结构化学课后习题及答案
结构化学课后习题答案
结构化学课后习题答案北师⼤结构化学课后习题第⼀章量⼦理论基础习题答案1 什么是物质波和它的统计解释？参考答案:象电⼦等实物粒⼦具有波动性被称作物质波。
物质波的波动性是和微粒⾏为的统计性联系在⼀起的。
对⼤量粒⼦⽽⾔，衍射强度（即波的强度）⼤的地⽅，粒⼦出现的数⽬就多，⽽衍射强度⼩的地⽅，粒⼦出现的数⽬就少。
对⼀个粒⼦⽽⾔，通过晶体到达底⽚的位置不能准确预测。
若将相同速度的粒⼦，在相同的条件下重复多次相同的实验，⼀定会在衍射强度⼤的地⽅出现的机会多，在衍射强度⼩的地⽅出现的机会少。
因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒⼦，ψψ=ψ*2代表粒⼦的⼏率密度，在时刻t ，空间q 点附近体积元τd 内粒⼦的⼏率应为τd 2ψ；在整个空间找到⼀个粒⼦的⼏率应为 12=ψ?τd 。
表⽰波函数具有归⼀性。
2 如何理解合格波函数的基本条件？参考答案合格波函数的基本条件是单值，连续和平⽅可积。
由于波函数2ψ代表概率密度的物理意义，所以就要求描述微观粒⼦运动状态的波函数⾸先必须是单值的，因为只有当波函数ψ在空间每⼀点只有⼀个值时，才能保证概率密度的单值性；⾄于连续的要求是由于粒⼦运动状态要符合Schr?dinger ⽅程，该⽅程是⼆阶⽅程，就要求波函数具有连续性的特点；平⽅可积的是因为在整个空间中发现粒⼦的概率⼀定是100%，所以积分?τψψd *必为⼀个有限数。
3 如何理解态叠加原理？参考答案在经典理论中，⼀个波可由若⼲个波叠加组成。
这个合成的波含有原来若⼲波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。
⽽在量⼦⼒学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。
某⼀物理量Q 的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒⼦部分地处于Q 1状态，部分地处于Q 2态，……。
各种态都有⾃⼰的权重（即成份）。
这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。
但量⼦⼒学可以计算出测量的平均值。
4 测不准原理的根源是什么？参考答案根源就在于微观粒⼦的波粒⼆象性。
结构化学课后答案第9章晶体的结构习题解答
第9章 晶体结构和性质习题解答【9.1】若平面周期性结构系按下列单位并置重复堆砌而成，试画出它们的点阵结构，并指出结构基元。
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○解：用虚线画出点阵结构如下图，各结构基元中圈和黑点数如下表：1234567○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●图序号 1 2 3 4 5 6 7 结构基元数 1 1 1 1 1 1 1 黑点数 1 1 1 1 0 2 4 圈数1112313【评注】 从实际周期性结构中抽取出点阵的关键是理解点阵的含义，即抽取的点按连接其中任意两点的向量平移后必须能够复原。
如果不考虑格子单位的对称性，任何点阵均可划出素单位来，且素单位的形状并不是唯一的，但面积是确定不变的。
如果考虑到格子单位的对称形，必须选取正当单位，即在对称性尽量高的前提下，选取含点阵点数目尽量少的单位，也即保持格子形状不变的条件下，格子中点阵点数目要尽量少。
例如，对2号图像，如果原图是正方形，对应的正当格子单位应该与原图等价（并非现在的矩形素格子），此时结构基元包含两个黑点与两个圆圈。
【9.2】有一AB 型晶体，晶胞中A 和B 的坐标参数分别为(0,0,0)和(12,12,12)。
指明该晶体的空间点阵型式和结构基元。
解：晶胞中只有一个A 和一个B ，因此不论该晶体属于哪一个晶系，只能是简单点阵，结构基元为一个AB 。
【9.3】已知金刚石立方晶胞的晶胞参数a =356.7pm 。
请写出其中碳原子的分数坐标，并计算C —C 键的键长和晶胞密度。
解：金刚石立方晶胞中包含8个碳原子，其分数坐标为：(0,0,0)，1(2,12,0)，(12,0,1)2，(0,12,1)2，(14,14,1)4，3(4,34,1)4，(34,14,3)4，(14,34,3)4（0,0,0）与（14,14,14）两个原子间的距离即为C －C 键长，由两点间距离公式求得：C-C 356.7154.4pm r ====密度-13-10323-1812.0g mol 3.51 g cm (356.710cm)(6.022 10mol )A ZM D N V -⨯⋅==⋅⨯⨯⨯ 【9.4】立方晶系金属钨的粉末衍射线指标如下：110，200，211，220，310，222，321，400。
结构化学课后答案第2章习题原子的结构与性质
1.简要说明原子轨道量子数及它们的取值范围解：原子轨道有主量子数 n ，角量子数|，磁量子数m 与自旋量子数s ,对类氢原子（单电子原子）来2说，原子轨道能级只与主量子数n 相关E Z R 。
对多电子原子，能级除了与n 相关，还要考虑电子n间相互作用。
角量子数|决定轨道角动量大小，磁量子数 m 表示角动量在磁场方向（z 方向）分量的大小,自旋量子数s 则表示轨道自旋角动量大小。
1n 取值为 1、2、3••…;| = 0、1、2、••…、n - 1; m = 0、±1 ±2 ……±l 取值只有一。
22.在直角坐标系下，Li 2+的Schr?dinger 方程为 ______________________ 。
解：由于Li 2+属于单电子原子，在采取 “-O'近似假定后，体系的动能只包括电子的动能，则体系的动量z 分量的平均值为多少(2)由于 |M I "J l(l1), l 1=1， l 2=1， l 3=1，又,210 ,211和 31 1 都是归一化的,2 h 2 h C 2 ■ l2 l 2 1 ——C3 ■ l3 l 3 1 o 2 2 2 ------------ h 2 ------------ hc 2 11 1 ——c 3 11 1 ——2 2 2h 222故C i 2 M iC 2 M1c ； M 2 C 3 M 3 能算符：T?h 2 8 2m2;体系的势能算符：\?Ze 2 3e 2 故Li 2+的 Schr?dinger 方程为:h 22式中:22 ____x 2y 23.对氢原子,C 1210的。
那么波函数所描述状态的（4 0r3e 22r = ( x 2+ y 2+ z 2F 2z 2C 2211C 331 能量平均值为多少（ 1，其中4 0r211和 31 1都是归一化2）角动量出现在 ..2h 2的概率是多少，角动解：由波函数C 1210C 2211C 3 31 1 得：n 1=2, h=1,m 1=0; n 2=2, b=1,m 2=1;出=3,l 3=1,m 3=-1;（1）由于2210, 211 和 31 1都是归一化的，且单电子原子E 13.6―（eV ）故E■i C 1 E12 2 C 2 E2C 3 E32 C 11 2 113.6 =eV 22 cf 13.6 peV22113.6 ?eV13.6 2 4 C1c ； eV 13.99c j eV 2 ---------------- hC 1 ■. l1 l 1 12c ： J1 1 1 — 2则角动量为、、2h2出现的概率为: 1h,m1=0,m2=1,m3=-1;又210, 211和311都是归一化的,故M z' CMih2c|m22 c 2 * 2G 0 C2 1 C32 h°3 m3h1 -22 2C2 C34.已知类氢离子He+的某一状态波函数为:321 222re-2r2a。
结构化学王军课后习题答案
结构化学王军课后习题答案结构化学王军课后习题答案结构化学是一门研究物质的组成、结构和性质的学科。
它在化学领域中占有重要地位，对于理解和应用化学知识具有重要意义。
在学习结构化学的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
下面是对结构化学王军课后习题的一些答案和解析。
第一章：原子结构和化学键1. 什么是原子的电子云模型？答案：原子的电子云模型是指原子中电子的分布情况。
根据量子力学理论，电子不是固定在某个轨道上运动，而是存在于原子核周围的一片空间中，这片空间就是电子云。
2. 什么是共价键？答案：共价键是指通过共享电子对来连接两个原子的化学键。
共价键的形成需要两个原子都有未配对的电子，它们通过共享电子对来填补各自的电子壳，从而达到稳定的电子构型。
第二章：分子结构和分子间相互作用1. 什么是分子的立体构型？答案：分子的立体构型是指分子在空间中的排布方式。
它包括分子的空间取向、构型和手性等方面的特征。
2. 什么是分子间相互作用？答案：分子间相互作用是指分子之间由于电荷分布的不均匀而产生的相互吸引或排斥的力。
常见的分子间相互作用包括范德华力、氢键、离子键等。
第三章：有机化合物的结构与性质1. 什么是有机化合物？答案：有机化合物是指含有碳元素的化合物。
它们通常具有较为复杂的结构，并且在自然界中广泛存在，包括石油、天然气、植物和动物体内的化合物等。
2. 有机化合物的结构对其性质有何影响？答案：有机化合物的结构对其性质有着重要影响。
例如，有机化合物的分子量、分子形状、官能团的种类和位置等都会影响其物理性质（如熔点、沸点、溶解度等）和化学性质（如反应活性、稳定性等）。
第四章：无机化合物的结构与性质1. 什么是晶体结构？答案：晶体结构是指晶体中原子、离子或分子的排列方式。
晶体结构的研究对于理解无机化合物的性质和应用具有重要意义。
2. 无机化合物的结构如何影响其性质？答案：无机化合物的结构对其性质有着重要影响。
例如，晶体结构的对称性决定了无机化合物的光学、电学和磁学性质；晶体中的空隙和通道结构可以影响分子在其中的扩散和吸附行为。
结构化学第一章课后习题答案
6.626 ×10−34 = = 8.95 × 10−10 m p 7.40 × 10−25
13. 在电视机显像管中运动的电子，假定加速电压为 1000 V，电子运动速度的不确定量Δυ为υ的 10%，
判断电子的波动性对荧光屏上成像有无影响？ 解：根据不确定关系： Δx Δpx ≥ h Δx • m • Δυ x ≥ h ∴Δx = h h = m Δυ x m υ x 10%
l
px = ∫
0
2 nπ x ˆx sin p l l
2 nπ x dx sin l l 2 nπ x sin dx = 0 l l
=∫
0
l
2 nπ x ih d sin (− ) 2π dx l l h2 d 2 4π 2 dx 2
ˆ x2 = − pˆ x源自2ψ n ( x) = − ph2 d 2 h2 d 2 = − ψ ( ) x n 4π 2 dx 2 4π 2 dx 2
n πy n πx nπz 8 sin x sin y sin z 3 a a a a
8 2π x πy πz sin sin sin 3 a a a a πy 2 πz 2 8 2π x 2 * ∫ψ 211 ( x, y, z )ψ 211 ( x, y, z)dτ = a3 ∫ (sin a ) ∫ (sin a ) ∫ (sin a ) 2π z ⎤ 8 ⎡ Δx a 4π ( x + Δx) a 4π x ⎤ ⎡ Δy a 2π ( y + Δy ) a 2π y ⎤ ⎡ Δz a 2π ( z + Δz ) a = 3⎢ − + − + − + sin sin sin sin sin sin ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a ⎥ 8π 4π 4π a ⎣ 2 8π a a ⎦ ⎣ 2 4π a a ⎦ ⎣ 2 4π a ⎦ 8 πx πy 2π z ψ 112 ( x, y, z ) = 3 sin sin sin a a a a πx 2 πy 2 8 2π z 2 * ∫ψ 112 ( x, y, z)ψ 112 ( x, y, z )dτ = a3 ∫ (sin a ) ∫ (sin a ) ∫ (sin a ) 4π z ⎤ 8 ⎡ Δx a 2π ( x + Δx) a 2π x ⎤ ⎡ Δy a 2π ( y + Δy ) a 2π y ⎤ ⎡ Δz a 4π ( z + Δz ) a = 3⎢ − + − + − + sin sin sin sin sin sin ⎢ ⎢ ⎥ a ⎥ π π π π 4π 2 4 4 2 8 8 a ⎣ 2 4π a a ⎥ a a a ⎦ ⎦⎣ ⎦⎣
江元生《结构化学》课后习题答案
第一章 量子理论1. 说明⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=) (2cos ),(0t x a t x a νλπ及⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=) (2sin ),(0t x a t x a νλπ都是波动方程22222),(1),(t t x a c x t x a ∂∂=∂∂的解。
提示：将),(t x a 代入方程式两端，经过运算后，视其是否相同。
解：利用三角函数的微分公式)cos()sin(ax a ax x=∂∂和)sin()cos(ax a ax x -=∂∂，将⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=) (2c o s ),(0t x a t x a νλπ代入方程：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∂∂=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂=) (2cos 2 ) (2sin 2 ) (2cos ) (2cos 2000022t x a t x x a t x x x a t x a x νλπλπνλπλπνλπνλπ左边 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂=) (2cos 2 ) (2sin 2 ) (2cos ) (2cos 122020200222t x c a t x x c a t x t t c a t x a t c νλππννλππννλπνλπ右边 对于电磁波νλ=c ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=) (2cos ),(0t x a t x a νλπ是波动方程的一个解。
对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=) (2sin ),(0t x a t x a νλπ，可以通过类似的计算而加以证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂=) (2sin 2) (2sin 20022t x a t x a x νλπλπνλπ左边()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂=) (2sin 2) (2sin 12200222t x c a t x a t c νλππννλπ右边2. 试根据Planck 黑体辐射公式，推证Stefan 定律：4 T I σ=，给出σ的表示式，并计算它的数值。
结构化学第一章习题答案
《结构化学》第一章习题答案1001 (D)1002 E =h ν p =h /λ1003,mvhp h ==λ 小1004 电子概率密度1005 1-241-9--34s kg m 10626.6s kg m 100.1106.626⋅⋅⨯=⋅⋅⨯⨯==-λhpT = m p 22 = 3123410109.92)10626.6(--⨯⨯⨯ J = 2.410×10-17 J1006 T = h ν- h ν0=λhc -λhcT = (1/2) mv 2v =)11(20λλ-m hc = 6.03×105 m ·s -11007 (1/2)mv 2= h ν - W 0 = hc /λ - W 0 = 2.06×10-19Jv = 6.73×105 m/s1008 λ = 1.226×10-9ｍ/10000= 1.226×10-11 m1009 (B)1010 A,B 两步都是对的, A 中v 是自由粒子的运动速率, 它不等于实物波的传播速率u , C中用了λ= v /ν, 这就错了。
因为λ= u /ν。
又D 中E =h ν是粒子的总能量, E 中E =21mv 2仅为v <<c 时粒子的动能部分,两个能量是不等的。
所以 C, E 都错。
1011 ∆x ·∆p x ≥π2h微观物体的坐标和动量不能同时测准, 其不确定度的乘积不小于π2h 。
1013 ∆E =π2h/∆t = ∆(h ν) = h ∆ν∆ν = 1/(2π∆t ) = 1/(2π×10-9) = 1.59×108 s -1∆ν~ = ∆ν/c = 1.59×108 s -1/3×1010 cm ·s -1= 5.3×10-3 cm -11014 不对。
1015 (1) 单值的。
结构化学习题(含答案)
25.
立方势箱中的粒子，具有 E
12h 2 8ma 2
的状态量子数，nxnynz 是(
)
A．211 B．231 C．222 D．213
26. 一个在一维势箱中运动的粒子，其能量随着量子数 n 的增大( )，其能级差 En+1-En 随着势箱长度的增大( )
A．越来越小 B．越来越大 C．不变
27. 下列算符中不属于线性算符的是( )
6.
在边长为
a
的立方势箱中运动的粒子，其能级 E
3h 2 4ma 2
的简并度是______，
E 27h2 的简并度是_______。 8ma 2
7. 质 量 为 m 的 粒 子 被 局 限 在 边 长 为 a 的 立 方 箱 中 运 动 。 波 函 数 211(x,y,z)=
_________________________；当粒子处于状态211 时，概率密度最大处坐标是
第二章 原子的结构和性质
一. 填空题
1.
氢原子中电子的一个状态为：
1 81 2
Z a0
3
/
2
Zr a0
2
e
Zr 3a0
sin 2 sin 2 ，则
量子数 n 为____，l 为____，m 为____，轨道名称为____。
2. 氢原子的 3d z2 状态的能量为______eV。角动量为______，角动量在磁场方向的分
___________；若体系的能量为
7h2 4ma
2
，
其简并度是_______________。
二. 选择题
1. 若用电子束与中子束分别作衍射实验，得到大小相同的环纹，则说明二者( )
A． 动量相同
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01.量子力学基础知识【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm ，这是Li 原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以k J·mol -1为单位的能量。
解：811412.99810m s 4.46910s 670.8m cνλ−−×⋅===× 41711 1.49110cm 670.810cm νλ−−===××%3414123-1 -16.62610J s 4.46910 6.602310mol 178.4kJ mol A E h N sν−−==×⋅××××=⋅【1.2】 实验测定金属钠的光电效应数据如下：波长λ/nm 312.5 365.0 404.7 546.1 光电子最大动能E k /10-19J 3.41 2.56 1.95 0.75 作“动能-频率”，从图的斜率和截距计算出Plank 常数(h)值、钠的脱出功(W)和临阈频率(ν0)。
解：将各照射光波长换算成频率,并将各频率与对应的光电子的最大动能E k 列于下表：v λ/nm 312.5 365.0 404.7 546.1v /1014s －19.59 8.21 7.41 5.49E k /10－19J 3.41 2.56 1.95 0.75 由表中数据作图，示于图1.2中E k /10-19Jν/1014g-1图1.2 金属的kE ν−图由式 0k hv hv E =+推知0k kE E h v v v Δ==−Δ即Planck 常数等于图的斜率。
选取两合适点，将和v 值带入上式，即可求出h 。
例如： k E −v k E ()()19341412.708.50 1.0510 6.601060010J h J s s −−−×==×−×图中直线与横坐标的交点所代表的即金属的临界频率，由图可知，。
因此，金属钠的脱出功为：v 0v 1410 4.3610v s −=×341410196.6010 4.36102.8810W hv J s s J−−−==×××=×【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10-14s -1，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm 的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？解：2012hv hv mv =+ ()1201812341419312 2.998102 6.62610 5.46410300109.10910h v v m m s J s s m kg υ−−−−−−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎞×××−×⎢⎥⎜⎟×⎝⎠⎢⎥=⎢⎥×⎢⎥⎣⎦134141231512 6.62610 4.529109.109108.1210J s s kg m s −−−−⎡⎤××××=⎢⎥×⎣⎦=×【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：（a ） 质量为10-10kg ，运动速度为0.01m·s -1的尘埃；（b ） 动能为0.1eV 的中子； （c ） 动能为300eV 的自由电子。
解：根据关系式：(1)34221016.62610J s 6.62610m 10kg 0.01m s h mv λ−−−−×⋅===××⋅34-11 (2) 9.40310m h p λ−====×3411(3) 7.0810mh p λ−−====×【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为，计算电子加速后运动时的波长。
200kV 解：根据de Broglie 关系式：34122.74210h h p m mλυ−−=====×【1.6】对一个运动速度c υ （光速）的自由粒子，有人进行了如下推导：1v vv v 2h h E m p m νλ=====①②③④⑤结果得出12m m υυ=的结论。
上述推导错在何处？请说明理由。
解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：/E hv p h λ==式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck 常数。
根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式：p m υ=知 ①，②，④和⑤四步都是正确的。
微粒波的波长λ服从下式：/u v λ=式中，u 是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度υ ，但③中用了/u v λ=，显然是错的。
在④中，无疑是正确的，这里的E 是微粒的总能量。
若计及E 中的势能，则⑤也不正确。
E hv =【1.7】子弹（质量0.01kg ，速度1000m·s -1），尘埃（质量10-9kg ，速度10m·s -1）、作布郎运动的花粉（质量10-13kg ，速度1m·s -1）、原子中电子（速度1000 m·s -1）等，其速度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：子弹：343416.2610 6.63100.01100010%h J s x m m v kg m s −−−×⋅Δ===×⋅Δ××⋅ 尘埃：3425916.62610 6.6310101010%h J s x m m v kg m s −−−−×⋅Δ===×⋅Δ××⋅花粉：34201316.62610 6.631010110%h J sx m m v kg m s −−−−×⋅Δ===×⋅Δ××⋅电子：3463116.626107.27109.10910100010%h J s x m m v kg m s −−−−×⋅Δ===×⋅Δ×××⋅【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000V ，电子运动速度的不确定度υΔ为υ的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：34103.8810h x m mυ−−====×这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。
人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。
因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。
【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约）观察不到电子衍射（用100000电压加速电子）。
610m −V 解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：9911 1.22610/1.226101.22610x h h x p h m λ−−−===×=×=×这不确定度约为光学光栅周期的10－5倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10－5倍，用光学光栅观察不到电子衍射。
解法二：若电子位置的不确定度为10－6m ，则由不确定关系决定的动量不确定度为：3462816.62610106.62610x h J p x m J s m −−−−×Δ==Δ=×s在104V 的加速电压下，电子的动量为：2315.40210x x p m J s m υ−−====×由Δp x 和p x 估算出现第一衍射极小值的偏离角为：2812315arcsin arcsin6.62610arcsin 5.40210arcsin100x xop p J s m J s m θθ−−−−−Δ==⎛⎞×⎜⎟×⎝⎠≈这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。
因此，用光学光栅观察不到电子衍射。
【1.10】请指出下列算符中的线性算符和线性自轭算符：22,,d d dx idx dxdx解：由线性算符的定义：i j i ˆˆA()A A j ˆψψψ+=+ψ22d d ,,d x d x x 为线性算符;而d idx 为线性自轭算符.【1.11】2axxe ϕ−=是算符22224d a x dx ⎛⎞−⎜⎟⎝的本征函数，求其本征值。
⎠解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得：22222222244ax d d a x a x xe dx dx ψ−⎛⎞⎛⎞−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ ()2222224ax ax dxe a x xe dx −−=−()2222222232323242444ax ax ax ax ax ax ax d e ax e a x e dxaxe axe a x e a x e −−−−−−=−−=−−+−2−266axaxe a ψ−=−=−因此，本征值为。
6a −【1.12】下列函数中，哪几个是算符22d dx 的本征函数？若是，求出本征值。
e x 3,sin ,2cos ,,sin cos x x x x +x 解：2x2d e d x =，是x e 22d d x 的本征函数，本征值为1。
22d sin x 1sin x,d x=×sin x 是22d d x 的本征函数，本征值为1。
22d (2cos x )2cos x d x =【1.13】im e φ和cos m φ对算符did φ是否为本征函数？若是，求出本征值。
解：im im d i e ie d φφφ=，im im me φ=−所以，im e φ是算符d id φ的本征函数，本征值为m −。
而()cos sin sin cos d i m i m m im m c d m φφφφ=−=−≠ φ所以cos m φ不是算符did φ的本征函数。
【1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。
证：在长度为l 的一维势箱中运动的粒子的波函数为：()n x ψ=01x << n =1，2，3，……令n 和n’表示不同的量子数，积分：()()()()()()()()()()()()()()''0'0''''0''''0''''2sin sin sin sin 222sinsin sin sin l lnn llln x n xx x d dx l ln x n x dx l l ln n n n x x l l l n n n n l l n n n n x x l l n n n n n n n n n n n n ππψψτππππππππππππππ==⎡⎤−+⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥−+××⎢⎥⎣⎦⎡⎤−+⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥−+⎢⎥⎣⎦−+=−−+∫∫n 和皆为正整数，因而和'n ()'n n −()'n n +皆为正整数，所以积分：()()'lnn x x d ψψτ=∫根据定义，()n x ψ和()'n xψ互相正交。