8.2 向量的数量积(1)
8第八章空间解析几何答案
8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。
4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。
高中数学必修二8.1~8.2向量的线性运算与数量积-知识点
1 高中数学必修二8.1~8.2向量的线性运算与数量积-知识点 1、①单位向量： 模为1 的向量；②零向量： 模为0 的向量，规定零向量的方向可以是 任意 的；③相等向量：模 相等 且方向 相同 的向量；④相反向量：模 相等 且方向 相反 的向量； 2、平行向量：所在直线 平行或重合 的两个向量平行，方向 相同或相反 。
规定零向量 平行于 任意向量。
“A 、B 、C 三点共线”的充要条件：AC AB ∥。
3、向量加法的三角形法则：已知a 与b 不平行 ，将b 与a 首尾相接 ，那么以 a 的起点 为起点，b 的终点 为终点的向量，就是和向量a +b 。
4、向量加法的多边形法则，就是连续多次 使用三角形 法则。
比如：21A A +32A A +43A A +54A A +...+n 1-n A A =n 1A A 。
5、向量加法的平行四边形法则：已知a 与b 不平行 ，让a 与b 共起点 ，以这两个向量的邻边 作平行四边 形，则对角线向量 就是和向量a +b 。
6、向量减法的三角形法则：已知a 与b 不平行 ，让b 与a共起点 ，则差向量a -b 以 减向量b 的终点 为起点，指向被减向量a 的终点 。
7、向量的加法满足①交换律：a +b =b +a ；②结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ）。
8、减去一个向量，等于加上 这个向量的相反向量 。
a -b =a +（-b ）。
9、实数与向量的乘法满足下列运算律：①λ(μa ) = (λμ)a ；②(λ+μ)a = λa +μa ；③λ(a +b ) = λa +λb 。
10、0a 表示与a 同方向 的 单位 向量，a = a 0a ，0a = 0a a。
2 11、向量的加法、减法以及实数与向量的乘法，统称为向量的线性运算。
12、三角形ABC 中，若AD 为中线，则AD =21AB +21AC 。
若动点P 在AD 所在直线上，则AP = λ（AB +AC ）。
向量数量积的定义
对于任意两个非零向量$vec{a}$和$vec{b}$，有$cos{langlevec{a}, vec{b}rangle} = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| |vec{b}|}$。
证明
向量数量积的坐标表示的证明
利用向量的坐标表示和点积的定义，通过代数运算 证明。
向量数量积与模的关系的证明
利用向量的模的定义和点积的性质，通过代数运算 证明。
向量数量积与角度的关系的证明
利用向量的点积的性质和三角函数的性质，通过代 数运算证明。
04
向量数量积的应用
在物理中的应用
描述速度和加速度
向量数量积可以用来描述物理中 的速度和加速度，通过计算速度 和加速度的向量数量积，可以得 出物体运动的方向和速度变化的 快慢。
02
向量数量积的计算
计算公式
定义
两个向量$vec{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和$vec{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)$的数量积定义为$vec{A} cdot vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
几何意义
向量长度和夹角
向量的数量积可以用来计算向量的长度和夹角，从而确定两个向量 的相似性和关系。
向量投影
在数学中，向量的投影是一个重要的概念，可以通过向量的数量积 来计算，从而确定一个向量在另一个向量上的投影。
在其他领域的应用
计算机图形学
在计算机图形学中，向量的数量积可以用来描述二维图形和三维模型的方向和旋转，从而实现图形的旋转、缩 放和平移等变换。
定理
向量数量积的坐标表示
向量的数量积 第2课时 向量的向量积 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册(共17张PPT)
【解析】 由于 a2≥0，b2≥0，所以，若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0， 故①正确；若 a＋b＝0，则 a＝－b，又 a，b，c 是三个非零向量， 所以 a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b 共线⇔a·b＝±|a||b|， 所以③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b；对于⑤，应该是 a·a·a＝|a|2a； ⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；当 a 与 b 的夹角为 0 时，也有 a·b>0， 因此⑦错；
小结：
数量积运算律
(1)a b b a（交换律） (2)(a) b (a b) (a) b（数乘结合律）
(3)(a b) c a c b c （分配律）
所以
(a b) c a c b c
思考：向量的数量积满足结合律 ( a b ) c a ( b c ) 吗？
说明： (a b) c 表示一个与 c 共线的向量 ， 而 a (b c) 表示一个与a 共线的向量 但 c 与 a 不一定共线，
(a b) c a (b c)
∴ 向量数量积不满足结合律 .
例1.对任意a,b R ,恒有 (a b)2 a2 2ab b2，(a b)(a b) a2面类似的结论？
(1)(a
2(a
b)2 b)
a
2
(a b)
2a
a
b b 2 2 b2
解：（1）(a b)2 (a b)(a b) a a a b b a b b
即a2
k
2
2
b
0
因为
2
a
32
2
9, b
42
16
所以 9 16k 2 0
所以,当 k 3时, 4
向量的数量积
数量积可以用于计算向量的长度或模长，即$|vec{A}| = sqrt{vec{A} cdot vec{A}}$。
向量投影
数量积可以用于计算一个向量在另一个向量上的投影长度，即 $text{Proj}_{vec{B}} (vec{A}) = frac{vec{A} cdot vec{B}}{|vec{B}|}$。
定义
向量可以用箭头表示，箭 头的长度代表模长，箭头 的指向代表方向。
表示方法
在平面上，向量可以用有 方向的线段表示；在空间 中，向量可以用有方向的 箭头表示。
注意事项
向量表示法直观易懂，但 无法直接计算数量积，需 要转换为代数法或几何法 进行计算。
03
CHAPTER
向量数量积的坐标表示
坐标表示
定义
积和向量的模。
05
CHAPTER
向量数量积的物理意义
力的合成与分解
力的合成
向量数量积可以用于表示力的合成效果，当两个力同时作用于一个物体时，其效果可以由这两个力的 向量数量积来描述。
力的分解
在物理中，一个力可以分解为两个或多个分力，这些分力的大小和方向可以通过向量数量积来计算。
动量与冲量
动量
物体的动量定义为质量与速度的向量数 量积，即质量乘以速度的大小和方向。
THANKS
谢谢
标量积
数量积的结果是一个标量，而不是向量。
无方向性
数量积不具有方向性，即$vec{A} cdot vec{B} = vec{B} cdot vec{A}$。
性质
交换律
数量积满足交换律，即$vec{A} cdot vec{B} = vec{B} cdot vec{A}$。
分配律
高中数学必修二课件：向量的数量积(第1课时)
题型三 投影向量
例3 已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求： (1)向量a在向量b上的投影向量； (2)向量b在向量a上的投影向量．
【解析】 (1)∵|b|＝1，∴b为单位向量． ∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·b＝3×－12b＝－32b. (2)∵|a|＝3，∴|aa|＝13a， ∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 120°|aa|＝1·－12·13a＝－16a.
解析 如图，连接AD.
因为△ABC为等腰三角形，且D为BC的中点， 所以AD⊥BC. 又AB＝2，∠ABC＝30°， 所以CD＝BD＝AB·cos 30°＝ 3. 由图可知B→A与C→D的夹角为∠ABC的补角， 所以B→A与C→D的夹角为150°.
(1)向量B→A在向量C→D上的投影向量为|B→A|cos 150°|CC→ →DD|＝2×cos 150°×C→D3 ＝－C→D.
【思路】 根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角θ.
【解析】 ①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°. ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝2×5×1＝10. 若a与b反向，则它们的夹角为180°. ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当a⊥b时，它们的夹角为90°. ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝2×5×0＝0. ③当a与b的夹角为30°时， a·b＝|a||b|cos 30°＝2×5× 23＝5 3.
4．若a·b＝0，则a⊥b对吗？ 答：不对，也可能a＝0或b＝0.
5．在等边△ABC中，向量A→B与向量B→C夹角为π3 ，对吗？ 答：不对，向量A→B与向量B→C夹角为2π 3 .
课时学案
题型一 数量积的运算 例1 (1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°， 分别求a·b.
平面向量的数量积及运算律(一)教案
●（一）、新课引入——为什么定义平面向量数量积 在物理学中学过功的概念，一个物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所作的功W=FScos θ。
思考：W 是什么量？F 和S 是什么量？和向量有什么关系？W 是标量（实数），F 和S 是矢量（向量）这个式子建立了实数和向量之间的关系，是实数和向量互相转化的桥梁。
我们学过的向量运算a b,a b,a +-λ结果都是向量。
因此定义一个新的运算，不仅是物理学的需要，也是数学建立起实数和向量两个不同领域关系的需要。
●（二）、新课学习★新课学习阶梯一 ——怎么定义平面向量数量积 思考：模仿物理学功的定义：a b a b cos ⋅=θ思考：由数学中对称的思想，有余弦出没的地方就少不了正弦的陪伴，可否定义 a *b a b sin =θ，有什么几何意义？引导学生阅读课本P118，找出数学定义的特点：针对两个非零向量定义，规定零向量与任意向量的数量积为0。
1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a 与b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角（右图的夹角分别是什么） 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0 思考：功怎么用数量积表示：F S ⋅数学的定义从实践中来，又回到实践指导实践。
★新课学习阶梯二 ——怎么全方位认识这个定义学习数学两手都要硬，一手抓代数、一手抓几何，渗透数形结合的思想方法，而向量恰好是用量化的方法研究几何问题的最佳工具。
1几何意义：“投影”的概念：作图A BO ab θ AB O a b θ定义：|b |cos θ 叫做向量b 在a 方向上的投影思考：投影是否是长度？投影是否是向量？投影是否是实数？投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积2．代数性质（两个向量的数量积的性质）：（1）两个非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔ a ⋅b= 0（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（2）两个非零向量a 与b ，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |（此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）；（3）cos θ =||||a b a b ⋅（此性质可以解决向量的夹角问题）； （4）a ⋅a = |a |2，||a a a =⋅，a ba b cos ⋅=θ（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）；（5）|a ⋅b | ≤ |a ||b |（此性质要注意和绝对值的性质区别，可以解决不等式的有关问题）；3．任何一种运算都满足一定的运算律，以方便运算，数量积满足哪些算律？ 实数的运算律向量数量积运算律 （交换律） ab=baa b?b a ⋅⋅ √ （结合律）(ab)c=a(bc)(a b)c?a (b c)⋅⋅⋅⋅ × （分配律）a(b+c)=ab+aca (b c)?a b ac ⋅+⋅+⋅ √ (a)b?(a b)?a (b)λ⋅λ⋅⋅λ √思考：运用对比联想的思想方法猜测向量数量积保留了实数哪些运算律，变异了哪些运算律？课下对成立的运算律给出证明，对不成立的运算律举出反例。
高中数学(人教B版)教材《向量的数量积》完美课件1
向量的数量积满足模的性质，即 $|vec{a}| = sqrt{vec{a} cdot vec{a}}$。
03
CATALOGUE
向量的数量积的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
通过向量的数量积，可以计算出 合力的大小和方向，也可以计算
出分力的大小和方向。
速度和加速度
在物理中，速度和加速度都是向量 ，通过向量的数量积可以计算出物 体在某段时间内的位移和速度变化 。
01
分配律是数量积的一个基本性质，可以用来简化计算。
结合几何意义理解
02
通过结合向量的几何意义，可以更直观地理解数量积的计算过
程。
掌握特殊情况的处理方法
03
对于一些特殊情况，如两个向量垂直或平行，需要掌握相应的
处理方法。
易错点解析
理解概念不准确
对于数量积的概念理解不准确，导致在计算中出 现错误。
运算错误
性质
01
02
总结词：向量的数量积 的性质
详细描述
03
04
05
1. 向量的数量积满足交 换律，即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。
2. 向量的数量积满足分 配律，即$(mathbf{A} + mathbf{B}) cdot mathbf{C} = mathbf{A} cdot mathbf{C} + mathbf{B} cdot mathbf{C}$。
向量与自身的数量积为该向量的模的 平方，即$vec{a} cdot vec{a} = |vec{a}|^2$。
运算性质
向量的数量积满足非负性，即 $vec{a} cdot vec{b} geq 0$， 当且仅当$vec{a}$与$vec{b}$同
高中数学平面向量知识及注意事项
高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。
5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。
向量的数量积
向量的数量积【知识概要】1. 向量的夹角对于两个非零向量,a b ，如果以O 为起点，作,0OA a B b ==，则射线OA 、0B 的夹角θ称为向量,a b 的夹角.注：（1）当θ＝０时，a 与b 同向；（2）当θ＝π时，a 与b 反向；（3）当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a b ⊥；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒.2. 向量的数量积定义：如果两个非零向量a ，b 的夹角为θ(0)θπ≤≤，那么我们把cos a b θ⋅叫做向量a 与向量b 的数量积（或内积），记作a b ⋅即a b ⋅=cos a b θ⋅.注：（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定； （2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替； （3）“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.（4）b a ⋅的几何意义：b a ⋅等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积.（5）数量积的运算性质（1）20a a a ⋅=≥，当且仅当0a a ⋅=时，0a = （2）a b b a ⋅=⋅（3）()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ （4）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅注：① 结合律不成立：()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅；② 消去律不成立c a b a ⋅=⋅不能得到b c =；③ b a ⋅=0不能得到a =0或b =0；④ 22a a =在向量的运算中有广泛的应用，予以重视.（6） 向量的数量积的坐标表示方法设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a⋅2121y y x x +=，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，a 与b 夹角为θ，则121222221122cos .x x y y a b a bx y x y θ+⋅==⋅+⋅+（7）向量垂直的充要条件设11(,)0a x y =≠，22(,)0b x y =≠，则0a b a b ⊥⇔⋅=，或02121=+y y x x .例1 已知,,a b c 是三个非零向量，下列命题中哪些是真命题？（1）//;a b a b a b ⋅=⋅⇔ （2）,;a b a b a b ⇔⋅=-反向 （3）;a b a b a b ⊥⇔+=- （4）.a b a c b c =⇔⋅=⋅ 解：（1）（2）（3）例2 下列各式中正确的是（ C ）(A) 00;a ⋅= (B) 00;a ⋅= (C) 00;a ⋅= (D) 00a ⋅=. 例3 已知向量a 与b 夹角为120θ=，且4,2a b ==，求：1）(2)();a b a b -⋅+ 2）34.a b - 解：1) 12 2) 419例4 已知(2,1),(3,4),1,9,a b a c b c =-=-⋅=-⋅=求c . 解：(1,3)c =--.例5 已知3,2,a b ==a 与b 的夹角为3π，35c a b =+，3d ma b =-.当m 为何值时，c 与d 相互垂直？解：29.14m =例6 在边长为1的等边三角形ABC 中，若,,,BC a CA b AB c ===求.a b b c c a ⋅+⋅+⋅ 解：注意夹角，结果为32-. 例7 已知向量3a b +与433a b -垂直，且向量23a b +与3a b -垂直，0,0a b ≠≠，求a 与b 的夹角θ.解：6arccos 6θ=.1. 已知a =1, b =2,且a b -与a 垂直,则a 与b 的夹角是 ( )A. 60°B. 30°C. 135°D. 45°答案：D ∵a ·(a -b )=a 2-a ·b =0,∴a ·b =1=1·2cos θ,∴cos θ=21.2. 已知a =2, b =1, a 与b 之间的夹角为3π,则向量4m a b =-的模为 ( ) A. 2 B. 23 C. 6 D. 12答案：B |m |=2m =323cos 1620cos 128162816222=πθ-=θ⨯⨯-+=⋅-+b a b a3. a 与b 是两个非零向量, 222()a b a b +=+是a b ⊥的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件答案：C 展开得:a 2+b 2+2a ·b =a 2+b 2⇔a ·b =0. 4. 若a =(-4,3), b =(5,6),则234a a b -⋅等于 ( ) A.23 B.57 C.63 D.83 答案：D 原式=3(42+32)-4·(-20+18)=83.5. 已知a =(λ,2), b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 ( )A.λ>310 B.λ≥310 C.λ<310 D.λ≤310 答案：A ∵a ·b =10-3λ,|a |=24λ+,|b |=34,∴由cos α=2434310λ+⋅λ-<0得λ>310. 6. 已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于 ( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛53,54 B ⎪⎭⎫ ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53 C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 答案：D 设b =(x ,y ),则x 2+y 2=1且4x +3y =0解方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==5453y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=5453y x .7. 已知a =(2,3), b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为 ( )A.55 B.55- C.565 D.1313答案：C ∵a ·b =2×(-4)+3×7=13,|a |=13,|b|=65,∴13=6513⨯·cos θ,∴|a |·cos θ=5656513=. 8. 已知向量a 与b 的夹角为3π,2,1,a b ==则a b a b +⋅-= .答案：由已知条件得:a ·b =1,故原式=21)214()214()()(22=-+⋅++=-⋅+b a b a9. 已知a b ⊥，c 与a 、b 的夹角均为60°,且1,2,3,a b c === 则2(2)a b c +-= .答案：由条件得:c ·a =3×1×cos60°=23,c ·b =3×2·cos60°=3. ⇒原式=a 2+4b 2+c 2+2a ·c +4a ·b -4b ·c =1+16+9+3-12=17.10. 已知a =(1,2), b =(1,1), c =b -k a ,若c ⊥a ,则c = . 答案：∵c =(1-k ,1-2k ),∴由c ·a =0得1·(1-k )+2(1-2k )=0得k =53⇒c =⎪⎭⎫ ⎝⎛-51,52.11. 已知点A (1,0),B (3,1),C (2,0),且a =BC ,b =CA ,则a 与b 的夹角为 .答案：a =(-1,-1),b =(-1,0)⇒|a |=2,|b |=1,由a ·b =2cos θ得:(-1)·(-1)+(-1)·0=2cos θ⇒cos θ=22⇒θ=45°.12. 在△ABC 中,AB =(2,3),AC =(1,k ),且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值.解： ①当∠A =90°时,因为AB ·AC =0, ∴2×1+3·k =0,∴k =-32. ②当∠B =90°时,BC =AC -AB =(1-2,k -3)=(-1,k -3) ∵AB ·BC =0,∴2×(-1)+3×(k -3)=0⇒k =311. ③当∠C =90°时,∵AC ·BC =0,∴-1+k ·(k -3)=0,k 2-3k -1=0⇒k =233±. ∴k 的取值为:-32,311或233±.13. 已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2） （1）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标； （2）若|b |=,25且b a 2+与b a -2垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：（1）设),(y x c =，由a c //和52||=c 可得：⎩⎨⎧2002122=+=⋅-⋅y x x y ∴ ⎩⎨⎧42==y x 或 ⎩⎨⎧42-=-=y x ∴)4,2(=c ，或)4,2(--=c（2） ),2()2(b a b a -⊥+ 0)2()2(=-⋅+∴b a b a 即222320,a a b b +⋅-=222||32||0a a b b ∴+⋅-= ∴ 0452352=⨯-⋅+⨯b a ， 所以25-=⋅b a∴ ,1||||c o s -=⋅⋅=b a ba θ ∵ ],0[πθ∈ ， ∴ πθ=.14. 平面内给定三个向量：)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a 。
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8.2 向量的数量积（1）
一、填空题
1．两个向量的夹角的范围为_______________．若a 与b 的夹角为θ，则c
o s b θ 叫做向量b 在向量a 方向上的______________，它是一个_____________（选填“向量”或“标量”） ．
2．已知2a = ，12b = ，a 与b 的夹角为60 ，则a b ⋅= _____________． 3．若6AB AC == ，18AB AC ⋅= ，则ABC △的形状是__________________．
4．如果a 、b 是两个非零向量，那么“()222a b a b +=+ ”是“a b ⊥ ”的_______________条件．
5．等边三角形ABC 的边长为2，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅= _____________．
二、选择题
6．已知3b = ，如果a 在b 的方向上的投影是32
，那么a b ⋅ 为 （ ） （A ）3 （B ）92 （C ）2 （D ）12 7．若非零向量a 、b 满足a b a b +=- ，则 （ ）
（A ）a ∥b
（B ）a b ⊥ （C ）a b = （D ）0a b +=
8．若a ，b ，c 是三个任意向量，则下列推理正确的是 （ ）
（A ）对实数a ，b ，c ，有()()ab c a bc =，所以类比推出()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ （B ）对实数a ，b ，当0a ≠，0ab =时，有0b =，所以类比推出0a ≠ ，0a b ⋅= 时，有0b =
（C ）对实数a ，b ，c ，当ac bc =，0c ≠时，有a b =，所以类比推出a c b c ⋅=⋅ ，0c ≠ 时，有
a b =
（D ）对实数a ，b ，当()2222a b a ab b -=-+，在向量运算中，类比推出()2222a b a a b b
-=-⋅+ 三、解答题
9．已知2a = ，3b = ，a b -=
求：（1）a 与b 的夹角；（2）向量a 在b 的方向上的投影．
10．已知2a = ，b = a 与b 的夹角为135 ，求2a b + 的值．
11．已知4a = ，3b = ，()()
23261a b a b -⋅+= ，求a 与b 的夹角θ．
12．已知0a b c ++= ，且3a = ，6b = ，5c = ，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅ 的值．。