韦达定理及其应用辅导4
初中数学韦达定理教案
教案：初中数学韦达定理教学目标：1. 理解并掌握韦达定理的内容及应用。
2. 能够运用韦达定理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 韦达定理的内容及应用。
2. 运用韦达定理解题的方法和技巧。
教学难点：1. 理解并掌握韦达定理的推导过程。
2. 灵活运用韦达定理解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示韦达定理的推导过程和应用实例。
2. 准备一些练习题，用于巩固学生的理解和应用能力。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾一元二次方程的解法，例如因式分解、配方法等。
2. 提问：解一元二次方程时，我们能否直接得到方程的根与系数之间的关系呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍韦达定理的背景和意义。
2. 推导韦达定理的公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0），如果方程有两个实数根x1、x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
3. 解释韦达定理的推导过程，引导学生理解并掌握。
三、实例讲解（15分钟）1. 通过具体的例子，展示如何运用韦达定理解题。
2. 引导学生观察方程的根与系数之间的关系，并运用韦达定理进行解答。
四、练习与讨论（15分钟）1. 让学生独立完成一些练习题，巩固对韦达定理的理解和应用能力。
2. 鼓励学生相互讨论，共同解决问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调韦达定理的重要性和应用范围。
2. 提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够理解和掌握韦达定理的内容及应用。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，鼓励他们提出问题和解决问题。
同时，通过练习题的设置，检验学生对韦达定理的理解和应用能力。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导。
对于学习有困难的学生，可以适当给予个别辅导，帮助他们理解和掌握韦达定理。
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版](教学课件201909)
](https://img.taocdn.com/s3/m/7f8bd468bb68a98271fefadf.png)
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
以x1、x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
x2-（ x1+x2 )x+ x1·x2 =0.
2=0的两根的平方和是11，则
k=
.
7.若方程x2+2x+m=0的两根之差 为√6,则m= .
8.若2x2-ax+a-1可分解成两个相等
的一次因式,则a的取值
是
.
9.当m为何值时，方程 3x2+(m+1)x+m-4=0有两个负 数根.
10.*已知实数a、b满足2a2-a = 2b2-b=2,
求
a b
1.设x1、x2是方程2x
x2
x1
x1 x2
(2)( x1 2)( x2 2)
(3) x1 x2
(4).x1 x2
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
x2；则
①以 1 ， 1 为两根的方程
为
x。1 x2
②以- x1、-x2 为两根的方程
为
。
③以x12、x2 2为两根的方程
为
。
3.分解因式； ①-3m3+4m2+5m ②3(x+y)2-4x(x+y)-x2
4.如果2-√3是方程2x2-8x+c=0的一 个根，则方程的另一个根为 .
韦达定理应用复习 精品数学教学课件
3.某商场将进货单价为18元的商品, 按每件20元销售时,每日可销售100 件.若每件提价1元,日销售量就要减 少10件,那么把商品的售出价定为多 少时,才能使每天获得的利润最大? 每天的最大利润是多少?
4.某公司试销一种成本单价为500元 /件的新产品,规定试销时的销售单 价不低于成本单价,又不高于800元/ 件.经试销调查,发现销售y(件)与销 售单价x(元/件)可近似看作一次函 数y=kx+b的关系(如图) y ⑴根据图 400 象,求一 300 200 次函数的 100 x o 10 解析式; 607080
复习十二
二次函数应用(二)
复习目标:
通过复习进一步理解并掌握 二次函数有关性质,提高对二 次函数综合题的分析和解答 的能力.
1.某学生推铅球，铅球飞 行时的高度y(m)与水平距 离x(m)之间的函数关系式 3 1 2 1 是y=- 15 x + 30 x+ 2 ，则铅球 落地的水平距离为 m.
2 1.设二次函数y=ax +bx+c的图象
与y轴交于点C(如图),若
AC=20，BC=15， 0 ∠ACB=90 ,求这个 二次函数的解析式.
A
y C
o
Bx
2.抛物线y x px q与x轴
2
交于A, B两点, 交y轴负半 轴交于C点, ACB 90 ,
0
1 1 2 且 , 求P, q及 OA OB OC ABC的外接圆的面积。
5、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于A、B两点（A在原点左侧，B在 原点右侧），与y轴交于C点，若AB=4， OB＞OA，且OA、OB是方程x2+kx+3=0 的两根. 1)求A、B两点的坐标;2)若点O 3 2 到BC的的距离为 , 求此二次函 2 数的解析式. 3)若点P的横坐标为2，且⊿PAB的 外心为M（1，1），试判断点P是否在2) 中所求的二次函数图象上.
韦达定理的应用 讲义及练习
韦达定理的应用-教师版一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解. 二.例题精讲 破解规律例 1. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，设 ，证明：， ；分析:设直线 的方程为：，与抛物线联立得 ，利用韦达定理即可证得； 答案:见解析解析:设直线 的方程为：，联立方程化简得： ,易知 所以 ，而．点评:当直线恒过x 轴上的点时,可以考虑设直线方程为 这样联立方程消去x 比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆离心率为， ， 是椭圆的左、右焦点，以 为圆心， 为半径的圆和以 为圆心、 为半径的圆的交点在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程；(2)设椭圆 的下顶点为 ，直线与椭圆 交于两个不同的点 ，是否存在实数使得以 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）由题知,解得，故,椭圆的方程为（2）由题意知 ，联立方程，整理得 ，（化简可得），①设，则，,设 中点为 ，>0∆(),0n由，知，所以点 的坐标为，因为 ，所以 ， 又直线 斜率均存在，所以 . 于是解得，即，将代入①，满足 ．故存在 使得以 为邻边的平行四边形可以是菱形，值为．例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为， 与双曲线交于两点，求的面积.分析：第二问, 将直线方程代入曲线方程,化简后写出韦达定理,利用弦长公式求出弦长,点到直线距离求出高,进而得到面积.答案:（1）（2） 解析：（1）设所求双曲线方程为,代入点得，即 所以双曲线方程为，即. （2）.直线的方程为.设 联立得 满足 由弦长公式得点到直线的距离()2222:10,0x y C a b a b -=>>22162y x -=()2,3C C 12F F 、l 2F 34πl C ,A B 1F AB ∆2213y x -=1F AB S ∆=C 2262y x λ-=()2,3223262λ-=12λ=-C 221622y x -=-2213y x -=()()1220,20F F -，，AB ()2y x =--()()1122,,,A x y B x y ()222 13y x y x =---=⎧⎪⎨⎪⎩22470x x +-=0.∆>AB =6==()120F -，:20AB x y +-=d ==所以 点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ，且长轴长为8． Ⅰ 求椭圆的方程；Ⅱ 直线 与椭圆相交于 ， 两点，求弦长 ．解析: Ⅰ 椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ， 且长轴长为 故要求的椭圆的方程为Ⅱ 把直线 代入椭圆的方程化简可得 ，，，弦长例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点， （1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.分析:（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式,从而求出范围答案:（1）；（2） . 解析:（1）由已知 ，设 则直线 ，直线， 两式相乘得，化简得，即动点的轨迹的方程为；(2)过的直线若斜率不存在则或3,设直线斜率存在，111622F AB S AB d ∆=⋅=⋅⋅=22:14x C y -=1A 2A C ,P Q x 1A P 2A Q M M D ()0,2E D ,A B EA EB λ=λ2214x y +=1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()122,0,2,0A A-.,P t Q t ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭)1:2A P y x =+)2:2A Q y x =-()22144y x -=-2214xy +=M D 2214x y +=()0,2E 13λ=k ()()1122,,,A x y B x y， 则 由（2）（4）解得代入（3）式得 ， 化简得，由（1）解得代入上式右端得，,解得, 综上实数的取值范围是. 规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程； （2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.解析：（1）∵，∴ （2）设点横坐标为, 点横坐标为.平行线分线段成比例定理：联立： 得： ，()222221416120440y kx k x kx x y ⎧⎨⎩=+⇒+++=+-=()()()()122122120116214123144k x x k x x k x x λ∆≥+=-+=⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪⎪⎩12,x x ()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+0∆≥234k ≥()2311641λλ<≤+133λ<<1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()1,0C y x m =-+y P C ,Q R 2PQ PR=m 2,1,2,e a c b ====22:13y C x -=Q Q x P P x 2Q Px PQ PRx ==22{33y x m x y =-+-=222230x mx m +--=，则或（舍）与实际情况不符故三.课堂练习 强化技巧1.已知椭圆过，且离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）的斜率之和为2. 解析（Ⅰ）解：由已知得解之得，a =2，b，c =1.所以椭圆方程为:（Ⅱ）设，由(1)得，设直线的方程为与椭圆联立得 消去x 得， 所以①所以 ② 将①带入②,化简得:当直线斜率不存在时，A (1, －)，B (1, )，,P Qx =2QP x x ===21,1m m ==1m =-1m =2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭12e =C F l ,A B D ()4,3,DA DB 22143x y +=,DA DB 222221911,,42c a b c a b a +===+22143x y +=()()1122,,,Ax y B x y ()1,0F l ()1y k x =-221{ 43x y y kx k+==-()222223484120k x k x k +-+-=221212228412,4343k k x x x x k k -+==++121212121233333333=2444444DA DB y y kx k kx k k k k k k x x x x x x --------+=+=+++------()()()1212121281=233=2334+1+14+6x x k k k k x x x x x x ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭2DA DB k k +=l 32322DA DB k k +=所以的斜率之和为2.2. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。
初高中衔接-第4讲、韦达定理(教师版)
第4讲、韦达定理1、定理内容对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=。
注：①韦达定理研究的是一元二次方程根和方程系数之间的关系；②定理成立的条件：判别式240b ac ∆=-≥即方程有解的情况下（个数不要求）；③方程要先化为一般式；④1212,b cx x x x a a+=-=负号不要忘。
2、证明过程先由公式法求出一元二次方程一般式20(0)ax bx c a ++=≠的两根12,x x ，即42b x a-±=；再计算12x x +、12x x ⋅的值即可。
3、推论：（1）以根12,x x 的一元二次方程可表示为21212()0x x x x x x -++⋅=或0))((21=--x x x x 。
（2）若一元二次方程首项系数为1（20x px q ++=）的两根为12,x x ，则1212,x x p x x q +=-⋅=。
4、韦达定理的应用（1）判定根的符号①若120c x x a ⋅=>，120bx x a +=->则：两根同正，120,0x x >>；②若120c x x a ⋅=>，120bx x a +=-<则：两根同负，120,0x x <<；③若120c x x a ⋅=<，120bx x a +=->则：两根异号，12,x x 一正一负；①若120c x x a ⋅=<，120bx x a+=-<则：两根异号，12,x x 一正一负。
注意：求与方程的根有关代数式的值时，一般先将所求的形式化为两根之和积的形式再整体代入。
韦达定理应用(资料)
韦达定理的运用一.典范例题例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4,求另一个根.解：设另一个根为x1,则相加,得x例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1,x2,求作一个新的一元二次方程,使它的两根分离为和.解：∵又∴代入得,∴新方程为例3：断定是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？解：∵二次实数方程实根共轭,∴若是,则另一根为∴,.∴认为根的一元二次方程即为.例4：解方程组解：设∴.∴A=5. ∴xy=5又xy=6.∴解方程组∴可解得例5：已知Rt ABC中,两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m （m－2）=0的两根,且斜边长为13,求S的值解：无妨设斜边为C=13,两条直角边为a,b,则2.又a,b 为方程两根.∴ab=4m（m2）∴S但a,b为实数且∴∴∴m=5或6当m=6时,∴m=5∴S.例6：M为何值时,方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根①均为正数②均为负数③一个正数,一个负数④一根为零⑤互为倒数解：①∵∴m>7②∵∴不消失如许的情形.③∴m<7④∴m=7⑤∴不消失这种情形【模仿试题】（答题时光：30分钟）1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根,则m＋n等于2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋,可求得p= ,q=3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48,则m的值为（）A．±8 B.8 C.－8 D.±44. 已知两个数的和比a少5,这两个数的积比a多3,则a为何值时,这两个数相等？5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根,求a的取值规模.6. 已知方程组的两组解分离为,,求代数式a1b2+a2b1的值.7. ABC中,AB=AC, A,B,C的对边分离为a,b,c,已知a=3,b 和c是关于x 的方程x＋mx＋2－m=0的两个实数根,求ABC的周长.【试题答案】1. －12. 4,13. A4. a=1或135. －3≤a≤－2 提醒：分a=－3以及a≠－3评论辩论求解6. 13例 1 已知p＋q＝198,求方程x2＋px＋q＝0的整数根．(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1.x2,无妨设x1≤x2．由韦达定理,得x1＋x2＝－p,x1x2＝q．于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198,即x1x2－x1－x2＋1＝199．∴(x1－1)(x2－1)＝199．留意到x1－1.x2－1均为整数,解得x1＝2,x2＝200;x1＝－198,x2＝0．例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数,求m的值．解：设方程的两个正整数根为x1.x2,且无妨设x1≤x2．由韦达定理得x1＋x2＝12－m,x1x2＝m－1．于是x1x2＋x1＋x2＝11,即(x1＋1)(x2＋1)＝12．∵x1.x2为正整数,解得x1＝1,x2＝5;x1＝2,x2＝3．故有m＝6或7．例 3 求实数k,使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．解：若k＝0,得x＝1,即k＝0相符请求．若k≠0,设二次方程的两个整数根为x1.x2,由韦达定理得∴x1x2－x1－x2＝2,(x1－1)(x2－1)＝3．因为x1－1.x2－1均为整数,所以例 4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α,0). (β,0)两点,且α＞1＞β,求证：p＋q＞1．(’97初中数学比赛试题)证实：由题意,可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α.β．由韦达定理得α＋β＝p,αβ＝－q．于是p＋q＝α＋β－αβ,＝－(αβ－α－β＋1)＋1＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．一元二次方程根的判别式.判别式与根的个数关系.判别式与根.韦达定理及其逆定理〖大纲领求〗1.控制一元二次方程根的判别式,会断定常数系数一元二次方程根的情形.对含有字母系数的由一元二次方程,会依据字母的取值规模断定根的情形,也会依据根的情形肯定字母的取值规模;2.控制韦达定理及其简略的运用;3.会在实数规模内把二次三项式分化因式;4.会运用一元二次方程的根的判别式和韦达定理剖析解决一些简略的分解性问题. 内容剖析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b24ac△＞0时,方程有两个不相等的实数根当△＝0时,方程有两个相等的实数根, 当△＜0时,方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)假如一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=b/a,x1x2=c/a(2)假如方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=P,x1x2=q(3)以x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2(x1+x2)x+x1x2=0． 3.二次三项式的因式分化(公式法) 在分化二次三项式ax2+bx+c的因式时,假如可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2,那么ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)．〖考核重点与罕有题型〗1.运用根的判别式判别一元二次方程根的情形,有关试题出如今选择题或填空题中,如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中,假如a<0,那么根的情形是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不克不及肯定2.运用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值,有关问题在中测验题中消失的频率异常高,多为选择题或填空题,如：设x1,x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根,则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C） 6 （D） 3 3．在中测验题中常消失有关根的判别式.根与系数关系的分解解答题.在近三年试题中又消失了有关的凋谢摸索型试题,考核了考生剖析问题.解决问题的才能.考核题型1．关于x的方程ax2－2x＋1＝0中,假如a<0,那么根的情形是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不克不及肯定2．设x1,x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根,则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C） 6 （D） 3 3．下列方程中,有两个相等的实数根的是（）（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2√5 x（C）√3 x2－√2 x+2=0（D）3x2－2√6 x+1=0 4．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A） y2+5y－6=0 （B）y2+5y＋6=0 （C）y2－5y＋6=0 （D）y2－5y－6=0 5．假如x1,x2是两个不相等实数,且知足x12－2x1＝1,x22－2x2＝1, 那么x1•x2等于（）（A）2 （B）－2 （C）1 （D）－1 6．假如一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根,那么k＝7．假如关于x的方程2x2－(4k+1)x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根,那么k的取值规模是8．已知x1,x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根,则x1＋x2＝,x1•x2＝ ,（x1－x2）2＝ 9．若关于x的方程(m2－2)x2－(m －2)x＋1＝0的两个根互为倒数,则m＝二.考点练习：1. 不解方程,判别下列方程根的情形：（1）x2－x=5 (2)9x2－6√2 +2=0 (3)x2－x+2=02. 当m= 时,方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根; 当m= 时,方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根;3. 已知关于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0,如有一个根为0,则m= ,这时方程的另一个根是 ;若两根之和为－3/5 ,则m= ,这时方程的两个根为 . 4. 已知3－2 是方程x2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m的值.5. 求证：方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0没有实数根.6. 求作一个一元二次方程使它的两根分离是1－√5 和1+√5 .7. 设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根,运用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2/x1 + x1/x2 （3）x12+ x1x2+2 x1 解题指点1. 假如x2－2(m+1)x+m2+5是一个完整平方法,则m= ;2. 方程2x(mx－4)=x2－6没有实数根,则最小的整数m= ;3. 已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)两根的和与两根的积相等,则m= ;4. 设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n,且3m+2n=20,则k值为;5. 设方程4x2－7x+3=0的两根为x1,x2,不解方程,求下列各式的值: (1) x12+x22 (2)x1－x2 （3）√x1 ＋√x2 ＊（4）x1x22＋12 x1＊6.实数s.t分离知足方程19s2＋99s＋1＝0和且19＋99t＋t2＝0求代数式(st＋4s＋1)/t 的值.7.已知a是实数,且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x2+2ax+1－(1/2) (a2x2－a2－1)=0有无实根？8.求证：不管k为何实数,关于x的式子(x－1)(x－2)－k2都可以分化成两个一次因式的积. 9．实数K在什么规模取值时,方程kx2＋2（k－1）x－（K－1）＝0有实数正根？自力练习（一）1. 不解方程,请判别下列方程根的情形;(1)2t2+3t－4=0, ; (2)16x2+9=24x, ;(3)5(u2+1)－7u=0, ;2. 若方程x2－(2m－1)x+m2+1=0有实数根,则m的取值规模是 ;3. 一元二次方程x2+px+q=0两个根分离是2+√3 和2－√3 ,则p= ,q= ;4. 已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是,m= ;5. 若方程x2+mx－1=0的两个实数根互为相反数,那么m的值是 ;6. m,n是关于x 的方程x2(2m1)x+m2+1=0的两个实数根,则代数式mn= .7. 已知关于x的方程x2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值;8. 假如α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根,运用根与系数关系,求作一个一元二次方程,使它的两个根分离等于α+(1/β) 和β+(1/α) ;9. 已知a,b,c是三角形的三边长,且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x2－(4k+1)x+2k2－1可因式分化.11.已知关于X的一元二次方程m2x2＋2（3－m）x＋1＝0的两实数根为α,β,若s＝1/α ＋1/β ,求s的取值规模. 自力练习（二）1. 已知方程x2－3x+1=0的两个根为α,β,则α+β= , αβ= ;2. 假如关于x的方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根雷同,则m的值为;3. 已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2又1/2 ,则k= ;4. 若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3,则a= ;5. 方程4x2－2(ab)x－ab=0的根的判别式的值是;6. 若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为;7. 已知p<0,q<0,则一元二次方程x2+px+q=0的根的情形是 ;8. 以方程x2－3x－1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9. 设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根,求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2) 1/x1 －1/x210．m取什么值时,方程2x2－(4m+1)x+2m2－1=0 （1）有两个不相等的实数根,（2）有两个相等的实数根,（3）没有实数根; 11．设方程x2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值. 12．是否消失实数k,使关于x的方程9x2－(4k－7)x－6k2=0的两个实根x1,x2,知足｜x1/x2 ｜＝3/2 ,假如消失,试求出所有知足前提的k的值,假如不消失,请解释来由.。
(完整版)韦达定理及其应用
韦达定理及其应用高一数学 B 段教学目的：1．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法2．培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力；3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神 教学重点：用韦达定理解“含参二次方程的实根分布”问题的基本方法 教学难点：韦达定理的正确使用一、 知识要点1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。
则ab x x -=+21 ac x x =•21，； 2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=•+++x x x x x x3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++ 二、例题1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差：（1）01032=--x x （2）01532=++x x （3）0223422=--x x2. 若1x 、2x 是方程2x +2x-17=0的两根，试求下列各式的值.（1）2221x x + （2）2111x x +学生练习： （1）=--)5)(5(21x x（2）=-21x x反思：韦达定理求值，应熟练掌握以下等式变形:()2122122212x x x x x x -+=+ 2111x x +=2121x x x x + ()212212214)(x x x x x x -+=- 21221214)(x x x x x x -+=-3.已知关于x 的方程x 2 + kx －6= 0的一个根是2，求另一个根及k 的值练习．已知关于x 的方程2x -(m+1)x+1-m=0的一根为4，求它的另一个根及m 的值.4 .当m 取什么实数时，方程0)5()2(42=-+-+m x m x 有两个正实根。
练习（引申变形一）：若方程有一正根和一负根，求m 取值范围。
三、练习1、 在关于x 的方程()()07142=-+--m x m x 中，（1）当两根互为相反数时m 的值；（2）当一根为零时m 的值；（3）当两根互为倒数时m 的值2、 求出以一元二次方程0232=-+x x 的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。
九年级数学思维培训第四讲 韦达定理
第四讲 充满活力的韦达定理一、知识要点与思维方法一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式是：aac b b x 2422,1-±-= 由此不难得到()ab a b a ac b b ac b b x x -=-=---+-+-=+222442221， ()()ac a ac a ac b b x x ==---=22222214444. 这表明一元二次方程两根之和与两根之积可用一元二次方程系数表示:ac x x a b x x =-=+2121, 被称为一元二次方程的根与系数的关系,也称为韦达定理.韦达定理,充满活力,它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法.二、例题选讲例1、 已知βα,是方程012=--x x 的两个实数根,求代数式553223+--++βααβα的值.例2、 如果方程()()0212=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么,实数m 的取值范围是( )A 、10≤≤mB 、43≥mC 、143≤<mD 、143≤≤m 例3、设21,x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值？并求出这个最小值.例4、设实数b a ,满足()()()81,402122=++=+++b b a a b b b a ，求2211ba +的值.三、课堂练习1、设21,x x 是方程020162=--x x 的两个实数根，则=-+20162017231x x2、设21,x x 是方程0342=-+x x 的两个实数根，且()23522221=+-+a x x x ，则=a 3、如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么q x x p x x =-=+2121,，请根据以上结论，解决下列问题：⑴已知关于x 的方程()002≠=++n n mx x ，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数.(2)已知b a ,满足0515,051522=--=--b b a a ,求ba ab +的值. (3)已知c b a ,,满足16,0==++abc c b a ,求正数c 的最小值.。
韦达定理的应用专题(供初三复习用)
韦达定理的应用专题训练★热点专题诠释1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理及逆定理）． 2．能够灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程．★典型例题精讲考点1 求待定字母的值或范围【例1】关于x 的一元二次方程2210x x k +++=的实数解是1x 、2x ．如果12121x x x x +-<-，且k 为整数，求k 的值．解：由韦达定理，得122x x +=-，121x x k =+． ∵12121x x x x +-<-，∴2(1)1k --+<-，∴2k >-． 又∵原方程有实数解，∴224(1)0k -+≥，0k ≤． ∴20k -<≤．而k 为整数，∴1,0k =-．【方法指导】当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0． 【例2】（2012·包头）关于x 的一元二次方程25(5)0x mx m -+-=的两个正实数根分别为1x 、2x ，且1227x x +=，则m 的值是（ B ）A ．2B ．6C ．2或6D ．7解：由韦达定理，得12125(5)x x mx x m +=⎧⎨=-⎩ ，消去m ，得121255250x x x x --+=，∴12(5)(5)0x x --= ，∴15x =或25x =．又∵1227x x +=，∴1253x x =⎧⎨=-⎩或1215x x =⎧⎨=⎩．又∵原方程有两个正实根，12125(5)0x x m x x m +=>⎧⎨=->⎩，∴5m >．∴126m x x =+=．【方法指导】对一元二次方程的根与系数的关系要善于从方程（组）的角度来把握．【例3】已知方程22(2)430x m x m ++++=，根据下列条件求m 的取值范围或值． （1）方程两根互为相反数； （2）方程有两个负根；（3）方程有一个正根，一个负根．解：（1）2(2)0430m m -+=⎧⎨+≤⎩，∴2m =-．（2）2[2(2)]4(43)02(2)0430m m m m ⎧+-+≥⎪-+<⎨⎪+>⎩，∴34m >-．（3）430m +<，∴34m <-． 【方法指导】一元二次方程：有两个正根：△≥0且120x x +>，120x x >；有两个负根：△≥0且120x x +<，120x x >； 一正一负根：120x x <；两根互为相反数：120x x +=，120x x ≤； 两根互为倒数：△≥0且121x x =．考点2 求两根的对称式的值【例4】设1x 、2x 是方程2310x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值：（1）2221x x +； （2）2112x x x x +； （3）212()x x - 解：由韦达定理，得123x x +=-，121x x =-．（1）2212x x +=21212()2x x x x +-=11（2）2112x x x x +=2121212()2x x x x x x +-=-11 （3）212()x x -=21212()4x x x x +-=13【方法指导】只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变形可得到只含“两根和”、“两根积”的代数式，代入求值即可．考点3 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值【例5】已知m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根．求下列代数式的值． （1）222441m n n +--； （2）35m n +．解：（1）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，1mn =-，221n n -=． ∴222441m n n +--=2222()2(2)1m n n n ++-- =222[()2]2(2)1m n mn n n +-+-- =2(42)211++⨯-=13．（2）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，221m m =+．∴35m n +=(21)5m m n ++=225m m n ++ =2(21)5m m n +++=5()2m n ++=522⨯+=10． 【方法指导】此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关系是不够的．常常需要结合根的定义，将式中的高次降低,直至出现对称式，再利用根与系数的关系求值．考点4 构造一元二次方程求值【例6】 （1）已知21550a a --=，21550b b --=，求a bb a+的值； （2） 已知22510m m --=，21520nn +-=，且m n ≠，求11m n+的值．解：（1）当a b =时，2a bb a+=； 当a b ≠时，由已知可把a 、b 看作是一元二次方程21550x x --=的两根．∴15a b +=，5ab =-．∴222()2a b a b a b ab b a ab ab ++-+===2152(5)5-⨯--=47-． （2）由21520n n +-=，得22510n n --=，而22510m m --=，m n ≠，∴可把m 、n 看作是一元二次方程22510x x --=的两根．∴52m n +=，12mn =-． ∴11m n +=m nmn+=5-． 【方法指导】构造一元二次方程的依据是方程根的定义，能用此法解题，必须是题目中两个方程的形式相同，或经过适当的变形后可变成形式相同的两个方程，便可利用根与系数的关系．考点5 韦达定理与抛物线的结合 【例7】若1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c 有如下关系：12b x x a +=-，12cx x a=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB=12||x x -=21212()4x x x x +-=24()bc a a--=24||b aca -．参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求24b ac -的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求24b ac -的值．解：（1）当△ABC 为直角三角形时，过C 作CE ⊥AB 于E ，则AB =2CE ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，则22|4|4ac b b ac -=-．∵0a >，∴2244b ac b acAB --==又∵2244||44ac b b acCE a a--==， ∴224424b ac b aca--=⨯， ∴22442b ac b ac --，∴222(4)44b ac b ac --=，而240b ac ->，∴244b ac -=．（2）当△ABC 为等边三角形时，由（1）知3CE AB =， ∴224344b ac b ac a --=240b ac ->， ∴2412b ac -=．★解题方法点睛一元二次方程根与系数关系作为升学考试的考点之一，在试卷中频频出现，只要同学们掌握了根与系数的关系的常见应用，就能化难为易迅速找到解题的方法．运用中： 1．要善于运用整体思想求两根的对称式的值； 2．已知两根的有关代数式的值求待定字母的值时，一定别忘了判别式的限制作用； 3．要注意从方程（组）的角度看待韦达定理．4．注意由此及彼的思维方法的运用．★中考真题精练1．（2014·玉林）1x 、2x 是关于x 的一元二次方程220x mx m -+-=的两个实数根，是否存在实数m 使12110x x +=成立？则正确的结论是（ A ） A ．0m =时成立 B ． 2m =时成立 C ．0m =或2时成立 D ．不存在2．（2014·呼和浩特）已知函数1||y x =的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x 、2x 判断正确的是（ C ） A ．121x x +>，120x x > B ．120x x +<，120x x > C ．1201x x <+<，120x x >D ．12x x +与12x x 的符号都不能确定 3．（2015·泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为 27 ．4．（2015·江西）已知一元二次方程2430x x --=的两根是m ，n ，则22m mn n -+= 25 ．5．（2014·德州）方程222210x kx k k ++-+=的两个实数根1x 、2x 满足22124x x +=，则k 的值为 1 ．6．（2014·济宁）若一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是1m +与24m -，则ba= 4 ． 7．已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若1x 、2x 是原方程的两根，且12||22x x -=，求m 的值．（1）证明：△=2(3)4(1)m m +-+=225m m ++ =2(1)4m ++．无论m 取何值，2(1)440m ++≥>，即0∆>． ∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）由韦达定理，得12(3)x x m +=-+，121x x m =+， ∴2121212||()4x x x x x x -=+-=2[(3)]4(1)m m -+-+=225m m ++，而12||22x x -=，∴22522m m ++=，即2230m m +-=， ∴1m =或3m =-．8．已知关于x 的方程222(1)0x k x k --+=有两个实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若1212||1x x x x +=-，求k 的值． 解：（1）由已知，得0∆≥，即22[2(1)]40k k ---≥，∴12k ≤． （2）∵12k ≤，∴122(1)10x x k +=-≤-<，∴1212||()2(1)x x x x k +=-+=--．而212x x k =，1212||1x x x x +=-， ∴2221k k -+=-，即2230k k +-= ， ∴1k =或3k =-．而12k ≤，∴3k =-． 9．请阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x = ，∴2y x =． 把2y x =代入已知方程，得2()1022y y+-=，化简，得2240y y +-=．故所求方程为2240y y +-=．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程220x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为： ；（2）己知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数． 解：（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，∴x y =-． 把x y =-代入已知方程，得220y y --=，∴所求方程为220y y --=；（2）设所求方程的根为y ，则1y x=（0x ≠）， ∴1x y=（0y ≠ ） 把1x y =代入方程20ax bx c ++=，得20a bc y y++=，∴20cy by a ++=．若0c =，有20ax bx +=，∴方程20ax bx c ++=有一个根为0，不符合题意，∴0c ≠．∴所求方程为20cy by a ++=（0c ≠）． 10．（2014•孝感）已知关于x的方程22(23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）试说明10x <，20x <；（3）若抛物线22(23)1y x k x k =--++与x 轴交于A 、B 两点，点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且23OA OB OA OB +=⋅-，求k 的值． 解：（1）由题意，得0∆>，即22[(23)]4(1)0k k ---+> ，解得512k <． （2）∵512k <，∴12230x x k +=-<， 而21210x x k =+>，∴10x <，20x <．（3）由题意，不妨设A （1x ，0），B （2x ，0）． ∴OA +OB =1212|||()(23)x x x x k +=-+=--，21212||||1OA OB x x x x k ⋅===+．∵23OA OB OA OB +=⋅-，∴2(23)2(1)3k k --=+-，解得1k =或2k =-．而512k <，∴2k =-． ★课后巩固提高1．已知方程23(4)10x m x m ++++=的两根互为相反数，则m = -42．关于x 的方程222(1)0x m x m +++=的两根互为倒数，则m = 1 ．已知12x x ≠，且满足211320x x +-=，222320x x +-=，则12(1)(1)x x -- = 2 ．3．（2014·呼和浩特）已知m ，n 是方程2250x x +-=的两个实数根，则23m mn m n -++= 8 ． 4．（2015·荆门）已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=的两个实数根为1x ，2x ，若22124x x +=，则m 的值为 -1或-3 ．5．（2014•襄阳）若正数a 是一元二次方程250x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程250x x m +-=的一个根，则a的值是 5 ．6．设2210a a +-=，42210b b --=，且210ab -≠，则22531()ab b a a+-+= -32 ．7．（2014·扬州）已知a 、b 是方程230x x --=的两个根，则代数式32223115a b a a b ++--+的值为 23 ．8．已知方程230x x k ++=的两根之差为5，则k = -4 ．9．已知抛物线2y x px q =++与x 轴交于A 、B 两点，且过点（-1，-1），设线段AB 的长为d ，当p = 2 时，2d 取得最小值，最小值为 4 ．10．已知1x 、2x 是关于x 的方程22(21)(1)0x m x m ++++=的两个实数根．（1）用含m 的代数式表示2212x x +； （2）当221215x x +=时，求m 的值．解：由韦达定理，得12(21)x x m +=-+，2121x x m =+． ∴2212x x +=21212()2x x x x +-=22[(21)]2(1)m m -+-+ =2241m m +-．（2）由（1）得，224115m m +-=，解得14m =-，22m =． 当4m =-时，原方程无实根；当2m =时，原方程有实根． ∴2m =．11．（2014·鄂州）一元二次方程2220mx mx m -+-=． （1）若方程有两实数根，求m 的范围．（2）设方程两实数根为1x 、2x ，且12||1x x -=，求m ． 12．已知方程23730x x -+=的两根1x 、2x （12x x >）．求下列代数式的值． （1（2）2212x x -．解：由韦达定理，得1273x x +=，121x x =． （1． （2）∵12x x >，∴120x x ->．∴12x x -=∴2212x x -=1212()()x x x x +-=73=13．（2015·湖北孝感）已知关于x 的一元二次方程：2(3)0x m x m ---=．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线2(3)y x m x m =---与x轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，则A ，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 解：（1）22[(3)]4()29m m m m ∆=----=-+ ＝2(1)8m -+ ∵2(1)m -≥0，∴2(1)80m ∆=-+> ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）存在．由题意知1x 、2x 是原方程的两根． ∴12123,x x m x x m +=-=- ∵12||AB x x =-∴222121212()()4AB x x x x x x =-=+- 22(3)4()(1)8m m m =---=-+ ∴当1m =时，2AB 有最小值8 ∴AB有最小值，即AB =14．（2014·荆门）已知函数2(31)21y ax a x a =-+++（a 为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a 的值； （2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x 轴相交于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，与y 轴相交于点C ，且212x x -=． ①求抛物线的解析式；② 作点A 关于y 轴的对称点D ，连结BC 、DC ，求sin DCB ∠的值．解：(1)①当a ＝0时，1y x =-+，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；②当a ≠0且图象过原点时，210a +=，∴12a =-，有两个交点(0，0)，(1，0)；③当a ≠0且图象与x 轴只有一个交点时，令y ＝0，则有0∆=，即2[(31)]4(21)0a a a -+-+=．解得a ＝－1，有两个交点(0，－1)，(1，0)；综上：a ＝0或12-或1-时，函数图象与坐标轴有两个交点． (2)①由题意令y ＝0时，123a x x a ++=，1221a x x a+=．∵212x x -=，∴221()4x x -=，∴21212()44x x x x +-= ，则(24(21)31()4a a a a ++-=，解得113a =-，21a =由题意，得00a >⎧⎨∆>⎩，即20[(31)]4(21)0a a a a >⎧⎨-+-+>⎩， ∴13a =-应舍去．1a =符合题意． ∴抛物线的解析式为243y x x =-+．②令y ＝0得2430x x -+=，解得1x =或3x =．w W∴A (1，0)，B (3，0)．由已知可得，D (－1，0)，C (0，3)． ∴OB ＝OC ＝3，OD ＝1，BD =4． 如图，过D 作DE ⊥BC 于E ，则有∴sin 45DE BD =⋅︒=而CD∴在Rt △CDE 中，sin ∠DCB ＝DE CD．。
人教九上：专题三--韦达定理的应用(含解析)
专题三韦达定理的应用1．设x1、x2是关于x的方程x2+kx+2=0的两个实数根，求代数式1x1+1x2+k2的值．2．已知关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+3k=0．(1)求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值；(2)若直角三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值．3．已知关于x的一元二次方程x2+(2k−3)x+k2−1=0的两个实数根分别为x1，x2．(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2满足x21+x22=1+x1⋅x2，求实数k的值．4．已知关于x的方程x2−2x+m−1=0．有一个实数根是5，求此方程的另一个根以及m的值．5．关于x的一元二次方程x2−6x+k=0，若方程的一个根x1=2，求k的值和方程的另一个根x2．6．若关于x的一元二次方程x2−bx+2=0有一个根是x=1，求b的值及方程的另一个根．7．关于x的一元二次方程x2+2x−3m=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)当m=1时，求方程的根．8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程．x2+2x+c=0的两个不相等的实数根．(1)求c的取值范围；(2)若x1x2=−1，直接写出c的值；(3)若x1=−3，直接写出c的值．9．若关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．10．已知3，t是方程2x2+2mx−3m=0的两个实数根，求m及t的值．11．若关于x的一元二次方程x2+bx−6=0有一个根是x=2，求b的值及方程的另一个根．12．已知关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+m+6=0的其中一个根为3．求m的值及方程的另一个根．13．关于x的一元二次方程x2−8x+m=0有一个根是x=3，求m的值及方程的另一个根．14．已知关于x的方程x2−kx+12=0的一个根为3，求k的值及它的另一个根．15．若关于x的一元二次方程x2−4x+m+3=0有两个相等的实数根，求m的值及此方程的根．16．关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围：(2)当m=8时，求方程的根．17．已知：关于x的方程x2+mx−8=0有一个根是−4，求另一个根及m的值．18．已知x=−1是一元二次方程x2−2x+c=0的一个根，求c的值及方程另一个根．参考答案1．0【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2=−k，x1x2=2，然后根据分式的加减对原式进行变形，整体代入计算即可求出答案．【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2+kx+2=0的两个实数根，∴x1+x2=−k，x1x2=2，又∵边长k>0，∴k=7，综上所述，k的值为5或7．3．(1)k≤1312(2)k=1【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根，若x1，x2是该方程的两个实数根，则x1+x2=−b，x1x2=c a．a（1）根据题意可得Δ=(2k−3)2−4(k2−1)≥0，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=−(2k−3)，x1⋅x2=k2−1，再由已知条件和完全平方公式的变形得到(2k−3)2−3(k2−1)=1，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k−3)x+k2−1=0的两个实数根分别为x1，x2，∴Δ=(2k−3)2−4(k2−1)≥0，∴4k2−12k+9−4k2+4≥0，∴k≤13；12（2）解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k−3)x+k2−1=0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2=−(2k−3)，x1⋅x2=k2−1，∵x21+x22=1+x1⋅x2，∴x21+x22−x1⋅x2=1∴(x1+x2)2−3x1x2=1，∴(2k−3)2−3(k2−1)=1，∴4k2−12k+9−3k2+3=1，∴k2−12k+11=0解得：k1=1，k2=11（舍去）∴k=1．4．x2=−3；m=−14．【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，代入x=5可求出m的值，再利用两根之和等于−b，即可求出方程的另一个根，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．a【详解】解：当x=5时，原方程为52−2×5+m−1=0，解得：m=−14，设方程的另一个实数根为x2，∵5+x2=2，∴x2=−3，∴方程的另一个根为−3，m的值为−14．5．k=8，x2=4【分析】利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，由一个根为2，求出另一根，进而确定出k的值．【详解】设另一根为x2，∴2+x2=6，2x2=k，则x2=4，k=8，则6∴1把则7(2)（（【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b2−4ac=4−4×1×(−3m)>0，解得：m>−1，3（2）当m=1时，方程为x2+2x−3=0，(x+3)(x−1)=0，解得x1=−3，x2=1．8．(1)c<1(2)c=−1(3)c=−3【分析】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的解．（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ<0，可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出c的取值范围；（2）利用根与系数的关系，可得出x1x2=c，结合x1x2=−1，即可得出c的值；（3）代入x1=−3，即可求出c的值．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，∴Δ=22−4×1×c>0，解得：c<1，∴c的取值范围是c<1；（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+c=0的两个不相等的实数根，∴x1x2=c，又∵x1x2=−1，∴c=−1；（3）解：将x1=−3代入原方程得9+2×(−3)+c=0，解得：c=−3，∴若x1=−3，则c的值为−3．9．m=5，x1=x2=−2【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解法，根据当Δ=0时，方程有两个相等的实数根求得m 值，进而解一元二次方程即可求解．【详解】解：∵一元二次方程x2+4x+m−1=0有两个相等的实数根，∴Δ=42−4(m−1)=0，则m=5，∴x2+4x+4=0，解得x1=x2=−2．10．t=3，m=−6【分析】利用根与系数的关系，建立二元一次方程组进行求解．【详解】解：∵3，t是方程2x2+2mx−3m=0的两个实数根，∴3+t=−2m2，3t=−3m2，3+t=−m①2t=−m②，∴3+t=2t，解得：t=3，∴m=−2×3=−6，答：t=3，m=−6．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二元一次方程组，解题的关键是能利用根与系数的关系建立二元一次方程组．11．b=1，方程的另一个根为−3【分析】本题考查了一元二次方程的根及解一元二次方程．将x=2代入x2+bx−6=0求得b的值，然后解方程组即可．【详解】∵x=2是方程x2+bx−6=0有一个根，∴4+2b−6=0，∴b=1当b=1时，原方程为x2+x−6=0，解得x1=2，x2=−3．∴b=1，方程的另一个根为−3．12．m=6，另一个根为4【分析】把x=3代入方程求出m的值，然后解方程求出另一个根即可．【详解】解：把x=3代入x2−(m+1)x+m+6=0，得9−3(m+1)+m+6=0，解得m=6，把m=6代入原方程得x2−7x+12=0，∴(x−3)(x−4)=0，∴x1=3,x2=4，即方程的另一个根为4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．13．m的值为15，另一根为5【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2，则有x1+x2=−ba ，x1x2=ca是解题的关键．【详解】解：设另一根为a，则a+3=8，3a=m，解得：a=5，m=15，∴m的值为15，另一根为5．14．k=7，另一根为4【分析】由于一根为3，把x=3代入方程即可求得k的值．然后根据两根之积即可求得另一根．【详解】解：∵方程x2−kx+12=0的一个根为3，∴32−k×3+12=0，解得k=7，设另一根为x，∵3x=12，∴x=4，∴另一根为4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大．15．m=1，x1=x2=2【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用以及解一元一次方程，根据Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根列出方程，解方程求出m，利用因式分解法解方程求出方程的根．【详解】解：∵关于x的方程x2−4x+m+3=0有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=(−4)2−4×1×(m+3)=4−4m=0，解得，m=1，∴方程为x2−4x+4=0，∴(x−2)2=0解得：x1=x2=2．16．(1)m>−1(2)x1=−4，x2=2【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，判别式Δ>0时方程有两个不相等的实数根；Δ=0时方程有两个相等的实数根；Δ<0时方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系及解一元二次方程的方法是解题关键．（1）根据方程x2+2x−m=0有两个不相等的实数根可得判别式Δ>0，列不等式求出m的取值范围即可；（2）把m=8代入x2+2x−m=0，利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个不相等实数根，∴Δ=b2−4ac=22−4×1×(−m)>0，解得：m>−1．∴m的取值范围为m>−1．（∴∴x17∴∴18∴1∴c设另一个根为x2，则−1⋅x2=−3，∴x2=3，∴c的值是−3，另一个根是x=3．。
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韦达定理及其应用 姓名 班别
一、 知识要点
1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。
则a b x x -=+21， a c x x =∙21；补充公式a
x x ∆=-21 特别地：一元二次方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，则有p x x -=+21，q x x =⋅21
2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=∙+++x x x x x x
3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++=++ 二、应用Ⅰ、已知方程的一个根，求另一个根和未知系数
1、已知方程22=+x x ，则下列说中，正确的是（ ）
（A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2
（C ）方程两根和是－1 （D ）方程两根积是两根和的2倍
2、一元二次方程0252
=+-x x 的两个根为1x ，2x ，则+1x 2x 等于（ ）
A.–2
B. 2
C.–5
D. 5
3、如果1x 、2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么21x x ⋅＝ ；
4、方程01032
=--x x 的两个根为1x ，2x ，则+1x 2x ＝ ；21x x ⋅＝ ；
5、方程01532=++x x 的两个根为1x ，2x ，则+1x 2x ＝ ；21x x ⋅＝ ；
6、方程0223422=--x x 的两个根为1x ，2x ，则+1x 2x ＝ ；21x x ⋅＝ ；
7、已知方程26x kx +-的一个根为x 1＝2，另一个根为 ，k ＝
8、关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝_____；c ＝______． 应用Ⅱ、求与已知方程的两个根有关的代数式的值
1、若1x ，2x 是一元二次方程0132=-+x x 的两个根，则
2
111x x +的值是（ ） A 、2 B 、1 C 、―1 D 、3
2、若,a b 是方程2220060x x +-=的两根，则23a a b ++=（ ）
A ．2006
B ．2005
C ．2004
D ．2002
3、已知方程x 2+2x-1=0的两根分别是x 1,x 2,则
12
11x x += ( ) A.2 B.-2 C.-6 D.6 4、已知a ＋a 2－1＝0，b ＋b 2－1＝0，a≠b ，求ab ＋a ＋b 的值．
5、已知：0832=-+x x ，0832=-+y y ，求y
x x y +的值。
6、已知关于x 的一元二次方程2(1)20x m x m --++=．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；
（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+，求m 的值．
作业：1、情境观察
将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D ，如图1所示.将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC 相等的线段是 ，∠CAC′= °．
问题探究 如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.
拓展延伸
如图4，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H . 若AB =k AE ，AC =k AF ，试探究HE 与HF 之间的数量关系，并说明理由.
图1 图2
C'A'B A D C A B C D B
C
D A (A')C'
图4 M N
G
F
E
C B A
H 图3 A B C E
F
G
P Q
2、如图，矩形OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿BC 折叠，使点A 落在点A ′处，A ′B 与y 轴交于点F 。
已知OA ＝1，AB ＝2。
⑴设CF ＝x ，则OF ＝__________；
⑵求BF 的长；
⑶设过点B 的双曲线为x
k y ，试问双曲线l 上是否存在一点M ，使得以OB 为一边的△OBM 的面积
等于1？若存在，试求出点M 的横坐标；若不存在，
试说明理由。