浙江省宁波效实中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试卷
19、
请将所有题目的答案填写在答卷的相应位置
第Ⅰ卷（选择题 共24分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四
个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是
A．异面 B．相交 C．异面或平行 D．相交或异面2．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为，则椭圆的方程为
A． B． C． D．
(第4题图)
3．已知直线和平面，下列推理正确的是
A． B．
C． D．
4．一个几何体的三视图如右图所示，
则该几何体的表面积是
A． B．
C． D．
5．已知椭圆，若是椭圆上一动点，则的取值范围是
A． B． C． D．
6．已知椭圆：和圆：有四个不同的公共点，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
7．已知平面平面直线，点，点，且，点分别是线段的中点．
(第7题图)
A．当时，不可能重合；
B．可能重合，但此时直线与不可能相交；
C．当直线相交，且时，可与相交；
D．当直线异面时，可能与平行．
8．长方形中，，是线段上一动点，且．将沿折起，使平面平面，在平面内作于，设，则的值可能为
A．B．C．D．
（第8题图）
第Ⅱ卷（非选择题 共76分）
二、填空题：本大题共7小题，其中第9题至第12题每小题4分，第13题至第15题每小题3分，共25分．
9．椭圆的焦点坐标是 ▲；长轴长为▲；
10．已知椭圆的焦距为，则▲；当时，椭圆上存在一点，有(为椭
圆焦点)，则的面积为▲；
11．一球内切于底面半径为，高为的圆锥，则内切球半径是▲；内切球与该圆锥的体积之比为▲；
12．正三棱柱的侧棱长为是的中点，则与面所成角的正弦值为▲
；点是中点，则过三点的截面面积是▲；
13．椭圆的离心率为，直线交椭圆于两点，交轴于点，若，则椭圆的方程是▲ ；
14．已知直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面截球的两个截面圆的半径分别为、，二面角的平面角为，则球的表面积 ▲ ；．
15．在三棱锥中，是边长为的正三角形，且在面上的射影是的
垂心，又二面角的大小为300，则三棱锥的体积为 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共51分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本题10分）如图，圆锥的顶点为，底面圆半径为，圆锥侧面积为，是圆的直径，点是圆上的点，且．
（Ⅰ）求异面直线与所成角；
（Ⅱ）点在线段上，求的最小值．
17．（本题10分）如图，四边形是平行四边形，平面平面，，
，为的中点．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求证：平面⊥平面．
18．（本题10分）已知椭圆过点，离心率为，左焦点为．
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)若直线：交椭圆于两点，求的面积．
19．（本题10分）如图所示，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，分别是的中点．
(Ⅰ)证明：平面；
(Ⅱ)若为上的动点，与平面所成最
大角的正切值为，求二面角的正切值．
20．（本题11分）已知椭圆，
(Ⅰ)若椭圆上存在两点关于直线对称，求直线的方程；
(Ⅱ)过的直线交椭圆于两点，求的取值范围．
2016学年度高二上学期期中考试答案
一、选择题：
1、D
2、B
3、C
4、C
5、 B
6、A
7、 B
8、B
二、填空题：
9、， 10、或， 11、， 12、
13、 14、 15、
三、解答题：
16、解：（1）由，得
延长交圆于，连，由，得
，得，所以是异面直线
与所成角.
因为，所以
（2）当为中点时，由，得
，
由，得，
所以当为中点时，最小，最小值为.
17、解：（1）令中点为，
，且，
，且，
，且，四边形是平行四边形，
得，又面，面，
面.
（2），，即；
又面面，且交线为，面，面面.
18、解：（1）由，得，可令椭圆方程为，
点代入上式，得，所以椭圆方程为；
（2）直线：过右焦点，设，
由，得，，
.
19、解：（1）面，面，；
又底面为菱形，，为中点，
面；
（2）面，是与面所成角，
时，最小，最大，最大，
令，则，在中，，
在中，，
面，面面，且交线为，取中点，
正中，面，
作于，连，由三垂线定理得，
是二面角的平面角..
在中，边上的高，
.
20、解：（1）令，中点，
点在椭圆上，有，
，得，
由，得，
，得，因为中点在椭圆内，所以直线存在，直线的方程是，即.
（2）令，
由，得，
，得或，
，
.。
浙江省宁波市高二上学期期中数学试卷(理科)
浙江省宁波市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·承德期中) 命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A . 若a＞b，则a﹣1≤b﹣1B . 若a≥b，则a﹣1＜b﹣1C . 若a≤b，则a﹣1≤b﹣1D . 若a＜b，则a﹣1＜b﹣12. （2分）己知实数满足,则“成立”是“成立”的（）.A . 充分非必要条件．B . 必要非充分条件．C . 充要条件．D . 既非充分又非必要条件．3. （2分）命题p: ，则是（）A .B .C .D .4. （2分）给出下列四个命题：①命题“若，则”的逆否命题为假命题；②命题：任意,都有，则“非”：存在，使；③“”是“函数为偶函数”的充要条件；④命题：存在，使；命题：△ABC中，，那么命题“‘非’且”为真命题．其中正确的个数是（）A .B .C .D .5. （2分）“”是“函数在区间上单调递增”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，点M在AB上，且，点P在平面ABCD内，动点P到直线A1D1的距离与P到点M的距离的平方差等于1，则动点P的轨迹是（）A . 圆B . 抛物线C . 双曲线D . 直线7. （2分）己知抛物线方程为，焦点为F，O是坐标原点，A是抛物线上的一点，与x 轴正方向的夹角为60°，若的面积为，则p的值为（）A . 2C . 2或D . 2或8. （2分）(2019·淮南模拟) 在平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3，=3，·=2，则⋅的值是（）A . 4B . 6C . 8D . 109. （2分）已知平面α的法向量为=(1,2,-2)，平面β的法向量为=(-2,-4,K)，若α⊥β，则k=（）A . 4B . -4C . 5D . -510. （2分）将抛物线y2=4x按向量 =（1，2）平移后与直线x﹣2y+m=0相切，则m的值为（）A . ﹣1B . 7C . 9D . 111. （2分） (2016高二上·潮阳期中) 已知向量 =（cosθ，﹣sinθ）， =（3cosθ，sinθ），θ∈（0，π），若⊥ ，则θ=（）B .C . 或D . 或12. （2分）若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）A . 2B . 3C . 4D . 6二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·宾阳开学考) 已知双曲线E：﹣ =1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是________．14. （1分）向量 =（﹣1，2，﹣4）， =（2，﹣2，3）是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量 =（2，3，1），则l与α是否垂直？________（填“是”或“否”）．15. （1分）已知向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，则（x+y）的值是________ ．16. （1分）下列结论中：①若（x，y）在映射f的作用下的象是（x+2y，2x﹣y），则在映射f下，（3，1）的原象为（1，1）；②若函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），则f（x）的图象关于直线x=1对称；③函数y=|3﹣x2|﹣a（a∈R）的零点个数为m，则m的值不可能为1；④函数f（x）=log2（3x2﹣ax+5）在（﹣1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是[﹣8，﹣6]．其中正确结论的序号是________ （请将所有正确结论的序号都填上）三、解答题 (共6题；共51分)17. （10分） (2018高二上·定远期中) 已知,命题，命题.（1）若p为真命题，求实数 m 的取值范围；（2）若命题是假命题, 命题是真命题,求实数m的取值范围.18. （10分） (2020高一上·乐清月考) 已知函数， .（1）若不等式的解集为，且，求a的值；（2）当时，求关于x的不等式的解集.19. （10分） (2017高二下·正阳开学考) 已知双曲线C的方程为：﹣ =1（1）求双曲线C的离心率；（2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2 ）的双曲线的方程．20. （1分） (2019高二上·江西月考) 正四棱柱的底面边长为1，若与底面所成角为，则和底面ABCD的距离是________.21. （10分）(2017·广西模拟) 已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧面 A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2 ，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小．22. （10分） (2020高二上·沛县月考)（1）若点到直线的距离比它到点的距离小，求点的轨迹方程.（2）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差绝对值等于，求曲线的标准方程.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共51分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
浙江省宁波市北仑区2016-2017学年高二第一学期期中数学试卷(非4班)
浙江省宁波市北仑区2016-2017学年高二数学上学期期中试题（非4班）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的.答案请填在答题卷的表格中.1．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是 （ ▲ ）第1题图2．若将圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积 （ ▲ ）A ．扩大到原来的2倍B ．缩小到原来的一半C ．不变D ．缩小到原来的163．若,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则以下命题正确的是 （ ▲ ） A ．若α//m ，α⊂n ，则n m // B ．若m =βα ，n m ⊥，则α⊥nC ．若α//m ，α//n ，则n m //D ．若α//m ，β⊂m ，n =βα ，则n m //第4题图 第5题图4．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 （ ▲ ） A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°A BC D5．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ▲ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π- D ．84π-6．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 （ ▲ ）A ．2＋ 2 B.1＋22 C.2＋22D ．1＋ 27．下列四个命题中正确的命题有 （ ▲ ） ①过空间任何一点P 可以作无数条直线与已知的异面直线b a ,都相交； ②三个平面两两相交，有三条交线，则此三条交线或交于一点，或互相平行；③直线a α⊥平面，直线b β⊥平面，则直线b a ,所成角与平面βα,所成角相等或互补； ④αβ⊥平面平面，,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则β⊥m 或α⊥n .A.1个B.2个C.3个D.4个8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,点A 在平面α内，点E 是底面ABCD 的中心.若1C E ⊥平面α，则1C AB ∆在平面α内的射影的面积为 （ ▲ ）AD第8题图 第11题图 第12题图二、填空题:本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分.将正确答案填在答题卷的横线上.9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则其表面积为 ▲ ，其内切球的体积为 ▲ . 10．将一个边长分别是2 cm 和3 cm ，两邻边夹角为60°的平行四边形绕其3 cm 边上的高所在直线旋转一周形成的简单几何体是 ▲ ，其体积为 ▲ cm 3.11．如图，P 是正方形ABCD 外一点，且PA ABCD ⊥平面，则此几何体的5个面中互相垂直的面有 ▲ 1C 1A 1D 1B C DABαE。
浙江省宁波市效实中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题(1、2班)
浙江省宁波市效实中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题（1、2班）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．第Ⅰ卷（选择题 共24分）一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 某工厂的10名工人生产同一零件，生产的件数分别为15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有 A. a b c >> B. b c a >> C. c b a >> D. c a b >> 2. 设随机事件A 、B 的对立事件为A 、B ，且()()0P A P B ≠，则下列说法错误．．的是 A. 若A 和B 独立，则A 和B 也一定独立B. 若()()0.2P A P B +=，则()() 1.8P A P B += C. 若A 和B 互斥，则必有()()P A B P B A = D. 若A 和B 独立，则必有()()P A B P B A =3. 某校开设九门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，若学校规定每位学生选修四门，则不同的选修方案共有 A. 15种 B. 60种 C. 75种 D. 100种4. 若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10，则实数=a1B. 513-或 C. 523-或 D. 5. 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有 A.144种 B. 96种 C. 48种 D.34种 6. 已知复数()()1,z x yi x y R =-+∈，若1z ≤，则y x ≥的概率为A.1142π- B.3142π+ C.112π- D.112π+7. 已知()1,f x x x x C =-+∈，若()94f zi i -=-，则在复平面中，复数z 对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 将六个点,,,,,A B C D E F 随机分布在圆周上，每个点的位置相互独立，则ABC ∆与DEF ∆无公共点的概率为A.310B.120C.35D.320第Ⅱ卷（非选择题 共76分）二、填空题：本大题共7小题，共29分．9. 已知复数z 满足21iz i =-，则z 的虚部为__▲ ，z =__▲ .10. 已知随机变量()~5,0.2X B ，21Y X =-，则()E Y =__▲ ； 标准差()Y σ=__▲ .11. 亲情教育越来越受到重视. 在公益机构的这类活动中，有一个环节要求父(母)与子(女)各自从1,2,3,4,5中随机挑选一个数以观测两代人之间的默契程度. 若所选数据之差的绝对值等于1，则称为“基本默契”，若所选数据相同，则称为“非常默契”，则结果是“非常默契”的概率为__▲ ；结果为“基本默契”的概率为__▲ .12. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现采用分层抽样抽取样本，若粮食类需要抽取8种，则样本容量为__▲ ；抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为__▲ . 13. 在()()()()56781111x x x x ---+---的展开式中，含3x 的项的系数是__▲ .(用数字作答)14. 对一个各边长不相等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边染相同的颜色，则不同的染色方法共有__▲ 种.15. 若2,3,4,a i b i c i x =+=+=+=2a bx cx ++=__▲ .三、解答题：本大题共5小题，共47分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 盒中共有9个球，其中4个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外全相同.(1)从盒中一次取2个球，求这2个球颜色相同的概率；(2)每次随机取一球，取后放回，共取了3次，求三次取到球颜色不全相同的概率；(3)从盒中一次取4个球，其中红、黄、绿个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 中最大与最小数的差，求X 的分布列.17. 有一种密码，明文由三个字母组成，密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成. 编码规则如下表. 明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，对应的密码由明文所取的三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成. (如：明文取的三个字母为AFP ，则与它对应的五个数字(密码)就为11223)(1)假设密码是11211，求这个密码对应的明文； (2)设随机变量ξ表示密码中所含不同数字的个数.①求()=2P ξ；②求随机变量ξ的分布列和数学期望.18. 抛物线()2:20C y px p =>的准线1:2p l x =-过双曲线2212x y -=的一个焦点. (1)求抛物线C 的方程；(2)设M 为抛物线C 上任意一点.①设2:4360l x y -+=，求M 到1l 与2l 距离之和的最小值；②以M 为切点的抛物线的切线l 与1l 交于点N ，试问x 轴上是否存在定点Q ，使Q 在以MN 为直径的圆上. 若存在，求出点Q 坐标，若不存在，说明理由.19. 设2012112,,2323n nn n n n N x x a a x a x a x ⎛⎫⎛⎫≥∈+-+=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .(1)求012n a a a a ++++ ；(2)记k a (0k n ≤≤)的最小值为n T . ①求8T ；②若n 为奇数，求n T .20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率e =，它的上顶点为A ，左、右焦点为12,F F ，直线12,AF AF 分别交椭圆于点B 、C .(1)判断BO 是否平分线段AC ，说明理由；(2)若(),022BO P =，，过P 的动直线l 交椭圆于M 、N 两点，在线段MN 上取点Q ，使MP MQPN QN=. ①写出椭圆E 的方程；②求点Q 的轨迹方程.【附加题A 】(5分，计入总分，但总分不超过100分)：A 班同学做，B 班做了也没分☹设三角形的三边长分别是整数,,m n k ，且m n k >>，已知333100100100m n k ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，其中{}[]x x x =-，而[]x 表示不超过x 的最大整数，求这种三角形周长的 最小值.【附加题B 】(5分，计入总分，但总分不超过100分)：B 班同学做，A 班做了也没分☹求((2015+的十进制表达式中的个位数字.宁波效实中学二〇一五学年度第一学期高一1、2班数学期中答案班级_______学号______姓名________9. 1 ；10. 1 ；11.15；82512. 20 ； 6 13. 12114. 30 15.三．解答题（本大题共5小题，共47分.） 16.（本小题满分9分）解：(1)22243229518C C C P C ++==； (2)33341270193981P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(3)17.（本小题满分9分）解：(1)AEM(2)①827；②E 73=ξ18.（本小题满分10分） 解：(1) 24y x =.(2)①距离最小值为2，当且仅当2139M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取等号. ②存在Q (1，0) 19.（本小题满分9分）解：(1)51023n n⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)①8=0T ；②2223k k nk n k n a C --=-，当2n k <，()2223k k nk n k n a C --=- 记2223k nk n k b --=-，则22222212323k n k n k n k n k k b b -------≥⇔-≥-12n k ⇔≤- 所以当2n k <时k b 单调递增，而kn C 也递增，因此最小值为01123n n a =-当2n k >，()220032k k n k n k k n n n a C C C a --=-≥≥>. 综上1123n n n T =-20.（本小题满分10分） 解：(1) 平分；(2)①22132x y +=；②y =1.附加题： A 班：123由题意()333mod100m n k ≡≡，由于()3,100=1，因此又等价于()331m o d100m k nk--≡≡， 因为()11100=100114025ϕ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由欧拉定理()4031mod100≡ 设0u 为满足()31mod100u ≡的最小正整数，则040u ，否则，若()0110400qu u u u =+≤< 则()0140331mod100qu u-≡≡，即1=0u . 由于3k 的末位3,9,7,1循环，因此0=4u h .因为()()2431012011mod100hhh =-≡-+≡，所以10020h ，得0=20u设20,20m k s n k t -=-=，因为m n k <+，所以()20k s t >-， 而周长为()203s t k ++，故当1,2,21t s k ===时周长最小123. B 班：9。
宁波市效实中学2016届宁波市效实中学高三上学期期中考试数学理试题
宁波市效实中学 20XX 届浙江省宁波市效实中学高三上学期期中考试数学理试题20XX届浙江省宁波市效实中学高三上学期期中考试数学理试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分，共 100 分.第Ⅰ卷（选择题共 24分）一、选择题（本大题共有 8 小题，每题 3 分，共 24 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1、“???6?k?(k?Z)”是“ tan2??▲） 2A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D.既不充足也不用要条件2、设 ?,?,?是三个不重合的平面， m,n 是两条不重合的直线，则以下说法正确的选项是（▲） A.若???,???，则 ?//? B. 若 ???,m//?，则 m??C.若 m??,n??，则 m//nD. 若 m//?,n//?，则 m//n3、一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积是（▲） A.64 B.72 C.80 D.1124、在各项均为正数的等比数列?an?中，a3?1,a5?1，则 a32?2a2a6?a3a7?（▲）A.8B.6C.4D.8?5、函数 y?sin(2x??)(0???)图象的一条对称轴在(,)内，则知足此条件的一个 ?值为（▲ ）632???5?A. B.C. D.61263????ax2?x?1(x?2)6、函数 f(x)??是 R 上的单一递减函数，则实数 a 的取值范围是（▲）?ax?1(x?2)111?a?0 B.a?? C. ?1?a??D.a??14447、已知正 ?ABC 的极点 A 在平面 ?上，极点 B,C 在平面 ?的同一侧， D 为 BC 的中点，若 ?ABC 在平面 ?上的射影是以 A为直角极点的三角形，则直线AD 与平面 ?所成角的正弦值的范围是（▲ ）A.?A.11B.C.[D.( 228 、已知定义在 R 上的函数 f(x) 知足：① f(x)?f(2?x)?0 ；② f(x?2)?f(?x) ；?1?x2,x?[?1,0],1x?y?f(x)?在区间 [?3,3]上的零点个数为③当x?[?1,1]时， f(x)??则函数 ?2cosx,x?(0,1],??2（▲ ）A.5B.6C.7D.8第Ⅱ卷（非选择题共76分）二、填空题（本大题共 7 个小题，第 9－12 题每题 4 分，第 13－15 题每题 3 分，共 25 分 .把答案填在题中的横线上） 9、已知全集U?R ，会合A?{x?1?x?3}，集合 B?xlog2(x?2)?1，则 A?B?▲； A?(eUB)?10 、若指数函数 f(x) 的图象过点 (?2,4) ，则f(3)? ；不等式f(x)?f(?x)?.11、数列 ?an?的前 n 项和为 Sn?n2?6n，则 a2?数列 an 的前10 项和 a1?a2???a10?.12、若 sin??2cos?????5的解集为2??2?(0????)，则 tan??cos(2??)?. 5413、已知 x,y 均为正实数，且x?3y?2，则2x?y的最小值为▲. xy?an?,an 是偶数，14、已知数列 ?an?的各项均为正整数，其前n 项和为Sn，若 an?1??2 且 S3?29，则??3an?1,an 是奇数，S2015?????????????2?15、已知 O 为三角形ABC 的外心， AB?2a,AC?,?BAC?120 ，若 A，则 3x?6yO?xAByA?Ca的最小值为▲.三、解答题（本大题共 5 个小题，共 51 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、设 Sn 为等差数列 {an}的前 n 项和，已知 a4?9,a3?a7?22.（ I ）求数列 {an} 的通项公式an；（II ）求证：11113??????. S1S2S3Sn417、在 ?ABC 中，角 A,B,C 所对的边为a,b,c.已知 a?2c，且A?C?（I ）求 cosC 的值；（II ）当 b?1 时，求 ?ABC 的面积 S．18、在四棱锥P?ABCD 中，底面ABCD 是边长为 2 的菱形， ?BAD?60?,PA?面 ABCD，?2.PA?E,F 分别为 BC,PA 的中点 .（I ）求证： BF?面 PDE ；（ II ）求二面角D?PE?A 的大小的正弦值；（III）求点C 到面 PDE 的距离 .PFAC19、若 x0?R 知足 f(x0)?x0，则称 x0 为 f(x) 的不动点 .（ I ）若函数f(x)?x2?ax?a 没有不动点，务实数 a 的取值范围；（ II ）若函数 f(x)??lnx?3 的不动点 x0?[n,n?1),n?Z，求 n 的值；（III ）若函数f(x)?log2(4x?a?2x?a?1)有不动点，务实数 a 的取值范围 .20 、二次函数f(x) 的图像过原点，且对 ?x?R ，恒有 ?3x2?1?f(x)?6x?2.设数列 {an}知足1a1?,an?1?f(an).3（I ）求函数 f(x) 的表达式；（ II ）证明： an?1?an；（ III ）证明：n1n??a1?a2???an?(n?N*). 242百度搜寻“就爱阅读”,专业资料、生活学习,尽在就爱阅读网 ,您的在线图书室!。
浙江省效实中学高二数学上学期期中试卷 文 新人教A版
宁波效实中学二○一三学年度第一学期 期中考试高二（文）数学试卷请将所有题目的答案填写在答卷的相应位置一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．直线50x +-=的倾斜角为A ．30-︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 2．由圆221x y +=外一点(2,1)P 引圆的切线，切线长为A ．2 C ．1 D ．4 3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为ks5uA ．2BC ． 4．“0,0m n >>”是“方程221mx ny +=表示椭圆”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若点(3,5)A 关于直线:l y kx =的对称点在x 轴上，则k 是A ．251±- B ．3± C ．4301±- D ． 5343±-6．设12,F F 是椭圆2241649x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且1PF ∶2PF =3∶4， 则12PF F ∆的面积为A ．4B ．6C ．D ．7．曲线24x y +<围成的区域面积是A ．8B ．16C ．24D ． 328．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是A BC ．2D9．若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是A ．[1+B ．[1C ．[1-D ．[1,1-10．若点(,0)A m 到双曲线2214x y -=的实轴的一个端点的距离是A 到双曲线上的各个点的距离的最小值，则m 的取值范围是ks5uA ．[2,2]-B ．[C ．55[,]22-D ．33(,][,)22-∞-+∞U二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．圆221:430C x y x +--=和圆222:430C x y y +--=的公共弦所在的直线方程为▲ ．ks5u12．若双曲线222213x y a -=(0)a >的离心率为2，则a 等于 ▲ ．13．已知直线310ax y ++=与(2)0x a y a +-+=平行，则a 的值为 ▲ ； 14．若直线l 与直线1=y ,7=x 分别交于点P 、Q ，且线段PQ 的中点坐标为)1,1(-， 则直线l 的斜率为 ▲ ；15．已知m R ∈，则动圆22242440x y mx my m ++-+-=的圆心的轨迹方程为 ▲ ．16．已知椭圆方程为2221(0)16x y m m+=>，直线2y x =与该椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则m 的值为 ▲ 。
浙江省宁波市-高二数学上学期期中考试试题 理 新人教A版
浙江省效实中学-高二数学上学期期中考试试题 理 新人教A 版说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分． 请在答题卷内按要求作答第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、已知随机变量X 的分布列如图，则p 的值为 A.14 B. 12 C. 34D.1 2、在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1B C 与11A C 所成角为 A.30︒ B.45︒ C.60︒ D.90︒3、口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{}n a ：1(1(n n a n -⎧=⎨⎩第次摸取红球）第次摸取白球），如果n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得71S =-的概率为 A.52471233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 34372133C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 52471233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D. 34371233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4、如果21()2n x x-的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的含3x 项的系数为A.52B.52- C.20 D.20- 5、若把英语单词“error ”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是 A.18种 B.19种 C.10种 D.9种6、某5所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的5位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知书。
若每位学生都等可能地选择任意一所大学就读，则恰有两名学生选择同一所大学（其他三人在其他学校中各选一所不同大学）的概率为 A.15 B.24125 C.96125 D.481257、已知等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，,AC BC 的中点分别是,D E ，将CDE ∆沿DE 折起，使得C DE A --为直二面角，此时斜边AC 被折成折线ADC ，则ADC ∠等于 A.150︒ B.135︒ C.120︒ D.90︒8、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为123P =，乙的命中率为212P =，两人的所有射击都是相互的。
浙江省宁波市效实中学2019—2020学年高二数学上学期期中试题(数理班)
浙江省宁波市效实中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（数理班）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共100分．第Ⅰ卷（选择题 共30分）参考公式：柱体的体积公式 V Sh =其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式 13V Sh =其中S 表示锥体的底面积,表示h 锥体的高 球的表面积公式 2=4S R π球的体积公式 343V R π= ,其中R 表示球的半径台体的体积公式 121()3V S S h = 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高一、选择题：本大题共10小题,每小题3分,共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.空间中,已知,a b 是直线,,αβ是平面,且,,//a b αβαβ⊂⊂,则,a b 的位置关系是 （ ）A. 平行B. 相交C.异面D.平行或异面2.已知椭圆2213x y m +=的焦点在x 轴上,则m 的值是( )A ．B ．6 CD ． 3. 下列命题不正确的是 （ ） A. 若P αβ∈I ,且=l αβI ,则P l ∈ B. 若,A l B l ∈∈,且,A B αα∈∈,则l α⊆C. 若直线a I 直线b A =,则直线a 与直线b 确定一个平面D. 三点,,A B C 确定一个平面.A4. 将半径为6cm 的圆形铁皮,剪去16后,余下部分卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积为（ ） A ．3253cm π B3cm C ．3cm D ．350cm π 5. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点,则异面直线1AB CC 与所成角的余弦值为（）A.346. 如图所示,已知三棱台111ABC A B C -的体积为V ,其中112AB A B =,截去三棱锥1A ABC -,则剩余部分的体积为 （ ）A. 14V B. 23V C. 37V D. 35V7. 有下列说法：①若p xa yb =+u r r r ,则p u r 与a r ,b r 共面；②若p u r 与a r ,b r 共面,则p xa yb =+u r ；③ 若MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r,则,,,P M A B 共面；④ 若,,,P M A B 共面, 则MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r. 其中正确的是 （ ）A. ①②③④B. ①③④C. ①③D. ②④8. 等腰梯形ABCD 中,,2,1AB CD AB AD BC CD ====P ,沿对角线AC 将平面ACD 折起,折叠过程中,AD 与BC 夹角的取值范围为 （ ）A. 62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D. 43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9. 从空间一点作n 条射线,使得任意两条射线构成的角均为钝角,n 最多为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 610. 过抛物线24y x ＝的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点,中点为C ,若直线7x =-与直线AB 的中垂线交于点M ,当ABCM最大时点C 的横坐标为（ ） A.5B.1C.4D. 1正视图侧视图俯视图第Ⅱ 卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题4分,单空题每小题3分,共25分．11. 已知正方体1111ABCD A B C D -中,11114A E AC =u u u u r u u u u r,若1()AE xAA y AB AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r , 则x = ▲ ,y = ▲ ．12. 已知球的表面积为24cm π,则它的半径等于 ▲ cm,它的内接长方体的表面积的最大值为 ▲ 2cm .13. 一个几何体的三视图如右图所示,该几何体的俯视图的面积为 ▲ ,体积为 ▲ ． 14.椭圆22:184x y C +=的弦AB 的中点为点Q ()2,1, 则弦AB 所在的直线方程为 ▲ ；点P 为椭圆上的任意一点,F 为左焦点,则OP FP uu u r uu rg 的取值范围为 ▲ ．15.直线y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右支分别交于,B C 两点,OB OC ⊥若,O 为坐标原点,则双曲线的渐近线方程为 ▲ ． 16. 平面α//平面β,直线,m n αβ∈∈,点,,A m B n AB ∈∈与α面夹角为4π,AB n ⊥,AB 与m 的夹角为3π,则m 与n 的夹角为 ▲ . 17. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,以顶点A 为球心,332为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 ▲ .三、解答题：本大题共5小题,共45分． 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．18.（本题共7分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>焦点为()()122,0,2,0F F -,且过点()2,3Q -,椭圆第一象限上的一点P 到两焦点12,F F 的距离之差为2.（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）求12PF F ∆的内切圆方程.1H 4GH 3HH 1BEFH 2HGFDCP19. （本题共9分）在所有棱长都为2的三棱柱111ABC A B C -中,160B BC ∠=o ,13AB =.（Ⅰ）求证：1AB BC ⊥；（Ⅱ）求二面角1B AB C --的正切值. 20. （本题共9分）如图,四棱锥ABCD P -的底面是 边长为8的正方形,四条侧棱长均为43H F E G ,,, 分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点,//BC 平面GEFH ． （Ⅰ）证明：;//EF GH（Ⅱ）若2=EB ,且二面角E GH B --大小为45o ,求GB 与平面GEFH 所成角的正弦值．21. （本题共10分）如果四面体的四条高交于一点,则该点称为四面体的垂心,该四面体称为垂心四面体.（Ⅰ）证明：如果四面体的对棱互相垂直,则该四面体是垂心四面体；反之亦然. （Ⅱ）给出下列四面体①正三棱锥；②三条侧棱两两垂直； ③高在各面的射影是所在面的垂心； ④对棱的平方和相等.其中是垂心四面体的序号为 .22. （本题共10分）平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：2215x y +=,抛物线E ：22x py =的焦点F 是C 的一个顶点,设()00,P x y 是E 上的动点,且位于第一象限,记E 在点P 处的切线为l .（I ）求p 的值和切线l 的方程（用00,x y 表示）（II ）设l 与C 交于不同的两点,A B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上; （ii ）设l 与y 轴交于点G ,记PFG ∆的面积为1S ,PDM ∆的面积为2S ,求12S S 的最大值.1A高二期中考（数理班）数学参考答案一.选择题1.D2.B3.D4.B5.A6.C7. C8.B9.B 10. A二.选择题11. 1,14； 12. 1,8 ；13.16+82+43ππ，；14. 30,2,8x y⎡+-=+⎣；15. y=； 16.45o； 17.6.三. 解答题18. （Ⅰ）2211612x y+=（Ⅱ）由12112122122,=5=3=4,8PF PFPF PF F F PF F FPF PF⎧-=⎪∴⊥⎨+=⎪⎩Q得：，，又,故内切圆半径()()221111,112r PF F F PF C=+-=圆心为，,所以内切圆方程为：()()2211 1.x y-+-=19. （Ⅰ）取BC中点D,由题设得1,ABC B BC∆∆均为等边三角形,111,,,.BC AD BC B D BC ABD BC AB∴⊥⊥∴⊥∴⊥面（Ⅱ）1112,,AB AD B D ABAD O B O AD=∴===⊥Q已知取中点得,1111,.,B O BC B O ABC OE ABB E B E AB⊥∴⊥⊥⊥又面作，连证得,1111tanB OB EO B ABC B EOEO∴∠--∠==为二面角的平面角,20. （Ⅰ）Q//BC平面GEFH,,,PBC GEFH GH BC GH=∴I P面面同理由,,.ABCE GEFH EF BC EF GH EF=∴I P P面面得B（Ⅱ）取BC,AD 的中点M,N,设,MN EF I PM GH J ==I I ,,,,,,BC MN BC PM GH BC GH MN GH PM GH PMN⊥⊥∴⊥⊥∴⊥Q P 且面,,45.GH IJMJI E GH B ∴⊥∴∠=--o 即为二面角的平面角又2228,PN PM MN PM PN MN====∴+=已知45,,12PMN PNM MIJ JM PM∴∠=∠=∆==o 为等腰直角三角形且, 故,,G H PB PC GB ∴=分别为的中点，,,,,,IM IJ EB IM EB IJ EB EF EB GEFH ⊥∴⊥⊥∴⊥Q P 又面 BGE GB GEFH ∴∠是直线与平面所成的角，sin EB BGE GB ∴∠=== 21. （Ⅰ）先证对棱互相垂直的四面体是垂心四面体.作11,AH BCD H ⊥面垂足为,则11,CD AH CD AB CD ABH ⊥⊥⊥已知，故面,12212,,BH CD E ABE BH AE H AH BH H ⊥=I 延长交于在面内作，垂足为设,12122,.CD ABH BH ABH BH CD BH ACD ⊥⊆∴⊥⊥已有面，面故面此时两条高线12.AH BH H 和已交于点 连接CH ,下证.CH ABD ⊥面111,,,,.BD AH BD AC BD ACH CH ACH CH BD ⊥⊥∴⊥⊆⊥Q 面而面故 222,,,,.AD BH AD BC AD BCH CH BCH CH AD ⊥⊥∴⊥⊆⊥Q 又面而面故 CH ABD ∴⊥面. 连接,.DH DH ABC ⊥同理可证面综上可知,四条高线交于点H ,故该四面体为垂心四面体；反之,若该四面体为垂心四面体,即四条高线交于点H . ,AH BCD ⊥Q 面AH CD ∴⊥,,BH ACD ⊥Q 又面BH CD ∴⊥,CD ABH ∴⊥面,故CD AB ⊥,同理可证,.BC AD BD AC ⊥⊥ （Ⅱ）①②③④均符合要求. 22.解：（I）由题意可得c e a ==,1b =抛物线的焦点F 为(0,1),则2p =,24E x y =：,直线l 方程为002()y y xx +=（Ⅱ）（i ）证明：设00(),P x y ,1122,,()()A x y B x y ,由点差法可得15OD ABk k ⋅=-,012AB k x =, 即有025OD k x =-,直线OD 的方程为025y x x =-,当0x x =时,可得25y =- 即有点M 在定直线25y =-上； （ii ）直线l 的方程为0012y x x y =-,令0x =,可得0(0,)G y - ,则10001112()2S FG x x y ==+ 2002000022()115522222255y y S PM x x y y ++=⋅=⋅++ 则0012202(2)(1)52()5y y S S y ++=+ 令022()55y t t +=≥ ,则2212222233521322()()2(3)()248553355333335t t t t t t S t S t t t t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪--⋅⎝⎭==≤=+=++ 当35t =,即015y =时,12S S 取得最大值83。
2016浙江宁波中学高二上学期期中考试试卷(数学)
2016浙江宁波中学高二上学期期中考试试卷(数学)2016浙江宁波中学高二上学期期中考试试卷（数学）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是( )A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm22．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为( )A．B．C．D．3．设a，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题①若a⊥β，β⊥γ，则a⊥γ；②若a∥β，m⊂β，m∥a，则m∥β；③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；④若m∥a，n∥β，a⊥β则m⊥n．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．34．如图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则这个二面角的度数为( )A．30°B．60°C．90°D．120°5．三棱锥O﹣ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，若OA=OB=a，OC=b，D是该三棱锥外部（不含表面）的一点，则下列命题正确的是( )①存在无数个点D，使OD⊥面ABC；②存在唯一点D，使四面体ABCD为正三棱锥；③存在无数个点D，使OD=AD=BD=CD；④存在唯一点D，使四面体ABCD有三个面为直角三角形．A．①③B．①④C．①③④D．①②④12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S．当CQ=时，S的面积为__________；若S为五边形，则此时CQ取值范围__________．13．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为__________．14．两条异面直线a，b所成角为60°，则过一定点P，与直线a，b都成60°角的直线有__________条．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是__________．三.解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点，点Q在AB 上，且BQ=．（I）求证：QP∥平面AMD；（Ⅱ）求七面体ABCDMN的体积．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD ⊥底面ABCD．（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；（2）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在线段AD上，AG=GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（2）棱PC上是否存在一点F，使DF⊥GC，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．19．如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．（1）若∠CBE=120°，求三棱锥B﹣ADF的外接球的表面积；（2）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=2．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，求BK的取值范围．20．已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5．E，F分别在AD，BC上．且AE=1，BF=3，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF 上的射影H在直线DE上．（Ⅰ）求证：A′D∥平面B′FC（Ⅱ）求二面角A′﹣DE﹣F的大小．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是( )A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．2．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为( )A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．3．设a，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题①若a⊥β，β⊥γ，则a⊥γ；②若a∥β，m⊂β，m∥a，则m∥β；③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；④若m∥a，n∥β，a⊥β则m⊥n．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3【考点】平面的基本性质及推论．【专题】证明题．【分析】在正方体中举出反例，可以得到命题①和命题③是错误的；根据平面与平面平行和直线与平面平行的定义，得到②是正确的；根据直线与平面平行的判定和空间直线平行的传递性，通过举出反例可得④是错误的．由此可得正确答案．【解答】解：对于命题①，若a⊥β，β⊥γ，则a与γ的位置不一定是垂直，也可能是平行，比如：正方体的上、下底面分别是a与γ，右侧面是β则满足a⊥β，β⊥γ，但a∥γ，∴“a⊥γ”不成立，故①不正确；对于命题②，∵a∥β，m⊂β∴平面a与直线m没有公共点因此有“m∥a”成立，故②正确；对于命题③，可以举出如下反例：在正方体中，设正对我们的面为γ，在左侧面中取一条直线m，上底面中取一条直线n，则m、n都与平面γ斜交时，m、n在γ内的射影必定互相垂直，显然“m⊥n”不一定成立，故③不正确；对于命题④，因为a⊥β，所以它们是相交平面，设a∩β=l当m∥a，n∥β时，可得直线l与m、n都平行，所以m∥n，“m⊥n”不成立，故④不正确．因此正确命题只有1个．故选B【点评】本题借助于命题真假的判断为载体，着重考查了平面与平面垂直的定义与性质、直线与平面平行的判定定理和直线在平面中的射影等知识点，属于基础题．4．如图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则这个二面角的度数为( )A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】首先利用平行线做出二面角的平面角，进一步利用勾股定理和余弦定理解出二面角平面角的大小，最后确定结果．【解答】解：在平面α内做BE∥AC，BE=AC，连接DE，CE，所以四边形ACEB是平行四边形．由于线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，所以AB⊥平面BDE．CE∥ABCE⊥平面BDE．所以△CDE是直角三角形．又AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则：DE=2cm进一步利用余弦定理：DE2=BE2+BD2﹣2BE•BDcos∠DBE解得cos∠DBE=所以∠DBE=60°即二面角的度数为：60°故选：B【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，勾股定理的应用，线面垂直的性质，二面角的应用．属于基础题型．5．三棱锥O﹣ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，若OA=OB=a，OC=b，D是该三棱锥外部（不含表面）的一点，则下列命题正确的是( )①存在无数个点D，使OD⊥面ABC；②存在唯一点D，使四面体ABCD为正三棱锥；③存在无数个点D，使OD=AD=BD=CD；④存在唯一点D，使四面体ABCD有三个面为直角三角形．A．①③B．①④C．①③④D．①②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；运动思想；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】①取AB的中点M，连接OM，CM，过点O作OQ⊥CM，可得OQ⊥平面ABC，则直线OQ上除去线段OQ上的点取为D，则OD⊥面ABC，因此存在无数个点D，使OD⊥面ABC，即可判断出才正误；②以线段AB为边作一个正△DAB，使得点C在△ABD内的射影为△ABD的中心，这样的点D至少有两个，分别位于平面ABC的两侧，即可判断出正误；③由已知：可以将此四面体补成一个以OA，OB，OC为邻边的长方体，其对角线的中点为此长方体外接球的球心D且唯一，即可判断出正误；④取点O关于平面ABC的对称点为D，则四面体ABCD有三个面为直角三角形，此D点唯一，即可判断出正误．【解答】解：①取AB的中点M，连接OM，CM，过点O作OQ⊥CM，可得OQ⊥平面ABC，则直线OQ上除去线段OQ上的点取为D，则OD⊥面ABC，因此存在无数个点D，使OD⊥面ABC；②以线段AB为边作一个正△DAB，使得点C在△ABD内的射影为△ABD的中心，则四面体ABCD为正三棱锥，这样的点D至少有两个，分别位于平面ABC的两侧，因此不正确；③∵OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，∴可以将此四面体补成一个以OA，OB，OC为邻边的长方体，其对角线的中点为此长方体外接球的球心D，满足OD=AD=BD=CD，因此有唯一的一个点D，使OD=AD=BD=CD，故不正确；④取点O关于平面ABC的对称点为D，则四面体ABCD有三个面为直角三角形，此D点唯一，因此正确．综上可知：①④正确．故选：B．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质定理、直三棱锥、长方体与外接球的性质、特殊的四面体性质，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】利用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项．【解答】解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别记为V1==．V2=12×π×2=2π，V3=2×2×2=8V4==；∵，∴V2＜V1＜V3＜V4故选C．【点评】本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法，正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键．7．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( )A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，可得A，B正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC 与DE不垂直，可得C不正确．【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE=∠MFB，MF=A1D=定值，FB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．【点评】掌握线面、面面平行与垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解题的关键．8．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是( )A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90°D．AP+PD1的最小值为【考点】棱柱的结构特征．【专题】应用题；空间位置关系与距离．【分析】利用DC1⊥面A1BCD1，可得DC1⊥D1P，A正确利用平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，得出平面D1A1P⊥平面A1AP，B正确；当A1P=时，∠APD1为直角角，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，C错；将面AA1B与面ABCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值．【解答】解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A正确∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP 即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正确；当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴C错；将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，即AP+PD1≥，∴D正确．故选：C．【点评】本题考查正方体的结构特征，空间位置关系的判定，转化的思想．二、填空题（本大题共7小题，第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分．）9．已知O（0，0，0），A（﹣2，2，﹣2），B（1，4，﹣6），C（x，﹣8，8），若OC⊥AB，则x=16；若O、A、B、C四点共面，则x=8．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）先求出，的坐标，根据•=0，得到3x﹣16﹣32=0，解出即可．（2）由于四点A，B，C，O共面，可得存在实数λ，μ使得，解出即可．【解答】解：（1）∵=（x，﹣8，8），=（3，2，﹣4），若OC⊥AB，则•=0，∴3x﹣16﹣32=0，解得：x=16，；（2）∵O（0，0，0），A（﹣2，2，﹣2），B（1，4，﹣6），C（x，﹣8，8），∴=（﹣2，2，﹣2），=（1，4，﹣6），=（x，﹣8，8），∵四点A，B，C，O共面，∴存在实数λ，μ使得，=λ+μ，∴（x，﹣8，8）=λ（﹣2，2，﹣2）+μ（1，4，﹣6），∴，解得x=8，故答案为：16； 8【点评】本题考查了向量垂直的性质，考查向量共面问题，是一道基础题．10．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D与BC1夹角的大小是90°；若E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线EF与A1C1夹角的大小是30°．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1D与BC1夹角的大小和异面直线EF与A1C1夹角的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则B1（2，2，2），D（0，0，0），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（﹣2，﹣2，﹣2），=（﹣2，0，2），∴•=0，∴B1D⊥BC1，∴B1D与BC1夹角的大小是90°；∵E（2，1，0），F（0，2，1），A1（2，0，2），∴=（﹣2，1，1），=（﹣2，2，0），设异面直线EF与A1C1夹角的大小为θ，则cosθ=||=||=，∴θ=30°．∴异面直线EF与A1C1夹角的大小为30°．故答案为：90°；30°．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为、、，则△BCD的面积为；三棱锥A﹣BCD的内切球半径为．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】设长方体的三度为a，b，c由题意得：ab=，ac=，bc=，求出a，b，c，即可求△BCD的面积，利用等体积求出三棱锥A﹣BCD的内切球半径．【解答】解：设长方体的三度为a，b，c由题意得：ab=，ac=，bc=，解得：a=，b=，c=1，△ABC中，BC上的高为，∴△DBC中，BC上的高为=，∴△BCD的面积为=．设三棱锥A﹣BCD的内切球半径为r，则=×（++）r∴r=故答案为：；．【点评】本题是中档题，考查三棱锥A﹣BCD的内切球半径，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S．当CQ=时，S的面积为；若S 为五边形，则此时CQ取值范围（，1）．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面即可求出答案．【解答】解：如图：当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1为等腰梯形，∴S=（+）•=；当CQ=时，如下图，，延长DD1至N，使D1N=，连结AN交A1D1于S，连结QN交C1D1于R，连结SR，则AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2．∴C1R=，RD1=，∴当＜CQ＜1时，此时的截面形状是上图所示的APQRS，为五边形．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了学生的空间想象和思维能力，借助于特殊点分析问题是解决该题的关键，是中档题．13．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，分别求出体积后，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，棱柱和棱锥的底面均为侧视图，故底面面积S=×4×4=8，棱柱的高为8，故体积为64，棱锥的高为4，故体积为：，故组合体的体积V=64﹣=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．14．两条异面直线a，b所成角为60°，则过一定点P，与直线a，b都成60°角的直线有3条．【考点】异面直线的判定．【专题】数形结合；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】先将异面直线a，b平移到点P，结合图形可知，当使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线时存在2条满足条件，当直线为∠EPD的角平分线时存在1条满足条件，则一共有3条满足条件．【解答】解：先将异面直线a，b平移到点P，则∠BPE=60°，∠EPD=120°而∠BPE的角平分线与a和b的所成角为30°，而∠EPD的角平分线与a和b的所成角为60°∵60°＞30°，∴直线与a，b所成的角相等且等于60°有且只有3条，使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线，和直线为∠EPD的角平分线，故答案为：3．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，以及射影等知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是[]．．【考点】直线与平面平行的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M===，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O===，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[]．故答案为：[]．【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．三.解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点，点Q在AB 上，且BQ=．（I）求证：QP∥平面AMD；（Ⅱ）求七面体ABCDMN的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）由MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD ∥NB．进而得到，又已知=，可得，于是在△MAB中，QP ∥AM．再利用线面平行的性质即可得出QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD⊥AC，再利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面MNBD．于是AO为四棱锥A﹣MNBD的高，进而得到V A﹣MNBD的体积．即可得出V几何体ABCDMN=2V A﹣MNBD．【解答】（I）证明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，又=，∴，∴在△MAB中，QP∥AM．又QP⊄平面AMD，AM⊂平面AMD．∴QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，∴AC⊥平面MNBD．∴AO为四棱锥A﹣MNBD的高，又=．∴=2．∴V几何体ABCDMN=2V A﹣MNBD=4．【点评】熟练掌握线面平行于垂直的判定与性质、线线平行的判定与性质、四棱锥的体积等是解题的关键．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD ⊥底面ABCD．（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；（2）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）证明BC⊥平面PBD，利用面面垂直的判定定理，即可证明平面PBC ⊥平面PBD；（2）确定∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵CD2=BC2+BD2，∵BC⊥BD∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD…（2）解：由（1）所证，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=而BD=，所以PD=1…分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）所以，，1）设平面PBC的法向量为，∴…即可解得）∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ=…【点评】本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确运用向量法求线面角．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在线段AD上，AG=GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（2）棱PC上是否存在一点F，使DF⊥GC，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由已知考查PG，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，由余弦定理即可求得cos∠PCH的值．（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，可证FM∥PG，由GM ⊥MD得：GM=GD•cos45°=，由DF⊥GC，即可求得的值．【解答】解：（1）由已知==，∴PG=4，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，CH=，PC=，PH=，由余弦定理得，cos∠PCH=．（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC，∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM，由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM∥PG，由GM⊥MD得：GM=GD•cos45°=，∵，∴由DF⊥GC，可得．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，异面直线及其所成的角，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．（1）若∠CBE=120°，求三棱锥B﹣ADF的外接球的表面积；（2）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=2．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，求BK的取值范围．【考点】直线与平面所成的角；球的体积和表面积．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）求出外接球的半径，利用取得面积公式求解即可．（2）证明BE⊥平面ABCD．=以B为原点，BC、BA、BE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，求出相关点的坐标，求出平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．推出sinφ==，结合sinφ，即求出BK的取值范围．【解答】解：（1）三棱锥B﹣ADF的外接球就是三棱柱DFA﹣CEB的外接球，球的半径为R，R==，外接球的表面积为：4πR2=20π．（2）解：∵BE=BC=2，CE=2，∴CE2=BC2+BE2，∴△BCE为直角三角形，BE⊥BC，…又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA⊂平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD．…以B为原点，BC、BA、BE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2，0），=（2，2，0），．设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．由，，得，可取，…又=（0，﹣2，m），于是sinφ==，∵30°≤φ≤45°，∴sinφ，即…结合0＜m＜2，解得，即BK的取值范围为（0，]．…【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，直线与平面所成角的求法与应用，考查空间想象能力以及计算能力，20．已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5．E，F分别在AD，BC上．且AE=1，BF=3，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF 上的射影H在直线DE上．（Ⅰ）求证：A′D∥平面B′FC（Ⅱ）求二面角A′﹣DE﹣F的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）利用线面平行的判定定理可得A′E∥平面B′FC，DE∥平面B′FC，又A′E∩DE=E．由面面平行的判定定理可得平面A′ED∥平面B′FC，再利用面面平行的性质定理可得线面平行；（II）建立如图所示的空间直角坐标系，利用B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设B′（0，y，z）（y，z∈R+）及F（2，2，0），，B′F=3，可得到点B′的坐标，分别求出平面A′DE的法向量、平面CDEF的法向量，利用法向量的夹角即可得到二面角．【解答】（I）证明：∵A′E∥B′F，A′E⊄平面B′FC，B′F⊂平面B′FC．∴A′E∥平面B′FC，由DE∥FC，同理可得DE∥平面B′FC，又∵A′E∩DE=E．∴平面A′ED∥平面B′FC，∴A′D∥平面B′FC．（II）解：如图，过E作ER∥DC，过E作ES⊥平面EFCD，分别以ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设B′（0，y，z）（y，z∈R+）．∵F（2，2，0），，B′F=3．∴解得．∴B′（0，1，2）．∴．∴=．设平面A′DE的法向量为，又有．∴得，令x=1，则z=1，y═0，得到．又∵平面CDEF的法向量为．设二面角A′﹣DE﹣F的大小为θ，显然θ为钝角∴=．∴θ=135°．【点评】熟练掌握线面平行的判定定理、面面平行的判定和性质定理、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关键．。
浙江省宁波市效实中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题含答案
浙江省宁波市效实中学2016—2017学年高二数学上学期期中试题第Ⅰ卷(选择题 共24分）一、选择题:本大题共8小题,每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是A ．异面B ．相交C ．异面或平行D ．相交或异面2．椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，椭圆上的点到左焦点1F 的距离的最大值为8，过1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为20,则椭圆C 的方程为A ．2212516y x +=B ．2212516x y +=C ．221259x y += D ．221169x y += 3．已知直线,m n 和平面α,A ．m n m n αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭B ．m n n α⊥⎫⎬⊥⎭C ．//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭D ．//m n αα⎫⎬⊂⎭4则该几何体的表面积是 A ．2(1m B ．2(1m + C ．2(2mD ．2(2m +5．已知椭圆22:169x y C +=，若(,)P x y 是椭圆C 上一动点,则222x y x +-的取值范围是俯视图A．[6- B．[6- C．[6+D ．[6+6．已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>和圆：222222()()2b x y c c a b +=+=-有四个不同的公共点，则椭圆的离心率的取值范围是 A．3)5 B．C．3)5D．(0,57．已知平面α平面β=直线l ，点,A C α∈，点,B D β∈,且,,,A B C D l ∉，点,M N 分别是线段,AB CD 的中点．A ．当2CD AB =时,,M NB ．,M N 可能重合，但此时直线AC C ．当直线,AB CD 相交,且//AC l 时,BD 可与l 相交； D ．当直线,AB CD异面时，MN可能与l 平行．8．长方形ABCD 中,2,1AB BC ==，F 是线段DC 上一动点，且01FC <<．将AFD∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，在平面ABD 内作DK AB ⊥于K ，设AK t =，则t 的值可能为 A ．43B ．34 C ．13D ．(第7题图) （第8题图）C A第Ⅱ卷（非选择题 共76分）二、填空题：本大题共7小题,其中第9题至第12题每小题4分，第13题至第15题每小题3分,共25分． 9．椭圆22:14y C x +=的焦点坐标是 ▲ ；长轴长为▲ ；10．已知椭圆22:189x y C a +=+的焦距为a = ▲ ；当0a <时，椭圆C 上存在一点P ，有122PF PF =(12,F F 为椭圆焦点)，则12F PF ∆的面积为▲ ;11．一球内切于底面半径为，高为3的圆锥，则内切球半径是▲ ；内切球与该圆锥的体积之比为 ▲ ；12．正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为3,4,AB D =是11AC 的中点,则AD 与面1B DC 所成角的正弦值为 ▲ ；点E 是BC 中点，则过,,A D E 三点的截面面积是 ▲ ;13．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>:10l x y -+=交椭圆于,A B 两点，交y 轴于C 点，若32AB BC =，则椭圆的方程是 ▲ ；14．已知直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面,αβ截球O 的两个截面圆的半径分别为1、2，二面角l αβ--的平面角为23π，则球O 的表面积 ▲ ；．15．在三棱锥S ABC -中,ABC ∆是边长为a 的正三角形，且A 在面SBC 上的射影H 是SBC ∆的C垂心，又二面角H AB C --的大小为300，则三棱锥S ABC -的体积为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共51分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题10分)如图，圆锥的顶点为P，底面圆O 半径为1，圆锥侧面积为，AB 是圆O的直径，点C BC =(Ⅰ）求异面直线PA 与BC 所成角； （Ⅱ)点E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．17．（本题10分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，12BC EF AB ==,60,BAD G ∠=为BC (Ⅰ)求证://FG 平面BED ； （Ⅱ）求证：平面BED ⊥平面AED ．DB18．（本题10分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点A ，左焦点为F ．（Ⅰ)求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线l ：10x -=交椭圆于,A B 两点,求FAB ∆的面积．19．（本题10分）如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60,,ABC E F ∠=分别是,BC PB 的中点．（Ⅰ)证明：AE ⊥平面PAD ；（Ⅱ)若H 为PD 上的动点,EH PAD所成最大角的正切值为，求二面角B AF C--的正切值．20．（本题11分)已知椭圆22:142x y E +=，（Ⅰ）若椭圆上存在两点,A B 关于直线21y x =-+对称，求直线AB 的方程；（Ⅱ）过的取值范围．AC2016学年度高二上学期期中考试答案一、选择题：1、D2、B3、C4、C5、B 6、A 7、B 8、B二、填空题：9、(0,，410、9或7-11、1，4912、1213，13、2241x y+=14、1123π15、212a三、解答题：16、解：（1）由,S rl rπ==侧1.PO=延长CO交圆O于D，连AD ODA≅∆，得ADO BCO∠=∠，得//AD BC，所以PAD∠是异面直线PA与BC所成角.因为PA AD PD===60.PAD∠=(2）当E为PB中点时，由1OB OP==，得,2OE PB OE⊥=，由CP CB=,得,CE PB CE⊥=所以当E为PB中点时，CE OE+17、解：（1）令BD中点为O，//GO AB,且12GO AB=，//EF AB，且12EF AB=,EDBC//GO EF ∴,且GO EF =，四边形GOEF是平行四边形，得//FG EO ，又FG ⊄面BED ，EO ⊂面BED ，//FG ∴面BED 。
浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)
2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．排列数=（）A． 6 B． 20 C． 60 D． 1202．已知等差数列{a n}中，a5+a7+a9=21，则a7的值是（）A． 7 B． 9 C． 11 D． 133．给出下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④4．数列{a n}的前n项和为S n，若，则S5等于（）A． 1 B． C． D．5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A． AC⊥BEB． EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等6．已知正四棱锥P﹣ABCD棱长都等于a，侧棱PB，PD的中点分别为M，N，则截面AMN与底面ABCD 所成锐二面角的正切值为（）A． B． C． 1 D．7．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A．πa2 B． C． D． 5πa28．6个人站成前后两排，每排3人，其中甲不站前排，乙不站在后排的站法总数为（） A． 72 B． 216 C． 360 D． 1089．已知等差数列{a n}满足a2=3，a5=9，若数列{b n}满足，则{b n}的通项公式为（）A． b n=3n+1 B． b n=2n+1 C． b n=3n+2 D． b n=2n+210．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB，BC，BB1两两垂直且长度相等，点P在线段A1C1（包括端点A1，C1）上运动，直线BP与B1C所成角为θ，则θ的取值范围是（） A． B． C． D．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.11．在公比为2的等比数列{a n}中，，则a1= ．12．如图，用6种不同的颜色为一块广告牌着色，要求在四个区域中相邻的区域不用同一种颜色，则共有种不同的方法（用数值表示）．13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积为．14．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，左视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于．15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，使二面角D﹣AE ﹣B为60°，则直线AD与面ABCE所成角的正弦值为．16．已知数列{a n}满足a n=cos，则a1+a2+a3+…+a2014= ．17．如图，边长为4的正△ABC顶点A在平面α上，B，C在平面α的同侧，M为BC的中点．若△ABC 在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形AB1C1，则M到平面α的距离的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．19．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：MN⊥平面A1B1C．20．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2．（1）求直线SD与平面ABCD所成角的正切值；（2）求二面角C﹣SA﹣B的大小的余弦值．21．已知数列{a n}中，．（1）求证：数列{a2n﹣1}与{a2n}（n∈N*）均为等比数列；（2）求数列{a n}的前2n项和T2n；（3）若数列{a n}的前2n项和为T2n，不等式3（1﹣ka2n）≥64T2n•a2n对n∈N×恒成立，求k的最大值．22．已知直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分别是AB，AE上的动点，且CD∥BE，将△ACD 沿CD折起到位置A1CD，使平面A1CD与平面BCD所成的二面角A1﹣CD﹣B的大小为θ，设=λ，λ∈（0，1）．（1）若θ=且A1E与平面BCD所成的角的正切值为，求二面角A1﹣DE﹣B的大小的正切值；3﹣3•3﹣3•≤3﹣3k⇔2n+≥64+k≥16当且仅当n=3时取等号，所以64+k≤16，即k≤﹣48∴k的最大值为﹣48点评：考查学生对等比关系的确定能力，求等比数列前n项的能力．22．已知直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分别是AB，AE上的动点，且CD∥BE，将△ACD 沿CD折起到位置A1CD，使平面A1CD与平面BCD所成的二面角A1﹣CD﹣B的大小为θ，设=λ，λ∈（0，1）．（1）若θ=且A1E与平面BCD所成的角的正切值为，求二面角A1﹣DE﹣B的大小的正切值；（2）已知λ=，G为A1E的中点，若BG⊥A1D，求cosθ的取值．考点：二面角的平面角及求法．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：（1）由题意可证A1C⊥平面BCD，从而∠A1EC为直线A1E与平面BCD所成的角，设A1C=x，由勾股定理可求得x=2，作出二面角A1﹣DE﹣B的平面角∠A1OC，在直角三角形中求正切值即可，（2）由题意可知，A1B=BE=2，A1C=BC=2，故△A1CB是等边三角形，从而求cosθ的取值．解答：解：（1）由题意，∠A1CB=θ=，∴A1C⊥CB，∵A1C⊥CD，CB∩CD=C，∴A1C⊥平面BCD，∴∠A1EC为直线A1E与平面BCD所成的角，设A1C=x，∵A1E与平面BCD所成的角的正切值为，∴CE=x，∴（4﹣x）2+4=（x）2，∴x=2，即C为AB的中点，在图1中，设C在AD上的射影为O，则CO=，∠A1OC为二面角A1﹣DE﹣B的平面角，∴二面角A1﹣DE﹣B的大小的正切值为tan∠A1OC==；（2）∵=λ=，∴C为AB的中点，又∵G为A1E的中点，BG⊥A1D，∴A1B=BE=2，又∵A1C=BC=2，故△A1CB是等边三角形，故cosθ=．点评：本题考查了空间中的位置关系，考查了学生的空间想象力与作图能力，同时考查了勾股定理的应用，属于难题．。