成都石室中学高2021届高三下入学考试理科数学答案
高三下期入学考试数学理科参考答案BBCAD BCB C B CB11．解析：由题，以点B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立直角坐标系；(0,0);(0,4)B A C设点(,)D x y ，因为0120ADB ∠=，所以由题易知点D 可能在直线AB 的上方，也可能在AB 的下方；当点D 可能在直线AB 的上方；化简整的22((1)4x y -++=可得点D 的轨迹是以点1)M -为圆心，半径2r 的圆，且点D 在AB 的上方，所以是圆在AB上方的劣弧部分；此时CD 的最短距离为：22CM r -==当当点D 可能在直线AB 的下方；同理可得点D 的轨迹方程：22((1)4x y +-=此时点D 的轨迹是以点N 为圆心，半径2r 的圆，且点D 在AB 的下方，所以是圆在AB 下方的劣弧部分；此时CD 的最大距离为：22CN r +== 12.解析：444111log 0.1,log 20,log 3a b c ===,44441113log 0.1log 20log 3log 61,2a b c ⎛⎫++=++=∈ ⎪⎝⎭312ab bc ca abc ++<<,由于0abc <，所以32abc ab bc ca abc <++<.13．-614． 2020详解：()()111113sin 13sin 12222f a f a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-=+-++-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112sin sin 222a a ⎛⎫⎛⎫=+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设12S 20212021f f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 20202021f ⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭①则20202019S 20212021f f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12021f ⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭②①+②得1202022020404020212021S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 2020S ∴=.15．16. 666解：令()sin cos20f x a x x =+=，即有2sin 2sin 1a x x =-，因为sin 0x =不满足方程，所以12sin sin a x x=-，令[)(]sin 1,00,1t x =∈-，∴12a t t=-．∵函数12y t t =-在[)1,0-上递增，在(]0,1上递增，由图象可知，直线y a =与函数12y t t=-的图象至少有一个交点． 当1a >时，直线y a =与函数12y t t=-的图象只有一个交点，此时()1,0t ∈-，sin t x =在一个周期()0,2π内的(),2ππ上有两个解，所以在区间(0,)n π()n ∈*N 内不可能有奇数个解；当1a <-时，同理可得，在区间(0,)n π()n ∈*N 内不可能有奇数个解；当11a -<<时，直线y a =与函数12y t t=-的图象有两个交点，一个()11,0t ∈-，一个()20,1∈t ，所以sin t x =在一个周期()0,2π内，()0,π有两个解，(),2ππ有两个解，所以在区间(0,)n π()n ∈*N 内不可能有奇数个解；当1a =-时，直线y a =与函数12y t t=-的图象有两个交点，一个()10,1t ∈，一个21t =-，所以sin t x =在一个周期()0,2π内，()0,π有两个解，(),2ππ有一个解，即一个周期()0,2π内有三个解，所以9993333÷=，即3332666n =⨯=． 当1a =时，同理可得，666n =．17．解：（1）在△ABC 中，AB ＝2，∠ACB ＝30°，由正弦定理可知，BC sin ∠BAC ＝2sin 30°，…………3分BC ＝4sin ∠BAC ∠ABD ＝60°，∠ACB ＝30°，则∠BAC ＋∠CBD ＝90°，则sin ∠BAC ＝cos ∠CBD ， 所以，BC ＝4cos ∠CBD ． …………6分 （2）CD 是为定长，因为在△BCD 中，由（1）及余弦定理可知， CD 2＝BC 2＋BD 2－2×BC ×BD ×cos ∠CBD ， ＝4＋BC 2－4BC cos ∠CBD ＝4＋BC 2－BC 2＝4………………11分CD ＝2．……………………12分 18． 解：（1）ln y c d x =+更适宜销量y 关于月销售价x 的回归方程类型. 令ln u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于()()()101102127.5410.202.70iii ii y y u u d u u ==---===--∑∑， 6.610.20 1.7524.45c y du =+⨯==-，所以y 关于u 的线性回归方程为24.4510.20y u =-，因此y 关于x 的回归方程为24.4510.20ln y x =-.…………6分 （2）依题意得：()24.4510.20ln z xy x x ==-，()'24.4510.20ln '14.2510.20ln z x x x =-=-⎡⎤⎣⎦，令'0z =，即14.2510.20ln 0x -=，解得ln 1.40x ≈， 所以 4.06x ≈，当()0,4.06x ∈时，z 递增，当()4.06,x ∈+∞时，z 递减，故当 4.06x =，z 取得极大值，也是最大值即月销售量10.17y =（千件）时，月销售额预报值最大.………………12分 19． 解：（1）证明：因为BD α⊥，BD ⊥平面ABC ， 所以α//平面ABC ，又α平面BCD l =，平面ABC 平面BCD BC =，所以BC //l .因为EA ⊥平面ABC ， 所以BC AE ⊥.又BC AC ⊥，AE EA A =， 所以BC ⊥平面AEC ，从而l ⊥平面AEC .…………6分（2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -， 则()0,1,0A ，()0,0,0C，)D，()0,1,2E ，设(),0,1P a ，平面PAE ､平面ACD 的法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =， 则(),1,1AP a =-，()0,0,2AE =，()0,1,0AC =-，()3,0,1CD =.因为m ⊥平面PAE ，所以1111020ax y z z -+=⎧⎨=⎩，令11x =，得1y a =，10z =，即()1,,0m a =.同理22200y z -=⎧⎪+=，令21x =，得20y =，2z =(1,0,n =-.因为1cos ,2m n =≤，当且仅当0a =时取等号， 所以平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值为60︒.…………12分20解：（1）由题可设直线PA 的方程为(4)y k x =+，0k >，则(0,4)M k ，所以直线FN 的方程为y x -，则2(0,)N k-．…………1分 联立22(4),1,168y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得，2222(12)1632160k x k x k +++-=，解得14x =-或2224812k x k -=+，所以222488(,)1212k kP k k -++，……………………3分直线AN 的方程为1(4)2y x k=-+，同理可得，222848(,)1212k k Q k k --++， 所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点．所以APQ △的面积211632()212122P Qk S OA y y k k k=⋅-=⨯=++≤5分当且仅当12k k=，即2k =时，取“=”．所以APQ △的面积的最大值为6分（2）由题意得2216:40,O :3AP l x x y -+=+=；………7分 当切线斜率不存在时，||=3DH ………8分 当切线斜率存在时，设:l y kx m =+，与圆相切得到22316(1)m k =+联立22222,2(12)42160,01,168y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=∆>⎨+=⎪⎩………9分设1122(,),(,)D x y H x y，则|DH 22316(1)m k =+|DH =11分 所以动弦||DH长度的最大值为3；||DH ∈……………………………12分 21.解：（1）定义域为，当；当 ,故， 从而的单调递增区间为.………………………5分（2），令，由题意，恒成立.………………………7分时：若，则，若，则 时：若，则，若，则 综上，原条件等价于且，易得符合题意。
……9分 故。
令 设单增，又. ……………………12分22． 解：（1）取极点为直角坐标系中的原点，极轴为直角坐标系中的轴，取其单位长度，于是222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩代入圆C ：24sin 4cos 60ρρθρθ--+=得：{}R x x x ∈≠,0⇒>0x 121)(+-='x xx f 0<x ⇒121)(+-='x xx f 1,21012121)(212=-=⇒=---=+-='x x x x x x x x f )(x f )1,0(),21,(--∞xax x x f 12)(2++-=')())((:000x f x x x f y l +-'=)())(()()(000x f x x x f x f x g --'-=0)(≤x g xx x x x x f x f x g )21)((2)()()(000+--='-'='00>x 0>x )()(0max x g x g =0<x )21()(0max x g x g -=00<x 0>x )21()(0max x g x g -=0<x )()(0max x g x g =0)(0≤x g 0)21(0≤-x g 0)(0=x g 041)2ln(0)21(2020200≥-+⇒≤-x x x x g 041)2ln(20≥-+⇒=t t t x t ↑⇒>+='⇒-+=)(04)12()(41)2ln()(22t h t t t h t t t t h 0)21(=h ),22[]22,(21)21(0)(0+∞--∞∈⇒≥⇔=≥∴ x t g t h22224460(2)(2)2x y x y x y +--+=⇒-+-=，圆C 的圆心坐标为，半径为r =α为参数，则圆C 的参数方程为C：2(2x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参变数）……5分（2）(2)(2)4cos )2sin cos u x y αααααα=⋅=+=+++设22sin cos 1sin cos )4t t t ααπααα⎧=-⎪=+=+⇒⎨≤⎪⎩∴222()143(1u f t x y t t t ==⋅=+-+=++=++，(t ≤ ∴19u ≤≤，∴u xy =的值域[1,9]u ∈…………10分 23． 解：（1）由题可知，x ，y ，z R ∈，()2z x y m +=()()22222222322424x y z x z y z xz yz m ++=+++≥+==，∴2m =.……5分 （2）∵222a b ab +≥，∴()()2222a b a b +≥+，∴()()222221111422212222x y z x y z x y z ++≥++≥⋅+≥， ∴1m ≥，即：1m ≤-或m 1≥.…………10分。
成都石室中学高2021届高三下入学考试理综试题
成都石室中学2020-2021学年度下期高2021届入学考试理科综合能力测试本试卷分选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷（选择题）1至21题，第Ⅱ卷（非选择题）22至38题。
试卷满分300分，考试时间150分钟。
注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Cl-35.5 Fe-56 Zn-65第Ⅰ卷（共126分）一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1下列关于教材实验的叙述，正确的是( )A.NaOH在每一琼脂块内扩散的速率不同，可以反映细胞的物质运输的效率不同B.探究培养液中酵母菌种群数量的变化的实验中，不需要重复实验，但要对照组C.土壤中小动物类群丰富度的研究，按预先确定的多度等级进行记名计算法统计D.落叶是在土壤微生物的作用下腐烂的，实验组土壤要灭菌处理，对照组不处理2.下列有关物质之间的比值与细胞代谢关系的叙述，正确的是( )A.在细胞衰老过程中，结合水/自由水的值将减小B.吞噬细胞摄取抗原的过程会导致ATP/ADP的瞬时值减小C.在剧烈运动过程中，肌细胞释放CO2量/吸收O2量的值将增大D.在适宜光照下，若减少CO2供应，则短时间内叶绿体中C3/C5的值将增大3.下图所示为外界O2进入肝细胞中被消耗的路径，下列相关叙述正确的是( )A.毛细血管壁细胞和肝细胞生活的液体环境相同B.外界O2被肝细胞消耗至少需要经过9层细胞膜B.O2跨膜运输时需要载体蛋白协助，但不耗能量D.线粒体中消耗O2的场所与产生H2O的场所不同4.关于植物生命活动调节，相关叙述错误的是( )A.在幼嫩的芽、叶和发育中的种子中，色氨酸在核糖体上完成脱水缩合转变成生长素B.在胚芽鞘、芽、幼叶和幼根中，生长素只能从形态学上端运输到形态学下端，而不能反过来运输C.生长素在植物体各器官中都有分布，但相对集中分布在生长旺盛的部分D.在植物的生长发育过程中，几乎所有生命活动都受到植物激素的调节5.将某一经3H充分标记DNA的蟾蜍精原细胞(染色体数为2n)置于不含3H的培养基中培养，该细胞经过两次连续分裂后形成4个大小相等的子细胞。
石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案(文科)
石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案（文科）13. y = 14.315． (-∞，1)(0-⋃，1) 16.①②④17.（Ⅰ）0r r <．......................4分（Ⅱ）由题中数据可得：42421111110,744242i i i i x x y y ======∑∑，................6分 所以.............8分又因为，所以，，所以，................10分将代入，得81.5y =，所以估计B 同学的物理成绩为81.5分．....................12分18．（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++2()324f x x x '=++(2)20f '∴=即切线的斜率20k =..................2分(2)21f =∴切线方程为20(2)21x y -=-即切线为：20190x y --=..................4分（2）2()324f x x ax '=++对称轴为03ax =->..................5分 ○1当24480a ∆=-≤时，即0a -≤<，()0f x '>()()4242114235035042110748470iii ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑()422116940i i x x =-=∑()()()1211698470ˆ00.54niii ni i x x y y bx x ==--===-∑∑740.511019a y bx =-=-⨯=0.519y x =+125x =()f x 在(0,)+∞上单调递增；.................8分○2当24480a ∆=->时，即a <-，又 (0)40f '=>令2()3240f x x ax '=++=，则1x =，2x =当206a x -<<或26x ->时，()0f x '>；x <<()0f x '<；()f x 在2(0,6a -，2()6a -+∞上单调递增；()f x 在上单调递减. .................12分19.（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分（2）∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD…………………7分2,60AB AD DAB ==∠=2BD BF ∴==由60DBF ∠=︒∴F 到面ABCD 的距离为FO =9分,EF BD BD ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD EF ∴面ABCDE ∴到面ABCD 的距离等于F 到面ABCD………………10分1222sin 23ADCSπ=⨯⨯⨯= 113A EDC E ADC ADCV V SFO --∴==⨯⨯=…………………12分20．（1，可得c e a == 由短轴长为2，可得1b =， …………1分 又2221a c b -==，解得2a =，c =，则椭圆的方程为2214x y +=； …………4分（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得222(14)8440k x kmx m +++-=，…………5分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，所以△2221(8)4(14)(44)0km k m =-+-=，即2214m k =+，…………6分 由方程组225y kx mx y =+⎧⎨+=⎩可得222(1)250k x kmx m +++-=， 则△2222(2)4(14)(5)0km k m =-+->，设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，则12221kmx x k +=-+，212251m x x k -=+，…………7分 设直线1OP ，2OP 的斜率为1k ，2k ，所以222212121212122121212()()()55y y kx m kx m k x x km x x m m k k k x x x x x x m +++++-====-，…………9分 将2214m k =+代入上式，可得212211444k k k k -+===--，…………10分当直线l 的斜率不存在时，由题意可得l 的方程为2x =±，此时圆225x y +=与l 的交点为1P ，2P 也满足1214k k =-，…………11分综上可得直线l 与圆的交点1P ，2P 满足斜率之积12k k 为定值14-．…………12分21．（Ⅰ）当13a =时，()ln 113x f x x =+-，()'233x f x x -=， 所以()f x 在[],3e 单减，在23,e ⎡⎤⎣⎦单增，…………2分()123f e e =-，()22113f e e =-，()()2f e f e <所以ln32()(3)3min f x f -==，2max 211()()3f x f e e ==-．…………5分 （Ⅱ）依题意，． 则，令，，，所以在上是单调增函数．要使得在上存在极值，则须满足即 所以，，即．…………8分所以1111ln 1ln 1a e a a a a a a a a--+-->++--=+- 当0a >时，令，()1g ln 1a a a =+-，()'21a g a a-=，所以()()10g a g ≥= 所以，．…………11分 即，所以．…………12分22．（Ⅰ）由曲线2C 的参数方程2cos (22sin x y φϕφ=⎧⎨=-+⎩为参数）．可得曲线2C 的普通方程为22(2)4x y ++=． 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4sin ρθ=-．()11ln 1ln 1xx g x e a x e a x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭0a x e -<<()x xa xe a g x e x x-'=-=()x t x xe a =-()0,a x e -∈()(1)0xt x e x '=+>()t x ()0,ae-()g x ()0,ae-()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩0,0,aa e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩0aaee a -->>ln e e a a -->ln a e a a ->+0a >1ln 10a a+-≥110a e a a --+-->11a e a a --+>+所以2C 的极坐标方程为4sin ρθ=-． …………4分 （Ⅱ）设A 点的极坐标为1(ρ，)α，B 点的极坐标为2(,)3πρα-，则12sin ρα=，24sin()3πρα=--， …………6分于是AOB ∆的面积12113sin (2sin )[4sin()]23sin sin()3sin(2)232336S ππππρρααααα==--=--=+…………9分当6πα=时，S ．所以AOB ∆．…………10分。
考点03 逻辑联结词及数学归纳法(解析版)
考点48 逻辑联结词及数学归纳法一．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断二．量词2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定三．数学归纳法1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法． 2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下： (1)归纳奠基：证明取第一个自然数n 0时命题成立；(2)归纳递推：假设n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3)由(1)(2)得出结论．知识理解考向一 命题的否定【例1】（2021·四川成都市·高三二模（理））命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定为（ ）A ．00x ∃≤，20010x x ++≤ B ．0x ∀≤，210x x ++≤ C ．00x ∃>，20010x x ++≤D ．0x ∀>，210x x ++≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定是：00x ∃>，20010x x ++≤．故选：C ．【举一反三】1．（2021·全国高三月考（理））命题“0x R ∃∈，002ln 0x x +≤”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，2ln 0x x+≥ B ．x R ∀∈，2ln 0x x+> C ．0x R ∃∈，002ln 0x x +≥ D ．0002,0x R lnx x ∃∈+> 【答案】B【解析】命题“0x R ∃∈，002ln 0x x +≤”为特称命题，该命题的否定为“x R ∀∈，2ln 0x x+>”. 故选：B.2．（2021·湖南岳阳市）命题“()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+”的否定是（ ） A ．()1,x ∃∈+∞，21x e x ≥+ B ．()1,x ∀∈+∞，21x e x <+ C ．()1,x ∃∈+∞，21x e x <+ D ．()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+【答案】C【解析】命题“()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+”为全称命题，该命题的否定为“()1,x ∃∈+∞，21x e x <+”. 故选：C.考向分析3．（2021·泰州市第二中学）巳知命题p ：0x ∃>，10x e x --≤，则命题p 的否定为（ ） A ．0x ∀≤，10x e x --＞ B ．0x ∀>，10x e x --> C ．0x ∃>，10x e x --≥ D ．0x ∃≤，10x e x --＞【答案】B【解析】命题p ：0x ∃>，10x e x --≤，则命题p 的否定为0x ∀>，10x e x -->. 故选：B考向二 逻辑连接词求参数【例2】（2021·全国高三专题练习）若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题，则实数a 的范围是（ ） A ．2a > B ．2a C ．2a >- D ．2a -【答案】A【解析】若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题，则命题“2[1,2],2x x a ∀∈--+<”是真命题， 当0x =时，()2max22x -+=，所以2a >.故选：A. 【举一反三】1．（2021·天水市第一中学高三月考（理））已知命题():1,3p x ∃∈-，220x a --≤.若p 为假命题，则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞-C ．(),7-∞D ．(),0-∞【答案】A 【解析】p 为假命题，∴():1,3p x ⌝∀∈-，220x a -->为真命题，故22a x <-恒成立，22y x =-在()1,3x ∈-的最小值为2-，∴2a <-. 故选：A.2．（2020·北京人大附中高三月考）若命题“x R ∃∈，使得2210ax x ++＜成立”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞) B ．[0，+∞)C ．(-∞，1)D ．(-∞，0]【答案】A 【解析】命题“x R ∃∈，使得2210ax x ++＜成立”为假命题, 则它的否定命题: “x R ∀∈，2210ax x ++≥”为真命题所以0440a a >⎧⎨∆=-≤⎩ 解得1a ≥，所以实数a 的取值范围是[1,)+∞ 故选：A.3．（2020·江西高三期中（文））存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则m 的最大值为（ ） A ．1 B ．14C ．12D ．-1【答案】C【解析】由不等式230x mx m +-≥，可化为23x m x≤-，设()[]2,1,13x f x x x=∈--，则()()()2226(6)33x x x x f x x x ---'==--，当[1,0)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(0,1]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又由()11(1),142f f -==，所以函数()f x 的最大值为()112f =， 要使得存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则12m ≤，则m 的最大值为12. 故选：C.考向三 数学归纳法【例3-1】（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋121n -＜n (n ∴N *，n ≥2)”时，由n ＝k (k ≥2)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是（ ） A ．2k －1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1【答案】C【解析】n k =时，左边=1111 (2321)k ++++-，而n ＝k ＋1时，左边＝11111111 (232122121)k k k k +++++++++-+-，增加了1111 (22121)k k k +++++-，共(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k 项， 故选：C.【例3-2】．（2020·全国高三专题练习）设等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-. （1）计算23,a a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明； （2）求数列{}2nn a 的前n 项和n S .【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-+. 【解析】（1）由题意，等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-， 可得21345a a =-= ，323427a a =-⨯=，，猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+，证明如下：（数学归纳法）当1,2,3n =时，显然成立； ∴ 假设n k =时，即21k a k =+成立；其中*(N )k ∈， 由134k k a a k +=-3(21)4k k =+-2(1)1k =++ ∴故假设成立，综上（1）（2），数列{}n a 的通项公式21n a n =+*()n N ∈.（2）令2(21)2n nn n b a n ==+，则前项和1212...3252...(21)2n n n S b b b n =+++=⨯+⨯+++ ∴由∴两边同乘以2得：23123252...(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-++ ∴由∴-∴的322112(12)3222...2(21)26(21)212n n n n n S n n -++--=⨯+⨯++-+=+-+-， 化简得1(21)22n n S n +=-+. 【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)n n n +++++=++时，从n k=到1n k =+等式左边需增添的项是（ ） A ．22k + B ．[]2(1)1k ++ C ．[(22)(23)]k k +++ D ．[][](1)12(1)1k k ++++ 【答案】C【解析】当n k =时，左边123(21)k =+++++，共21k +个连续自然数相加，当1n k =+时，左边123(21)(22)(23)k k k =+++++++++，所以从n k =到1n k =+，等式左边需增添的项是[(22)(23)]k k +++. 故选：C.2．（2021·全国高三专题练习）设集合T n ＝{1，2，3，…，n }（其中n ≥3，n ∴N *），将T n 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为S n ． （1）求S 3，S 4，S 5的值； （2）试求S n 的表达式．【答案】（1）S 3＝1，S 4＝5，S 5＝15；（2）41n C + .【解析】（1）当n ＝3时，T 3＝{1，2，3}，3元子集有：{1，2，3}，∴S 3＝1；当n ＝4时，T 4＝{1，2，3，4}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，∴S 4＝1×3+2＝5；当n ＝5时，T 5＝{1，2，3，4，5}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，222543212315S C C C ∴=⨯+⨯+⨯=．（2）由S 3＝1，S 4＝5，S 5＝15，S 6＝35…归纳猜想出41n n S C +=（n ≥3）．下面用数学归纳法证明猜想：∴当n ＝3时，S 3＝1＝44C ，结论成立；∴假设n ＝k （k ≥3，k ∴N *）时，结论成立，即S k ＝41k C +，则当n ＝k +1时，T k +1＝{1，2，3，4，…，k ，k +1}，()()1111111232123...21k k k k k S S C C C k C k C +---⎡⎤=+++++-+-⎣⎦()()()(){}411111122112...21k k k C k C k C k k C k k C +--=+-+-++--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()(){}4111111111211231...23...1k k k C k C C C C C C k C +--⎡⎤=++++-++++-⎣⎦ ()422311k k k k C kC kC C ++⎡⎤=+--⎣⎦ ()4341111k k k C C C ++++=+=∴当n ＝k +1时，结论成立． 综上：由∴∴可得()413n n S C n +=≥．1．（2021·涡阳县育萃高级中学）已知命题:p x R ∀∈，2104x x -+，则p ⌝（ ） A ．21,04x x x ∃∈-+R B ．21,04x x x ∃∈-+>R C ．21,04x x x ∀∈-+>R D ．21,04x x x ∀∈-+<R 【答案】B【解析】命题p 为全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得：p ⌝： 21,04x x x ∃∈-+>R 故选：B2．（2021·漠河市高级中学高三月考（文））下列说法正确的是（ ） A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y ≠”C ．“0x <”是“20x x ->”的充要条件强化练习D ．若p ：x ∀∈R ，2320x x --<，则p ⌝：0x ∃∈R ，200320x x --.【答案】D【解析】对于A 选项，若p q ∨为真命题，可能p 真q 假，则p q ∧为假，故A 选项错误.对于B 选项，命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y =”，故B 选项错误. 对于C 选项，当2x =时，20x x ->，所以“0x <”不是“20x x ->”的充要条件，C 选项错误. 根据全称量词命题的否定的知识可知，D 选项正确. 故选：D3．（2021·全国高三专题练习）下列关于命题的说法中正确的是（ ）∴对于命题P ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥ ∴“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件∴命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠” ∴若p q ∧为假命题，则p ､q 均为假命题 A ．∴∴∴ B ．∴∴∴ C ．∴∴∴∴ D ．∴∴【答案】A【解析】∴对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈均有210x x ++，故∴正确；∴由“1x =”可推得“2320x x -+=”，反之由“2320x x -+=”可能推出2x =，则“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故∴正确；∴命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠”，故∴正确； ∴若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，故∴错误． 则正确的命题的有∴∴∴． 故选：A4．（2021·河南高三其他模拟（文））命题:p “0,2sin 0x x x ∀≥-≥”的否定为（ ）A ．0,2sin 0x x x ∀≥-<B ．0,2sin 0x x x ∀<-<C ．0000,2sin 0xx x ∃≥-< D ．0000,2sin 0xx x ∃<-<【答案】C【解析】命题:p “0,2sin 0xx x ∀≥-≥”是全称命题，又全称命题的否定是特称命题，故“0x ∀≥，2sin 0x x -≥”的否定是“0000,2sin 0xx x ∃≥-<”.故选：C.5．（2021·山东菏泽市·高三一模）命题“2,0∈≥∀x R x ”的否定是（ ）A ．2,0x R x ∃∈≥B ．2,0x R x ∀∈<C ．2,0x R x ∃∈<D ．2,0x R x ∃∈≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是：x R ∃∈，20x <.故选：C6．（2021·四川成都市·石室中学高三月考（理））设命题:0p x ∀≤x =-，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀≤x ≠- B ．00x ∃≤0x =- C ．0x ∀>x =- D ．00x ∃≤0x ≠-【答案】D【解析】命题p 为全称命题，该命题的否定为0:0p x ⌝∃≤0x ≠-. 故选：D.7．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三期中）“0m >”是“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，命题“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题” 可得命题“x R ∀∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+>是真命题” 当10m -=时，即1m =时，不等式30>恒成立；当10m -≠时，即1m ≠时，则满足()()210214130m m m ->⎧⎪⎨⎡⎤---⨯<⎪⎣⎦⎩，解得14m <<，综上可得，实数14m ≤<，即命题“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”时，实数m 的取值范围是[1,4)，又由“0m >”是“14m ≤<”的必要不充分条件，所以“0m >”是“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的必要不充分条件， 故选：B.8．（2021·全国高三专题练习）若命题“∀[]1,4x ∈时，240x x m --≠”是假命题，则m 的取值范围（ ） A ．[4,3]-- B ．()-∞,-4 C ．[4,)-+∞ D ．[4,0]-【答案】D【解析】若命题“[1x ∀∈，4]时，240x x m --≠”是假命题， 则命题“[1x ∃∈，4]时，240x x m --=”是真命题, 则24m x x =-，设22()4(2)4f x x x x =-=--， 当14x 时，4()0f x -,则40m -. 故选：D ．9．（2020·江苏海门市·高三月考）命题“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．4a ≤D ．4a ≥【答案】D【解析】“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题，可得2a ≥，因为[)[)4,2,+∞⊂+∞ ， 故选:D .10．（2021·全国高三专题练习）已知命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．(],2-∞D ．(),2-∞【答案】A【解析】因为命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，所以240ax ax --≥对2x >恒成立， 所以()242a x x x≥>-恒成立．因为2x >， 所以22x x ->，则242x x<-， 故2a ≥． 故选：A11．（2020·全国高三专题练习）用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)nn n n n n ++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-”，从“k到1k +”左端需增乘的代数式为（ ） A ．21k + B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 【答案】B【解析】当n k =时，等式的左边(1)(2)()k k k k =++⋅⋅⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式的左边(11)(12)()(1)(2)k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅⋅⋅+++++， 所以当从“k 到1k +”左端增乘的代数式为(1)(2)2(21)1k k k k k k ++++=++.故选：B.12．（多选）（2021·恩施市第一中学）下列命题正确的有（ ） A ．命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是“x R ∃∈，20x <”． B ．函数()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数解析式为()sin g x x =． C ．函数()21f x x =-的零点为()1,0-，()1,0．D ．1弧度角表示：在任意圆中，等于半径长的弦所对的圆心角． 【答案】AB【解析】对A ，根据全称命题的否定性质，A 为正确的； 对B ，()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数()cos()sin 2g x x x π=-=；对C ，函数零点是数而不是点，故C 错误；对D ，1弧度角表示为在任意圆中，等于半径长的弧所对的圆心角，故D 错误； 故选：AB.13．（多选）（2021·全国高三专题练习）下列命题中正确的是（ ） A ．(0,)x ∃∈+∞，23x x >B ．(0,1)x ∃∈，23log log x x <C ．(0,)x ∀∈+∞，121()log 2xx >D ．1(0,)3x ∀∈，131()log 2xx < 【答案】BD【解析】对于选项A ：当0x >时，22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以23x x <恒成立，故选项A 不正确；对于选项B ：当(0,1)x ∈时，23log lg lg 3lg 31log lg 2lg lg 2x x x x =⨯=>，且3log 0x <，所以23log log x x <，故选项B 正确；对于选项C ：当12x =时，1211()()222x ==，11221log log 12x ==，则121log ()2x x >，故选项C 不正确； 对于选项D ：当13x =时，131log 13=，由对数函数和指数函数的性质可知，当1(0,)3x ∈时，131()1log 2x x <<，故选项D 正确； 故选：BD14．（多选）（2021·全国高三专题练习）若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（ ） A ．32B．C ．3 D ．92【答案】AB【解析】由条件可知1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥是真命题， 即22112x x x xλ+≤=+，即min 112,,22x x x λ⎛⎫⎡⎤≤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，设()112,22f x x x x ⎡⎤=+≥=∈⎢⎥⎣⎦等号成立的条件是112,222x x x ⎡⎤=⇒=∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x的最小值是即λ≤AB. 故选：AB15．（2021·江西高三其他模拟（文））已知命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】18a >【解析】因为命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题， 所以命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题，当0a =时，得2x <，故命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是假命题，不合题意；当0a ≠时，得0180a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得18a >.故答案为：18a >16．（2021·全国高三专题练习）若“存在x ∴[﹣1，1]，3210x x a ⋅++>成立”为真命题，则a 的取值范围是___．【答案】9(,)2-+∞【解析】存在x ∴[﹣1，1]，3210xxa ⋅++>成立，即213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解， 设2121()333x xx xf x +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[1,1]x ∈-， 易得y ＝f (x )在[﹣1，1]为减函数， 所以()[(1),(1)]f x f f ∈-，即213()3332f x +≤≤+，即91()2f x ≤≤， 即92a -<，所以92a >-， 故答案为：9(,)2-+∞．17．（2020·江西高三其他模拟（文））若命题:p x R ∃∈，210x mx -+<为假命题，则m 的取值范围是______． 【答案】[]22-,【解析】命题:p x R ∃∈，210x mx -+<为假命题，p ∴⌝：x R ∀∈，210x mx -+≥为真命题，则240m ∆=-≤，解得22m -≤≤，即m 的取值范围是[]22-,. 故答案为：[]22-,. 18．（2020·北京密云区·高三期中）若“01x ∃>，使得11x a x +<-.”为假命题，则实数a 的最大值为___________. 【答案】3【解析】由“∴x 0>1，使得11x a x +<-.”为假命题，可知，“11,1x x a x ∀>+≥-”为真命题， 11a x x ∴≤+-恒成立，由11111311x x x x +=-++≥=--，当且仅当2x =时取等号， 即a 的最大值为3. 故答案为：3.19．（2021·湖南永州市·高三二模）若对[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】解：因为[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，所以[]1,2x ∀∈，都有1a x≤，令()1g x x =，[]1,2x ∈，因为()1g x x=，在[]1,2x ∈上单调递减，所以()()min 122g x g ==，所以12a ≤，即实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦20．（2020·全国高三月考（文））已知命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>，命题:q m a <；若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______.【答案】()+∞【解析】设命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>成立对应的m 的范围为集合A ，{}|B m m a =<若()0,x ∀∈+∞，223x mx +>，则32x m x +>，所以min 32m x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭而32x x +≥32x x =，即x =时等号成立，所以min32x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭m <{|A m m =<，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B，所以a > 即实数a的取值范围为()+∞.故选答案为：()+∞21．（2020·凌海市第二高级中学高三月考）命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题，则实数t 的取值范围是__________. 【答案】(),1-∞- 【解析】命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题，且20x ≥，10t ∴+<，则1t <-，故实数t 的取值范围是(),1-∞-.故答案为：(),1-∞-.22．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明()2511222n n N -*++++∈能被31整除时，从k 到1k +添加的项数共有__________________项（填多少项即可）． 【答案】5【解析】当n k =时，原式为：251122...2k -++++，当1n k =+时，原式为251551525354122...222222k k k k k k -+++++++++++++， 比较后可知多了55152535422222k k k k k ++++++++，共5项. 故答案为：523．（2020·浙江高三其他模拟）用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++，第一步应验证的等式是__________；从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的等式是_________.【答案】11122-=()()1121121k k -+-+ 【解析】当1n =时，应当验证的第一个式子是11122-=，从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的式子是()()1121121k k -+-+24．（2021·全国高三专题练习）设数列{}n a 满足11a =，12(23)n n a a n +=--. （1）计算2a ，3a .猜想{}n a 的通项公式并利用数学归纳法加以证明； （2）记2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）23a =，35a =，21n a n =-；证明见解析；（2）1(23)26n n S n +=-⨯+.【解析】（1）由题意可得2121213a a =+=+=，3221615a a =-=-=， 由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， 即21n a n =-， 证明如下：当1n =时，12111a =⨯-=成立； 假设n k =时，21k a k =-成立.那么1n k =+时，12(23)2(21)(23)212(1)1k k a a k k k k k +=--=---=+=+-也成立. 则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =-成立；（2）因为(21)2n n b n =-.∴23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，∴ 23412123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，∴∴-∴得：2341222222222(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()211122122(21)26(23)212n n n n n -++⨯-=+--⨯=---⨯-.∴1(23)26n n S n +=-⨯+.25．（2020·全国高三专题练习）已知数列{}n a 满足：11a =，点()()*1,n n a a n +∈N 在直线21y x =+上.（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.【答案】（1）2343,7,15a a a ===，21n n a =-；（2）证明见解析.【解析】（1）因为点()()*1,n n a a n N +∈在直线21y x =+上所以121n n a a +=+， 因为11a =，故22113a =⨯+=，32317a =⨯+=， 427115a =⨯+=，由上述结果，猜想：21nn a =-.（2）1︒，当1n =时，1211a =-=成立，2︒，假设当()1,n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，那么，当1n k =+时，()1121221121kk k k a a ++=+=-+=-成立，由1︒，2︒可得21nn a =-.26．（2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考（理））已知数列{}n a 满足1a m =，2n a ≠，11210n n n a a a ++-⋅-=. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 【答案】（1）212a m =-，3232m a m -=-，43243ma m-=-；（2）()()()121n n n m a n n m ---=--；证明见解析.【解析】1）因为11210n n n a a a ++-⋅-=，2n a ≠，所以112n na a +=-，又因为1a m = 211122a a m ==--，3212232m a a m -==--，43132243ma a m-==-- （2）()()()121n n n ma n n m---=--证明：1n =时，()1011ma m --==，结论成立 假设n k =时，结论成立，即()()()121k k k ma k k m---=--当1n k =+时：()()()()()()()()()11111122211221211k kk k m a k k m k k m k k m a k km k k m k k m+--====-------+--+------ 结论成立.综上，数列通项为()()()121n n n m a n n m---=-- 27（2020·云南师大附中高三月考（理））设数列{}n a 满足11a =，23a =，当()11112n n n n n a a a n a a -+-+=+++.（1）计算3a ，4a ，猜想{}n a 的通项公式，并加以证明. （2）求证：()()()2221244474111n a a a +++<+++. 【答案】（1）35a =，47a =，21n a n =-，证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）解：由11a =，23a =， 所以()123121225a a a a a +=++=+，()234231327a a a a a +=++=+. 猜想：21n a n =-，证明：当2n =时，由11a =，23a =，故成立；假设n k =（2k ≥）时成立，即21k a k =-， 所以()()1111221211k k k k k a a a k k k a a -+-+=++=+=+-+，即当1n k =+时成立，综上所述，21n a n =-. （2）证明：由（1）知，()22411n n a =+， 所以()()()22212444111n a a a ++++++22222211111111221311n n =+++<++++--- ()()1111132411n n =++++⨯⨯-+111111111111232435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭11117112214n n ⎛⎫=++--< ⎪+⎝⎭，证毕.。
高2021届成都石室中学理科试题(0920)
22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点 为曲线 上的动点，点 在线段 的延长线上且满足 点 的轨迹为 .
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）设点 的极坐标为 ，求 面积的最小值.
B．黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等差中项
C．黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等比中项
D．黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等差中项
6．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
7．已知点 是正方体 的面ABCD上一动点，且满足 ，设 与平面 所成的角为 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
8．已知a、b、c分别是 内角A、B、C的对边， ， ，则 面积的最大值是（）
20．已知椭圆 ： 过点 且离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 ， 分别为 的左右顶点， 为直线 上的任意一点，直线 ， 分别与 相交于 、 两点，连接 ，试证明直线 过定点，并求出该定点的坐标.
21．已知函数 ，其中 为非零常数.
（1）讨论 的极值点个数，并说明理由；
（2）若 ，
①证明： 在区间 内有且仅有 个零点；
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．“ ”的必要不充分条件是“ ”
D．若命题 ，则命题
4．执行如图所示的程序框图，若输出的 为4，则输入的 应为( )
A．－2B．16
C．－2或8D．－2或16
5．我们将 称为黄金分割数，亦可简称为黄金数，将离心率等于黄金数的倒数的双曲线叫做黄金双曲线，则（）
A．黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等比中项
（Ⅱ）设 ,数列{ }的前 项和为 ，求证： .
四川省成都石室中学2021届高三上学期开学考试数学(理)试题
石室中学高2021届2020-2021学年度上期入学考试理科数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.已知集合(){}(){},0,,R ,,+10,,R A x y x y x y B x y x y x y =+=∈=-=∈，则集合A B 的元素个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 2．i 为虚数单位， 512iz i=+， 则z 的共轭复数为 （ ） A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+3．石室中学为了解1 000名学生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则以下4名学生中被抽到的是（ ） A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生4．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ） A ．(1,2) B ．(2,)e C ．(,3)e D ．(3,)+∞5．已知向量(1)a m =，，(32)b m =-，，则3m =是a //b 的（ ）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件6 ．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若a =2b =，60A =︒，则B 为（ ） A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°7．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞单调递减的函数是（ ）A ．22x x y -=-B ．tan y x x =C ．sin y x x =-D ．12y x x=- 8．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当2MA MF=AMF ∆的面积为（ ）A ．1B 2C ．2D ．229. 如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果， 则图中空白框内应填入（ ） A ．1000N P =B ．41000N P =C ．1000M P =D ．41000MP = 10. 已知235log log log 1x y z ==<-，则2,3,5x y z 的大小关系为（ ） A ．235x y z <<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x <<11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（ ） A ．11πB ．143πC ．283πD ．16π12.已知a 为常数，函数()212e 1+2xf x ax ax a =--+有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则下列结论正确的是（ ）A ．0a < B. 01a << C ．()15f x > D ．()23f x > 二、填空题（共4小题；共20分）13.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱. 15．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值集合是___________．16.已知棱长为1的正方体，过对角线作平面交棱于点E ，交棱于点F ，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；③平面与平面不可能垂直； ④四边形其中所有正确结论的序号为_______三、解答题（共6小题；共70分）17. (本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x )和物理成绩(y )，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点,A B ．经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：4242421114620,3108,350350,i i i i i i i x y x y ======∑∑∑()422116940,i i x x =∑-=()42215250,i i y y =∑-=其中,i i x y 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1,2,3,,42i =，y 与x 的相关系数0.82r =．1111ABCD A B C D -1BD α1AA 1CC α1BFD E α1DBB 1BFDE（Ⅰ）若不剔除,A B 两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r ．试判断0r 与r 的大小关系（不必说理由）；（Ⅱ）求y 关于x 的线性回归方程，并估计如果B 考生参加了这次物理考试（已知B 考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？附：回归方程y a bx =+中, 1122211()()=()n niii ii i nniii i x x y y x y nx ya y bx x x xn b x====---==---∑∑∑∑，18．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数). （1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程； （2）若0a <，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.19.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AD 与平面AEF 所成角的正弦值．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>3，短轴长为2，直线l 与椭圆有且只有一个公共点． （1）求椭圆的方程；（2）是否存在以原点O 为圆心的圆满足：此圆与直线l 相交于P ，Q 两点（两点均不在坐标轴上），且OP ，OQ 的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数()1ln 1f x a x x=+-，其中常数a ∈R ，自然常数 2.71828e ≈. （Ⅰ）当实数13a =时，求()f x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上的最值； （Ⅱ）设函数()()1xg x e f x x=+-在区间()0,a e -上存在极值，求证：11a a e a --+>+.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程为2cos (22sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=-+⎩为参数）．（Ⅰ）写出2C 的极坐标方程；（Ⅱ）过原点O 的射线与1C 的异于极点的交点为A ，(0)3xOA παα∠=<<，B 为2C 上的一点，且3AOB π∠=，求AOB ∆面积的最大值．石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案（理科）13. y = 14.315． (-∞，1)(0-⋃，1) 16.①②④17.（Ⅰ）0r r <．......................4分（Ⅱ）由题中数据可得：42421111110,744242i i i i x x y y ======∑∑，................6分 所以.............8分又因为，所以，，所以，................10分将代入，得81.5y =，所以估计B 同学的物理成绩为81.5分．....................12分18．（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++2()324f x x x '=++(2)20f '∴=即切线的斜率20k =..................2分 (2)21f =∴切线方程为20(2)21x y -=-即切线为：20190x y --=..................4分（2）2()324f x x ax '=++对称轴为03ax =->..................5分 ()()4242114235035042110748470iii ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑()422116940ii x x =-=∑()()()1211698470ˆ00.54niii ni i x x y y bx x ==--===-∑∑740.511019a y bx =-=-⨯=0.519y x =+125x =○1当24480a ∆=-≤时，即0a -≤<，()0f x '> ()f x 在(0,)+∞上单调递增；.................8分○2当24480a ∆=->时，即a <-，又 (0)40f '=>令2()3240f x x ax '=++=，则1x =，2x =当0x <<或x >()0f x '>；x <<()0f x '<；()f x 在2(0,6a -，2(,)6a -++∞上单调递增；()f x 在22(,66a ---上单调递减. .................12分19.（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD .∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，………7分 设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形， 60DAB ∠=︒，∴∵DBF ∆为等边三角形，∴,DB EFDB EF =∴(()(,3,0,3,0,2,0AF AD EF =-=-=设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则320AF n x EF n y ⎧⋅=-+⎪⎨⋅==⎪⎩取1x =，得()1,0,1n =.设直线AD 与平面AEF 所成角为θ，………10分6,4AD n AD n ADn⋅==⋅分20．解：（1，可得c e a== 由短轴长为2，可得1b =， …………1分 又2221a c b -==，解得2a =，c ， 则椭圆的方程为2214x y +=； …………4分（2）存在符合条件的圆，此圆的方程为225x y +=． 证明如下：假设存在符合条件的圆， 设此圆的方程为222(0)x y r r +=>，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+， 由2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩可得222(14)8440k x kmx m +++-=，…………5分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，所以△2221(8)4(14)(44)0km k m =-+-=，即2214m k =+，…………6分由方程组222y kx m x y r=+⎧⎨+=⎩可得2222(1)20k x kmx m r +++-=，则△22222(2)4(14)()0km k m r =-+->，设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，则12221km x x k +=-+，221221m r x x k -=+，…………7分 设直线1OP ，2OP 的斜率为1k ，2k ， 所以222222222221212121212222212121222()()()111m r kmk km m y y kx m kx m k x x km x x m m r k k k k k m r x x x x x x m r k --+++++++-++=====--+ (9)分将2214m k =+代入上式，可得2222122222(4)1(4)14(1)r k r k k k m r k r -+-+==-+-，…………10分要使12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意． 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点1P ，2P 满足12k k 为定值14-，…………11分 当直线l 的斜率不存在时，由题意可得l 的方程为2x =±，此时圆225x y +=与l 的交点为1P ，2P 也满足1214k k =-，综上可得当圆的方程为225x y +=时，直线l 与圆的交点1P ，2P 满足斜率之积12k k 为定值14-．……12分21．（Ⅰ）当13a =时，()ln 113x f x x =+-，()'233x f x x-=， 所以()f x 在[],3e 单减，在23,e ⎡⎤⎣⎦单增，…………2分()123f e e =-，()22113f e e =-，()()2f e f e <所以ln32()(3)3min f x f -==，2max 211()()3f x f e e ==-．…………5分 （Ⅱ）依题意，． 则，令，，，()11ln 1ln 1xx g x e a x e a x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭0a x e -<<()x xa xe a g x e x x-'=-=()x t x xe a =-()0,a x e -∈()(1)0xt x e x '=+>所以在上是单调增函数．要使得在上存在极值，则须满足即所以，，即．…………8分所以1111ln 1ln 1aea a a a a a a a--+-->++--=+- 当0a >时，令，()1g ln 1a a a =+-，()'21a g a a-=，所以()()10g a g ≥= 所以，．…………11分 即，所以．…………12分22．（Ⅰ）由曲线2C 的参数方程2cos (22sin x y φϕφ=⎧⎨=-+⎩为参数）． 可得曲线2C 的普通方程为22(2)4x y ++=． 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4sin ρθ=-． 所以2C 的极坐标方程为4sin ρθ=-． …………4分（Ⅱ）设A 点的极坐标为1(ρ，)α，B 点的极坐标为2(,)3πρα-，则12sin ρα=，24sin()3πρα=--， …………6分于是AOB ∆的面积()t x ()0,ae-()g x ()0,ae-()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩0,0,a a e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩0aae e a -->>ln e e a a -->ln a e a a ->+0a >1ln 10a a+-≥110a e a a --+-->11a e a a --+>+2021届高三数学一轮复习坚持就是胜利！12113sin (2sin )[4sin()]23sin sin()3sin(2)232336S ππππρρααααα==--=--=+ …………9分当6πα=时，S 取得最大值2． 所以AOB ∆．…………10分。
四川省成都石室中学2021届高三数学上学期开学考试试题理 【含答案】
y kx m
由
x
2
4y2
4
可得
(1
4k 2 )x2
8kmx
4m2
4
0
，…………5分
因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个交点，
所以△ 1 (8km)2 4(1 4k 2 )(4m2 4) 0 ，即 m2 1 4k 2 ，…………6分
B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件
6 ．已知 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 a 2 3 ， b 2 ， A 60 ，则 B 为（
）
A．60°
B．60°或120° C．30°
D．30°或150°
7．下列函数中，既是奇函数又在 (0, ) 单调递减的函数是（ ）
bx
i 1
i 1
18．已知三次函数 f (x) x3 ax2 4x 1 ( a 为常数).
（1）当 a 1 时，求函数 f (x) 在 x 2 处的切线方程；
（2）若
a
0
，讨论函数
f
(x)
在
x
0,
的单调性.
19.如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， FA FC ，且 DAB DBF 60 ． （1）求证： AC 平面 BDEF ； （2）求直线 AD 与平面 AEF 所成角的正弦值．
18．（1）当 a 1 时，函数 f (x) x3 x2 4x 1 Q f (x) 3x2 2x 4 f (2) 20 即切线的斜率 k 20 ..................2分 Q f (2) 21 切线方程为 20(x 2) y 21即切线为： 20x y 19 0 ..................4分
四川省成都市石室中学(文庙校区)2020-2021学年高三数学理下学期期末试卷含解析
四川省成都市石室中学(文庙校区)2020-2021学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）A. B. C. 6 D.参考答案：C由题可得立体图形：则,所以最长棱为6点睛：三视图还原为立体图形最好将其放在长方体中考虑，这样计算和检验都会比较方便，首先根据题目大致估计图形形状，然后将其准确的画出求解即可2. “数列为递增数列”的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．参考答案：D略3. 不等式3≤l5 - 2xl<9的解集是A．（一∞，-2)U(7,+co) B．C．[-2,1】U【4,7】 D．参考答案：D由得，或，即或，所以不等式的解集为，选D.4. 已知是定义在上的奇函数, 且,则函数的零点个数为（）A． B．C． D．参考答案：D考点：函数的图像和零点的计算．【易错点晴】分类整合思想是高考命题中最受青睐的数学思想,也解答许多数学问题的法宝,本题设置的目的是考查分类整合的数学思想和分析问题解决问题的能力以及运算求解能力.本题在解答时充分借助题设条件,先将函数的解析式表示出来,在分类求出方程的解析式,通过解方程确方程根的个数,从而使问题简捷获解.5. 设则的大小关系是（）A．B．C．D．参考答案：A略6. 执行如图所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】列出循环过程中与的数值,满足判断框的条件即可结束循环.【详解】判断前,第1次循环,,第2次循环,,第3次循环,,,此时,,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:故选:B 【点睛】本题考查程序框图中的循环结构,考查裂项求和,难度较易.7. 已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为（）A．B．C．24πD．参考答案：B【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出△PAD所在圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径R，即可求出球O的表面积．【解答】解：令△PAD所在圆的圆心为O1，则圆O1的半径r=，因为平面PAD⊥底面ABCD，所以OO1=AB=2，所以球O的半径R==，所以球O的表面积=4πR2=．故选B．【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．8. 已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|＜﹣1} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＞1}参考答案：D【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件，构造函数g（x）=f（x）﹣﹣，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣﹣，则函数的g（x）的导数g′（x）=f′（x）﹣，∵f（x）的导函数f′（x）＜，∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，则函数g（x）单调递减，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）﹣﹣=1﹣1=0，则不等式f（x）＜+，等价为g（x）＜0，即g（x）＜g（1），则x＞1，即f（x）＜+的解集{x|x＞1}，故选：D9. 的值为( )A． B．C．D．参考答案：B10. 在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =，则λ=（）A．B．C．﹣D．﹣参考答案：A【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2， =，∴=，∴λ=，故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有一名同学在书写英文单词“error”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率是 .参考答案：【知识点】古典概型的概率求法. K2解析：五个位置的全排列为5！，其中三个r位置无论如何互换都正确，即在5！种排法中，有3！种正确排法，所以所求概率为：.【思路点拨】先求正确排法种数及所有排法种数，再用减法得所求概率.12. 过动点P作圆：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|（O为坐标原点），则|PQ|的最小值是．参考答案：【考点】J3：轨迹方程；J7：圆的切线方程．【分析】根据题意，设P的坐标为（m，n），圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心为N，由圆的切线的性质可得|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，结合题意可得|PN|2=|PO|2+1，代入点的坐标可得（m﹣3）2+（n﹣4）2=m2+n2+1，变形可得：6m+8n=24，可得P的轨迹，分析可得|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离，由点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设P的坐标为（m，n），圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心为N，则N（3，4）PQ为圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切线，则有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，又由|PQ|=|PO|，则有|PN|2=|PO|2+1，即（m﹣3）2+（n﹣4）2=m2+n2+1，变形可得：6m+8n=24， 即P 在直线6x+8y=24上，则|PQ|的最小值即点O 到直线6x+8y=24的距离，且d==；即|PQ|的最小值是；故答案为：．13. 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则＝________.参考答案：-1614. 已知，则的最小值是 ．参考答案：3215. 已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=2，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则|PC|的最大值为 ．参考答案：2【考点】圆的标准方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】得到圆心坐标和半径．等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=2， ∴圆心坐标C （1，2），半径r=．∵等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦， ∴|PC|的最大值为直径2．故答案为：2．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定|PC|的最大值为直径是关键． 16. 已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的标准方程为 ．参考答案：﹣x 2=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程，可以设其方程为x 2﹣=m ，又由其过点，将点的坐标代入方程计算可得m 的值，即可得其方程，最后将求得的方程化为标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x ，则可以设其方程为x 2﹣=m ，（m≠0），又由其经过点，则有1﹣=m ，解可得m=﹣1，则其方程为：x 2﹣=﹣1，其标准方程为：﹣x 2=1，故答案为：﹣x 2=1．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意最后的答案要检验其是否为标准方程的形式．17. 设函数,则, 方程的解集 ．参考答案：试题分析:因,故.由可得或,即或.故,应填答案.考点：分段函数的求值和指数对数方程的求解．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021年四川省成都市石室中学高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
2021年四川省成都市石室中学高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．在复平面内，复数z＝对应的点的坐标为（）A．（3，2）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（3，﹣2）2．已知集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣3x+4）}，B＝{y|y＝2}，则A∪B＝（）A．（﹣4，4]B．（0，1）C．（﹣∞，4]D．（﹣4，+∞）3．设命题p：∀x≤0，＝﹣x，则￢p为（）A．∀x≤0，≠﹣x B．∃x0≤0，＝﹣x0C．∀x＞0，＝﹣x D．∃x0≤0，≠﹣x04．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦+矢）×矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（参考数据：π≈3.14，≈1.73）A．220平方米B．246平方米C．223平方米D．250平方米5．已知双曲线8x2﹣8y2＝﹣1有一个焦点在抛物线C：x2＝2py（p＞0）准线上，则p的值为（）A．2B．1C．D．6．已知正项递增等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a7＝20，a4•a7＝64，则＝（）A．B．C．D．7．如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P＝B．P＝C．P＝D．P＝8．已知sin（θ﹣）cos（π+θ）＝cos2θ，且sinθ≠0，则tan（θ+）的值为（）A．B．C．2﹣D．2+9．某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，且S1＝λS2，则λ＝（）A．1B．C．D．10．已知AB是半径为2的圆M的一条直径，四边形ABCD是圆M内接四边形，∠CMD＝120°，若P在线段CD上（端点C、D除外）运动，则•的取值范围是（）A．（0，3）B．（1，3）C．[﹣3，0）D．（﹣3，3）11．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），双曲线C2：﹣＝1，F1，F2分别为C2的左、右焦点，P为C1和C2在第一象限内的交点，若△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为2，C1和C2的离心率之积为，则该内切圆的半径为（）A．4﹣2B．4+2C．4﹣2D．4﹣212．已知函数f（x）＝+，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m2﹣1＝0恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是（）A．（1，+1）B．（0，+1）C．（1，）D．（0，）二、填空题（共4小题）.13．如图，动点P（x，y）在平行四边形ABCD内部（含边界）运动，则z＝2x﹣4y的最小值为．14．将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有种放法．（用数字作答）15．已知函数f（x）＝，若f（x）≥f（1）恒成立，则正实数a的取值范围是．16．已知f（x）＝m sinωx﹣cosωx（m＞0，ω＞0），g（x）＝e x，若对∀x1∈R，∃x2∈[0，ln2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，若f（x）在区间[0，π]上的值域为[﹣1，]，则实数ω的最大值为．三、解答题(一）必考题:共60分17．已知数列{a n}，a1＝3，且对任意n∈N*，都有＝a n+1．（1）设b n＝a n+1﹣a n，判断数{b n}是否为等差数列或等比数列．（2）若a2＝5，c n＝，求数列{c n}的前2n项的和S2n．18．某房产中介公司对2018年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，y表示2018年x 月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：x i12345678y i1214202224202630（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到0.01）；（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动．若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X（千元）的分布列及数学期望．参考数据：x i y i＝850，x i2＝204，y i2＝3776，≈4.58，≈5.57．参考公式：相关系数r＝19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是矩形，CD＝，F为棱PA上一点，且AF＝λAP（0＜λ＜1），M为AD的中点，四棱锥P﹣ABCD的体积为．（1）若λ＝，N是PB的中点，求证：平面MNF∥平面PCD，（2）是否存在λ，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为？20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）上任意一点到其两个焦点F1，F2的距离之和等于2，焦距为2c，圆O：x2+y2＝c2，A1，A2是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，四边形A1AA2B面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，若直线l1：y＝kx+m（m≠0）与圆O相切，且与椭圆相交于M，N两点，直线l1与l2平行且与椭圆相切于P（O，P两点位于l1的同侧），求直线l1、l2距离d的取值范围．21．已知函数f（x）＝x2+mln（1﹣x），其中m∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＞﹣ln4．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系，曲线C的参数方程为，（θ为参数），P（x0，y0）是曲线C上的任意一点，动点Q（x，y）满足，记Q（x，y）轨迹为E，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极轴建立极坐标系，l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），A点的极坐标为（5，0）．（1）求E的普通方程；（2）若l与E交于M，N两点，求△AMN的面积；[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|．（1）求不等式f（x﹣1）+f（2x﹣1）≤2x的解集；（2）若a＞0，b＞0，c＞0，且＝1，证明：f（x+a）+f（x﹣b﹣c）≥36．参考答案一、选择题（共12小题）.1．在复平面内，复数z＝对应的点的坐标为（）A．（3，2）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（3，﹣2）解：∵z＝＝，∴在复平面内，复数z＝对应的点的坐标为（3，﹣2）．故选：D．2．已知集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣3x+4）}，B＝{y|y＝2}，则A∪B＝（）A．（﹣4，4]B．（0，1）C．（﹣∞，4]D．（﹣4，+∞）解：∵集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣3x+4）}＝{x|﹣4＜x＜1}，B＝{y|y＝2}＝{x|0＜y≤4}，∴A∪B＝{x|﹣4＜x≤4}＝（﹣4，4]．故选：A．3．设命题p：∀x≤0，＝﹣x，则￢p为（）A．∀x≤0，≠﹣x B．∃x0≤0，＝﹣x0C．∀x＞0，＝﹣x D．∃x0≤0，≠﹣x0解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即，∃x0≤0，≠﹣x0，故选：D．4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦+矢）×矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（参考数据：π≈3.14，≈1.73）A．220平方米B．246平方米C．223平方米D．250平方米解：如图，由题意可得：∠AOB＝，OA＝20，在Rt△AOD中，可得：∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×20＝10，可得：矢＝20﹣10＝10，由AD＝AO•sin＝20×＝10，可得：弦＝2AD＝2×10＝20，所以：弧田面积＝（弦+矢）×矢＝（20+10）×10≈223平方米．故选：C．5．已知双曲线8x2﹣8y2＝﹣1有一个焦点在抛物线C：x2＝2py（p＞0）准线上，则p的值为（）A．2B．1C．D．解：双曲线8x2﹣8y2＝﹣1即为﹣＝1，∴c2＝+＝，∴c＝，∵抛物线C：x2＝2py（p＞0）准线为y＝﹣，∴﹣＝﹣，即p＝1，故选：B．6．已知正项递增等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a7＝20，a4•a7＝64，则＝（）A．B．C．D．解：∵正项递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a4+a7＝20，a4•a7＝64，∴a4，a7是一元二次方程x2﹣20x+64＝0的两个根，且a4＜a7，解方程x2﹣20x+64＝0，得a4＝4，a7＝16，∴，解得a1＝1，q3＝4，∴＝＝＝＝．故选：B．7．如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P＝B．P＝C．P＝D．P＝解：随机输入X i∈（0，1），Y i∈（0，1），Z i∈（0，1），那么点P（X i，Y i，Z i）构成的区域为以1为边长的正方形，判断框内x2i+y2i+z2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i，z i）在单位球内部（球）内，并累计记录点的个数M，若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（球）外，并累计记录点的个数N，第2个判断框i＞2000，是进入计算此时落在单位球内的点的个数为M，一共判断了2000个点，那么球的体积/正方体的体积＝，即＝，解得：π＝，（π的估计值），即执行框内计算的是P＝．故选：B．8．已知sin（θ﹣）cos（π+θ）＝cos2θ，且sinθ≠0，则tan（θ+）的值为（）A．B．C．2﹣D．2+解：∵sin（θ﹣）cos（π+θ）＝（sinθ﹣cosθ）•（﹣cosθ）＝cos2θ﹣sinθcosθ，∵cos2θ＝cos2θ﹣sin2θ，而已知sin（θ﹣）cos（π+θ）＝cos2θ，∴cos2θ﹣sinθcosθ＝cos2θ﹣sin2θ，即sinθcosθ＝sin2θ．∵sinθ≠0，∴tanθ＝2，则tan（θ+）＝＝＝2+，故选：D．9．某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，且S1＝λS2，则λ＝（）A．1B．C．D．解：由题意知，该柱体是圆柱体，且底面圆的直径等于母线长，如图所示；设底面圆的半径为R，则圆柱的母线长为2R，内切球的半径也为R，则圆柱体的表面积为S1＝2πR2+2πR•2R＝6πR2，其内切球的表面积为S2＝4πR2，又S1＝λS2，则λ＝＝＝．故选：C．10．已知AB是半径为2的圆M的一条直径，四边形ABCD是圆M内接四边形，∠CMD＝120°，若P在线段CD上（端点C、D除外）运动，则•的取值范围是（）A．（0，3）B．（1，3）C．[﹣3，0）D．（﹣3，3）解：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示；不妨设CD∥AB，由AB＝4，∠CMD＝120°，得M（0，0），A（﹣2，0），B（2，0），C（，1），D（﹣，1），由P在线段CD上（端点C、D除外），可设P（x，1），其中x∈（﹣，）；则＝（﹣2﹣x，﹣1），＝（2﹣x，﹣1），所以•＝（﹣2﹣x）（2﹣x）+1＝x2﹣3；又x∈（﹣，），所以γx2﹣3∈[﹣3，0），即•的取值范围是[﹣3，0）．故选：C．11．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），双曲线C2：﹣＝1，F1，F2分别为C2的左、右焦点，P为C1和C2在第一象限内的交点，若△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为2，C1和C2的离心率之积为，则该内切圆的半径为（）A．4﹣2B．4+2C．4﹣2D．4﹣2解：设△PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1，PF2，F1F2的切点为M，N，K，可得|PM|＝|PN|，|F2N|＝|F2K|，|MF1|＝|F1K|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2b，即有|F1K|﹣|F2K|＝2b，又|F2K|+|F1K|＝2c，可得|F1K|＝c+b，可得内切圆的圆心I的横坐标为b＝2，C1和C2的离心率之积为，可得•＝，解得a＝4，可得椭圆方程为+＝1，即有|PF1|﹣|PF2|＝4，|PF1|+|PF2|＝8，解得|PF2|＝2，可得4﹣x P＝2，解得x P＝，P的纵坐标为，设内切圆的半径为r，可得r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）＝•4•，即r＝＝4﹣2．故选：A．12．已知函数f（x）＝+，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m2﹣1＝0恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是（）A．（1，+1）B．（0，+1）C．（1，）D．（0，）解：因为f（x）＝+，所以f′（x）＝，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设t＝f（x），则关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m2﹣1＝0可化为t2﹣mt+m2﹣1＝0，设关于t的方程t2﹣mt+m2﹣1＝0有两根t＝t1，t＝t2，则关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m2﹣1＝0恰好有4个不相等的实根，等价于函数t＝f（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2的交点个数为4个，函数t＝f（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2位置关系如图，得：关于t的方程t2﹣mt+m2﹣1＝0有两不等实根，且t1，t2∈（0，），设g（t）＝t2﹣mt+m2﹣1，则有：，解得：1，故选：C．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，动点P（x，y）在平行四边形ABCD内部（含边界）运动，则z＝2x﹣4y的最小值为﹣12．解：由动点P（x，y）在平行四边形ABCD内部（含边界）运动，可行域如图，＝＝（1，0）+（﹣1，2）+（3，2）＝（2，4）．可得C（2，4）化目标函数z＝2x﹣4y的最小值为×2﹣4×4＝﹣12．故答案为：﹣12．14．将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有10种放法．（用数字作答）解：根据题意，将6个小球排成一排，排好后有5个可用的空位，在5个空位中任选3个，插入挡板，有C53＝10种情况，可以将6个小球分成4组，依次放入4个不同的盒子中即可，则有10种不同的放法；故答案为：10．15．已知函数f（x）＝，若f（x）≥f（1）恒成立，则正实数a的取值范围是（0，]．【解答】因为由f（x）≥f（1）恒成立，又f（1）＝0，故f（x）≥0恒成立．因为a＞0，故当x≥1时，f（x）＝alnx是增函数，所以f（x）≥f（1）＝0成立；当0≤x＜1时，恒成立，此时f′（x）＝x2﹣a，故f（x）在上单调递减，在（上单调递增，当a≥1时，f（x）在[0，1）上单调递减，故，解得；当0＜a＜1时，成立；综上可知，a的取值范围是．故答案为：（0，]．16．已知f（x）＝m sinωx﹣cosωx（m＞0，ω＞0），g（x）＝e x，若对∀x1∈R，∃x2∈[0，ln2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，若f（x）在区间[0，π]上的值域为[﹣1，]，则实数ω的最大值为．解：已知f（x）＝m sinωx﹣cosωx＝sin（ωx+θ），其中tanθ＝；可得f（x）的最大值为，由g（x）＝e x在x∈[0，ln2]的最大值2，∴≤2，可得：0＜m≤．要使ω最大，周期T最小，那么x∈[0，π]上必然单调．∴．则ω≤2．根据区间[0，π]上的值域为[﹣1，]，可得（0＜m≤）∴m＝1，那么θ＝或，当θ＝时，则＝，k∈Z；∴ω＝．ω最大值为．当θ＝时则＝，k∈Z；∴ω＝﹣．可得ω最大值为．故答案为：．三、解答题(一）必考题:共60分17．已知数列{a n}，a1＝3，且对任意n∈N*，都有＝a n+1．（1）设b n＝a n+1﹣a n，判断数{b n}是否为等差数列或等比数列．（2）若a2＝5，c n＝，求数列{c n}的前2n项的和S2n．解：（1）数列{a n}，a1＝3，且对任意n∈N*，都有＝a n+1．所以：a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n，所以：数列{a n}的公差为0时，b n+1＝b n＝0，所以：数列{b n}是等差数列，不是等比数列．当数列{a n}的公差不为0时，b n+1＝b n≠0，所以：数列{b n}既是等差数列，又是等比数列．（2）若a2＝5，由（1）知：a n+1﹣a n＝a2﹣a1＝2，所以：a n＝2n+1．则：，则：S2n＝S奇+S偶，＝（3+7+11+…+2n+1）+（42+44+…+42n），＝．18．某房产中介公司对2018年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，y表示2018年x 月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：x i12345678y i1214202224202630（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到0.01）；（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动．若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X（千元）的分布列及数学期望．参考数据：x i y i＝850，x i2＝204，y i2＝3776，≈4.58，≈5.57．参考公式：相关系数r＝解：（1）由题意，计算＝4.5，＝21，又x i y i＝850，x i2＝204，y i2＝3776，≈4.58，≈5.57；所以相关系数r＝＝＝＝≈0.92；因为0.92非常趋近1，所以变量x、y线性相关性很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系；（2）二人所获奖金总额X的所有可能取值有0，3，5，6，8，10千元，计算P（X＝0）＝×＝，P（X＝3）＝2××＝，P（X＝5）＝2××＝，P（X＝6）＝×＝，P（X＝8）＝2××＝，P（X＝10）＝×＝；所以随机变量X的分布列为：X0356810P数学期望为E（X）＝0×+3×+5×+6×+8×+10×＝5.5（千元）．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是矩形，CD＝，F为棱PA上一点，且AF＝λAP（0＜λ＜1），M为AD的中点，四棱锥P﹣ABCD的体积为．（1）若λ＝，N是PB的中点，求证：平面MNF∥平面PCD，（2）是否存在λ，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为？【解答】证明：（1）∵，∴F是A的中点，∵N是PB的中点，∴FN∥AB，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，故FN∥CD，∵CD⊂平面PCD，FN⊄平面PCD，∴FN∥平面PCD，FM∥DP，DP⊂平面PCD，FM⊄平面PCD，∴FM∥平面PCD，FM∩FN＝F，FM，FN⊂平面FMN，∴平面FMN∥平面PCD．解：（2）连结PM，过M作ME∥CD，交BC于E，由△PAD是等边三角形，得PM⊥AD，面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，PM⊥AD，PM⊂面PAD，∴PM⊥平面ABCD，以M为原点，MA为x轴，ME为y轴，MP为z轴，建立空间直角坐标系，假设存在λ，满足题意，设，λ∈（0，1），则A（1，0，0），P（0，0，），B（1，，0），M（0，0，0），＝（1，，0），＝＝（﹣），则＝＝（1﹣），设面FMN的法向量＝（x，y，z），则，即，取y＝﹣，得＝（2，﹣，），取PAD的法向量＝（0，1，0），由题知|cos＜＞|＝＝＝，解得，∴存在λ＝，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）上任意一点到其两个焦点F1，F2的距离之和等于2，焦距为2c，圆O：x2+y2＝c2，A1，A2是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，四边形A1AA2B面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，若直线l1：y＝kx+m（m≠0）与圆O相切，且与椭圆相交于M，N两点，直线l1与l2平行且与椭圆相切于P（O，P两点位于l1的同侧），求直线l1、l2距离d的取值范围．解：（1）椭圆C：＝1（a＞b＞0）中，2a＝2，解得a＝；又圆的直径AB⊥x轴时四边形A1AA2B的面积最大，最大为2ac＝2，解得c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆C的方程为+＝1；（2）由直线l1：y＝kx+m（m≠0）与圆O相切，得＝1，即|m|＝；再设直线l2：y＝kx+n，联立，消去y得（5k2+4）x2+10knx+5n2﹣20＝0；所以△＝（10kn）2﹣4（5k2+4）（5n2﹣20）＝0，化简得n2＝5k2+4；因为d＝＝＝|1﹣|，且＝＝5﹣；由k2≥0，得0＜≤1，所以4≤＜5；由O、P两点位于l1的同侧，m、n异号，所以﹣＜≤﹣2；所以d＝1﹣∈[3，1+），即直线l1、l2距离d的取值范围是[3，1+）．21．已知函数f（x）＝x2+mln（1﹣x），其中m∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＞﹣ln4．解：（1）函数的定义域为（﹣∞，1），f′（x）＝x﹣＝，1﹣x＞0，令﹣x2+x﹣m＝0，判别式△＝1﹣4m，当△≤0，则f′（x）≤0恒成立，即f（x）在（﹣∞，1）上是减函数，当△＞0，即m＜时，由x2﹣x+m＝0，得x1＝，x2＝，若0＜m＜，则x1＜x2＜1，则当x＜x1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x2＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．若m≤0，则x1＜1≤x2，则x＜x1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x1＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增综上m≤0时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，），单调递增区间为（，1）．0＜m＜时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，），（，1），单调递增区间为（，），m≥时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）．（2）函数的定义域为（﹣∞，1），f′（x）＝x﹣＝，若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，∴f′（x）＝0在（﹣∞，1）上有两个不同的根x1，x2，设g（x）＝﹣x2+x﹣m，则，得0＜m＜，从而，且x1＜x2，得0＜x1＜，0＜x2＜，f（x1）+f（x2）＝x12+mln（1﹣x1）+x22+mln（1﹣x2）＝（x12+x22）+mln（1﹣x1）（1﹣x2）]＝[（x1+x2）2﹣2x1x2]+mln[（1﹣（x1+x2）+x1x2]＝（1﹣2m）+mlnm，构造函数h（x）＝xlnx﹣x+，0＜x＜，则h′（x）＝lnx＜0，即h（x）在0＜x＜上单调递减，∴h（x）＞h（）＝﹣ln4．即证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系，曲线C的参数方程为，（θ为参数），P（x0，y0）是曲线C上的任意一点，动点Q（x，y）满足，记Q（x，y）轨迹为E，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极轴建立极坐标系，l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），A点的极坐标为（5，0）．（1）求E的普通方程；（2）若l与E交于M，N两点，求△AMN的面积；解：（1）由已知Q（x，y）满足及得，∴曲线E：x2+y2＝9，（2）由于l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），即为y＝x，A（5，0）∵|MN|＝6，d＝，S＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|．（1）求不等式f（x﹣1）+f（2x﹣1）≤2x的解集；（2）若a＞0，b＞0，c＞0，且＝1，证明：f（x+a）+f（x﹣b﹣c）≥36．解：（1）f（x﹣1）+f（2x﹣1）＝|x﹣1|+|2x﹣1|，当x＞1时，|x﹣1|+|2x﹣1|＝3x﹣2≤2x，解得：x≤1，故1＜x≤2，当≤x≤1时，|x﹣1|+|2x﹣1|＝x≤2x，解得：x≥0，故≤x≤1，当x＜时，|x﹣1|+|2x﹣1|＝2﹣3x≤2x，解得：x≥，故≤x＜，综上，不等式的解集是{x|≤x≤2}；（2）由绝对值不等式的性质得：f（x+a）+f（x﹣b﹣c）＝|x+a|+|x﹣b﹣c|≥|x+a﹣x+b+c|＝a+b+c，∵a＞0，b＞0，c＞0，且＝1，∴a+b+c＝（a+b+c）（）＝1+4+9+++≥14+2+2+2＝36，当且仅当b＝2a，c＝3a时“＝”成立，故原命题成立．。
四川省成都市石室中学2020-2021学年高三上学期入学考数学(理)试题
四川省成都市石室中学2020-2021学年高三上学期入学考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．若复数z 满足20171zi i=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2．已知集合(){}2ln 34A x y x x ==--+，{}222xB y y -==，则A B =（）A ．()0,1B ．(]4,4-C ．(],4-∞D ．()4,-+∞3．下列判断正确的是（）A ．命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤”B ．函数()f x =的最小值为2C ．“2x =”是“2x -=D ．若0a b ⋅<，则向量a 与b 夹角为钝角4．对于函数()44sin cos f x x x =-，下列结论不正确的是（）A ．在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增 B ．图像关于y 轴对称 C ．最小正周期为2πD ．值域为[]1,1-5．在如图的程序框图中，若输入m =77，n =33，则输出的n 的值是A ．3B ．7C ．11D ．336．某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，且12S S λ=，则λ=（） A ．1B ．23C ．43D ．327．高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（ ） A ．2454C AB ．2456CC ．2454A AD ．2456A8．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，若3AB AC AD EC ⋅=⋅，则ABAC的值是（）A B ．2C D ．39．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=，且1x 、[)21x ∈+∞,有()()12120x x f x f x ->-，若()()1g x f x =+，实数a 满足()()212log log 21g a g a g ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭则a 的最小值为（） A ．12B ．1C ．32D ．210．在平面区域2,20,0,x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，内任取一点(,)P x y ，则存在α∈R ，使得点P 的坐标(,)x y满足(2)cos sin 0x y αα-+-=的概率为（ ） A ．3116π-B ．316π C ．434π- D ．116π-11．ABC 中，已知AB =BC =，7AC =，D 是边AC 上一点，将ABD △沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -．若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设BM x =，则x 的取值范围为（） A．(B．C．(D．(0,12．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点为A 、B ，P 是双曲线上不同于A 、B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m 、n ，则当()4136ln ln 32a m nb mn mn ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭取得最小值时，双曲线C 的离心率为（） ABCD二、填空题13．若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为________．14．已知圆()()222:42C x y r -+-=截y轴所得的弦长为过点()0,4且斜率为k 的直线l 与圆C 交于A 、B两点，若AB =k =________．15．已知抛物线24y x =的一条弦AB 经过焦点F ，O 为坐标原点，点M 在线段OB 上，且3OB OM =，点N 在射线OA 上，且3ON OA =，过M 、N 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C 、D ，则CD 的最小值为________．16．已知函数()()()12e e xf x m x x =----，若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的取值范围为________．三、解答题17．某高校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示．（1）求频率分布表中n ，p 的值，并估计该组数据的中位数（保留l 位小数）； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．18．已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-．（1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）设12n n c a n =-+，求数列{}n n c ⋅的前n 项和n S ． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，CD =，F 为棱P A 上一点，且()01AF AP λλ=<<，M为AD 的中点，四棱锥P ABCD -的体积为3．（1）若12λ=，N 是PB 的中点，求证：平面//MNF 平面PCD ；（2）是否存在λ，使得平面FMB 与平面P AD ． 20．已知椭圆()2222C :10x y a b a b+=>>上任意一点到其两个焦点1F ，2F 的距离之和等于2c ，圆222:O x y c +=，1A ，2A 是椭圆的左、右顶点，AB 是圆O的任意一条直径，四边形12A AA B 面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线()1:0l y kx m m =+≠与圆O 相切，且与椭圆相交于M ，N 两点，直线2l 与1l 平行且与椭圆相切于P （O ，P 两点位于1l 的同侧），求直线1l ，2l 距离d 的取值范围．21．已知函数()ln m xf x x=，()()1g x n x =-+，其中0mn ≠． （1）若m n =，讨论()()()h x f x g x =+的单调区间；（2）若()()0f x g x +=的两根为1x ，2x ，且12x x >，证明：()121220g x x m x x ++<+． 22．在平面直角坐标系xoy ，曲线1:40C x y +-=，曲线2cos :1sin x C y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为 极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线:0,02l a a πθρ⎛⎫=≥<< ⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于M ，N 两点，求ON OM的最大值.参考答案1．A 【详解】 由2017i 1iz=-，得()()()50420174i 1i i i 1i 1z i =-=-=+，则1i z =-，故选A. 2．B 【分析】由二次不等式的解法可得：()4,1A =-，由指数函数的值域的求法可得：(]0,4B =， 再结合并集的运算可得：(]4,4A B =-，得解.【详解】解：解不等式2340x x --+>，解得41x -<<，即()4,1A =-， 又因为222x -≤，所以22024x -<≤，即(]0,4B =，即 (]4,4AB =-，故选B. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、指数函数的值域的求法及并集的运算，属基础题. 3．C 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题可得：命题的否定是“00x ∃>，020*******x +≤”，选项A 错误，由()g t 在[)3,+∞为增函数，即 min 10()3g t =，即B 错误；由根式方程的求法得“2x =”是“2x -=C 正确，由向量的夹角可得向量a 与b 夹角为钝角或平角，即D 错误，得解. 【详解】解：对于选项A ，命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃>，020*******x +≤”，即A 错误；对于选项B ，令t ，则3t ≥，则1()g t t t=+，3t ≥，又()g t 在[)3,+∞为增函数，即 min 10()(3)3g t g ==，即B 错误；对于选项C ，由“2x =”可得“2x -=由“2x -=220x x -=-=，解得“2x =”，即 “2x =”是“2x -=C 正确，对于选项D ，若0a b ⋅<，则向量a 与b 夹角为钝角或平角，即D 错误， 故选C. 【点睛】本题考查了全称命题的否定、均值不等式的应用、根式方程的求法及向量的夹角，属基础题. 4．C 【解析】 【分析】由2222sin cos 1,cos sin cos 2x x x x x +=-=，求得()f x =cos2x -，再利用()f x 的性质即可得解. 【详解】解：因为()44sin cos f x x x =-2222(sin cos )(sin cos )x x x x =-+22sin cos cos 2x x x =-=-，则函数是在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增的偶函数，且值域为[]1,1-，周期为22ππ=， 即选项,,A B D 正确，选项C 错误， 故选C. 【点睛】本题考察了三角恒等变换及函数()f x =cos2x -的性质，属基础题. 5．C 【解析】这个过程是7723311=⨯+，33311=⨯，故所求的最大公约数是11．6．D 【分析】由空间几何体的三视图可得此柱体为底面直径与高相等的圆柱， 设底面圆的半径为r ，则此柱体内切球的半径为r ，由圆柱体表面积及球的表面积公式可得：216S r π=，224S r π=，运算即可得解.【详解】解：由已知可得：此柱体为底面直径与高相等的圆柱， 设底面圆的半径为r ，则高为2r ,则22122(2)6S r r r r πππ=+⋅=，又此柱体内切球的半径为r ，则224S r π=，则21226342S r S r πλπ===， 故选D. 【点睛】本题考察了空间几何体的三视图、圆柱体表面积及球的表面积的运算，属中档题. 7．D 【解析】试题分析：1班、2班的安排方式有25A 种，剩余4个班的安排方式有46种，所以共有2456A 各安排方式，故选D ． 考点：计数原理． 8．A 【解析】 【分析】将AB ,AC 作为平面向量的一组基底，再利用平面向量基本定理可得AD EC ⋅=22111263AC AB AB AC -+,再由3AB AC AD EC ⋅=⋅运算即可得解. 【详解】解：因为在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，所以1()()2AD EC AB AC AC AE ⋅=+-=11()()23AB AC AC AB +-= 22111263AC AB AB AC -+, 又3AB AC AD EC ⋅=⋅，所以2211026AC AB -=，即3AB AC =, 故选A. 【点睛】本题考察了平面向量基本定理，属中档题. 9．A 【分析】由()()2f x f x -=，则函数()f x 的图像关于直线1x =对称，由1x 、[)21x ∈+∞,有()()12120x x f x f x ->-，即函数()f x 在[)1,+∞为增函数， 又()()1g x f x =+，则函数()g x 为偶函数，且在[)0,+∞为增函数， 再由()g x 的性质得不等式2log 1a ≤，求解即可. 【详解】解:由函数()f x 满足()()2f x f x -=，则函数()f x 的图像关于直线1x =对称， 又1x 、[)21x ∈+∞,有()()12120x x f x f x ->-，即函数()f x 在[)1,+∞为增函数，又()()1g x f x =+，则函数()g x 为偶函数，且在[)0,+∞为增函数，又()()212log log 21g a g a g ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭， 所以()()()222log log 2(log )21g a g a g a g +-=≤， 所以2log 1a ≤，即122a ≤≤， 则a 的最小值为12， 故选A.【点睛】本题考查了函数图像的对称性及函数的单调性，再利用对称性及函数的单调性求解不等式，属中档题. 10．A 【分析】先求出平面区域的面积，找到()2cos sin 0x y αα-+=的成立条件，利用几何概型的公式求解． 【详解】画出平面区域2,20,0,x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩图中OBA ∆边界及内部是所表示的平面区域，如下图所示：()2cos sin 0x y αα-+=)αϕ⇒+=≥它表示在已知平面区域内，圆心(2,0)的圆外（包括圆周），如上图所示：解方程组：22243(,)204333x x y B x y y ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，01423AB y S OA B ∆=⨯⨯=，在已知平面区域内，圆心(2,0)的圆内（包括圆周）的面积为1S ，21453604S ππ⨯⨯==所求的概率13116OAB OAB S S P S π∆∆-==-，故本题选A ．【点睛】本题考查了几何概型,解决本题的关键是对存在R α∈，使得点P 的坐标(),x y 满足()2cos sin 0x y αα-+=，这句话的理解．11．B 【分析】根据题意可得：折叠前在图1中，AM BD ⊥，垂足为N ，在图1中过A 作1AM BC ⊥于1M ，运动点D ，可得当点D 与点C 无限接近时，折痕BD 接近BC ,此时M 无限接近1M ，1BM BM <，在图2中，由于AB 是Rt ABM ∆的斜边，所以BM AB <,即可得：1BM BM AB <<,再在ABC ∆由余弦定理求得60ABC ∠=，然后在1Rt ABM ∆中求得1BM =.【详解】解：因为将ABD △沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -．且顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，所以在图2中，AM BCD ⊥平面,,MN AN 都与BD 垂直，因此折叠前在图1中，AM BD ⊥，垂足为N ，在图1中过A 作1AM BC ⊥于1M ， 运动点D ，可得当点D 与点C 无限接近时，折痕BD 接近BC ,此时M 无限接近1M ，所以1BM BM <，在图2中，由于AB 是Rt ABM ∆的斜边，BM 是直角边，所以BM AB <,因此可得：1BM BM AB <<,又因为AB =BC =，7AC =，所以1cos 2ABC ∠==，即60ABC ∠=，由此可得在1Rt ABM ∆中，1cos607BM AB ==BM << 又BM x =，则x的取值范围为，故选B.【点睛】本题考查了余弦定理及线面垂直，属综合性较强的题型. 12．D 【分析】由题意设出A,B 的坐标，代入双曲线方程，写出AP ，BP 的斜率分别为m 、n ， 求出mn ，代入()4136ln ln 32a m nb mn mn ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭，换元后利用导数求最值，求出取最小值的条件，再求得双曲线离心率即可. 【详解】解：设0,0(,)P x y ，又(,0),(,0)A a B a -, 则00y m x a =+，00y n x a=-， 所以200022000y y y mn x a x a x a =⋅=+--=22b a ， 所以()4136ln ln 32a m n b mn mn ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭=3246()()()3ln 3a a a a b b bb+--，设at b=，0t >， 则324()63ln 3g t t t t t =+--，则32'234263()642t t t g t t t t t -+-=+--==2(23)(21)t t t+-，当102t <<时，'()0g t <，当12t >时，'()0g t >， 则函数()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭为增函数，即当12t =即12a b =，即c e a ===()g t 取最小值， 故选D. 【点睛】本题考查了利用导数求函数最值及双曲线离心率，属中档题. 13．20- 【分析】由已知可得2nC =4nC ,解得6n =，则有61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为1r T +=(1)r-r 6 C 62r x -,再令620r -=，解出r 代入运算即可得解. 【详解】解：由1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，即2n C =4n C ,解得6n =，则61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为1r T +=(1)r-r 6 C 62r x -,令620r -=，解得3,r =即展开式中的常数项为3(1)-36C =-20,故答案为：-20. 【点睛】本题考查了二项式定理、二项式系数及展开式常数项，属基础题.14．34【分析】由圆中弦长的运算可得：222418r =+=，4=，运算可得解.【详解】解：由题意有222418r =+=， 由已知可设直线方程l 为4y kx =+， 设圆心（4,2）到直线l 的距离为d ，则2218d =+， 即4d =，4=，解得34k =， 故答案为：34. 【点睛】本题考查了圆中弦长的运算及点到直线的距离公式，属中档题. 15．4 【分析】设直线AB 的方程为1x my =+，代入抛物线24y x =消x 得：2440y my --=，则CD =21133y y -=221123y y +，再利用基本不等式即可得解. 【详解】设直线AB 的方程为1x my =+，代入抛物线24y x =消x 得：2440y my --=，设112,2(,),()A x y B x y ，则12124,4y y m y y +==-，所以CD =21133y y -=221123y y+4≥=， 则CD 的最小值为4. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的关系及基本不等式的应用，属中档题.16．32e ee m +<≤【分析】设()+()2e e x g x x =-，所以()'()1e ,xg x x =-当1x >时，'()0,g x >函数()g x 单调递增，当1x <时，',()0g x <函数()g x 单调递减，又关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图像在()y g x =图像的上方只有一个正整数值，分别作出()y g x =与(1)y m x =-的图像观察可得32(3)(2)m g e em g e ⎧≤=+⎨>=⎩，求解即可. 【详解】解：由不等式()0f x >，所以()()2e +1e xm x x ->-，设()+()2e e xg x x =-，所以()'()1e ,xg x x =-当1x >时，'()0,g x >函数()g x 单调递增，当1x <时，',()0g x <函数()g x 单调递减，所以()(1)0g x g ≥=，当x →+∞时，()g x →+∞，当x →-∞时，()g x e →，若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图像在()y g x =图像的上方只有一个正整数值，分别作出()y g x =与(1)y m x =-的图像可知：32(3)(2)m g e em g e ⎧≤=+⎨>=⎩，即32e ee m +<≤.【点睛】本题考查了不等式与函数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 17．（1）35n =，0.300p =，中位数估计值为171.7（2）第3、4、5组每组各抽学生人数为3、2、1（3）35【解析】 【分析】（1）由频率分布表可得：35n =，0.300p =，由中位数的求法可得中位数估计值为171.7； （2）因为笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为3:2:1，由分层抽样的方法选6名学生，三个小组分别选的人数为3、2、1；（3）先列举出从6名学生中随机抽取2名学生的不同取法，再列举出第4组至少有1名学生被甲考官面试的取法，再结合古典概型的概率公式即可得解.【详解】解：（1）由已知：5302010100n ++++=，0.5000.3500.2000.100 1.000p ++++=，35n ∴=，0.300p =，中位数为0.11700.06+≈171.7， 即中位数估计值为171.7，（2）由已知，笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为3:2:1，现用分层抽样的方法选6名学生．故第3、4、5组每组各抽学生人数为3、2、1． （3）在（2）的前提下，记第3组的3名学生为1c ，2c ，3c ，第4组的2名学生为1d ，2d ，第5组的1名学生为1e ，且“第4组至少有1名学生被甲考官面试”为事件A ．则所有的基本事件有：()12,c c ，()13,c c ，()11,c d ，()12,c d ，()11,c e ，()23,c c ，()21,c d ，()22,c d ，()21,c e ，()31,c d ，()32,c d ，()31,c e ，()12,d d ，()11,d e ，()21,d e ，一共15种．A 事件有：()11,c d ，()12,c d ，()21,c d ，()22,c d ，()31,c d ，()32,c d ，()12,d d ，()11,d e ，()21,d e ，一共9种．()93155P A ∴==， 答：第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率为35． 【点睛】本题考查了样本数据的中位数、分层抽样及古典概型的概率公式，属基础题.18．（1）证明见解析（2）()222n nn S +=-【分析】（1）由已知有{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列，{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．即命题得证； (2)由1122n n a n =+-，得12n nc =，即2n n n n c ⋅=， 再利用错位相减法求和即可得解. 【详解】解：（1）由题设得()()1142n n n n a b a b +++=+，即()1112n n n n a b a b +++=+， 又因为111a b ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得()()11448n n n n a b a b ++-=-+， 即112nn n n a b a b ．又因为111a b -=，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n ．所以()()111222n n n n n n a a b a b n =++-=+-⎡⎤⎣⎦， 所以1122n n n c a n =-+=．所以2n n nn c ⋅=， 则23123...2222n n nS =++++,① 则23411123 (22222)n n nS +=++++，② ①-②整理可得：()222n nn S +=-.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及错位相减法，属中档题. 19．（1）详见解析（2）存在12λ=，使得平面FMB 与平面P AD 所成的二面角余弦的绝对值【解析】 【分析】（1）由已知有//FN PCD 面，//FM PCD 面,即可证明//MNF 平面PCD ；（2）建立以M 为原点，MA 为x 轴，ME 为y 轴，MP 为z 轴建立空间直角坐标系M xyz -，则可得FMN的法向量为2,m ⎛= ⎝，取面PAD 的法向量()0,1,0n =，由向量的数量积公式计算可得解. 【详解】 解：（1）因为12λ=，所以F 是AP 的中点，又因为N 是PB 的中点，所以//FN AB ，由四边形ABCD 是矩形，得//AB CD ，故//FN CD ，////FN CD CD PCD FN PCD FN PCD ⎧⎪⊂⇒⎨⎪⊄⎩面面面 ////FN DP DP PCD FM PCD FM PCD ⎧⎪⊂⇒⎨⎪⊄⎩面面面 //////,FM PCD FN PCDFM FN F PCD FMN PCD FM FN FMN⎧⎪⎪⎨I =⇒⎪⎪⊂⎩面面面面面面； （2）连接PM ，过M 作//ME CD 交BC 于E ，由PAD △是等边三角形，得PM AD ⊥，PAD ABCD PAD ABCD ADPM ABCD PM AD PM PAD⊥⎧⎪I =⎪⇒⊥⎨⊥⎪⎪⊂⎩面面面面面面，以M 为原点，MA 为x 轴，ME 为y 轴，MP 为z 轴建立空间直角坐标系M xyz -，假设存在λ，满足题意，设AF AP λ=，()0,1λ∈，则()1,0,0A，(P，()B ，()0,0,0M，()1,MB =，(AF AP λλ==-，则()1MF MA AF λ=+=-， 设面FMN 的法向量为(),,m x y z =，所以()00010x m MF m MB x z λ⎧+=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎩⎪⎩，取y =，得2,m ⎛= ⎝，取面PAD 的法向量()0,1,0n =，由题知：cos ,m n ==，解得12λ=，所以，存在12λ=，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为11【点睛】 本题考查了线线平行证明面面平行及已知二面角利用空间向量求参数的值，属综合性较强的题型.20．（1）22154x y +=（2）3,1⎡+⎣ 【分析】（1）由椭圆的定义知：2a =a ∴=AB x ⊥轴时四边形12A AA B 的面积最大，最大为2ac =1c =，即椭圆方程得解；（2）由直线()1:0l y kxm m =+≠与圆O 相切，可得m =，由椭圆与直线相切可得：2254n k =+，由两平行线的距离公式可得1n d m m n m ===--， 又22151n m k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则可得2n m <≤-，代入运算即可得解. 【详解】解：（1）由椭圆的定义知：2a=a =又当直径AB x ⊥轴时四边形12A AA B的面积最大，最大为2ac =1c =，2b =∴椭圆22:154x y C += （2）因为直线()1:0l y kx m m =+≠与圆O相切，1=m ∴=又设直线2:l y kx n =+，联立22154x y y kx n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 有()22254105200k x knx n +++-= ()()()222104545200kn k n ∴∆=-+-=化简有2254n k =+因为1n d m m n m ===--， 又2222541511n k m k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，又20k ≥，21011k <≤+，245n m ⎛⎫∴≤< ⎪⎝⎭ 又由O ，P 两点位于1l 的同侧，m ，n异号，2n m<≤-13,1n d m ⎡∴=-∈⎣. 【点睛】 本题考察了椭圆方程的求法及点到线的距离公式，属中档题.21．（1）答案不唯一，具体见解析（2）详见解析【分析】（1）由已知可得：()()2221ln '11ln x m h x m x x x x-⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则0m >()h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；0m <，()h x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞．（2）依题意，()2111ln m x n x x =+①，同理，()2222ln m x n x x =+②，由①-②得，()()()221112212122ln 1x m n x x x x n x x x x x =+--=-++，要证()121220g x x m x x ++<+，即证：12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+>+，设令121x t x =>，构造函数()1ln 21t p t t t -=++，利用导数证明1t ∀>，()0p t >，即可得证．【详解】解：（1）由已知得()()()ln 1x h x f x g x m x x ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭， 所以()()2221ln '11ln x m h x m x x x x-⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 当01x <<时，210x ->，ln 0x ->，21ln 0x x ∴-->；当1x >时，210x -<，ln 0x -<，21ln 0x x ∴--<．故若0m >，()h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；若0m <，()h x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞．（2）依题意()111ln 1x m n x x =+，()2111ln m x n x x ∴=+①， 同理，()2222ln m x n x x =+②由①-②得，()()()221112212122ln 1x m n x x x x n x x x x x =+--=-++， ()()121212ln1x m x n x x x x ∴++=-，()()11212221ln 1x g x x n x x x m m x x +-++==-，要证()121220g x x m x x ++<+，即证122112ln 20x x x x x x +<-+， 即证：12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+>+， 令121x t x =>，即证()1ln 201t p t t t -=+>+，1t ∀>． ()()()()222114'011t p t t t t t -=-=>++， ()p t ∴在区间[)1,+∞上单调递增，即1t ∀>，()()10p t p >=．故原命题得证．【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性及构造函数再利用导数求函数的最值，从而解决不等式恒成立问题，属综合性较强的题型.22．（1）cos sin 40ρθρθ+-=，2sin ρθ=；（2【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值．【详解】（1）因为 ，，， 所以 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-= ，因为 的普通方程为， 即 ，对应极坐标方程为． （2）因为射线:(0,0)2l πθαρα=≥<<，则()()12,,,M N ραρα ，则124,2sin sin cos ρρααα==+，所以()211sin sin cos 2OM ON ραααρ==+＝12444πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 又 ，32,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以当 242ππα-=，即38πα= 时，OM ON 取得最大值 14【点睛】 本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．。
成都石室中学高2021届高三下入学考试理综答案
成都石室中学2021届高三下期入学考试理综参考答案1.D2.B3.B4.A5.C6.D7.B8.D9.C 10.C 11.D 12.A 13.C14.C 15.C 16.C 17 A 18.B 19.BC. 20.AC 21.BD22.答案 (1)5.90 (2)d 22gLt 2 (3)偏小 解析 (1)游标卡尺的读数为d ＝5 mm ＋18×120mm ＝5.90 mm ； (2)小滑块通过光电门时的速度为v ＝d t ，根据动能定理可得－μmgL ＝0－12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫d t 2，解得μ＝d 22gLt2； (3)小滑块做匀减速直线运动，因为小滑块通过光电门的速度为其平均速度，即中间时刻的速度，此时挡光片中心已经通过光电门，相比中心通过光电门的速度偏小，根据－μmgL ＝0－12mv 2可得μ＝v 22gL，故测量值偏小．23.答案 (1)如图所示(2)R 5 1.80 0.50 (3)0.90解析 (1)实验小组将灵敏电流计G 与两个定值电阻组装，改装成一量程为0.6 A 的电流表，所以先将灵敏电流计G 与R 2串联，满偏电压为U g ＝I g (R 2＋R g )＝0.9 V ，再与R 1串联，电流量程为I ＝I g ＋U gR 1＝0.15 A ＋0.45 A ＝0.6 A ，电路图为 (2)根据欧姆定律R ＝U I 可知，接在电路中滑动变阻器最大值为R ＝1.700.05Ω＝34 Ω，滑动变阻器应该选用R 5；根据U ＝E －I (r ＋R A )，代入其中两组数据，可得1.70＝E －0.05(r ＋R A )，1.00＝E －0.4(r ＋R A )其中R A ＝R 1(R 2＋R g )(R 2＋R g )＋R 1＝1.5 Ω， 解得E ＝1.80 V ，r ＝0.50 Ω；(3)调节滑动变阻器阻值，当滑动变阻器的阻值为R 滑＝R A ＋r ＝2 Ω时，其在该电路中的功率最大，直流电压传感器的示数为U ＝ER 滑r ＋R A ＋R 滑＝0.90 V. 24. (1)由图像知t 1＝12 s 时的速度v 1＝9 m/s a ＝v 1－0t 1＝0.75 m/s 2。