北师大数学必修二新素养应用案巩固提升：第一章 立体几何初步章末复习提升课 含解析

章末复习提升课

1．空间几何体的结构特征

(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．

棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．

棱台：是棱锥被平行于底面的平面所截而成的．

这三种几何体都是多面体．

(2)圆柱、圆锥、圆台、球分别是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体．在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面．

(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体．

2．斜二测画法的意义及建系原则

(1)斜二测画法中“斜”和“二测”

“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；

“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．

(2)斜二测画法中的建系原则

尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．

3．几何体的面积和体积的有关计算

柱体、锥体、台体和球体的面积和体积公式

4.线面位置关系

(1)线线关系

空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．

(2)线面关系

直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种． (3)面面关系

两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．

1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点．

2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．

3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．

4．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．

5．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．

6．易混侧面积与表面积的概念．

7．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”． 8．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件． 9．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件． 10．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．

11．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．

三视图和直观图

三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．这两种不同的表现形式能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构特征，进而研究几何体的有关性质．

画直观图时，通常利用斜二测画法，即“横长不变，纵长减半，平行位置不改变，九十度画一半”．

画三视图时，要认清几何体的基本结构，可以把垂直投影面的视线想象成平行光线，从正前方、正左方、正上方射向几何体，其可见的轮廓线(包括被遮挡但是可以通过想象透视到的轮廓线)就是所要画出的视图．主视图反映几何体的长和高，左视图反映几何体的宽和高，俯视图反映几何体的长和宽．

(2016·高考全国卷乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中

两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π

3

，则它的表面积是( )

A ．17π

B ．18π

C ．20π

D ．28π

[解析] 由三视图可得此几何体为一个球切割掉1

8后剩下的几何体，设球的半径为r ，故

78×43πr 3＝283π，所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋3

4

πr 2＝17π，选A. [答案] A

平行、垂直问题

(1)立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由公理4和平面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行，根据线线平行可以证明线面平行；二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可以证明线面平行；三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行．由面面平行可以得出线面平行和线线平行．

(2)立体几何中的垂直问题有三类：一是线线垂直，空间两直线垂直有相交垂直和异面垂直两种情形，判断的依据是两直线所成的角是直角，或者由线面垂直推出线线垂直；二是线面垂直，利用线面垂直的定义、判定定理、平面与平面垂直的性质来判定线面垂直，由线面垂直可以得出线线垂直等；三是面面垂直，利用直二面角和面面垂直的判定定理判定两个平面垂直，由面面垂直可以得出线面垂直和线线垂直．

(2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．

(1)证明MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积． [解]

(1)证明：由已知得AM ＝2

3

AD ＝2.

取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝1

2

BC ＝2.

又AD ∥BC ，故TN ═

∥AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT

平面P AB ，M N 平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .

(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为1

2P A .

取BC 的中点E ，连接AE ，由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝

AB 2－BE 2＝ 5.

由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝1

2×4×5＝2 5.

所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝45

3

. 折叠与展开问题

(1)把一个平面图形按某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这就是折叠问题．

解决折叠问题，要注意折叠前后的变量与不变量，折叠前后同一半平面内的数量关系与位置关系均不发生改变．

(2)常见的几何体中，除了球的表面无法展开在一个平面内，其余几何体的表面展开后，均为一个平面图形，由此产生的表面展开图将空间问题化归为平面问题，转化过程中一般采用“化曲为直”“化折为直”的方法．

已知在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝1

2

AD ＝1，CD ＝3，G ，E ，F 分别是AD ，

BC ，CD 的中点，且CG ＝2，沿直线CG 将△CDG 翻折成△CD ′G .

求证：(1)EF ∥平面AD ′B ；

(2)平面CD′G⊥平面AD′G.

[证明](1)因为E，F分别是BC，CD的中点，

即E，F分别是BC，CD′的中点，

所以EF为△D′BC的中位线．

所以EF∥D′B.

又因为EF?/平面AD′B，D′B平面AD′B，

所以EF∥平面AD′B.

(2)在梯形ABCD中，

因为G是AD的中点，BC＝1

2AD＝1，

则AD＝2，所以DG＝1.

又因为CD＝3，CG＝2，

所以在△DGC中，DG2＋GC2＝DC2，

所以DG⊥GC，

即在四棱锥D′-ABCG中，GC⊥D′G，GC⊥AG.

因为AG∩D′G＝G，

所以GC⊥平面AD′G.

又因为GC平面CD′G，

所以平面CD′G⊥平面AD′G.

1．下列命题中，正确的是()

A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥

C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体

D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱

解析：选D.认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A，C都不够准确；B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确．2．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是()

A．①②B．②③

C．①③D．①

解析：选B.从所给的几何体的主视图，左视图可知其俯视图不可能是正方形和圆．3．在△ABC中，∠BAC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，且P A＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的关系是________．

解析：如图所示，

取BC的中点O，连接AO，PO.

因为PB＝PC，

所以PO⊥BC.

又△ABC是以A为直角顶点的直角三角形，

所以OA＝OB，且P A＝PB，所以Rt△POB≌Rt△POA，

所以∠POA＝∠POB＝90°，即PO⊥OA，

而OA∩BC＝O，

所以PO⊥平面ABC，而PO平面PBC，

所以平面PBC⊥平面ABC.

答案：垂直

4．已知圆锥的底面周长为6π，体积为12π，则该圆锥的侧面积为________．

解析：设圆锥的底面半径为R，高为h，由已知得2πR＝6π，所以R＝3.

于是12π＝1

π·32·h，解得h＝4，

3

于是母线l＝42＋32＝5，

所以侧面积S＝π×3×5＝15π.

答案：15π

5.

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，且P A ＝AB，点E是PD的中点．求证：

(1)AC⊥PB；(2)PB∥平面AEC.

证明：(1)因为P A⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

所以P A⊥AC，

又因为AB⊥AC，而AB∩P A＝A，

所以AC⊥平面P AB，所以AC⊥PB.

(2)如图，连接BD，与AC相交于点O，连接EO.

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以点O是BD的中点．

又点E是PD的中点，所以EO∥PB.

因为PB?/平面AEC，EO平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

6．有一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．

解：如图，作出轴截面，因为轴截面是正三角形，根据切线性质，当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径为3r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝1

π(3r)2·3r－43πr3＝53πr3.

3

将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为3

3h，从而容器内水的体积为

V ′＝13π????33h 2h ＝19

πh 3.

由V ＝V ′得h ＝3

15r .