北京大学数学物理方法(下)课件_14 分离变量法
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分离变量法
k =1
∞
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + Bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ Ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝
∞
使得
9
k π a Bk kπ ψ ( x ) = ut ( x , 0) = ∑ sin x l l k =1
∞
kπ ϕ ( x ) = u ( x , 0) = ∑ Ak sin x l k =1
X ( x) = C .
情形（C）
λ >0
其通解为
X ( x) = C1 cos λ x + C2 sin λ x,
由边界条件推出 C2 = 0,
22
再由 X ′(l ) = C1 λ sin λ l = 0 知道为了使 必须
C1 ≠ 0,
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
2 2
于是有
(k = 1,2,3," ).
本征值
(k = 1,2 ,3," ).
X k ( x) = Ck sin
kπ x, l
(k = 1,2," )
本征 函数
7
k 2π 2 λ = λk = 2 , l
(k = 1,2 ,3," ) 代入另一个方程可得
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
把变量形式的解代入方程可得
XT ′′ = a 2 X ′′ T
即
T ′′(t ) X ′′( x) = 2 a T (t ) X ( x)
以及
∞
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + Bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ Ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝
∞
使得
9
k π a Bk kπ ψ ( x ) = ut ( x , 0) = ∑ sin x l l k =1
∞
kπ ϕ ( x ) = u ( x , 0) = ∑ Ak sin x l k =1
X ( x) = C .
情形（C）
λ >0
其通解为
X ( x) = C1 cos λ x + C2 sin λ x,
由边界条件推出 C2 = 0,
22
再由 X ′(l ) = C1 λ sin λ l = 0 知道为了使 必须
C1 ≠ 0,
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
2 2
于是有
(k = 1,2,3," ).
本征值
(k = 1,2 ,3," ).
X k ( x) = Ck sin
kπ x, l
(k = 1,2," )
本征 函数
7
k 2π 2 λ = λk = 2 , l
(k = 1,2 ,3," ) 代入另一个方程可得
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
把变量形式的解代入方程可得
XT ′′ = a 2 X ′′ T
即
T ′′(t ) X ′′( x) = 2 a T (t ) X ( x)
以及
数学物理方法-14.2 分离变量法-1维热传导
2
2
(n 0,1,2,3,)
l
, (n 0,1,2,3,)
na 时间函 (t ) T Tn (t ) 0 n 数方程 l
Tn (t ) Cn e
na t l
2
(n 0,1,2,3,)
两端绝热杆的热传导问题
• 则定解问题的解为
分离变量法
将解表示为
时间函数X(x)×空间函数T(t) 导出时间函数和空间函数的常微分方程 逐个求解X(x)和T(t)，每一个记为Xn(x)×Tn(t)
对于线性问题，叠加原理成立，则通解为
u( x, t ) un ( x, t ) X n ( x)Tn (t )
基本步骤： 1. 变量分离，分别导出初始值问题，固有值问题； 2. 求解固有值问题，确定边值问题的固有值和固有函数； 3. 根据固有值，求解初始值问题，含未知系数； 4. 解的叠加，根据偏微分方程的初始条件确定未知系数。
t=1s t=0 t=100s t=5s
u
x
作 业
pp 354, T3， T5
n 1 n 1 na t l
2
n sin x l
• 由初始条件得
n ( x) C n sin x l n 1
2 l n C n ( x) sin xdx (n 1,2, ) l 0 l
？
算例：原始温度分布
u(x, 0)
分离变量法： 均匀杆的热传导问题
• [问题]设有一均匀细杆，长为l，两个端点的坐标为x=0和 x=l，端点处的温度保持为零度，已知杆上初始温度分布 为 ( x) ，求杆上的温度变化规律。 ( x) x 0 0
2
(n 0,1,2,3,)
l
, (n 0,1,2,3,)
na 时间函 (t ) T Tn (t ) 0 n 数方程 l
Tn (t ) Cn e
na t l
2
(n 0,1,2,3,)
两端绝热杆的热传导问题
• 则定解问题的解为
分离变量法
将解表示为
时间函数X(x)×空间函数T(t) 导出时间函数和空间函数的常微分方程 逐个求解X(x)和T(t)，每一个记为Xn(x)×Tn(t)
对于线性问题，叠加原理成立，则通解为
u( x, t ) un ( x, t ) X n ( x)Tn (t )
基本步骤： 1. 变量分离，分别导出初始值问题，固有值问题； 2. 求解固有值问题，确定边值问题的固有值和固有函数； 3. 根据固有值，求解初始值问题，含未知系数； 4. 解的叠加，根据偏微分方程的初始条件确定未知系数。
t=1s t=0 t=100s t=5s
u
x
作 业
pp 354, T3， T5
n 1 n 1 na t l
2
n sin x l
• 由初始条件得
n ( x) C n sin x l n 1
2 l n C n ( x) sin xdx (n 1,2, ) l 0 l
？
算例：原始温度分布
u(x, 0)
分离变量法： 均匀杆的热传导问题
• [问题]设有一均匀细杆，长为l，两个端点的坐标为x=0和 x=l，端点处的温度保持为零度，已知杆上初始温度分布 为 ( x) ，求杆上的温度变化规律。 ( x) x 0 0
北京大学数学物理方程讲义第十四章：分离变量法
分离变量法的基本步骤
1. 分离变量 必要条件: 偏微分方程和边界条件都是齐次的. 结果: 得到每一个一元函数满足的常微分方程. 其中包括齐次常微分方程+齐次边界条件的本征值问题.
2. 求解本征值问题. 即求非零解.
3. 求特解, 并叠加出一般解. 还是因为偏微分方程和边界条件都是齐次的. 另外, 本征函数的全体是完备的: 任何满足同样边界条件的, 足够“好” (一般要求连续, 分段光滑) 的函 数都可以展开为
∞
nπ
nπ
nπ
u(x, t) =
Cn sin
l
at + Dn cos
at l
sin
l
x
n=1
这种形式的解称为一般解.
利用本征函数的正交性定叠加系数 一般解满足方程和边界条件. 适当选择叠加系数 Cn 和 Dn, 使之满足初始条件
∞
nπ
u(x, 0) = Dn sin l x = φ(x)
(8)
n=1
n=1
∞
nπ
Ψ(x) = βn sin l x,
n=1
其中
1 αn = l
1 βn = l
l
nπ
2
Φ(x) sin xdx =
−l
l
l
l
nπ
2
Ψ(x) sin xdx =
−l
l
l
l
nπ
φ(x) sin xdx,
0
l
l
nπ
ψ(x) sin xdx.
0
l
与分离变量法的解比较,
αn = Dn,
nπa βn = l Cn.
第一项表示由初位移激发的行波, t = 0 时波形为 φ(x), 以后分成相等的两部分, 独立地向左右传播, 速率 为 a;
《分离变量法》课件
法的计算效率。
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
数学物理方法技巧-14.4分离变量法-非齐次方程
格林函数法
方法概述
格林函数法是一种通过构造格林函数 ，将非齐次方程的求解转化为格林函 数的求解的方法。
适用范围
适用于一些具有特定边界条件的非齐 次方程，如具有初值条件或边值条件 的非齐次方程等。
求解步骤
首先，根据非齐次方程的形式和边界 条件，构造一个合适的格林函数；然 后，通过求解格林函数的微分方程或 积分方程，得到格林函数的具体形式 ；最后，利用格林函数的性质，将原 非齐次方程的求解转化为格林函数的 求解，从而得到原方程的解。
对于某些特定的哈密顿算符和初始条件，可以通过分离变量法将含时薛定谔方程简化为一系列常微分 方程，进而求得波函数的解析解或数值解。
06 总结与展望
分离变量法在非齐次方程中的意义和价值
分离变量法是一种重要的数学物理方法，用于求解非齐次方程，特别是偏微分方程。通过将多变量问 题转化为单变量问题，分离变量法能够大大简化问题的求解过程。
变量分离
将多元函数中的各个变量分离开来， 使得每个变量仅出现在一个函数中， 从而简化问题。
分离变量法的适用范围
线性偏微分方程
适用于线性偏微分方程，特别是具有 齐次边界条件的偏微分方程。
可分离变量的方程
适用于通过变量代换可将偏微分方程 转化为可分离变量的常微分方程的方 程。
分离变量法的步骤
变量代换
数学物理方法技巧-14.4分离变量 法-非齐次方程
目 录
• 分离变量法概述 • 非齐次方程的基本概念 • 分离变量法在非齐次方程中的应用 • 其他求解非齐次方程的方法 • 非齐次方程在实际问题中的应用 • 总结与展望
01 分离变量法概述
分离变量法的基本思想
偏微分方程求解
通过适当的变量代换，将偏微分方程 转化为常微分方程进行求解。
数学物理方法课件：14_3 分离变量法-laplace
(n 1,2,)
将固有值代入Y (y)的方程
Yn( y)
n
a
2
Yn
( y)
0
n y
n y
Yn ( y) Cne a Dne a
(n 1,2,)
二维拉普拉斯方程的边值问题
•
•
原定解问题的解：u(x, 由边界条件得：
y)
n1
n
(Cne a
y
n
Dne a
y
) sin
nx
a
看成整体
f
2u 1 u 1 2u
r
2
r
r
r2
2
0
(0 r R0 ,0 2 )
u(R0 , ) f ( )
这个问题是定解问题吗？ 暂时无法判断！ 先用分离变量法求解。
整个求解过程中，采用了什么定解条件？
周期边界条件， 有界性条件
( ) ( 2 )
| R(0) |
• 所述问题可以表示为下列定解问题
R(R0)( ) f ( )
r 2R(r) rR(r) R(r) 0 R(R0 )( ) f ( )
''( ) ( ) 0 ( ) ( 2 )
虽然θ的取值范围是所有实数，但实际只须取[0,2π]，为什么？ 温度分布u(r, θ)关于θ是周期变化的，且周期是0,2π。
( ) ( 2 )
关于yy的方程关于xx的方程将固有值代入yy的方程由fourier级数展开定理可知解代数方程组得c的薄圆盘上下两面绝热圆周边界上的温度已知求达到稳恒状态时圆盘的温度分布
分离变量法3 二维拉普拉斯方程的边值问题
• 矩形区域上的拉普拉斯边值问题
• 问题描述：一个长为a，宽为b的矩形薄板，上下两面绝热，
将固有值代入Y (y)的方程
Yn( y)
n
a
2
Yn
( y)
0
n y
n y
Yn ( y) Cne a Dne a
(n 1,2,)
二维拉普拉斯方程的边值问题
•
•
原定解问题的解：u(x, 由边界条件得：
y)
n1
n
(Cne a
y
n
Dne a
y
) sin
nx
a
看成整体
f
2u 1 u 1 2u
r
2
r
r
r2
2
0
(0 r R0 ,0 2 )
u(R0 , ) f ( )
这个问题是定解问题吗？ 暂时无法判断！ 先用分离变量法求解。
整个求解过程中，采用了什么定解条件？
周期边界条件， 有界性条件
( ) ( 2 )
| R(0) |
• 所述问题可以表示为下列定解问题
R(R0)( ) f ( )
r 2R(r) rR(r) R(r) 0 R(R0 )( ) f ( )
''( ) ( ) 0 ( ) ( 2 )
虽然θ的取值范围是所有实数，但实际只须取[0,2π]，为什么？ 温度分布u(r, θ)关于θ是周期变化的，且周期是0,2π。
( ) ( 2 )
关于yy的方程关于xx的方程将固有值代入yy的方程由fourier级数展开定理可知解代数方程组得c的薄圆盘上下两面绝热圆周边界上的温度已知求达到稳恒状态时圆盘的温度分布
分离变量法3 二维拉普拉斯方程的边值问题
• 矩形区域上的拉普拉斯边值问题
• 问题描述：一个长为a，宽为b的矩形薄板，上下两面绝热，
分离变量-PPT精选文档
第1部分 直角坐标系中的 分离变量法
适用条件
• 奇次问题 • 只有一个边界条件是非奇次的问题 • 超过一个非奇次边界条件的问题
主要内容
• • • • • 分离变量法 直角坐标系中热传导方程的分离 有限大物体的一维奇次问题 半无限大物体的一维奇次问题 非奇次问题分解成简单问题
2.1 分离变量法
数学模型 物理模型
d Γ 2 a Γ 0 d
2 d X x 2 X x 0 2 x
时间变量函数T（τ）满足微分方程
d Γ 2 a Γ 0 d
求解
Γ e
a 2
物理意义：
Γ 0
L x
TF (x )
0
求解
T x , X x Γ x
空间变量函数X(β，x) 特征值问题 时间变量函数(τ)的解：
2 d X x 2 X x 0 2 x
0 x L
x 0
Γ e
a 2
k 1
X h 0 1X x
L 0
2
1 ' T x , e X , x X , x x 'dx ' m m F N m 1 m
2 a m
2.4 半无限大物体的一维奇次问题
物理模型
数学模型
h1 , 0
x TF
T x , T 1 T x , T x a
空间变量函数X（x）满足微分方程
2 d X x 2 X x 0 2 x
0 x L
x 0
X 0 x
k
X hX0 x
适用条件
• 奇次问题 • 只有一个边界条件是非奇次的问题 • 超过一个非奇次边界条件的问题
主要内容
• • • • • 分离变量法 直角坐标系中热传导方程的分离 有限大物体的一维奇次问题 半无限大物体的一维奇次问题 非奇次问题分解成简单问题
2.1 分离变量法
数学模型 物理模型
d Γ 2 a Γ 0 d
2 d X x 2 X x 0 2 x
时间变量函数T（τ）满足微分方程
d Γ 2 a Γ 0 d
求解
Γ e
a 2
物理意义：
Γ 0
L x
TF (x )
0
求解
T x , X x Γ x
空间变量函数X(β，x) 特征值问题 时间变量函数(τ)的解：
2 d X x 2 X x 0 2 x
0 x L
x 0
Γ e
a 2
k 1
X h 0 1X x
L 0
2
1 ' T x , e X , x X , x x 'dx ' m m F N m 1 m
2 a m
2.4 半无限大物体的一维奇次问题
物理模型
数学模型
h1 , 0
x TF
T x , T 1 T x , T x a
空间变量函数X（x）满足微分方程
2 d X x 2 X x 0 2 x
0 x L
x 0
X 0 x
k
X hX0 x
数学物理方法技巧分离变量法
数学物理方法技巧分 离变量法
目录
CONTENTS
• 引言 • 分离变量法的基本原理 • 分离变量法的具体应用 • 分离变量法的注意事项 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的未来发展与展望
01
引言
分离变量法的定义
分离变量法是一种数学物理方法，用 于将多变量问题转化为多个单变量问 题，以便于求解。
它通过将偏微分方程转化为常微分方 程，或者将高阶微分方程转化为一系 列在解决具有多个相互独立变量的物理 问题时，如波动、热传导、流体动力 学等，分离变量法是非常有效的工具 。
它适用于具有周期性边界条件或对称 性边界条件的问题，如无限大区域、 周期性结构等。
THANKS
感谢您的观看
结合其他数值方法进行优化
1 2 3
混合方法
结合分离变量法和有限元法、有限差分法等其他 数值方法，形成混合方法，取长补短，提高求解 精度和效率。
自适应方法
结合分离变量法和自适应方法，根据问题特性和 求解需求，动态调整算法参数和求解精度，实现 高效求解。
无网格方法
结合分离变量法和无网格方法，克服传统数值方 法的网格依赖性，提高求解灵活性。
02
偏微分方程的解需要满足一定的边界条件和初始条件。
03
偏微分方程的解需要满足可解性条件，即解需要是有限个变 量的函数。
分离变量法的步骤
01
将偏微分方程转化为常微分方程。
02 对常微分方程进行求解，得到各个变量的解。
03 将各个变量的解组合起来，得到原偏微分方程的 解。
03
分离变量法的具体
应用
一维波动方程的分离变量法
为了确保数值解法的稳定性，可以采用多种方法，如增加计算步长、使用更精确的数值格式等。同时 ，也需要不断尝试和改进计算方法，以提高数值解法的稳定性和准确性。
目录
CONTENTS
• 引言 • 分离变量法的基本原理 • 分离变量法的具体应用 • 分离变量法的注意事项 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的未来发展与展望
01
引言
分离变量法的定义
分离变量法是一种数学物理方法，用 于将多变量问题转化为多个单变量问 题，以便于求解。
它通过将偏微分方程转化为常微分方 程，或者将高阶微分方程转化为一系 列在解决具有多个相互独立变量的物理 问题时，如波动、热传导、流体动力 学等，分离变量法是非常有效的工具 。
它适用于具有周期性边界条件或对称 性边界条件的问题，如无限大区域、 周期性结构等。
THANKS
感谢您的观看
结合其他数值方法进行优化
1 2 3
混合方法
结合分离变量法和有限元法、有限差分法等其他 数值方法，形成混合方法，取长补短，提高求解 精度和效率。
自适应方法
结合分离变量法和自适应方法，根据问题特性和 求解需求，动态调整算法参数和求解精度，实现 高效求解。
无网格方法
结合分离变量法和无网格方法，克服传统数值方 法的网格依赖性，提高求解灵活性。
02
偏微分方程的解需要满足一定的边界条件和初始条件。
03
偏微分方程的解需要满足可解性条件，即解需要是有限个变 量的函数。
分离变量法的步骤
01
将偏微分方程转化为常微分方程。
02 对常微分方程进行求解，得到各个变量的解。
03 将各个变量的解组合起来，得到原偏微分方程的 解。
03
分离变量法的具体
应用
一维波动方程的分离变量法
为了确保数值解法的稳定性，可以采用多种方法，如增加计算步长、使用更精确的数值格式等。同时 ，也需要不断尝试和改进计算方法，以提高数值解法的稳定性和准确性。
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∞
f (x) =
n=1
Cn Xn (x)
这样, 定解问题的解一定可以按照本征函数展开. 4. 定叠加系数. 利用本征函数的正交性. 5
14.2
分离变量法的物理诠释
nπ nπ nπ at + Dn cos at sin x l l l
现在讨论分离变量法解的物理意义. 特解 un (x, t) = Cn sin
Ψ(x) =
然后, 再延拓为周期为 2l 的周期函数. 因此, Φ(x) 和 Ψ(x) 可以展开为 Fourier 级数:
∞
Φ(x) =
n=1 ∞
αn sin βn sin
n=1
nπ x, l nπ x, l
Ψ(x) = 其中 αn = βn = 与分离变量法的解比较, αn = Dn ,
∞
1 l 1 l
这种形式的解称为一般解. 利用本征函数的正交性定叠加系数 一般解满足方程和边界条件. 适当选择叠加系数 Cn 和 Dn , 使之满足初始条件
∞
u(x, 0) =
n=1 ∞
Dn sin
nπ x = φ(x) l
(8) (9)
∂u nπ nπ (x, 0) = Cn · a · sin x = ψ (x) ∂t l l n=1 首先求本征函数之间的正交关系. 设 Xn 是本征值为 λn 的本征函数 Xn (x) + λn Xn (x) = 0 Xn (0) = 0 Xm 是本征值为 λm 的本征函数 Xm (x) + λm Xm (x) = 0 Xm (0) = 0 Xm (x) × (10) − Xn (x) × (12) (Xm Xn − Xn Xm ) + (λn − λm )Xn Xm = 0
nπ x l
我们看到本征值问题不同于常微分方程的初值问题: 如果是常微分方程的初值问题, 方程的解是唯一的. 如果 X (x) ≡ 0 是解, 就是方程+初值条件的唯一的解! 但本征值问题, 当 λ 取某些特定值时, 除零解外, 还有 非零解存在; 即解不是唯一的. λ 的这些特定值 λn 称为本征值, 相应的非零解 Xn (x) 称为本征函数. 求特解, 并叠加出一般解 对于每一个本征值 λn , 可由方程 T (t) + λn a2 T (t) = 0 求出 Tn (t) = Cn sin 因此得 un (x, t) = Cn sin nπ nπ at + Dn cos at l l
l
Φ(x) sin
−l l
nπ 2 xdx = l l nπ 2 xdx = l l
3 其它解都是线性相关的,
(10) (11)
Xn (l) = 0
(12) (13)
Xm (l) = 0
可用 A = 1 的解表示
4
(λn − λm )Xn Xm = (Xn Xm − Xm Xn ) 积分, 并利用边界条件(11), (13)
l
(λn − λm )
0
Xn (x)Xm (x)dx
l
= (Xn (x)Xm (x) − Xm (x)Xn (x))|0 = 0 当 n = m 时, λn = λm , 所以
l
Xn (x)Xm (x)dx = 0
0
n=m
进一步, 当 n = m 时, 可计算本征函数的模方 Xn (8) 两端乘以 sin
mπ l x, 2 l
=
0
2 Xn (x)dx =
l 2
并逐项积分
l
φ(x) sin
0
mπ xdx = l
l ∞
Dn sin
0 n=1
nπ mπ x sin xdx l l l 2
x+at
ψ (ξ )dξ.
x−at
(4)
这 样, 就 求 得 了一 维 无 界 区 间 上 波 动 方 程 定 解 问 题(2)的 解. 它 称 为一 维 波 动 方 程 定 解 问 题 的 行 波 解, 或 d’Alembert 解. 这个解具有清楚的物理意义: 第一项表示由初位移激发的行波, t = 0 时波形为 φ(x), 以后分成相等的两部分, 独立地向左右传播, 速率 为 a; 第 二 项 表 示 由 初 速 度 激 发 的 行 波, t = 0 时 在 x 处 的 速 度 为 ψ (x), 在 t 时 刻, 它 将 左 右 对 称 地 扩 展 到 [x − at, x + at] 的范围, 所以, 传播的速率也是 a. 如果是有界弦上的波动问题, 毫无疑问, 就必须明确地写出边界条件, 才能构成一个适定的定解问题. 这一 章将讨论这种定解问题的求解方法. 尽管这时波动方程的通解仍然可以写成(1)的形式, 但由于边界条件的出 现, 就使得我们不能简单地模仿上面的求解过程而定出函数 f 和 g .
nπ nπ nπ at + Dn cos at sin x l l l
(n = 1, 2, 3, ...) 它们都满足偏微分方程+边界条件. 我们称之为特解. 由于方程和边界条件都是齐次的, 特解的线性叠加仍然满足方程+边界条件. 把所有的特解in
nπ nπ nπ at + Dn cos at sin x l l l
14.1
两端固定弦的自由振动
方程: 0 < x < l, t > 0时
2 ∂2u 2∂ u − a =0 ∂t2 ∂x2
Example 14.2
(5)
边界条件: t > 0时 u|x=0 = 0 初始条件: 0 ≤ x ≤ l时 u|t=0 = φ(x) Solution 1. 分离变量. u|x=l = 0 ∂u ∂t = ψ (x)
这样就得到了 X (x) 满足的常微分方程和边界条件; 以及 T (t) 满足的常微分方程. 求解本征值问题 常微分方程+边界条件 X (x) + λX (x) = 0 X (0) = 0 X (l) = 0 构成本征值问题. 求解本征值问题就是要求它的非零解. λ 的值可以是复数2 . 若 λ = 0, 常微分方程的通解为 X (x) = Ax + B 代入边界条件 X (0) = B = 0 X (l) = Al + B = 0 ⇒ A = 0 所以, 这时 X (x) ≡ 0 不是非零解. 若 λ = 0, 则通解可写为 代入边界条件 X (0) = B = 0 √ X (l) = A sin λ l = 0 A = 0, 否则又有 X (x) ≡ 0. 故必有
= Dm Xm = Dm 所以 Dn = 同样由 (9) 可以得到 Cn = 2 nπa
l l
2 l
φ(x) sin
0
nπ xdx l nπ xdx l
ψ (x) sin
0
给定 φ(x) 和 ψ (x), 就可以积分定出叠加系数 Cn 和 Dn , 代入一般解, 就得到了整个问题的解. 分离变量法的基本步骤 1. 分离变量 必要条件: 偏微分方程和边界条件都是齐次的. 结果: 得到每一个一元函数满足的常微分方程. 其中包括齐次常微分方程+齐次边界条件的本征值问题. 2. 求解本征值问题. 即求非零解. 3. 求特解, 并叠加出一般解. 还是因为偏微分方程和边界条件都是齐次的. 另外, 本征函数的全体是完备的: 任何满足同样边界条件的, 足够“好” (一般要求连续, 分段光滑) 的函 数都可以展开为
1 这个定解问题中明显缺少了边界条件.
∂ ∂ −a ∂t ∂x
u=0
η = x + at
(1)
(2a) (2b) (2c)
严格说来, 这里的确应该明确写出无穷远条件 ˛ u(x, t)˛x→±∞ → 0
1
Solution 方程(2a)的通解已由上例给出, 现在的问题便是如何根据初始条件(2b)和(2c)确定函数 f 和 g . 为 此, 将通解代入初始条件, 得 f (x) + g (x) = φ(x), a f (x) − g (x) = −ψ (x). 将(3b)积分, 可以得到 f (x) − g (x) = − 1 a
代表一个驻波. 行波的波形是以波速沿着波的传播方向行进的; 而驻波的波形永不前进, 而是在原地变化. ωn = nπ a l
是驻波的角频率, 称为两端固定弦的固有频率或本征频率, 与初始条件无关. kn = nπ l
称为波数, 是单位长度上波的周期数. 在 kn x = mπ , 即 x = mπ/kn = (m/n) l, m = 0, 1, 2, 3, · · · , n 的各点上, 振动的振幅恒为0, 称为波节. 包 括弦的两个端点在内, 波节点共有 n + 1 个. 整个问题的解则是这些驻波的叠加. 正是因为这个原因, 这种解法也称为驻波法. 驻波解和行波解的关系 可以把分离变量法得到的驻波解表示为行波解的形式. 为此, 先将初始条件 φ(x) 和 ψ (x) 作奇延拓. 在区 间 −l ≤ x ≤ l, 定义奇函数 Φ(x) = −φ(−x), −l ≤ x ≤ 0, φ(x), 0 ≤ x ≤ l, −ψ (−x), −l ≤ x ≤ 0, ψ (x), 0 ≤ x ≤ l.
2 以后将证明,
√ √ X (x) = A sin λ x + B cos λ x
λ=0
√ λ l = nπ (n > 0)
这个本征值问题为 Sturm-Liouville 型本征值问题, λ 只能是实数.
3
λ=
nπ l
2
, 记为 λn = nπ l
2
取 A = 13 , 非零解为 Xn (x) = sin
0 x
(3a) (3b)
ψ (ξ )dξ + C,
其中 C 是积分常数. 将这个结果和(3a)联立, 即可求得 f (x) = 1 φ( x ) − 2 1 g (x) = φ(x) + 2 1 2a 1 2a C , 2 0 x C ψ (ξ )dξ − . 2 0 ψ (ξ )dξ +
f (x) =
n=1
Cn Xn (x)
这样, 定解问题的解一定可以按照本征函数展开. 4. 定叠加系数. 利用本征函数的正交性. 5
14.2
分离变量法的物理诠释
nπ nπ nπ at + Dn cos at sin x l l l
现在讨论分离变量法解的物理意义. 特解 un (x, t) = Cn sin
Ψ(x) =
然后, 再延拓为周期为 2l 的周期函数. 因此, Φ(x) 和 Ψ(x) 可以展开为 Fourier 级数:
∞
Φ(x) =
n=1 ∞
αn sin βn sin
n=1
nπ x, l nπ x, l
Ψ(x) = 其中 αn = βn = 与分离变量法的解比较, αn = Dn ,
∞
1 l 1 l
这种形式的解称为一般解. 利用本征函数的正交性定叠加系数 一般解满足方程和边界条件. 适当选择叠加系数 Cn 和 Dn , 使之满足初始条件
∞
u(x, 0) =
n=1 ∞
Dn sin
nπ x = φ(x) l
(8) (9)
∂u nπ nπ (x, 0) = Cn · a · sin x = ψ (x) ∂t l l n=1 首先求本征函数之间的正交关系. 设 Xn 是本征值为 λn 的本征函数 Xn (x) + λn Xn (x) = 0 Xn (0) = 0 Xm 是本征值为 λm 的本征函数 Xm (x) + λm Xm (x) = 0 Xm (0) = 0 Xm (x) × (10) − Xn (x) × (12) (Xm Xn − Xn Xm ) + (λn − λm )Xn Xm = 0
nπ x l
我们看到本征值问题不同于常微分方程的初值问题: 如果是常微分方程的初值问题, 方程的解是唯一的. 如果 X (x) ≡ 0 是解, 就是方程+初值条件的唯一的解! 但本征值问题, 当 λ 取某些特定值时, 除零解外, 还有 非零解存在; 即解不是唯一的. λ 的这些特定值 λn 称为本征值, 相应的非零解 Xn (x) 称为本征函数. 求特解, 并叠加出一般解 对于每一个本征值 λn , 可由方程 T (t) + λn a2 T (t) = 0 求出 Tn (t) = Cn sin 因此得 un (x, t) = Cn sin nπ nπ at + Dn cos at l l
l
Φ(x) sin
−l l
nπ 2 xdx = l l nπ 2 xdx = l l
3 其它解都是线性相关的,
(10) (11)
Xn (l) = 0
(12) (13)
Xm (l) = 0
可用 A = 1 的解表示
4
(λn − λm )Xn Xm = (Xn Xm − Xm Xn ) 积分, 并利用边界条件(11), (13)
l
(λn − λm )
0
Xn (x)Xm (x)dx
l
= (Xn (x)Xm (x) − Xm (x)Xn (x))|0 = 0 当 n = m 时, λn = λm , 所以
l
Xn (x)Xm (x)dx = 0
0
n=m
进一步, 当 n = m 时, 可计算本征函数的模方 Xn (8) 两端乘以 sin
mπ l x, 2 l
=
0
2 Xn (x)dx =
l 2
并逐项积分
l
φ(x) sin
0
mπ xdx = l
l ∞
Dn sin
0 n=1
nπ mπ x sin xdx l l l 2
x+at
ψ (ξ )dξ.
x−at
(4)
这 样, 就 求 得 了一 维 无 界 区 间 上 波 动 方 程 定 解 问 题(2)的 解. 它 称 为一 维 波 动 方 程 定 解 问 题 的 行 波 解, 或 d’Alembert 解. 这个解具有清楚的物理意义: 第一项表示由初位移激发的行波, t = 0 时波形为 φ(x), 以后分成相等的两部分, 独立地向左右传播, 速率 为 a; 第 二 项 表 示 由 初 速 度 激 发 的 行 波, t = 0 时 在 x 处 的 速 度 为 ψ (x), 在 t 时 刻, 它 将 左 右 对 称 地 扩 展 到 [x − at, x + at] 的范围, 所以, 传播的速率也是 a. 如果是有界弦上的波动问题, 毫无疑问, 就必须明确地写出边界条件, 才能构成一个适定的定解问题. 这一 章将讨论这种定解问题的求解方法. 尽管这时波动方程的通解仍然可以写成(1)的形式, 但由于边界条件的出 现, 就使得我们不能简单地模仿上面的求解过程而定出函数 f 和 g .
nπ nπ nπ at + Dn cos at sin x l l l
(n = 1, 2, 3, ...) 它们都满足偏微分方程+边界条件. 我们称之为特解. 由于方程和边界条件都是齐次的, 特解的线性叠加仍然满足方程+边界条件. 把所有的特解in
nπ nπ nπ at + Dn cos at sin x l l l
14.1
两端固定弦的自由振动
方程: 0 < x < l, t > 0时
2 ∂2u 2∂ u − a =0 ∂t2 ∂x2
Example 14.2
(5)
边界条件: t > 0时 u|x=0 = 0 初始条件: 0 ≤ x ≤ l时 u|t=0 = φ(x) Solution 1. 分离变量. u|x=l = 0 ∂u ∂t = ψ (x)
这样就得到了 X (x) 满足的常微分方程和边界条件; 以及 T (t) 满足的常微分方程. 求解本征值问题 常微分方程+边界条件 X (x) + λX (x) = 0 X (0) = 0 X (l) = 0 构成本征值问题. 求解本征值问题就是要求它的非零解. λ 的值可以是复数2 . 若 λ = 0, 常微分方程的通解为 X (x) = Ax + B 代入边界条件 X (0) = B = 0 X (l) = Al + B = 0 ⇒ A = 0 所以, 这时 X (x) ≡ 0 不是非零解. 若 λ = 0, 则通解可写为 代入边界条件 X (0) = B = 0 √ X (l) = A sin λ l = 0 A = 0, 否则又有 X (x) ≡ 0. 故必有
= Dm Xm = Dm 所以 Dn = 同样由 (9) 可以得到 Cn = 2 nπa
l l
2 l
φ(x) sin
0
nπ xdx l nπ xdx l
ψ (x) sin
0
给定 φ(x) 和 ψ (x), 就可以积分定出叠加系数 Cn 和 Dn , 代入一般解, 就得到了整个问题的解. 分离变量法的基本步骤 1. 分离变量 必要条件: 偏微分方程和边界条件都是齐次的. 结果: 得到每一个一元函数满足的常微分方程. 其中包括齐次常微分方程+齐次边界条件的本征值问题. 2. 求解本征值问题. 即求非零解. 3. 求特解, 并叠加出一般解. 还是因为偏微分方程和边界条件都是齐次的. 另外, 本征函数的全体是完备的: 任何满足同样边界条件的, 足够“好” (一般要求连续, 分段光滑) 的函 数都可以展开为
1 这个定解问题中明显缺少了边界条件.
∂ ∂ −a ∂t ∂x
u=0
η = x + at
(1)
(2a) (2b) (2c)
严格说来, 这里的确应该明确写出无穷远条件 ˛ u(x, t)˛x→±∞ → 0
1
Solution 方程(2a)的通解已由上例给出, 现在的问题便是如何根据初始条件(2b)和(2c)确定函数 f 和 g . 为 此, 将通解代入初始条件, 得 f (x) + g (x) = φ(x), a f (x) − g (x) = −ψ (x). 将(3b)积分, 可以得到 f (x) − g (x) = − 1 a
代表一个驻波. 行波的波形是以波速沿着波的传播方向行进的; 而驻波的波形永不前进, 而是在原地变化. ωn = nπ a l
是驻波的角频率, 称为两端固定弦的固有频率或本征频率, 与初始条件无关. kn = nπ l
称为波数, 是单位长度上波的周期数. 在 kn x = mπ , 即 x = mπ/kn = (m/n) l, m = 0, 1, 2, 3, · · · , n 的各点上, 振动的振幅恒为0, 称为波节. 包 括弦的两个端点在内, 波节点共有 n + 1 个. 整个问题的解则是这些驻波的叠加. 正是因为这个原因, 这种解法也称为驻波法. 驻波解和行波解的关系 可以把分离变量法得到的驻波解表示为行波解的形式. 为此, 先将初始条件 φ(x) 和 ψ (x) 作奇延拓. 在区 间 −l ≤ x ≤ l, 定义奇函数 Φ(x) = −φ(−x), −l ≤ x ≤ 0, φ(x), 0 ≤ x ≤ l, −ψ (−x), −l ≤ x ≤ 0, ψ (x), 0 ≤ x ≤ l.
2 以后将证明,
√ √ X (x) = A sin λ x + B cos λ x
λ=0
√ λ l = nπ (n > 0)
这个本征值问题为 Sturm-Liouville 型本征值问题, λ 只能是实数.
3
λ=
nπ l
2
, 记为 λn = nπ l
2
取 A = 13 , 非零解为 Xn (x) = sin
0 x
(3a) (3b)
ψ (ξ )dξ + C,
其中 C 是积分常数. 将这个结果和(3a)联立, 即可求得 f (x) = 1 φ( x ) − 2 1 g (x) = φ(x) + 2 1 2a 1 2a C , 2 0 x C ψ (ξ )dξ − . 2 0 ψ (ξ )dξ +