新高考数学复习专题突破——突破4.1 圆的方程课时训练含答案解析

突破4.1 圆的方程课时训练【基础巩固】1．（福建省宁德一中2019届质检）若圆C 与y 轴相切于点P (0,1)，与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝2 B.(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝22.（陕西工业大学附中2019届模拟）已知点A (2，－1，－3)，点A 关于x 轴的对称点为点B ，则|AB |的值为( )A ．4B ．6 C.14 D ．2103．（2020江西赣州三中高二月考）若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的圆心位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020全国高二课时练）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A ．4B ．5C ．6D ．75.（多选题）（2020·山东临朐高二月考）实数x ，y 满足2220x y x ++=，则下列关于1yx -的判断正确的是（ ）A ．1yx - B ．1yx -的最小值为C ．1y x -D ．1y x -的最小值为-6．（2020浙江丽水高二期末）“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7.（云南昆明第三中学2019届模拟）已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．8.（湖北武汉二中2019届模拟）根据下列条件，求圆的方程．(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；(2)经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.【能力提升】9．（2020·浙江温岭中学高二月考）已知()2,0A -，()2,0B ，动点M 满足2MA MB =，则点M 的轨迹方程是___________；又若0MA MB ⋅=，此时MAB △的面积为___________.10．（浙江省台州一中2019届期中）已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值．11．（2020·四川省绵阳南山中学高二月考）设三角形ABC 的顶点坐标是A （0，a ），B （3a ，0），C 3a ，0），其中a>0，圆M 为ABC 的外接圆． （1）求圆M 的方程；（2）当a 变化时，圆M 是否过某一定点?请说明理由．M（，），AB边所在直线的方程为12．（2020全国高二课时练）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点20x y--=，点11360（，）在AD边所在直线上.T-（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程.【高考真题】13．（2019·北京高考）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．14.（2019·浙江高考）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.15.（2018·天津高考）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 16.（2017·天津高考）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=︒，则圆的方程为____________ .17．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．18. 直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________． 19．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________． 20．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．221．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 . 解析附后突破4.1 圆的方程课时训练【基础巩固】1．（福建省宁德一中2019届质检）若圆C 与y 轴相切于点P (0,1)，与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝2 B.(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 【答案】C【解析】设线段AB 的中点为D ，则|AD |＝|CD |＝1，∴r ＝|AC |＝2＝|CP |，故C (2，1)，故圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝2，故选C.2.（陕西工业大学附中2019届模拟）已知点A (2，－1，－3)，点A 关于x 轴的对称点为点B ，则|AB |的值为( )A ．4B ．6 C.14 D ．210【答案】D【解析】由题意可知点A 关于x 轴的对称点B 的坐标为(2,1,3)，所以|AB |＝0＋4＋36＝210.故选D. 3．（2020江西赣州三中高二月考）若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的圆心位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】因为直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，所以0,0a b <>，因为圆心(,)a b ，所以圆心位于第二象限，选B.4．（2020全国高二课时练）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345+=，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.5.（多选题）（2020·山东临朐高二月考）实数x ，y 满足2220x y x ++=，则下列关于1yx -的判断正确的是（ ） A ．1yx -3 B ．1yx -的最小值为3-C ．1y x -3D ．1y x -的最小值为3-【答案】CD【解析】由题意可得方程2220x y x ++=为圆心是(1,0)C -，半径为1的圆，由1yx -为圆上的点与定点(1,0)P 的斜率的值，设过(1,0)P 点的直线为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，圆心到到直线的距离d r =211k =+，整理可得231k =解得33k =±，所以33[]1y x ∈-，即1y x -33-CD . 6．（2020浙江丽水高二期末）“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】方程2222530x y mx m m +---+=表示圆需满足()()22245+30,3m m m m ---->∴<-或1>2m ，所以“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的充分不必要条件，故选：A.7.（云南昆明第三中学2019届模拟）已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解析】(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知点P 坐标为(2x －2,2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2 ＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 8.（湖北武汉二中2019届模拟）根据下列条件，求圆的方程． (1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上； (2)经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6. 【解析】(1)由题意知k AB ＝2，AB 中点为(4,0)，设圆心C (a ，b )．因为圆过A (5,2)，B (3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB 的垂直平分线上， 则⎩⎪⎨⎪⎧b a －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以C (2,1)，所以r ＝|CA |＝5－22＋2－12＝10，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0. ③设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36， ④ 由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.【能力提升】9．（2020·浙江温岭中学高二月考）已知()2,0A -，()2,0B ，动点M 满足2MA MB =，则点M 的轨迹方程是___________；又若0MA MB ⋅=，此时MAB △的面积为___________. 【答案】223320120x y x +-+=；165.【解析】()2,0A -，()2,0B ，设(),M x y ，由2MA MB ==整理得：223320120x y x +-+=；以AB 为直径的圆的方程为224x y +=，联立222233201204x y x x y ⎧+-+=⎨+=⎩，解得85y =.即M 点的纵坐标的绝对值为85. ∴此时MAB △的面积为18164255S =⨯⨯=. 10．（浙江省台州一中2019届期中）已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 【解析】将圆C 化为标准方程可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C (2，7)，半径r ＝2 2.(1)设m ＋2n ＝b ，则b 可看作是直线n ＝－12m ＋b2在y 轴上截距的2倍，故当直线m ＋2n ＝b 与圆C 相切时，b 有最大或最小值．所以|2＋2×7－b |12＋22＝22，所以b ＝16＋210(b ＝16－210舍去)，所以m ＋2n 的最大值为16＋210. (2)设n －3m ＋2＝k ，则k 可看作点(m ，n )与点(－2,3)所在直线的斜率，所以当直线n －3＝k (m ＋2)与圆C 相切时，k 有最大或最小值，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2＝22，解得k ＝2＋3或k ＝2－ 3.所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.11．（2020·四川省绵阳南山中学高二月考）设三角形ABC 的顶点坐标是A （0，a ），B （，0），C ，0），其中a>0，圆M 为ABC 的外接圆． （1）求圆M 的方程；（2）当a 变化时，圆M 是否过某一定点?请说明理由． 【解析】 (1)设圆M 的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.∵圆M 过点A (0,a ),B (,0),C ,0),∴20,30,30,a aE F a F a F ⎧++=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩解得D=0,E=3-a ,F=-3a.∴圆M 的方程为x 2+y 2+(3-a )y-3a=0. (2)圆M 的方程可化为(3+y )a-(x 2+y 2+3y )=0.由2230,30,y x y y +=⎧⎨++=⎩解得x=0,y=-3.∴圆M 过定点(0,-3).12．（2020全国高二课时练）已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.【解析】 (1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直， ∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0． (2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩,得02x y =⎧⎨=-⎩,∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)， ∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |=∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．【高考真题】13．（2019·北京高考）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.14.（2019·浙江高考）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.【答案】2m =-r =【解析】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===15.（2018·天津高考）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．【答案】2220x y x +-=【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则： 01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得：200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆的方程为2220x y x +-=. 16.（2017·天津高考）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=︒，则圆的方程为____________ .【答案】22(1)(1x y ++=【解析】设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m =-=-， 1cos 21AC AFCAF AC AF⋅∠===-⋅，m =C 与y 轴得正半轴相切，则取m =，所求圆得圆心为(1,3)-，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ++=.17．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【解析】(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝－x 0＋5，x 0＋12＝y 0－x 0＋122＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.18. 直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】22【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得2201121(1)d ++==+-结合圆中的特殊三角形，可知24222AB =-=2219．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．【答案】x 2＋y 2－2x ＝0【解析】设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将已知三点的坐标代入方程可得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝0，F ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.20．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2【答案】A【解析】圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43，故选A ． 21．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 【答案】⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 【解析】由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点A (4,0)、B (0,2)、C (0，－2)．易知线段AB 的垂直平分线的方程为2x －y －3＝0，令y ＝0，得x ＝32，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，则半径r ＝4－32＝52，所以该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok 了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA 之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。