数学物理方法第1章复变函数-2016

复数起源于 代数方程求根
16世纪，一元二次、一元三次代数方程 求解时就引入了 虚数，给出了虚数的符号和运算法则。 1484年, 法国数学家 舒开(N. Chuquet, 1445—1500) 在《算术三编》中指出二次方程 4 x 3x 的根
2
卡丹公式
x3 ax b
x 3
b b2 a3 3 b b2 a3 2 4 27 2 4 27
何学》中称其为虚数 (“虚幻数” imaginary number) 2 Bernoulli和Leibniz的争论 1712~1713
与卡丹同时代的意大利数学家邦贝利 (R.Bombelli ,约 1526—1573)是第一个认真看待虚数并认识到虚数应用价值的人。 他在《代数》中建立了虚数运算法则。 如对于 x3 15 x 4 邦贝利发现有一个根x 4
Euler 认为复数仅在想象中存在， 1777年，Euler采用 i 代表 1
第一章 复变函数
1.1 复数与复数运算
（一）复数(complex number, 集合为：C)的基本概念 复数（代数形式） ：
1740年，Euler 给Bernoulli的信中说： y 2cos x 和
ye
1x
4
注：arg ：argument ( 幅角、宗量，自变量） 复共轭
x
13
x
z* x iy e
i
笛卡尔坐标系
阿干特平面 (图)
1 ei ,
e, , i ,1
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（二）无限远点 定理： 两个复数相乘，其模等于它们模的乘积， 其幅角等于它们幅角的和 。 复数的运算服从规律 : 交换律
实轴
y
实平面
Z (x,y) y
x
实轴
虚轴 i
y
复平面
Z=x+yi y
x
实轴
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1 1 (iy ) 2 (iy ) 3 2! 3! 1 1 1 1 (1 y 2 y 4 ) i ( y y 3 y 5 ) 2! 4! 3! 5! cos y i sin y
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z = x + i y = x 1+ y i
x, y:实数，x—实部（Real part, 简称 Re z ) y —虚部 (Imaginary part ，简称 Im z ) 1：实数单位 1*1=1 i：虚数单位 i*i = -1
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5
欧拉像使用实数一样有效地使用复数 ,数学家们也因此对复数产 生了一些信心。在 18世纪,尽管一些数学家已较为广泛地使用复 7 数,但无论欧拉还是别的数学家对这些数都还不甚清楚。
z1 z2 z2 z1
复平面的无限远处看成 一个“点”----无限远 点 模有限的复数跟复平面上的有限远点一一对应 模为无限大的复数也跟复平面上一点对应（ 无限远点）
复平面上有些个点比较特殊，比如：零点和无穷远点。 (1) 复数零的幅角无意义，模为 0。 (2) 无穷远点的模为∞，幅角没有意义。
小结：复数z 是两个独立变量(x, y) 的集合。它在数值 计算中是一个整体，服从通常的四则运算规则。 16
2
（三）复数的运算 扩充复平面的一个几何模型就是复球面 定理： 两个复数相乘，其模等于它们模的乘积， 其幅角等于它们幅角的和 。 复数的运算服从规律 : 交换律
z1 z2 z2 z1
他证明了 3 2 11 1 2 1
3
5
Euler 在1747年对这场争论作了中肯的分析
ln( x), ln x 差一常数
6
ln( x ) ln x 1 欧拉(L. Euler, 1707-1783) 先确立了负数的对数
又给出了复数对数的适当定义
ln(a bi ) ln a2 b2 i ( 2k ) sin b / a2 b2
z1 x1 x2 y1 y2 x y1 x1 y2 1 i (1 2 ) i 2 2 e 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y 2 2
z1 z2 z1 z2
结合律 ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) 分配律
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z1 z2 z2 z1
结合律 ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) 分配律
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3
球的南极与复数平面的原 点相切，平面上任意点A 与球的北极由一条直线相 连，直线与球相交于A’ 。 由此，每一有限的复数 投 影到球上一点。这个投影 叫测地投影，这个球叫 复 数球。 所有的无穷大复数（平面上 无穷远点）投影到唯一的 北极 N。故我们为方便，将无穷远点看作一个点。其 模无穷大，幅角无意义。 18
复平面与二元实平面：
之前已提出：Caspar Wessel in1797.
e iy 1 iy
模：
z
z=x+iy= (
arg z Arg z 2k
( z 0, ; k 0,1,2,...)
)=
幅角主值： 0 Arg z 2 , Arg z ,
z1 z 2 z1 z 2
z1 x1 iy1 ,
z2 x2 iy2
关于新“数”∞还需作如下几点规定： (1) ∞的实部，虚部及幅角都无意义， (2)b≠0(但可为∞)时， b b , b ; 0 a , 0, a a ; (3)a≠∞时， a (4)运算∞± ∞，0· ∞，
复数
实(变)函数 ？ 复(变)函数
等广泛的应用。
2
3
复函数发展简史
1
1545年, 意大利数学家卡丹 (G. Cardano ,1501-1576) 在《大术》 中提出“把10分为两部分 , 使其乘积为 40”的问题,并给出
40 (5 15)(5 15)
由于 1 在实数范围内无意义，在很长时间内，直到 19世 纪中叶，这类数仍然是不合法的。 法国的笛卡尔（ R.Descartes,1596-1690 ）在1637年《几
自然数，整数，小数，分数，有理数，无理数， … 实数
？
物理模型：数学物理方程 数学物理方法 特色：数学与物理的交叉 内容：复变函数论、数学物理方程与方法、特殊函数 意义：应用数学知识解决实际物理和工程方面的问题，在物理
学、电动力学、量子力学、弹性力学、流体力学、电子工程技术
1
主要参考书目：
1. 梁昆淼 《数学物理方法 》（第四版）高等教育出版社 . 2. 吴崇试，《数学物理方法 》，北京大学出版社 3. 冉扬强，《数学物理方法 》， 科学出版社。 4. 王友年等《数学物理方法 》，大连理工大学出版社
e i cos i sin
可以证明级数
y
复平面
z
y=

0
x=
x y
2
x
实轴
2
复数 z 从几何上看，复数又是平 为矢量长度， 面上的一个矢量， 为幅角。记 z e i
ez = 1 z
Z=iy
1 2 1 z z n 在整个复数范围是绝对收敛的 2! n!
三角(指数）式：几何描述
虚轴 i
arg (z) 性质：
arg( z*) arg ( z ) arg( z z ) arg( z ) arg( z ) 1 2 1 2 arg(1 / z ) arg ( z )
历史：Argand plane (diagram) (阿干特平面 (图)) by WhileArgand in 1806.
z e
n
i / n
复数的方根
wk e
n
n
z n ei / n
2kπ 2 k π [cos( ) i sin( )], n n (k 0,1, 2, ,n 1)
n
例：不等式 0 arg
z i π z i 4
所确定的点集
2 kπ i n
z1 ( z2来自百度文库 z3 ) z1 z2 z1 z3
0 , 0
无意义
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小结：复数z 是两个独立变量(x, y) 的集合。它在数值 计算中是一个整体，服从通常的四则运算规则。 20
幂（n整数） z n 根
n
n ein
y0 逼近 z z0 x x0 , y 21
1
第一章 复变函数
1.1 复数与复数运算 复数的分类 正整数（自然数） 整数 有理数 实数 复数
x yi
y0
第一章 复变函数
虚数合理化：
1.1 复数与复数运算
复数 ：i2 = −1？
i
扩张y X轴
一维实数R 二维实数 C={(x,y)} 零 负整数
虚轴
y
复平面
Z=x+yi y
x
实轴
(+1) * (逆时针旋转 90度) * (逆时针旋转 90度) = (-1) i “=” 逆时针旋转 90度 复数相等： 两复数的实部和虚部分别相等 复数的共轭： z * x iy Re z= (z+z*)/2;
e
1x
是同一个微分方程的解，因此应该相等
1 1x 1x e e 2 1 sin x e 1x e 2 1 cos x
1743年，发表了 Euler公式


1x
复数真正被接受主要归功于德国数学家高斯 (C.F.Gauss,1777-1855), 1799 年，他把复数的 思想融入到对 代数学基本定理 的证明中。 十九世纪，有三位代表性人物： 柯西(Cauchy，1789－1857) 维尔斯特拉斯 (Weierstrass ，1815－1897) 黎曼(Rieman，1826－1866) 经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复变函数论
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分数 ）
0
x 0
无理数 纯虚数 （ x 0, y 0 非纯虚数 （ xy 0）
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x
虚数
y0
复数的本质：有序实数对 (x, y) 实数的推广：有序实数对 (x, 0) (x, y) 纯虚数 ：有序实数对(0, x) x不等于 0
z x iy
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Im z= (z-z*)/(2i)
实函数定义域 推广 (二) 区域的概念 邻域定义 由不等式
复函数定义域 （区域）
内点，外点，边界点
开集
z z0
z0
ε
(ε为任意小的正数 )所确定的平面点集 (简称点集)，就 是以z0为中心的ε邻域或邻域。 由不等式
0 z z0
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定义: 设G为点集，z0为G中的一点。如果存在 z0的 一个邻域，该邻域内的所有点都属于 G，则称z0为G 的内点；若点 z0的某一个邻域内的点都不属于 G，则 称点z0为G的外点。若在点 z0的任意一个邻域内，既 有属于G的点，也有不属于 G的点，则称点 z0为G的边 界点，点集 G的全部边界点称为 G的边界。 注意 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤 立的点所组成的
4
3 9 x 4 2 4
没有意义。这是历史上首次形式上出现 负数的平方根 。
d( x) dx ln( x) ln x x x dx d ln x 只对正数成立 Leibniz ：不可能有负数的对数 x
Bernoulli：负数的对数是实数
x 3 2 11 1 3 2 11 1
例 求1的n次方根，讨论根在复平面单位圆周上的位置 .
y
－1
x －i
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24
1.2 复变函数 (一) 复变函数的定义 在复平面上一点集E 中每一点z ，都有一个或几个 复数w与之对应，称 w为 z 的函数，E 为定义域，记w =f(z)，z E 。z有时称为宗量 (argument)或自变量。 实函数: y=f(x)= ± x^(1/2), x>=0 多值 y=f(x)= sin(x), 单值
数学物理方程(方法)
共60学时，3学分.
（以课堂讲授为主，加强课前和课后练习）
课 程 框 架 物理 (原理，现象，规律等）
第一篇 复变函数论
复变函数论（ complex functions ）： 研究自变量是复数的函数理论及应用，主要研究解析函数 。
数学方法（抽象）
考试时间：暂定 11月30日下午 考核方式： 30%作业+70%期末考试
加法 z1 z 2 ( x1 x2 ) i ( y1 y 2 )
z1 z2 z2 z1
减法 z1 z 2 ( x1 x2 ) i ( y1 y 2 ) 乘法 除法
z1 z 2 ( x1 x2 y1 y 2 ) i ( x1 y 2 x2 y1 )