写出一个例子:____________________________________________________________________________.6.1R 上任一非空开集可以表示成_______________________________________________________ G______________________的并集．7.根据闭集结构可断言：1R 上的完备集必是_______________________________________________________________________的闭集.8.设nR E ⊂,称E 为稠密集是指__________________________________________________________________________________.9.设n R E ⊂，称E 为疏朗集是指__________________________________________________________________________________.10.设nR E ⊂，,在1:R E f →)(x f E x ∈0连续⇔____________________________________________________________________________.11.设P 为Cantor 集，则=P ___________， =0P ____________．12.设P 是Cantor 集，Q 是有理数集，{}N n n A ∈=,U ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=212,1n n nB , 则它们中的闭集有_____________， 开集有 ____________，完备集有____________，稠密集有____________，疏朗集有_____________.二、证明题1.证明:G 为开集；为闭集⇔G G =0F ⇔F F =.2.证明:开集减闭集后的差集仍是开集.3.证明: =0E {x x 为E 的内点}是开集.4.证明:nR 中任一闭集都可表示成可数个开集的交集.5.证明:A 是包含A 的最小闭集,即对任意闭集,若F A F ⊃,那么A F ⊃.6.证明:CE E C =0,0)(CE E C =.7.设1R A ⊂，A 既是开集又是闭集，证明:=A Φ或者1R A =.8.证明:在上连续函数对)(x f [b a ,]⇔∀实数,集合c {}c x f x E ≥=)(1和{}c x f x E ≤=)(2都是闭集.9.设，证明:在1:R R f n→)(x f nR 上连续⇔对1R 中∀开集，它的原象G {}G x f R x x G fn ∈∈=−)(,)(1是n R 中开集.第三章 测 度 论L一、填空题1. 设nR E ⊂，L 外测度定义________________________________________________________________________________________________________．2.设n R E ⊂为有界集，I 是任一包含E 的开区间，则L 内测度定义为_________________________________________________________．3.设nR E ⊂，根据卡氏条件，若nR T ⊂∀，都有_______________________________________, 则称E 是L 可测的．4.L 测度与L 外测度的重要差异在于_________________________________________________________________________________________________．5.设nR E ⊂可测，则对∀0>ε，∃闭集E F ⊂，使_______________________.6.设n R E ⊂可测，则∃δG 型集，使______________________． E G ⊃7.−σBorel 代数是指nR 中全体____________________________________________，其元素称为_________________________________________.8.设为Cantor 集，则__________，=_____________. P =mP )\]1,0([P m9.取递减可测集列{_________________________，就有 }=n E n n n n mE E m ∞→∞→≠lim )lim (.10.半开闭区间可写成_________________________，故它是型集,又可写成______________ ],(b a σF___________________，故它也是型集. δG二、证明题1.设nR A ⊂为可测集，nR B ⊂为任意集，证明: +)(*B A mU =)(*B A m I +A m *B m *.2.证明:0)]1,0([=Q m I .3.设A 可测, 证明:,0*=B m mA B A m =)\(.4.设为实常数,记a {}+∞<<−∞==312321,,),,(x x a x x x x E ,证明:E 是3R 中的零测集. 5.证明:设是一列互不相交的可测集，则也可测.{}n E U ∞=1n nE6.证明:设是一个递增的可测集列，则{}n E n n n n mE E m ∞→∞→=lim )lim (.7.设nR E ⊂为可测集,证明:对0>∀ε,∃开集E G ⊃,使ε<)\(E G m .8.设,且, 证明:对],[b a E ⊂0*>E m <<∀c c 0:E m *,E E ⊂∃0,使得. c E m =0*9.试在1R 中构造一个仅含无理数的闭集，使得. F 0)(>F m第四章可 测 函 数L一． 填空题1._________________，=−<∞=][1n f E n I =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∞=U 11n n a f E ___________________. 2.设可测函数，记)(x f {}0),(max )(x f x f =+,{}0),(min )(x f x f −=−,则=)(x f ____________________，=)(x f _____________________.3.定义在⎥⎦⎤⎢⎣⎡−4,4ππ上的函数列:,x x f n n 1cos )(−=L ,2,1=n ，则{}=)(inf x f n n_______________________________.4.定义在[]π,0上的函数列:x x f π22)(1=,,则L ,3,2,cos )(==n x x f n n=)(lim x f n n____________________________________.5.根据叶果洛夫定理,设,{是∞<mE })(x f n E 上收敛于一个有限函数的可测函数 ..e a ..e a )(x f列，则__________________________________________________________________________________________________________.6.根据鲁津定理，设是可测集)(x f E 上有限的可测函数，那末____________________________ ..e a______________________________________________．7.于)()(.x f x f m n ⎯→⎯E 的定量描述是______________________________________________________________________________________________________．8.设在E 上,,则可测函数与满足:______________ )()(.x f x f m n ⎯→⎯)()(.x g x f m n ⎯→⎯)(x f )(x g________________________________．9.收敛的可测函数列未必依测度收敛，试写出一个例子:__________________________________ ..e a_____________________________________________________.10.写出一个不可测函数的例子:___________________________________________________________________________________________________．二、证明题1.设nR E M =⊂,是特征函数, 证明:⎩⎨⎧∈∈=,\,0,,1)(M E x M x x M χM 与)(x M χ同为可测或同为不可测.2.设nR E ⊂为可测集， 于)()(x g x f =..e a E ，证明:若在)(x f E 上可测，则在)(x g E 上也可测.3.证明:可测集nR E ⊂上的连续函数是可测函数.)(x f 4.设{为可测集})(x f n E 上的可测函数列，证明它的收敛点集和发散点集均是可测集.5.设是)(x f 1R 上的连续函数,是)(x g []b a ,上的可测函数,证明:[])(x g f 是=E [b a ,]上的可测函数．6.设及)(x f L ,2,1),(=n x f n 是可测集E上的可测函数,若在E 上,证明: 在f f un a n ⎯⎯→⎯..E 上.f f e a n ⎯→⎯..7.设在E 上,且 于)()(.x f x f m n ⎯→⎯0)(≥x f n ..e a E ,L ,2,1=n .证明: 于0)(≥x f ..e a E . 8.设在E 上，且 于)()(.x f x f m n ⎯→⎯)()(1x f x f n n +≥..e a E ,L ,2,1=n .证明:在E 上.f f e a n ⎯→⎯..9.设在E 上，且)()(.x f x f m n ⎯→⎯)()(x g x f n n = 于..e a E ，L ,2,1=n .证明:在E 上.)()(.x f x g m n ⎯→⎯10.设是定义在可测集)(x f nR E ⊂上的函数,证明:若对0>∀δ,∃闭集,使在上连续,且E F ⊂δ)(x f δF δδ<)\(F E m ,则是)(x f E 上的可测函数．11.设是可测集)(x f 1R E ⊂上的可测函数，证明: ∃一个1R 上的连续函数列{，使得在}n g E 上.f g e a n ⎯→⎯..第五章 积 分 论L一． 填空题1. 设在0)(≥x f qR E ⊂上可测，定义,其中为_________∫∫=nE n nEdx x f dx x f )]([lim )({}n E_______________________________，=n x f )]([_______________________.2.根据L 积分的绝对连续性，若在)(x f E 上L 可积，则____________________________________________________________________________________________.3.设在)(x f E 上L 可积,则=∞=][f mE ____________________.4.根据引理，设{是可测集Fatou })(x f n qR E ⊂上一列非负可测函数, 则_____________________________________________________________________.5.设A 、B 分别为pR ,qR 中可测集，则B A ×是qp R +中________________，且=×)(B A m______________________.6.设是)(x f n R E ⊂上的非负函数，则它的下方图形是___________中的点集，可表示成：=),(f E G _____________________________________________.7.设P 为Cantor 集，则=______________，=_______________.])1,0[(×P m ∫Ptgxdx8.设是[上的有限函数，则______________________________________________)(x f ]]b a ,=)(f V ba_____________________________________________________.9.设是[上的有限函数，若______________________________________________________ )(x F b a ,________________________________________________, 则称是)(x F []b a ,上的绝对连续函数.10.分解定理表明:上的任一有界变差函数都可以表示为____________________ Jordan ],[b a )(x f_________________________________________.11.根据定理，若是上的单增函数，则Lebesgue )(x f [b a ,])(x f ′在[]b a ,上___________________，且有____________________________________________.12.设在上)(x f ],[b a L 可积，则的一个不定积分可表示为_____________________________ )(x f_______________________.13.是上的绝对连续函数)(x F [b a ,]⇔___________________________________________________.14.写出一个连续但非有界变差函数的例子______________________________________________________________________________________________．15.写出一个使公式不成立的单增函数的例子_________________________________________L N −________________________________________________________．二、证明题1.设在Cantor 集上等于1，而在的长度为)(x f P P n31的余区间上等于,试证在上)(N n n ∈)(x f ]1,0[L 可积，并求.∫]1,0[)(dx x f 2.设在)(x f E 上非负L 可积，且,证明:∫=E dx x f 0)(0)(=x f 于..e a E .3.设,在∞<)(E m )(x f E 上L 可积，并记)(n f E E n ≥=，证明:.0)(lim =⋅∞→n n E m n 4.设，{是∞<)(E m })(x f n E 上有限的可测函数列，证明:..e a ⇔=+∫∞→0)(1)(lim dx x f x f E n n n 在E 上.0)(.⎯→⎯m n x f 5.设在[]上)(x f b a ,L 可积,证明:对0>∀ε,必[]b a ,∃上的连续函数)(x ϕ,使得εϕ<−∫dx x x f ba )()(.6.设在[中取出个可测子集,若]1,0n n E E E L ,,21[]1,0中任一点至少属于这个集中的个集,试证必有一个集的测度n q nq ≥. 7.设,在0)(>E m )(x f E 上L 可积，证明:若对E 上任意有界可测函数)(x ϕ,都有，则 于∫=E dx x x f 0)()(ϕ0)(=x f ..e a E .8.证明:时,0≥a ∫∞∞→=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+),(111lim a a n n n et n t dt .9.证明:∑∫∞=+=−1210)12(4111n n dx x n x x . 10.设于,0)(≥x f n f f e a n ⎯→⎯..E ,且(常数)，证明:在∫<E n K dx x f )()(x f E 上L 可积.11.在[-2,2；-2,2]上定义D ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(),(322y x y x y x xy y x f ,证明:这两个累次积分存在且相等，但在上非),(y x f D L 可积.12.设{}为[上有界变差函数列,,且)(x f n ]b a ,)()(x f x f n →∞<)(x f ,证明:若{的全变差数列有界，则是上有界变差函数.})(x f n )(x f ],[b a 13.设在上绝对连续函数，证明:必是上有界变差函数.)(x f ],[b a )(x f ],[b a 14.设在上绝对连续，且)(x f ],[b a ,0)(≤′x f ..e a 于，证明:是上单调递减函数.],[b a )(x f ],[b a。