《实变函数》复习题

《实变函数》复习题

黔南民族师范学院数学系

2006年7月

第一章 集 合 论 基 础

一、填空题

1.设⎭⎫

⎩⎨⎧−≤≤+−=i x i x A i 1111,，则U =_________________.

N i ∈∞

=1i i A 2.设⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧+<≤=i x x A i 110,，则_________________.

N i ∈=∞

=I 1i i A 3.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=+1212,012m A m ,⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+=m A m 211,02,L ,2,1=m ,则

=n n

A lim ____________，=n n

A lim ______________.

4.,,2,1),,0(1

,0(212L ===−m m A m

A m m 则

=n n

A lim ____________，

=n n

A lim _______________.

5.欲使{自然数全体}～{正奇数全体},只须令映照=)(n ϕ___________，为自然数. n

6.欲使～),0(+∞),(+∞−∞，只须令映照=)(x ϕ___________＿＿,x 为正实数.

7.设M ={代数数全体},则M =________＿__，=M R \1

___________________.

8.设{实数列全体}，则的势为___________. E ∞=E ∞

9.设[0,1]中无理数全体所成集为E ，则=E _________.

10.设集合A 、B 、满足：，若C A B C ⊂⊂A ～，则___________________. C

二、证明题

1.证明:)()()(C A B A C B A U I U I U =.

2.证明:.

)\(\)(B A B A I

I

αααα∈∈=U U 3.对任一给定的集列{}i E ，试将

U 表示成一个彼此互不相交集列的并集.

∞

=1

i i

E

4.证明：)\(lim lim \n n

n n

A S A S =.

5.证明：单调函数的不连续点最多只有可数多个.

6.设A 是1

R 上互不相交的开区间构成的集合，证明：A 至多是一个可数集． 7.证明:若集合M 的所有子集构成的集类为ℜ，则M >ℜ. 8.证明:设A 至多可数，B 是任一无限集，则B B A =U .

第二章 中 点 集

n R

一、填空题

1.设，则[]Q E I 1,0==′E ____________， =0

E ____________，=E ____________．

2.设⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=>=x y x y x E 1cos ,0),(，则=′E ___________________________________________．

3.设n

R E ⊂,试用邻域描述：是0P E 的孤立点

__________________________________________；

⇔

⇔∈E P 0______________________________________________.

4.设n

R E ⊂，若_______________，则称E 为闭集；若_____________，则称E 为自密集；若

_____________，则称E 为完备集．

5.无限个开集的交未必是开集，试写出一个例子:__________________________________________

__________________________________.

6.1

R 上任一非空开集可以表示成_______________________________________________________ G

______________________的并集．

7.根据闭集结构可断言：

1

R 上的完备集必是________________________________________________

_______________________的闭集.

8.设n

R E ⊂,称E 为稠密集是指_________________________________________________________

_________________________.

9.设n R E ⊂，

称E 为疏朗集是指_________________________________________________________

_________________________.

10.设n

R E ⊂，,在1

:R E f →)(x f E x ∈0连续⇔_______________________________________

_____________________________________.

11.设P 为Cantor 集，则=P ___________， =0

P ____________．

12.设P 是Cantor 集，Q 是有理数集，{}

N n n A ∈=,U ∞

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=

212,1

n n n

B , 则它们中的闭集有

_____________， 开集有 ____________，完备集有____________，稠密集有____________，疏朗集

有_____________.

二、证明题

1.证明:G 为开集；为闭集⇔G G =0

F ⇔F F =.