高中数学 第三章 推理与证明 3.1 归纳与类比 3.1.2 类比推理教案 北师大选修12

3.1.2类比推理学习目标1．理解类比推理的意义；了解类比推理的特点；2．掌握运用类比推理的一般步骤。

会进行简单的类比推理。

3．了解归纳推理与类比推理的异同；4．理解合情推理的含义，了解所得结果不一定正确；5．了解合情推理在科学实验和创造中的价值，增强在数学学习中自觉运用合情推理的意识。

提高归纳、类比联想的能力。

重难点剖析重点：掌握类比推理的特点与步骤；难点：在类比推理的运用中发现两类对象间相似性质潜在的关联性；学习过程一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．数学活动我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。

(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。

问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想，即例3如图，已知点O 是ABC ∆内任意一点，连结,,,CO BO AO 并延长交对边于111,,C B A ，则1111111=++CC OC BB OB AA OA （Ⅰ）类比猜想，对于空间四面体BCD V -，存在什么类似的结论 （Ⅱ）？并用证明（Ⅰ）时类似的方法给出证明。

分析：平面中的三角形可与空间的四面体进行类比，三角形内一点对应于四面体内一点，三角形的三个顶点类比四面体的四个顶点，三角形的三边类比四面体的四个面，于是可类比得到相应的结论（Ⅱ）；而证明，（Ⅰ）可用面积法，那么证明（Ⅱ）可类比使用体积法。

注意：本题不仅用类比得到一个新的性质，而且证明方法上也运用了类比的方法。

变式练习1若三角形内切圆半径为r ，三边长为c b a ,,，则三角形的面积)(21c b a r S ++=；根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为4321,,,S S S S ，则四面体的体积=V （试证明这两个结论）。

例4在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式：=+++n a a a 21n a a a -+++1921 ),19(*∈<N n n 。

类比上述性质，相应地，在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式 成立。

分析：等差数列中“与首末两项等距的两项和相等”，等比数列中“与首末两项等距的两项积相等”，由此联想到等差数列的两项和可与等比数列的两项积类比。

变式练习2由三角形的边的不等关系容易得到不等式：||||||||||b a b a b a-≥±≥+类比上述不等式，对于数b a ,有类似的不等式吗？若有写出来并对真假作出判断。

例5 我们知道，“过圆心为O 的圆外一点P 作它的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，则∠POA=∠POB。

”这个性质可以推广到所有圆锥曲线，请写出其中一个： 。

点评：本题是平面几何中圆的性质与圆锥曲线性质的类比猜想，直觉思维与合情推理是科学结论获得的有效手段。

解题的突破点在于弄清：过圆心为O 的圆外一点P 作它的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，则∠POA=∠POB 的含义。

学后反思1．类比推理的特点① 类比是从特殊到特殊的推理，是根据两类不同对象已具有的某些相似性质，而联想到它们在其他方面可能也有相似的性质，从而由一类对象的已知的某项性质，猜测出另一类对象也可能有此项相应的性质而得到一个明确的结论，类比结论有明显的猜想和创新的特性。

所得的结论超越了前提所包容的范围；② 类比所得的结论超越了前提所包容的范围，结论不一定真。

③ 类比的前提是两类对象之间有可比性，所谓可比性是指：它们之间有可以清楚定义的某些共同特征。

而且两类对象之间的相似性质越多，类比所得的性质的可靠性越大；2．类比推理的一般步骤① 找出与自己所研究的对象具有可比性的一类对象（它们的相似性质越多越好）； ② 根据比较类对象的某项已知性质，猜测你所研究的对象也可能有类似的性质，从而得出一个相应的明确的结论（命题）；③ 对所提出的命题进行检验。

3．类比推理的结论未必真，欲知真假需证明。

例 在平面上*∈∀N n （)3≥n 都有正n 边形，而在空间对*∈∀N n （)4≥n 不是都有正n 面体。

我们知道正多面体只有五种。

4．类比推理是我们探求数学问题的一种重要方法和途径：如：平面上的直线可以和空间的平面进行类比；向量与数可以类比；平面图形的面积与空间几何体的体积可以类比；等差数列与等比数列可以类比等等；课堂练习1．平面内平行于同一条直线的两条直线平行，类比可得，在空间有（ ） A ．平行于同一直线的两直线平行；B ．平行于同一直线的两平面平行； C ．平行于同一平面的两直线平行；D ．平行于同一平面的两平面平行。

2．将一张坐标纸折叠一次，使点)3,2(与点)2,3(重合，且点)2006,2005(与点),(n m 重合，则n m ,分别为（ ）A ．2005，2005；B ．2006，2006；C ．2005，2006；D ．2006，2005。

3．在项数为n 2（*∈N n ），公差为d 的等差数列中，偶数项和与奇数项和的差等于nd 。

类比可得：在项数为n 2（*∈N n ），公比为q 的等比数列中， 。

4．在正三角形中，三角形内的任意一点到三边的距离和为定值，类比这个性质，在空间相应的结论是 ，此命题是 （填：真或假）。

5．由图（1）有面积关系：PA B PAB S PA PB S PA PB''∆∆''⋅=⋅，则由图（2）有体积关系：P A B C P ABC V V '''--＝ 。

6．设221)(+=xx f ，类比课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，求：)6()5()4()5(f f f f +++-+- 的值。

参考答案：例3：结论（Ⅱ）：点O 是空间四面体BCD V -内的任意一点，连结DO CO BO VO ,,,并延长分别交面VBC VBD VCD BCD ,,,于点1111D C B V ,,,，则有：111111111=+++DD OD CC OC BB OB VV OV证明：设点O V ,到平面BCD 的距离分别为1h h ,，则111VV OV h h V V BCDVBCD O ==， 同理：11BB OB V V BCD VVCDO=；11CC OC V V BCD V VBD O =；11DD OD V V BCD V VBC O =四式相加得：111111111=+++DD OD CC OC BB OB VV OV变式练习1：)(432131S S S S R V +++=例4：结论：),(+∈<=N n n b b b b b b n n 17172121 变式练习2：有！真。

例5解析：①过抛物线x 2=2py （p ＞0）外一点P 作抛物线的两条切线PA 、PB （A 、B 为切点），若F 为抛物线的焦点，则∠PFA=∠PFB。

②过椭圆22ax +22b y =1（a ＞b ＞0）外一点P 作椭圆的两条切线PA 、PB （A 、B 为切点）若F 为椭圆的一个焦点，则∠PFA=∠PFB。

③过双曲线22ax -22b y =1（a ＞0，b ＞0）外（两支之间）一点P （P 不在渐近线上）作双曲线的两条切线PA 、PB （A 、B 为切点），若F 为双曲线的一个焦点。

⑴若A 、B 在同一支，则∠PFA=∠PFB。

⑵若A 、B 在不同一支，则PF 平分∠AFP 的邻补角。

课堂练习 1、D ； 2、D ；3、偶数项与奇数项的商为nq ；4、空间四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值，真；5、PCPB PA PC PB PA V V ABCPC B A P ••••=1211216、因为=+=+=+=+)()()()()()()()(32435465f f f f f f f f 221021=+=+)()()()(f f f f ，所以运用倒序相加法可求得和为：23。