2.1.2 两条直线的位置关系第二课时《垂线的定义与性质》课件
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《垂线》相交线与平行线精品课件
如果两条直线相交形成的角为直角， 那么这两条直线互相垂直。
02
相交线的性质与Biblioteka 定相交线的定义总结词
相交线的定义是指两条直线在某一点 交汇，形成一定的角度。
详细描述
相交线是几何学中的基本概念，指的 是两条直线在某一点交汇，并且形成 一定的角度。这个交汇点被称为交点 ，而这两条直线被称为相交线。
相交线的性质
道路建设
在道路建设中，垂线用于 确定道路的垂直方向，保 证道路的平整和安全。
相交线在生活中的应用
交通标志
相交线被广泛应用于交通标志的 制作，如交叉路口的指示牌和交
通信号灯。
织物图案
在纺织业中，相交线用于制作各种 图案和纹理，增加织物的美观性和 实用性。
建筑设计
在建筑设计中，相交线用于构建各 种几何形状和图案，增加建筑的艺 术性和视觉效果。
同旁内角互补判定法
如果两条直线被一条横截线所截，同旁内角互补，则这两条直线平 行。
04
垂线、相交线与平行线在实际 生活中的应用
垂线在生活中的应用
建筑测量
在建筑行业中，垂线被广 泛应用于测量垂直度，确 保建筑物的稳定性和安全 性。
机械制造
在机械制造中，垂线用于 确定物体的垂直位置，确 保机器的精确运转。
。
03
平行线的性质与判定
平行线的定义
01
02
03
平行线的定义
在同一平面内，两条永不 相交的直线称为平行线。
平行线的表示方法
在几何图形中，用符号 “//”表示两条直线是平 行的。
平行线的性质
平行线具有一些特殊的性 质，如传递性、同位角相 等、内错角相等、同旁内 角互补等。
平行线的性质
02
相交线的性质与Biblioteka 定相交线的定义总结词
相交线的定义是指两条直线在某一点 交汇，形成一定的角度。
详细描述
相交线是几何学中的基本概念，指的 是两条直线在某一点交汇，并且形成 一定的角度。这个交汇点被称为交点 ，而这两条直线被称为相交线。
相交线的性质
道路建设
在道路建设中，垂线用于 确定道路的垂直方向，保 证道路的平整和安全。
相交线在生活中的应用
交通标志
相交线被广泛应用于交通标志的 制作，如交叉路口的指示牌和交
通信号灯。
织物图案
在纺织业中，相交线用于制作各种 图案和纹理，增加织物的美观性和 实用性。
建筑设计
在建筑设计中，相交线用于构建各 种几何形状和图案，增加建筑的艺 术性和视觉效果。
同旁内角互补判定法
如果两条直线被一条横截线所截，同旁内角互补，则这两条直线平 行。
04
垂线、相交线与平行线在实际 生活中的应用
垂线在生活中的应用
建筑测量
在建筑行业中，垂线被广 泛应用于测量垂直度，确 保建筑物的稳定性和安全 性。
机械制造
在机械制造中，垂线用于 确定物体的垂直位置，确 保机器的精确运转。
。
03
平行线的性质与判定
平行线的定义
01
02
03
平行线的定义
在同一平面内，两条永不 相交的直线称为平行线。
平行线的表示方法
在几何图形中，用符号 “//”表示两条直线是平 行的。
平行线的性质
平行线具有一些特殊的性 质，如传递性、同位角相 等、内错角相等、同旁内 角互补等。
平行线的性质
两条直线的位置关系第2课时课件北师大版数学七年级下册
垂线的性质：(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (2)垂线段最短.
问题：两条相交直线在什么情况下是垂直的？ （（123））
新知生成
1.垂线的定义：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角，
其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做
另一条直线的垂线. C
2.垂直的表示：垂直用符号 “⊥”来表示，读作
“垂直于”.如“直线AB垂直于直线CD”，就记作 A “AB⊥CD”,其中点O是垂足.
B O
D
任务二：学会利用工具点到直线的距离
自主探究：做一做.(1)你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直 的直线吗？你能归纳具体做法吗？
垂线的画法：一靠二移三画， 用工具（直尺、三角板）
(2)如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
方格纸上每一条横线和竖线 都是互相垂直的,我们可以 利用格线来画出两条互相垂
第二章 相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系 第2课时
1.能理解垂直与垂足的概念，会用几何符号表示垂直关系 2.能掌握垂线的相关性质，会作点到直线的距离
任务一：掌握垂线的相关概念
活动.在我们的身边随处可见“直线”的形象,其中有一些直线之间还具 有特殊的位置关系,请同学们观察下面三幅图片,你能找出其中相交的直线吗? 它们有什么特殊的位置关系?说说看.
A BO
C
垂线的性质2：直线外一点与直线上各点
连接的所有线段中，垂线段最短.
l
简单说成：垂线段最短 .
归纳小结
垂线的性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意 （1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； （2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
垂线PPT课件(数学人教版七年级下册)
垂 线
授课教师：XX 日期：XX年XX月XX日
数学初中
α）
）
α
当∠α = 95°时 ， 我们说a与b互相 垂直，记作a ⊥ b
a
o
α
探索新知：在相交线的模型中,固定木条a, 转动木条b, 当b的位置变化时,a、b所成的∠α 也会发生变化.b
数学初中
A
B
C
D
o
1
探索新知：
一、垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有 一个角是直角时，就说这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 它们的交点叫做垂足．符号语言：∵∠1=90°（已知）∴AB⊥CD于O （垂线定义）反之，∵ AB⊥CD于O （已知）∴∠ 1=90°（垂线定义）
B
数学初中
学以致用：1.已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的
一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是( )
A.相等 B.互余 C.互补 D.互为对顶角
B
)
2.如图，点C到线段AB的距离是指(线段 AC 的长度线段 CD 的长度线段BC 的长度线段BD 的长度
B
数学初中
数学初中
探索新知：已知一条直线，你能画出它的垂线吗？能画几条？ 结论：一条直线的垂线有无数条.
数学初中
o
贴靠移画
结论：过直线上一点有 且只有一条直线与已知直 线垂直.
过已知直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
数学初中
o
1. 贴
靠移画结论：过直线外一点有 且只有一条直线与已知直线 垂直.
过已知直线外一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
数学初中
探索新知：二、垂线的性质：垂线的性质1：经过一点（已知直线上或直线外）， 能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直.
授课教师：XX 日期：XX年XX月XX日
数学初中
α）
）
α
当∠α = 95°时 ， 我们说a与b互相 垂直，记作a ⊥ b
a
o
α
探索新知：在相交线的模型中,固定木条a, 转动木条b, 当b的位置变化时,a、b所成的∠α 也会发生变化.b
数学初中
A
B
C
D
o
1
探索新知：
一、垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有 一个角是直角时，就说这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 它们的交点叫做垂足．符号语言：∵∠1=90°（已知）∴AB⊥CD于O （垂线定义）反之，∵ AB⊥CD于O （已知）∴∠ 1=90°（垂线定义）
B
数学初中
学以致用：1.已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的
一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是( )
A.相等 B.互余 C.互补 D.互为对顶角
B
)
2.如图，点C到线段AB的距离是指(线段 AC 的长度线段 CD 的长度线段BC 的长度线段BD 的长度
B
数学初中
数学初中
探索新知：已知一条直线，你能画出它的垂线吗？能画几条？ 结论：一条直线的垂线有无数条.
数学初中
o
贴靠移画
结论：过直线上一点有 且只有一条直线与已知直 线垂直.
过已知直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
数学初中
o
1. 贴
靠移画结论：过直线外一点有 且只有一条直线与已知直线 垂直.
过已知直线外一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
数学初中
探索新知：二、垂线的性质：垂线的性质1：经过一点（已知直线上或直线外）， 能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直.
北师大版数学七年级下册教学课件2.1 两条直线的位置关系——垂线及其性质
A. AC
B. BC
C. CD
D. 不能确定
A
4.找出图中互相垂直的线段：
DC
A B
O
AO ⊥ CO BO ⊥DO
C
D
B
练习
5.（1）如图，若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，则 m⊥n ；
（2）若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD = ___9_0_____； °
（3）如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1:5，那么
2．教学反思
四、自学互研
活动1 自主探究1 阅读教材P41－42,完成下列问题： 什么是垂线？如何过一点画已知直线的垂线？ 答：两条直线相交所成的四个角,如果有一个角为直角,则称这两条直线互 相垂直,其中一条叫另一条的垂线,它们的交点叫垂足. 利用三角尺可以过一点画已知直线的垂线, 如图分两种情况：(1)点A在直线l上； (2)点A在直线l外.过点A有且只有一条直线 是直线l的垂线.
练习
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是
A. 有两个角相等 B.有两对角相等 C. 有三个角相等 D.有四对邻补角
( C)
练习
2.过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ C ）
A
B
C
D
练习
3.如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短
的是 ( C )
练习
8.已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与 ∠2的关系一定成立的是（D ）
A.相等
B.互余
C.互补
C
D.互为对顶角
E
A
1
2O
B
垂线初中ppt
符号表示
垂线用符号“perp”表示。
垂线的性质
1 2
唯一性
在一个平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直。
传递性
如果两条直线互相垂直，那么它们在交点处的 斜率乘积为-1。
3
平行性
如果两条直线在同一个平面内，一条直线垂直 于这个平面，那么这条直线与另一条直线的夹 角为90度。
垂线的定理
1
直角三角形中，任意一条直角边的“邻边”的 平方等于“对边”的平方和。
在点与直线之间，连接一条垂直线 段，其长度即为点到直线的距离。
三角形的高线和中线
概念解读
三角形的高线是指过一个顶点和对边中点的直线，而中线是指连接三角形两个顶点的线段 。
性质应用
高线和中线都是线段，且互相垂直。高线的长度等于三角形一边的一半，而中线的长度等 于三角形一边的三分之一。
判定方法
在三角形中，找到一个顶点和对边中点，连接这两个点并延长至相交于一点，这个点即为 高线的交点；而中线则是连接两个顶点的线段。
学习垂线的体会和收获
深入理解垂线
通过学习垂线的定义和性质，可以更好地理解垂直和平行的关 系，以及各种几何图形的特征。
掌握解题方法
学习垂线可以掌握更多的解题方法，例如利用垂线性质证明三 角形全等、相似等。
培养数学思维
学习垂线可以培养数学思维和逻辑推理能力，以及分析问题和 解决问题的能力。
需要注意的易错点和难点
判定方法
03
在两个点之间，画一条垂线段，比较其长度与其他线段长度，
若这条垂线段最短，则这条垂线段即为最短垂线段。
点到直线的距离
概念解读
点到直线的距离是指这个点到 直线的垂线段的长度。
性质应用
垂线用符号“perp”表示。
垂线的性质
1 2
唯一性
在一个平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直。
传递性
如果两条直线互相垂直，那么它们在交点处的 斜率乘积为-1。
3
平行性
如果两条直线在同一个平面内，一条直线垂直 于这个平面，那么这条直线与另一条直线的夹 角为90度。
垂线的定理
1
直角三角形中，任意一条直角边的“邻边”的 平方等于“对边”的平方和。
在点与直线之间，连接一条垂直线 段，其长度即为点到直线的距离。
三角形的高线和中线
概念解读
三角形的高线是指过一个顶点和对边中点的直线，而中线是指连接三角形两个顶点的线段 。
性质应用
高线和中线都是线段，且互相垂直。高线的长度等于三角形一边的一半，而中线的长度等 于三角形一边的三分之一。
判定方法
在三角形中，找到一个顶点和对边中点，连接这两个点并延长至相交于一点，这个点即为 高线的交点；而中线则是连接两个顶点的线段。
学习垂线的体会和收获
深入理解垂线
通过学习垂线的定义和性质，可以更好地理解垂直和平行的关 系，以及各种几何图形的特征。
掌握解题方法
学习垂线可以掌握更多的解题方法，例如利用垂线性质证明三 角形全等、相似等。
培养数学思维
学习垂线可以培养数学思维和逻辑推理能力，以及分析问题和 解决问题的能力。
需要注意的易错点和难点
判定方法
03
在两个点之间，画一条垂线段，比较其长度与其他线段长度，
若这条垂线段最短，则这条垂线段即为最短垂线段。
点到直线的距离
概念解读
点到直线的距离是指这个点到 直线的垂线段的长度。
性质应用
七年级数学下册《-垂线》课件
l O
1放、 2靠、 3画线、
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
1.垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,过点Ａ作l
的垂线.
B
问题：这样的垂
线能画几条？
A
则所画直线AB 是过点A的直线l的 垂线.
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
0 2靠1 :靠2 三3 角板4 ,把5 三6 角7板的8 一9直角10 边11 靠在直尺上;
B
∴AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么， ∠AOD=90°。
书写形式：∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
垂直定义练习:
C
E
填空
⑴已知：AB⊥CD,∠1=∠2
求证：EF⊥AB 证明：∵CD⊥AB
与射线、线段、射线与直线垂直， 特指它们所在的直线互相垂直.
请你画图，
并用尺量一下，
看看哪一条线
段最短？
P
此问题就是“直线外一点与已知直线上 各点所连的线段中,有没有最短的线段?”
垂线段的概念：
由直线外一点向直线引
P
垂线，这点与垂足间的线段
叫做垂线段。
l
A
例如：如图，PA⊥l于点A ，线 段PA叫做点P到直线l的垂线段.
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,直线a、b
bb b
所成的∠α也会发生变化.
当∠α =90°时,
1放、 2靠、 3画线、
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
1.垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,过点Ａ作l
的垂线.
B
问题：这样的垂
线能画几条？
A
则所画直线AB 是过点A的直线l的 垂线.
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
0 2靠1 :靠2 三3 角板4 ,把5 三6 角7板的8 一9直角10 边11 靠在直尺上;
B
∴AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么， ∠AOD=90°。
书写形式：∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
垂直定义练习:
C
E
填空
⑴已知：AB⊥CD,∠1=∠2
求证：EF⊥AB 证明：∵CD⊥AB
与射线、线段、射线与直线垂直， 特指它们所在的直线互相垂直.
请你画图，
并用尺量一下，
看看哪一条线
段最短？
P
此问题就是“直线外一点与已知直线上 各点所连的线段中,有没有最短的线段?”
垂线段的概念：
由直线外一点向直线引
P
垂线，这点与垂足间的线段
叫做垂线段。
l
A
例如：如图，PA⊥l于点A ，线 段PA叫做点P到直线l的垂线段.
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,直线a、b
bb b
所成的∠α也会发生变化.
当∠α =90°时,
初一数学《垂线》课件
过一点作已知直线的平行线
总结词
通过给定的一个点，使用直尺和三角板，可以作出与给定直线平行的线段。
详细描述
首先确定给定的点，然后将三角板的一条边放在该点上，另一条边与给定直线 重合，沿着这条边画一条线段，即为所求的平行线。
作平行四边形的垂线
总结词
在平行四边形中，可以通过连接 对角线上的两个端点来作出垂线 。
在地球科学中，垂线被用来测量地壳的倾斜度和地震的震源深度， 对于研究地球的运动和地震预测具有重要意义。
03 垂线的作法
过一点作已知直线的垂线
总结词
通过给定的一个点，使用直角三角板 或量角器，可以作出与给定直线垂直 的线段。
详细描述
首先确定给定的点，然后将直角三角 板的一条直角边放在该点上，另一条 直角边与给定直线重合，沿着这条直 角边画一条线段，即为所求的垂线。
01
如果一条线段与另一条直线相交 形成的角为直角，则该线段垂直 于另一条直线。
02
如果一条线段与另一条直线相交 ，且经过另一条直线上的一点， 则该线段垂直于另一条直线。
垂线定理的推论
垂线的斜率互为相反数
如果一条直线的斜率为k，则其垂线的斜率为-1/k。
垂线与原直线平行
如果一条直线平行于x轴，则其垂线与x轴垂直。
题目2
已知两条直线互相垂直，其中 一条直线的方程为y=2x+1，求 另一条直线的方程。
题目3
在直角坐标系中，点A的坐标为 (1,2)，点B的坐标为(3,4)，求线
段AB的垂直平分线的方程。
答案及解析
01 02
题目1答案及解析
垂线是两条直线相交成直角时，所形成的线段。生活中常见的例子有窗 户的边框、墙角等。解析：此题考察垂线的定义，理解垂线的概念是解 题的关键。
北师大版七年级下册数学2.1.2垂线及其性质 课件
第二章 相交线与平行线
1 第2课时 垂线及其性质
情景导入 例题讲解 课堂小结
获取新知 随堂演练
情景导入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它 们有什么特殊的位置关系？
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的 位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
b b
bb b
α ）α
a
获取新知 知识点一：垂直的定义及表示
4. 如图,如果直线ON⊥直线a,直线OM⊥直线a,那么OM与ON重合,其理 由是 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 .
5. 某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处.他们的做法是: 过点C作CD⊥l于点D,将水泵房建在了D处.这样做最节省水管 长度,其数学道理是 垂线段最短 .
6. 如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE，OF，使OE⊥CD， OD平分∠BOF.如果∠BOE＝50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数．
解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定义)． 因为∠BOE＝50°， 所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝ 90°－50°＝40°. 因为OD平分∠BOF， 所以∠BOF＝2∠BOD＝80°. 所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°， ∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.
.B
.
l
A
（1）如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
l O
结论：作已知直线的垂线可以作无数条
1.放 2.靠 3.画
A
l
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
1 第2课时 垂线及其性质
情景导入 例题讲解 课堂小结
获取新知 随堂演练
情景导入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它 们有什么特殊的位置关系？
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的 位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
b b
bb b
α ）α
a
获取新知 知识点一：垂直的定义及表示
4. 如图,如果直线ON⊥直线a,直线OM⊥直线a,那么OM与ON重合,其理 由是 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 .
5. 某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处.他们的做法是: 过点C作CD⊥l于点D,将水泵房建在了D处.这样做最节省水管 长度,其数学道理是 垂线段最短 .
6. 如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE，OF，使OE⊥CD， OD平分∠BOF.如果∠BOE＝50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数．
解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定义)． 因为∠BOE＝50°， 所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝ 90°－50°＝40°. 因为OD平分∠BOF， 所以∠BOF＝2∠BOD＝80°. 所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°， ∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.
.B
.
l
A
（1）如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
l O
结论：作已知直线的垂线可以作无数条
1.放 2.靠 3.画
A
l
0
1
2
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孝感市文昌中学学生专用尺
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①②中，正确的有( A．0个 B．1个
)D C．2个
D．3个
知识点 2 垂线的画法
知2－导
做一做 (1)你能借助三角尺在一张白纸上
画出两条互相垂直的直线吗？ (2)如果只有直尺，你能在右图方格
纸上画出两条互相垂直的直线吗？ (3)你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！
（来自《教材》）
1.垂线的画法：
DA⊥BE.
（来自《教材》）
知1－练
2 如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O， 若∠1＝145°，则∠3的度数为( C ) A．35° B．45° C．55° D．65°
知1－练
3 【中考·德宏州】如图，三条直线相交于点O， 若CO⊥AB，∠1＝56°，则∠2等于( B ) A．30° B．34° C．45° D．56°
定义：在两条直线AB和CD相交所成的4个角中， 如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直； 记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”；其中 一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点O 叫做垂足．如图.
知1－讲
例1 如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射 线OE，OF是什么位置关系？请说明理由．
知1－练
6 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分 ∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON 的度数为( C ) A．35° B．45° C．55° D．65°
知1－练
7 已知在同一平面内：
①两条直线相交成直角；
②两条直线互相垂直；
③一条直线是另一条直线的垂线．
那么下列因果关系：①→②③；②→①③；③→
导引：观察图形不难看出，(1)(3)属于过直线外一点画已知 直线的垂线，(2)属于过直线上一点画已知直线的垂线， 所以按照“一靠、二过、三画”的方法画图即可．
解：画出的直线m，n，p如图.
知2－讲
总结
知2－讲
过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过已 知点画一条直线，使所画直线与已知直线相交所成 的角是90°.
知识点 3 垂线的性质
知3－导
想一想 (1)如图, 点A在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能
画出多少 条？如果点A在直线l外呢？
（来自《教材》）
归纳
知3－导
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（来自《教材》）
知3－讲
例3〈厦门〉如图，已知直线AB，CB，l在同一平面内， 若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合 题意的图形可以是( C )
本题易错之处在于误认为垂足一定落在线段或 射线上．
本小节结束！
第二章 相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系
第2课时 垂线的定义 与性质
复
习
回
顾
平面内，两条直线有哪些位置关系？
知识点 1 垂直的定义
当转动一木条 的位置时，什么也 随着发生了变化？
知1－导
在同一平面内，如
果两条直线相交成直角， a
就说这两条直线互相垂
直.
知1－导
b
垂足
垂线
垂 线
知1－讲
总结
知1－讲
判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直，主要 依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四 个角中有一个角是直角即可．
1 分别找出下列图中互相垂直的线段.
知1－练
解：(1)AO⊥OC，OB⊥OD.
(2)DC⊥BC，DC⊥CE，DC⊥BE；AC⊥BC，
AC⊥CE，AC⊥BE；DA⊥BC，DA⊥CE，
1 知识小结
以下几个方面由学生自己总结: ① 垂线的定义及垂直的符号表示; ② 垂线的有关性质; ③ 过一点作已知直线的垂线的方法.
2 易错小结
(1)在图①中，过AB外一点M作AB的垂线； (2)在图②中，过点A，B分别作OB，OA的垂线．
易错点：误认为垂足一定要在线段或射线上而导致 错误.
解：(1)如图①所示． (2)如图②所示．
知2－练
1 画一条直线l，在直线l，上取一点A，在直线l， 外取一点B，分别经过点A，B用三角尺或量角 器画直线l的垂线. 解：如图．
（来自《教材》）
知2－练
2 下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放 法正确的是( C )
知2－练
3 过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足 在( D ) A．这条线段上 B．这条线段的端点处 C．这条线段的延长线上 D．以上都有可能
知3－讲
导引：根据题意可知，过点B有AB，CB都与直线l垂直， 由垂线的性质可知，在同一平面内，过一点有且 只有一条直线与已知直线垂直，所以A、B、C三 点在一条直线上．
总结
知3－讲
利用直线的性质解答题目，要注意直线性质满足的条件： 1. 在平面内； 2. 过一点，点的位置可以在直线上也可以在直线外； 3. 相交所成的角必须是直角，以上三条缺一不可.
知2－讲
经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线，步骤
如下：
Байду номын сангаас
(1)靠线：让直角三角板的一条直角边与已知直线重合；
(2)过点：沿直线移动，使直角三角板的另一条直角边经过已
知点；
(3)画线：沿直角边画线，则这条直线就是经过这个点的已知
直线的垂线．如图.
知2－讲
例2 如图，M是三角形ABC中BC边上的任意一点，请 你按照下列要求画图： (1)过M点画直线AB的垂线m； (2)过M点画直线BC的垂线n； (3)过M点画直线AC的垂线p.
知3－练
1 在同一平面内，下列语句正确的是( C ) A．过一点有无数条直线与已知直线垂直 B．和一条直线垂直的直线有两条 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若两直线相交，则它们一定垂直
知3－练
2 如图，如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a， 那么OM与ON重合(即O，M，N三点共线)，其理 由是( C ) A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过两点有且只 有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直 D．两点之间，线段最短
解导：引射：线要O判E，断OOFE互，相OF垂是直什．么理位由置如关下： 因为系C，O⊥其A实B质，是所说以明∠OAEO，C＝OF90是°. 又因否为垂∠直A，OE即＝要∠看C∠OFE，OF是否为 所以9∠0°A；OE要＋让∠∠CEOOEF＝＝∠9C0°OF，＋需∠说C明OE∠，EOF＝ 即∠∠AAOOCC＝或∠∠EEOOFF＝＝90∠°B.OC都可，这样就把问题 所以转O化E与为O说F明互∠相A垂O直E＝(垂∠直C定OF义(已)．知)了．
知1－练
4 如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD，若∠COA ＝36°，则∠DOB的大小为( B ) A．36° B．54° C．55° D．44°
知1－练
5 如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOC＝27°， 则∠BOD的度数是( C ) A．117° B．127° C．153° D．163°