第四讲 拟合插值
插值与拟合
且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。
Lagrange插值法的缺点
• 多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的， 但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次 （Runge）现象。
• 例：在[-5,5]上用n+1个等距节点作插值多项 式Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2)在对应节点的值相等，当n增大时， 插值多项式在区间的中间部分趋于y(x)，但 对于满足条件0.728<|x|<1的x， Ln(x)并不趋 于y(x)在对应点的值，而是发生突变，产生 剧烈震荡，即Runge现象。
总结
• 拉格朗日插值：其插值函数在整个区间 上是一个解析表达式；曲线光滑；收敛 性不能保证，用于理论分析，实际意义 不大。
• 分段线性插值和三次样条插值：曲线不 光滑（三次样条已有很大改进）；收敛 性有保证；简单实用，应用广泛。
1.2 二维插值
• 二维插值是基于一维插值同样的思想， 但是它是对两个变量的函数Z=f(x,y)进 行插值。
• n=5; • x0=-1:1/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr(x0,y0,x); • subplot(2,2,2), • plot(x,z,'r-',x,y,'m-'),hold on %原曲线 • plot(x,y1,'b'),gtext('L8(x)','FontSize',12),pause %Lagrange曲线
基函数为
l0 (x)
x x1 x0 x1
x2 1 2
2
x
l1(x)
线性插值函数为
数学建模～插值与拟合(课件ppt)
• 代数多项式插值是最常用的插值方式，其内容也 是最丰富的，它又可分为以下几种插值方式： （1）非等距节点插值，包括拉格朗日插值、利用 均差的牛顿插值和埃特金插值； （2）非等距节点插值，包括利用差分的牛顿插值 和高斯插值等； （3）在插值中增加了导数的Hermite（埃尔米特） 插值； （4）分段插值，包括分段线性插值、分段Hermite （埃尔米特）插值和样条函数插值； （5）反插值。 • 按被插值函数的变量个数还可把插值法分为一元 插值和多元插值。
引言2---插值和拟合的联系与区别
联系：二者都是函数逼近的主要方法
• 区别： •运算过程上的区别：
– 拟合：是将数据点用最恰当的曲线描述出来，以反映问题的规律， 是特殊到一般的过程。 – 插值：是在知道曲线的形状后得出某些具体点的性质的过程,是 从一般到特殊。
•求解误差上的区别：
– 拟合：考虑观察值的误差（误差不可避免时）。以偏差的某种最 小为拟合标准
n n ik
0 i k 而： lk xi 1 i k
22
例1
x1 1, x2 2, x3 4, f ( x1 ) 8, f ( x2 ) 1, f ( x3 ) 5
求二次插值多项式。
解:
按拉格朗日方法，有：
L( x) y1l1 x y2l2 x y3l3 x ( x 2)( x 4) ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 2) 8 1 5 (1 2)(1 4) (2 1)(2 4) (4 1)(4 2) 3x 2 16 x 21
4.2 插值方法 选用不同类型的插值函数，逼近的效 果就不同，一般有： （1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值。
第四讲matlab插值、拟合和回归分析
第四讲matlab插值、拟合和回归分析第四讲插值、拟合与回归分析在⽣产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的⼀批离散样本点，要求得到变量之间的函数关系或得到样本点之外的数据。
解决此类问题的⽅法⼀般有插值、拟合和回归分析等。
设有⼀组实验数据0011(,),(,),(,)n n x y x y x y ，当原始数据精度较⾼，要求确定⼀个简单函数()y x ?=（⼀般为多项式或分段多项式）通过各数据点，即(),0,,i i y x i n ?== ，称为插值问题。
另⼀类是拟合问题，当我们已经有了函数关系的类型，⽽其中参数未知或原始数据有误差时，我们确定的初等函数()y x ?=并不要求经过数据点，⽽是要求在某种距离度量下总体误差达到最⼩，即(),0,,i i i y x i n ?ε=+= ，且20ni i ε=∑达到最⼩值。
对同⼀组实验数据，可以作出各种类型的拟合曲线，但拟合效果有好有坏，需要进⾏有效性的统计检验，这类问题称为回归分析。
⼀、插值(interpolation)常⽤的插值⽅法有分段线性插值、分段⽴⽅插值、样条插值等。
1、⼀元插值yi=interp1(x,y,xi,method)对给定数据点(x,y)，按method 指定的⽅法求出插值函数在点（或数组）xi 处的函数值yi 。
其中method 是字符串表达式，可以是以下形式：'nearest' ——最邻近点插值'linear' ——分段线性插值（也是缺省形式）'spline' ——分段三次样条插值'cubic' 分段⽴⽅插值例：在⼀天24⼩时内，从零点开始每间隔2⼩时测得环境温度数据分别为（℃）：12，9，9，10，18，24，28，27，25，20，18，15，13⽤不同的插值⽅法估计中午1点（即13点）的温度，并绘出温度变化曲线。
>> x=0:2:24;>> y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13];>>y_linear=interp1(x,y,13),y_nearest=interp1(x,y,13,'nearest')>>y_cubic=interp1(x,y,13,'cubic'),y_spline=interp1(x,y,13,'spline')>> y1=interp1(x,y,xx); y2=interp1(x,y,xx,'nearest');>> y3=interp1(x,y,xx,'cubic');y4=interp1(x,y,xx,'spline');>> subplot(2,2,1),plot(x,y,'or',xx,y1)>> subplot(2,2,2),plot(x,y,'or',xx,y2)>> subplot(2,2,3),plot(x,y,'or',xx,y3)>> subplot(2,2,4),plot(x,y,'or',xx,y4)2、⼆元插值zi=interp2(X,Y,Z,xi,yi,method)已知数据点（X，Y，Z），求插值函数在（xi,yi）处的函数值zi,插值⽅法method同interp1。
第四讲 拟合插值
0
2
4
6
8
10
pp=spline (x,y) ….返回分段多项式的表示
yi=ppval(pp,xi)
或 yi=spline(x,y,xi)
plot(xi,yi)
[break, coefs,pieces,order]=unmkpp(pp)
……分解分段多项式表示
pp=mkpp(break,coefs)…形成分段多项式表示 其中
fprime = fnder(pp,dorder) 其中 pp:为样条函数的描述 dorder:求导的阶数 fprime:求导后的分段表达形式
fnint样条函数的积分
intgrf = fnint(pp)
intgrf = fnint(f,value)
其中
Pp:为样条函数的描述
fnplt样条函数的绘图
缺省情况： 使用各个端点附近的四个数据计 算斜率
当conds为1*2阶的矩阵时，可使两个边界点 具有不同的边界条件：如conds(i)=j,则给定 端点i处的j阶导数（j=0,1,2).
PP = CSAPE({X,Y}，Z, CONDS,VALCONDS) x=0:20; y=0:10; [xx,yy]=meshgrid(x,y); zz=(sin(xx)).^2+(cos(yy)).^2; pp=csape({x,y},zz'); fnplt(pp)
Break是断点/节点
Coefs是矩阵，其第i行是第i个三次多项式
pieces是分段多项式的数目
order 是每个多项式系数的数目（阶数-1）
i
断点
在每一个区间为多项式
x=0:0.1:3*pi; y=sin(x); pp=spline(x,y)
4插值与拟合方法课件-11
第4章 插值与拟合方法插值与拟合方法是用有限个函数值(),(0,1,,)i f x i n =⋅⋅⋅去推断或表示函数()f x 的方法，它在理论数学中提到的不多。
本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法，涉及的内容有多项式插值，分段插值及曲线拟合等。
对应的方法有Lagrange 插值，Newton 插值，Hermite 插值，分段多项式插值和线性最小二乘拟合。
4.1 实际案例4.2 问题的描述与基本概念先获得函数（已知或未知）()y f x =在有限个点n x x x ⋅⋅⋅,,10上的值x0x 1x … n x y0y 1y … n y 由表中数据构造一个函数P (x )作为f (x ) 的近似函数，去参与有关f (x )的运算。
科学计算中，解决不易求出的未知函数的问题主要采用插值和拟合两种方法。
1）插值问题的描述已知函数()y f x =在[a,b ]上的n +1个互异点x ,0处的函数值()i i y f x =，求f (x ) 的一个近似函数P (x )，满足()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅ （4.1）● P (x ) 称为f (x )的一个插值函数;● f (x ) 称为被插函数;点i x 为插值节点; ● ()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅称为插值条件; ● ()()()R x f x P x =-称为插值余项。
当插值函数P (x )是多项式时称为代数插值（或多项式插值）。
一个代数插值函数P (x )可写为0()()()mkm k k k P x P x a x a R ===∈∑若它满足插值条件（4.1），则有线性方程组20102000201121112012m m mm m nn m n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ⎧+++⋅⋅⋅=⎪+++⋅⋅⋅=⎪⎨⎪⎪+++⋅⋅⋅=⎩ （4.2）当m=n ，它的系数行列式为范德蒙行列式)(1110212110200j i ni j nnnn nn x x x x x x x x x x x D -∏==≤≤≤因为插值节点互异，0D ≠，故线性方程组（4.2）有唯一解，于是有定理 4.1 当插值节点互异时，存在一个满足插值条件()()(0,1i i P x f x i n ==⋅⋅⋅的n 次插值多项式。
第四章插值和曲线拟合
在实际问题和科学实验中所遇到的函数y=f(x),往往
没有解析表达式 , 只能根据试验观察或其它方法提供一
系列点的函数值; 有时尽管可以写出表达式，但是比较
复杂, 直接使用它感到不方便。我们经常需要利用已知
的数据去寻求某个简单的函数φ (x)来逼近f(x),即用φ (x)
作为f(x)的近似表达式。本章的插值法和曲线拟合就是
φ (xi) = yi ,
插值法的几何意义
插值法的几何意义就是通过n+1个点: (xi,yi) (i=0,1,2,…,n) 作一条近似曲线y= φ (x) 代替y=f(x)。如下图所示。 y=f(x) (xn,yn) y= φ (x) y
(x1,y1) (x0,y0) (x2,y2)
(xn-1,yn-1)
三、n次拉格朗日插值
仿照P2 (x)的构造方法，可得出 Pn(x)=L0(x)y0+L1(x)y1+…+Ln(x)yn 其中 L0(x)=[(x-x1)(x-x2)…(x-xn)]/ [(x0-x1)(x0-x2)…(x0-xn)] Lk(x)= [(x-x0)…(x-xk-1)(x-xk+1) …(x-xn)] /[(xk-x0)…(xk-xk-1)(xk-xk+1) …(xk-xn)] ( k = 0, 1, …, n ) 这就是n次拉格朗日插值多项式。 也可写为 n n n x x k P ( x ) L ( x ) y y n i i i x x i 0 i 0 k 0 , k i i 或 k
线性插值举例
例 解 或 已知 1001/2 =10，1211/2 =11 求 1151/2 P1(x) = y0+(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0) P1(115) = 10+(11-10)/(121-100)*(115-100)
数值计算04-插值与拟合
二维插值的定义
第一种（网格节点）：
y
O
x
已知 mn个节点 其中 互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
第二种（散乱节点）：
y
0
x
已知n个节点
其中 互不相同，
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
最邻近插值
y
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) ( x2 , y1 )
x
O
注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值。
分片线性插值
速度最快，但平滑性差
linear
占有的内存较邻近点插值方法多，运算时间 也稍长，与邻近点插值不同，其结果是连续 的，但在顶点处的斜率会改变 运算时间长，但内存的占有较立方插值方法 要少，三次样条插值的平滑性很好，但如果 输入的数据不一致或数据点过近，可能出现 很差的插值结果 需要较多的内存和运算时间，平滑性很好 二维插值函数独有。插值点处的值和该点值 的导数都连续
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度数据为： z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87
拟合与插值专题ppt课件
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)
第四章插值与拟合
第四章 插值与拟合插值与拟合是来源于实际，又广泛应用于实际的两种重要的方法。
随着计算机的不断发展及计算水平的不断提高，他们已在国民生产和科学研究等方面扮演着越来越重要的角色。
在测量上观测值不等间隔和后续值的预测及观测值的曲线拟合，都需要插值与拟合来完成。
本节将对插值法中重要的LAGRANGE 插值，分段线性插值，HERMITE 插值及三次洋条插值做介绍，说明利用MATLAB 处理此类问题的方法。
另外还对拟合中最为重要的最小二乘法拟合和快速FURIER 变换加以介绍。
第一节 插值运算（一）LAGRANGE 插值1．方法介绍对给定的N 个插值节点x1，x2，x3……，xn 及对应的函数值y1,y2,y3……,yn,利用(n-1)次LAGRANGE 插值多项式公式,则对插值区间内的任意X 的函数值Y 可通过下式求得.Y(x)=∑=nk Yk 1( ∏≠=nkj j ,1xx x x --)2．MATLAB 的实现 Lagrange.mFunction y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0;for j=1;nif j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end3．题目举例例: 给出F(x)=ln(x)的数值表,用LAGRANGE插值计算ln0.54的近似值解: 在MATLAB命令窗口中输入x=[0.4:0.1:0.8];y=[-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144];lagrange(x,y,0.54)ans=-0.616143说明:同精确解ln(0.54)=-0.616186比较起来,误差还是可以接受的,特别是在工程应用之中.（二）RUNGE现象的产生和分段线性插值1．方法介绍上面根据区间[a,b]上给出的节点做插值多项式ln(x)近似值，一般总认为ln(x)的次数越高逼近f(x)的精度就越好。
插值拟合方法
(kg) 土豆产 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 量(kg)
请根据表9.2的数据，给出土豆产量与氮肥施肥量之间的关系
y(tu dou chan liang)
第4讲 数据的插值拟合法
4.1 数据的拟合方法 4.2 数据的插值方法
4.1 数据的拟合方法
问 已知n个数据点（xi, yi)，i=1,2,…,n，xi互不相
同，如何寻求函数 y=f(x) ，使f(x)在某种准则下
题 与这n个点最接近？
一、拟合原理
拟合模型通过寻找简单的因果变量之间的数量关 系，对未知的情形作出预测与预报.
b2=-0.2347
clear t=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8]; y=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01]; Y=log(y); b=polyfit(t,Y,1)
a e b 1 e 2 .9 9 4 3 1 9 .9 7 0 9 , b 0 .2 3 4 7
表 9.1
t
20.5 32.7 51.0
73
95.7
R
765
826
873
942 1032
试给出温度与电阻间的函数关系，并计算温度为60度 时的电阻值
一、模型假设 假设所测数据均为抽样数据.
二、模型的分析与建立 先画出散点图，见下图.
1050
R
1000
t=[20.5 32.7 51 73 95.7];
三、模型求解
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pp = form: 'pp' breaks: [0 1 2 3 4] coefs: [4x4 double] pieces: 4
order: 4
dim: 1
fnval样条函数的求值
Y = fnval(pp,X) 其中： pp：样条函数的描述 x: 待求值的点
fnder样条函数的导数
fprime = fnder(pp)
f ( x, y)
f y ( x, y)
f xxy ( dxdy
[x,y,z] = peaks(10);
[xi,yi] = meshgrid(-3:.1:3,-3:.1:3);
zi = interp2(x,y,z,xi,yi); mesh(xi,yi,zi)
Peaks 6 4 2 0 -2 -4 -6 2 0 -2 y -3 -2 -1 x 0 1 2 3
插值前
fprime = fnder(pp,dorder) 其中 pp:为样条函数的描述 dorder:求导的阶数 fprime:求导后的分段表达形式
fnint样条函数的积分
intgrf = fnint(pp)
intgrf = fnint(f,value)
其中
Pp:为样条函数的描述
fnplt样条函数的绘图
插值前
插值后
Csapi 构造not-a-knot边界条 件下的三次样条函数
VALUES = CSAPI(X,Y,XX) PP = CSAPI(X,Y)
csaps 构造具有不同光滑性的 三次样条函数
VALUES = CSAPs(X,Y,p,XX) PP = CSAPS(X,Y,p)
p [0,1]
P=0,光滑程度最低 P=1光滑程度最高
getcurve 交互式构造三次 样条曲线
[xx,pp]=getcurve
其中xx为数据 Pp为样条pp形式
Pp形式及其分解
ppbrk(pp)
breaks(1:l+1) 0 1 2 3 4 coefficients(d*l,k) -0.0179 0.0179 1.0000 -2.0000 0.0536 -0.0357 0.9821 -1.0000 -0.1964 0.1250 1.0714 0 0.7321 -0.4643 0.7321 1.0000 pieces number l 4 order k 4 dimension d of target 1
fnplt(pp)
FNPLT(F,SYMBOL,INTERV,LINEWIDTH)
其中
f: 样条函数的描述
例
subplot(221) fnplt(pp) subplot(222) fnplt(fnder(pp,[0,1])) subplot(223) fnplt(fnder(pp,[2,1])) subplot(224) fnplt(fnder(pp,[-1,-2]))
YI = interp1(X,Y,XI,'method') 其中X,Y为原始数据点，method为
'nearest' - nearest neighbor interpolation 'linear' - linear interpolation 'spline' - piecewise cubic spline interpolation (SPLINE) 'pchip' - piecewise cubic Hermite interpolation (PCHIP) 'cubic' - same as 'pchip' 'v5cubic' - the cubic interpolation from MATLAB 5, which does not extrapolate and uses 'spline' if X is not equally spaced.
a1.m
非线性拟合
f ( x ) Ae Bxe
x
Cx
Ax B g ( x) 1 e
Cx
可根据MATLAB中的函数求出待定的
参数A,B,C等
如：fmins, curvefit, lsqcurvefit and etc.
【例】
二﹑插值函数
1. 一维插值函数
YI = interp1(X,Y,XI)
其中X,Y,Z为原始数据点，method为 'nearest' - nearest neighbor interpolation 'linear' - bilinear interpolation 'cubic' - bicubic interpolation 'spline' - spline interpolation
插值后
三次样条插值
Yi=spline(x,y,xi)
x = 0:10; y = sin(x);
xx = 0:.25:10;
yy = spline(x,y,xx);
plot(x,y,'o',xx,yy)
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
插值点
样条插值曲线
x = 0:10; y = sin(x); xi = 0:.25:10; yi = interp1(x,y,xi,'spline');plot(x,y,'o',xi,yi)
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
样条插值
0
2
4
6
8
10
2、二维插值函数
ZI = INTERP2(X,Y,Z,XI,YI, 'method')
Break是断点/节点
Coefs是矩阵，其第i行是第i个三次多项式
pieces是分段多项式的数目
order 是每个多项式系数的数目（阶数-1）
i
断点
在每一个区间为多项式
x=0:0.1:3*pi; y=sin(x); pp=spline(x,y)
pp =
例
form: 'pp' breaks: [1x95 double] coefs: [94x4 double] pieces: 94 order: 4 dim: 1
x = 0:10; y = sin(x); xi = 0:.25:10; yi = interp1(x,y,xi,‘linear’); plot(x,y,'o',xi,yi)
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
线性插值
0
2
4
6
8
10
x = 0:10; y = sin(x); xi = 0:.25:10; yi = interp1(x,y,xi,’nearst’); plot(x,y,'o',xi,yi)
构造具有各种不同边界条件的三次插值样条函数
Csape （Cubic spline interpolation）
PP = CSAPE(X,Y,CONDS,VALCONDS) CONDS: ’complete‘ or ’clamped‘…给定端点斜率
‘not-a-knot’, 第一和最后一个内点3阶导数连续 ‘periodic‘…给定端点周期条件 ‘second‘…给定端点2阶导数条件 ‘variational‘…给定端点2阶导数条件
缺省情况： 使用各个端点附近的四个数据计 算斜率
当conds为1*2阶的矩阵时，可使两个边界点 具有不同的边界条件：如conds(i)=j,则给定 端点i处的j阶导数（j=0,1,2).
PP = CSAPE({X,Y}，Z, CONDS,VALCONDS) x=0:20; y=0:10; [xx,yy]=meshgrid(x,y); zz=(sin(xx)).^2+(cos(yy)).^2; pp=csape({x,y},zz'); fnplt(pp)
(2) 采用什么样的曲线拟合（线性与非线性）
多项式拟合（Polynomial fit)
P=polyfit(x,y,n)….n为多项式次数
yy=polyval(P,xx)….计算多项式P在xx处的值 如：给定一组数据
x=0:0.1:2*pi
y=sin(x) 现用多项式拟合该组数据(x,y)
x=0:0.1:2*pi; y=sin(x); plot(x,y,'r+'); legend('sin(x)'); pause for n=1:6 p=polyfit(x,y,n); xx=0:0.01:2*pi; yy=polyval(p,xx); plot(x,y,'r+',xx,yy) PN=strcat(int2str(n),'次拟合多项式'); title(PN); legend('sin(x)',PN); pause end
0
2
4
6
8
10
pp=spline (x,y) ….返回分段多项式的表示
yi=ppval(pp,xi)
或 yi=spline(x,y,xi)
plot(xi,yi)
[break, coefs,pieces,order]=unmkpp(pp)
……分解分段多项式表示
pp=mkpp(break,coefs)…形成分段多项式表示 其中
MATLAB插值与拟合 （插值函数与样条工具箱）
对三次插值样条函数的操作
对PP形式样条函数的操作
对B形式样条函数的操作（与pp形式类似） 对张量式样条函数的操作