两个基本计数原理

。
五、综合问题:
• 例4 若直线方程ax+by=0中的a,b可以 从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同 的数字,则方程所表示的不同的直线共有 多少条?
C
D
解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成。 第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C 有3种方法；第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理， 共有5×4×3×2＝120种方法。 第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种 方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据分 步计数原理，共有5×4×3＝60种方法。 根据分类计数原理，共有120+60＝180种方法。
4．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展 开后共有多少项？
思考：满足A∪B=｛1,2｝的集合A、B共有多 少组? 解 法 一 : 、 A ，B 均 是 ｛ 1,2 ｝的 子 集 :φ, ｛ 1｝ , ｛2｝,｛1,2｝,但不是随便两个子集搭配都行,其 全部解分为四类: 1)当A=φ时,只有B=｛1,2｝,得1组解;
说明
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理 2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
例2、设某班有男生28名，女生20名。现要从中选出一名 同学代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
N＝4 ×3×2＝24
例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅， 分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多 少种不同的挂法？
例3、浦江县的部分电话号码是05798415××××,后 面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同 的电话号码? 分析:
05798415
变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?
想一想：
• 袋子中有5个白球，6个黑球，从中任取一个球， 共有多少种方法，从中任取一个白球和一个黑球 一共有多少种方法？
想一想：
• 1.由数字1，2，3，4，5共可组成多少个没 有重复数字的五位数，其中有多少个偶数？ （答案：120，48） 2.由数字0,1，2，3，4共可组成多少个数 字不重复的三位数？
３.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域 只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有 种。 B 分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻， A A
与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色两两不同，A、D两个区域可以同色，也可以不同色， 但D与B、C不同色。由此可见我们需根据A与D 同色与不同色分成两大类。
（3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个数字中 的一个。这样的密码共有多少个？
课堂练习
5、已知二次函数 y ax
2
bx c. 若
a, b, c {3, 2,0,1, 2,3}. 则可以得到多少个
不同的二次函数？其中图象过原点的二次函 数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限 的二次函数又有多少个？
中
南 B村 南 C村
从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种 不同的方法。
分析:
二、分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
变式、设某班有男生28名，女生20名。现要从中选出男女 生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
N＝4＋3+2＝9
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?
3、将4封信投入3个不同的邮筒，有多少种不 同的投法？ 4、已知 a {3, 4,6}, b {1, 2,7,8}, r {8,9}
则方程 ( x a)2 ( y b)2 r 2 可表示不同的圆的 个数有多少？
例3、为了确保电子信箱的安全，在注册 时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设 置的信箱中， （1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的 一个数字，这样的密码共有多少个？ （2）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的 一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个。这 样的密码共有多少个？
2)当A=｛1｝时,B=｛2｝或B=｛1,2｝,得2组解;
3)当A=｛2｝时,B=｛1｝或B=｛1,2｝,得2组解; 4)当A=｛1,2｝时,B=φ或｛1｝或｛2｝或 ｛1,2｝,得4组解. 根据分类计数原理,共有1+2+2+4=9组解.
满足A∪B=｛1,2｝的集合A、B共有多少组? 解法二: 设A、B为两个“口袋”,需将两种元素(1与 2)装入,任一元素至少装入一个袋中, 分两步进行:
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关， 分步乘法计数原理与分步有关。
分类计数与分步计数原理的区别和联系： 加法原理 乘法原理
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有 N2=4×3×2×2×1=48种； （3）②与④且③与⑥同色，则共N3=4×3×2×1=24种
所以，共有 N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.
5、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、 黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜 色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反 复使用，那么共有多少种涂色方法？
４、某城市在中心广场建造一个花圃， 5 1 花圃分为6个部分（如右图）现要栽 种4种不同颜色的花，每部分栽种一 3 4 2 6 种且相邻部分不能栽种同样颜色的花， 不同的栽种方法有______种.（以 数字作答） 解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看 知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求 （1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有 N1=4×3×2×2×1=48种；
２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？ 思考：
若用2色、4色、5色 等,结果又怎样呢？ 答:它们的涂色方案种数 分别是 0、 4×3×2×2 = 48、 5×4×3×3 = 180种等。
6、将３种作物种植在如图所示的５块试验 田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不 能种植同一种作物，不同的种植方法共有 种（以数字作答）
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四、子集问题
规律：n元集合 A {a1 , a2 ,..., an } 的不 n 同子集有个 2 。 例：集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数 为 ，真子集个数为 ，非空 子集个数为 ，非空真子集个数为
联系
区别一
区别二
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能能独立完成 每类办法都能独立完成 这件事情，缺少任何一步也 这件事情。 不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
区别三
各类办法是互斥的、 并列的、独立的
各步之间是相关联的
课堂练习
1、在所有的两位数中，个位数字比十位数 字大的两位数有多少个？ 2、8本不同的书，任选3本分给3个同学，每 人1本，有多少种不同的分法？
说明
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理 2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 生物学 化学 医学 物理学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学
例1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人 限报一项，报名方法的种数为多少？ 又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可 能性有多少种？
解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每 个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成 这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 45 种 . （2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得 其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种 故有n=5×５×５×５= 54 种 .
工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。
根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。
问题 2. 如图,由A村去B村的道路有3条，
由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去 C村，共有多少种不同的走法?
北 A村 北
引申:
1、将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个 方格里,每格填一个数字,则每个格子的标 号与所填的数字均不同的填法有_____种
１号方格里可填２，３，４三个数字，有３种填 法。１号方格填好后，再填与１号方格内数字相 同的号的方格，又有３种填法，其余两个方格只 有１种填法。
所以共有3*3*1=9种不同的方法。
二、映射个数问题: