高中数学知识点：导数-教学文档
高中数学导数讲解..ppt
解:
(1)∵Dy=f(0+Dx)-f(0)=|Dx|,
∴ DDyx
=
|Dx| Dx
.
当 Dx<0 时,
Dy Dx
=-1,
lim
Dx0
Dy Dx
=-1;
当 Dx>0 时,
Dy Dx
=1,
lim
Dx0
Dy Dx
=1,
∴
lim
Dx0-
Dy Dx
Dlxim0+DDyx ,
从而
lim
Dx0
Dy Dx
不存在.
故函数 f(x)=|x| 在点 x=0 处不可导.
12[(1+Dx)2+1]Dx
1 2
(12+1)
=Dlxim0 -
(1+
1 2
Dx) =1,
Dlxim0+DDxy
=lim Dx0+
12(1+Dx+1)Dx
1 2
(12+1)
=lim Dx0+
1 2
Dx
Dx
=
1 2
,
∴
Dlxim0-
Dy Dx
Dlxim0+DDxy
,
从而
lim
Dx0
Dy Dx
不存在.
∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2.
整理得 2x02-3x0=0. 解得 x0=
这时
y0=-
3 8
,
k=-
1 4
.
3 2
(∵x00).
∴直线 l 的方程为
y=-
1 4
x,
切点坐标是 (
高中数学同步教学 第2章 §2 导数的概念 导数的几何意义
3.掌握利用导数求切线方程的方 3.通过导数实际意义的学习，培养
法．(难点)
了学生数学抽象的核心素养.
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自主预习 探新知
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1．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数
函数 y＝f(x)在 x0 点的 瞬时变化率 称为函数 y＝f(x)在 x0 点的导数，
通常用符号 f′(x0)表示，记作 f′(x0)＝xl1i→mx0
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1．若 f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则 x0 的值是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．3 3
C [∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3x20Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴ΔΔyx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝Δlixm→0[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20， 由 f′(x0)＝3，得 3x20＝3，∴x0＝±1．]
第二章 变化率与导数
§2 导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念
2.2 导数的几何意义
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学习目标
核心素养
1．理解导数的概念及导数的几何 1．通过导数几何意义的学习，培
意义．(重、难点)
养了学生直观想象的核心素养.
2．会求导数及理解导数的实际意 2．通过求函数的导数的学习，提
义．(重点)
升了学生数学运算的核心素养.
fxx11－ －fx0x0＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 ______Δ_x_______.
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的
_切__线__的__斜__率__．函数 y＝f(x)在 x0 处 切线的斜率反映了导数的几何意义．
【高中数学课件】导数及其应用ppt课件
比较极值与区间端点处函数值的大小。
欢迎指导
fn ' 1n 1 n 1 fn 'n
2对函 fnxx 数 nxan求导 :fn 'x 数 nn 1 x n x a n 1
f n 'n n n n 1 n a n 1 . 又 x a 当 0 时 ,fn 'x 0 .
当 x a 时 ,fnx xn x a n 是x 关 的于 增 . 函
【高中数学课件】导数及其应用ppt课件
一、导数的定义
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在
点x0处有增量Dx时，D y函数值有相应的增量Dy=f(x0+ Dx)- f(x0)
如果当Dx0 时，D x 的极限存在，这个极限就叫做函数 f(x)在 x=x0处的导数（或变化率） 记作 f(x0)或 y|xx0 即
若ｘ＜ｘ０时， f ' (x)＜０且, ｘ＞ ｘ０时， f ' (x)＞０ 则ｆ（ｘ）在ｘ０
处有极小值．
若ｘ＜ｘ０时，f ' (x) ＞０且, ｘ＞ ｘ０时，f ' (x) ＜０ 则ｆ（ｘ）在ｘ０处
有极大值．
显然在极值处函数的导数为０．
y
极大值
极大值
x0
x
0
极小值
极小值
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是__y____6_x_2___8_x_.
２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （ B ）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_(_0_,2_)_,单调递增区 间为_(_-_∞_,_0_) _, _(2_,_+_∞_)__。
高中数学《导数》讲义(全)
高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。
精选高中数学导数知识点归纳总结.docx
§14. 导 数知识要点导数的概念 导数的几何意义、 物理意义常见函数的导数导数导数的运算导数的运算法则 函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值1. 导数（导函数的简称）的定义：设 x 0 是函数 y f (x) 定义域的一点，如果自变量x 在 x 0 处有增量 x ，则函数值 y 也引起相应的增量yf (x 0x) f (x 0 ) ；比值y f ( x 0 x) f ( x 0 ) 称为函数 y f ( x) 在点xxx 0 到 x 0x 之间的平均变化率； 如果极限 limy f (x 0x) f ( x 0 ) 存在，则称函数 yf (x) 在点 x 0xlimxx 0x 0处 可 导 ， 并 把 这 个 极 限 叫 做 yf ( x) 在 x 0 处 的 导 数 ， 记 作f ' (x 0 ) 或 y'|x x ， 即f '(x 0 ) =yf (x 0x)f (x 0 )limlimx .x 0 xx 0注：①x 是增量，我们也称为“改变量 ”，因为 x 可正，可负，但不为零 .②以知函数 yf ( x) 定义域为A ， y f ' (x ) 的定义域为B ，则 A 与 B 关系为 AB .2. 函数 y f ( x) 在点 x 0 处连续与点 x 0 处可导的关系：⑴函数 y f (x) 在点 x 0 处连续是 y f ( x) 在点 x 0 处可导的必要不充分条件 .可以证明，如果y f ( x) 在点 x 0 处可导，那么 y f ( x) 点 x 0 处连续 .事实上，令 x x 0x ，则 xx 0 相当于 x 0 .于是 lim f ( x)lim f ( x 0 x)lim [ f (xx 0 ) f (x 0 ) f (x 0 )]xx 0x 0x 0lim [ f (x 0x) f ( x 0 )xf ( x 0 )]f (x 0x) f ( x 0 )lim f ( x 0 )xlimxlimx 0xx 0x 0如果 y f (x) 点 x 0 处连续，那么 y f ( x) 在点 x 0 处可导，是不成立的 .例： f (x)| x |在点 x 0 0 处连续， 但在点 x 0y | x | ，当0 处不可导， 因为x x 0 时，y1 ，故 lim y不存在 . x x 0 x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数 .②可导的偶函数函数其导函数为奇函数 .3. 导数的几何意义：f '( x 0 ) 0 f (x 0 )f (x 0 ). ⑵x ＞ 0 时，y1；当 x ＜x函数y f (x) 在点x0处的导数的几何意义就是曲线y f (x) 在点(x0 , f ( x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y f (x) 在点P ( x0 , f ( x)) 处的切线的斜率是 f ' (x 0 )，切线方程为y y0 f ' (x)( x x0 ).4.求导数的四则运算法则：(u v) 'u 'v 'y f1 ( x) f 2 ( x) ... f n ( x)y 'f1' ( x) f 2' (x) ... f n' ( x)(uv) 'vu 'v 'u(cv) ' c 'v cv'cv '（ c 为常数）''v ' u ( vu vu0 )v v 2注：① u, v 必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导 .例如：设 f ( x)2sin x 2 ，g( x)cos x2 ，则f ( x),g (x) 在x0 处均不可导，但它们和 f (x)g( x) x xsin x cos x 在x0 处均可导.5. 复合函数的求导法则： f x' (( x)) f ' (u)'(x)或y'x y 'u u 'x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数y f (x) 在某个区间内可导，如果 f ' ( x) ＞0，则y f (x) 为增函数；如果 f ' ( x) ＜0，则y f ( x)为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数 y f (x) 在区间I内恒有f' (x) =0，则y f (x) 为常数 .注：① f (x)0 是 f（ x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y 2 x 3在( , )上并不是都有 f ( x) 0，有一个点例外即 x=0 时 f（ x） = 0 ，同样 f (x) 0是 f（ x）递减的充分非必要条件 .②一般地，如果 f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么 f （ x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有 f (x) ＜ f ( x0 ) ，则 f ( x0 ) 是函数 f (x) 的极大值，极小值同理）当函数 f (x) 在点x 0处连续时，①如果在 x 0附近的左侧f' (x) ＞0，右侧 f' (x) ＜0，那么f (x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f' (x) ＜0，右侧 f' (x) ＞0，那么f (x0)是极小值.也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是 f ' ( x) =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同） .注①：若点x0是可导函数f (x) 的极值点，则f'(x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数y f ( x)x3，x0 使f' ( x)=0，但x0 不是极值点.②例如：函数y f ( x)| x |，在点x0 处不可导，但点x 0 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：I. C '0 （ C 为常数）(sin x) 'cos x(arcsin x) '121x(x n ) 'nx n 1（ n R ）(cos x) 'sin x(arccos x) '1x 21II. (ln x) '1(log a x) '1log a e(arctanx) '11 x x x2( e x ) ' e x(a x ) ' a x ln a( arc cot x) '11x2 III. 求导的常见方法：①常用结论： (ln | x |)'1.x②形如 y ( x a1 )( x a 2 )...( x a n ) 或 y( x a1 )( x a2 )...(x a n)两边同取自然对数，可转化求代数和形式.(x b1 )(x b2 )...(x b n )③无理函数或形如y x x这类函数，如y x x取自然对数之后可变形为ln y x ln x ，对两边求导可得y '1y 'y ln x y y 'x x ln x x x.ln x xy x导数知识点总结复习经典例题剖析考点一：求导公式。
数学知识点新人教A版高中数学(选修2-2)1.2《导数的计算》word教案4篇-总结
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表)（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年） 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+（2）y ＝xx --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝xx 4； （5）y ＝xxln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =- （1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习 1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则六．布置作业§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 一、预习与反馈（预习教材P 4~ P 6，找出疑惑之处）探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或 即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)。
(完整版)高中数学导数与函数知识点归纳总结,推荐文档
高中导数与函数知识点总结归纳一、基本概念 1. 导数的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x xx ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(000002 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;nn xnx-'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();xxe e '= ⑥()ln xxa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f xg x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf=(C 为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件新人教A版选修1_1
• (2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数
f（x0＋Δ x）－f（x0）
就 是 切 线 PT 的 斜 率 Δkx ， 即 k ＝
____________________＝ f′(x0)．
• 2．导函数的概念 f′(x)
• (1)定义：当x变化时，_____便是x的一个函数，
f（x＋Δ x）－f（x）
所以 2x30－3x20＋1＝(x0－1)2(2x0＋1)＝0， 解得 x0＝1 或 x0＝－12.(6 分) 第二步，求切点横坐标 故所求直线斜率为 k＝3x20－3＝0 或 k＝3x20－3＝－94， 于是 y－(－2)＝0·(x－1)或 y－(－2)＝－94(x－1)， 即 y＝－2 或 y＝－94x＋14.(10 分) 故过点 P(1，－2)的切线方程为 y第＝三－步2 ，或求y＝过－P的94x切＋线14.(方12程分)
• (1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解 析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的 位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
• (2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的 关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求 斜率，已知斜率也可以求切线，切点的坐标是 常设的未知量．
◎变式训练 • 3．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线 y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行， 求a的值．
即 f′(x0)＝3x20＋2ax0－9＝3x0＋a32－9－a32. 当 x0＝－a3时，f′(x0)取最小值－9－a32. ∵斜率最小的切线与 12x＋y＝6 平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a32＝－12. 解得 a＝±3.又 a<0，∴a＝－3.
短板补救案·核心素养培优
《高中数学导数讲解》课件
积分
导数是积分的基础，通过 求导可以推导出原函数的 表达式。
微分方程
导数在解决微分方程问题 中起到关键作用，如物理 中的动力学问题。
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பைடு நூலகம்
高中数学导数讲解
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的实际应用 • 导数的扩展知识
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处 的导数定义为$f'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$，其中$Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)$ 。导数表示函数在点$x_0$处的切线斜率。
01
02
03
起源
导数最初由牛顿和莱布尼 茨在17世纪分别独立发现 ，为微积分学奠定了基础 。
早期发展
18世纪，欧拉、拉格朗日 等数学家进一步发展了导 数理论，将其应用于函数 研究。
现代应用
随着数学的发展，导数在 物理、工程、经济等领域 得到广泛应用，成为解决 实际问题的重要工具。
导数的其他性质
导数的几何意义
详细描述
在物理中，导数具有实际意义。例如，物体运动的瞬时速度 可以由速度函数的导数表示，物质扩散的瞬时速度可以由扩 散函数的导数表示。导数可以描述物体或物质在极短时间内 速度或加速度的变化。
02
导数的计算
切线斜率与导数
切线斜率
导数描述了函数在某一点的切线斜率 ，即函数在该点的变化率。
(完整版)高中导数经典知识点及例题讲解
§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题自学引导1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为ΔyΔx＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则ΔyΔx＝________，表示函数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率.1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1答 案2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx名师讲解1.如何理解Δx ，Δy 的含义Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．2．求平均变化率的步骤求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.对平均变化率的认识函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在[0，π2]上的平均变化率为sin π2－sin0π2－0＝2π.在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0.典例剖析题型一求函数的平均变化率例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求t＝0到t＝1的平均速度．分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商ΔSΔt就可以得到平均速度．解(1)由于v＝St＝3t－t2t＝3－t.∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1∴v＝ΔSΔt＝21＝2.∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx＝( )A．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2D．3－Δx 解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx.∴ΔyΔx＝－Δx2＋3ΔxΔx＝－Δx＋3答案D题型二平均变化率的快慢比较例2 求正弦函数y＝sin x在0到π6之间及π3到π2之间的平均变化率．并比较大小．分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．解设y＝sin x在0到π6之间的变化率为k1，则k 1＝sinπ6－sin0π6－0＝3π.y ＝sin x 在π3到π2之间的平均变化率为k 2，则k 2＝sin π2－sin π3π2－π3＝1－32π6＝32－3π.∵k 1－k 2＝3π－32－3π＝33－1π>0，∴k 1>k 2.答：函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为32－3π，且3π>32－3π.变式训练2 试比较余弦函数y ＝cos x 在0到π3之间和π3到π2之间的平均变化率的大小．解 设函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率是k 1，则k 1＝cos π3－cos0π3－0＝－32π.函数y ＝cos x 在π3到π2之间的平均变化率是k 2，则k 2＝cosπ2－cos π3π2－π3＝－3π.∵k 1－k 2＝－32π－(－3π)＝32π>0，∴k 1>k 2.∴函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率大于在π3到π2之间的平均变化率．题型三 平均变化率的应用例3 已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．分析 由物体运动方程―→写出位移变化量Δs ―→ΔsΔt解 物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量 Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt )2＋4Δt .物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝(Δt )2＋4ΔtΔt＝4＋Δt .变式训练3 一质点作匀速直线运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝t 2＋1，该质点在[2,2＋Δt ](Δt >0)上的平均速度不大于5，求Δt 的取值范围．解 质点在[2,2＋Δt ]上的平均速度为v －＝s 2＋Δt －s 2Δt＝[2＋Δt 2＋1]－22＋1Δt＝4Δt ＋Δt2Δt＝4＋Δt .又v －≤5，∴4＋Δt ≤5. ∴Δt ≤1，又Δt >0，∴Δt 的取值范围为(0,1]. § 1.1 函数的单调性与极值 1.1.2 导数的概念自学引导1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．3．掌握函数f (x )在某一点x 0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x 0处的导数.课前热身1.瞬时速度．设物体的运动方程为S ＝S (t )，如果一个物体在时刻t 0时位于S (t 0)，在时刻t 0＋Δt 这段时间内，物体的位置增量是ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)．那么位置增量ΔS 与时间增量Δt 的比，就是这段时间内物体的________，即v ＝S t 0＋Δt －S t 0Δt.当这段时间很短，即Δt 很小时，这个平均速度就接近时刻t 0的速度．Δt 越小，v 就越接近于时刻t 0的速度，当Δt →0时，这个平均速度的极限v ＝lim Δt →0ΔS Δt ＝lim Δt →0S t 0＋Δt －S t 0Δt就是物体在时刻t 0的速度即为________． 2．导数的概念．设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近0时，比值Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，这个常数A 就是函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0.用符号语言表达为f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝________1.平均速度 瞬时速度 答 案2.lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx名师讲解1.求瞬时速度的步骤(1)求位移增量ΔS ＝S (t ＋Δt )－S (t )；(2)求平均速度v ＝ΔS Δt；(3)求极限limΔt→0ΔSΔt＝limΔt→0S t ＋Δt－S tΔt；(4)若极限存在，则瞬时速度v＝limΔt→0ΔS Δt.2．导数还可以如下定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx＝limΔx→0ΔyΔx.我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．记作f′(x0)或y′|x＝x，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx.3．对导数概念的理解(1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实际意义．(2)某点导数即为函数在这点的变化率．某点导数概念包含着两层含义：①limΔx→0ΔyΔx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值；②limΔx→0ΔyΔx不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导．(3)Δx称为自变量x的增量，Δx可取正值也可取负值，但不可以为0.(4)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x)＝limx→x0f x－f xx－x与定义中的f′(x0)＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx意义相同．4．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率：ΔyΔx＝f x＋Δx－f x0Δx；(3)取极限，得导数：f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.典例剖析题型一物体运动的瞬时速度例1 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．分析先求出Δs，再用定义求ΔsΔt，当Δt→0时的极限值．解∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t＋Δt)2－(v0t0－12gt2)＝(v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，∴ΔsΔt＝v0－gt0－12g·Δt.∴当Δt→0时，ΔsΔt→v0－gt0.故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.规律技巧瞬时速度v是平均速度v在Δt→0时的极限.因此，v＝limΔt→0v＝limΔt→0ΔsΔt.变式训练1 一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝5t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度。
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高中数学知识点：导数
导数是微积分中的重要基础概念。
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
（一）导数第一定义
设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量x 在 x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量△y = f(x0 + △x) - f(x0) ；如果△y 与△x 之比当△x0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f(x0) ,即导数第一定义
（二）导数第二定义
设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量x 在 x0 处有变化△x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时，相应地函数变化△y = f(x) - f(x0) ；如果△y 与△x 之比当△x0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f(x0) ,即导数第二定义
（三）导函数与导数
如果函数 y = f(x) 在开区间 I 内每一点都可导，就称函数f(x)在区间 I 内可导。
这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数，记作 y, f(x), dy/dx, df(x)/dx。
导函数简称导数。
（四）单调性及其应用
1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤
（1）求f（x）
（2）确定f（x）在（a，b）内符号（3）若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤
（1）求f（x）
（2）f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间
学习了导数基础知识点，接下来可以学习高二数学中涉及到的导数应用的部分。