第四节 系统信号流图及梅逊公式
梅逊公式
2.4 控制系统的方块图、信号流图与梅逊公式控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。
2.4.1 方块图元素（1）方块（Block Diagram ）:表示输入到输出单向传输间的函数关系。
C(s)图2-14 方块图中的方块信号线方块r(t)c(t)信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。
（2）比较点（合成点、综合点）Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。
“+”表示相加，“-”表示相减。
“+”号可省略不写。
2)2+Υ3图2-15比较点示意图注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。
(3)分支点（引出点、测量点）Branch Point 表示信号测量或引出的位置图2-16分支点示意图注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。
2.4.2 几个基本概念及术语R(s)N(s)打开反馈图2-17 反馈控制系统方块图(1) 前向通路传递函数 假设N(s)=0打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。
在图中等价于C(s)与误差E(s)之比。
)()()()()(21s G s G s G s E s C == (2) 反馈回路传递函数 Feedforward Transfer Function 假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
)()()(s H s C s B = (3) 开环传递函数 Open-loop Transfer Function 假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
)()()()()()()(21s H s G s H s G s G s E s B == (4) 闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
)()(1)()()(1)()()()(21s G s H s G s G s H s G s G s R s C +=+= 推导：因为)()]()()([)()()(s G s H s C s R s G s E s C -== 右边移过来整理得)()(1)()()(s G s H s G s R s C += 即开环传递函数前向通路传递函数+=+=1)()(1)()()(s G s H s G s R s C **(5) 误差传递函数 假设N(s)=0 误差信号E(s)与输入信号R(s)之比。
信号流 图与梅逊增益公式
【例 2-17】已知某系统的信号流图如图所示，试求其传递函数。
【解】由图可知，此系统有两条前向通路，即 n 2 ，其增益各为 p1 abcd 和 p2 fd ；
有三个回路，即 L1 be ，L2 abcdg ，L3 fdg ，因此 La L1 L2 L3 。上述三个 回路中只有 L1 与 L3 互不接触，L2 与 L1 及 L3都接触，因此 LbLc L1L3 。由此得系统的
（1）源点：也称输入节点，指只有输出支路的节点，如图中的 x1 。它一般表 示系统的输入量。
（2）汇点：也称输出节点，指只有输入支路的节点，如图中的 x6 。它一般表
示系统的输出量。
（3）混合节点：既有输入支路又有输 出支路的节点称为混合节点，如图中
的 x2 ，x3 ，x4 。它一般表示系统的中间
变量。
数。由于信号流图和结构图之间存在相应的联系，因此梅逊增益公式同样也
适用于结构图。
梅逊增益公式给出了系统信号流图中任意输入节点与输出节点
之间的增益（即传递函数），其公式为
式中
P
1
n k 1
pk k
n ——从输入节点到输出节点的前向通路的总条数；
pk ——从输入节点到输出节点的第 k 条前向通路总增益；
（5）回路：单独回路的简称，即起点和终点在同一节点且信号通过每一个节点不多于
一次的闭合通路。从一个节点开始，只经过一条支路又回到该节点的回路，称为自回
路。回路中所有支路增益的乘积称为回路增益，用 La 表示。在图中共有三条回路，一 条是起始于节点 x2 ，经过节点 x3 最后回到节点 x2 的回路，其回路增益为 L1 bc ；第二 条是起始于节点 x，2 经过节点 x，3 ，x4 x最5 后又回到节点 x的2 回路，其回路增益 为 L2 cegh ；第三个是起始于节点 x4 并回到节点 x4的自回路，其回路增益为 L3 f 。
梅逊公式
回章首
回节首
21
解: 有三条前向通路， 前向通路的增益分别为
n3
p1 G1G2 G3G4 G5 p2 G1G6 G4 G5 p3 G1G2 G7
有四个独立的回路，分别为
L1 G2 G3G4 G5 H 2 L2 G6 G4 G5 H 2
在四个回路中，L3与L4不接触。
L3 G2 G7 H 2 L4 G4 H1
特征式为
1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4
回章首 回节首 22
前向通路p1与四个回路均接触，
1 1
前向通路p2与四个回路均接触，
2 1
前向通路p3与回路L4不接触，
L3a L4 ,
a
3 1 L4
闭环传递函数为
Y (s) P 1 ( p11 p2 2 p3 3 ) R( s) p1 p2 p3 (1 L4 ) 1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4 G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 (1 G4 H1 ) 1 G2G3G4G5 H 2 G6G4G5 H 2 G2G7 H 2 G4 H1 G2G7 H 2G4 H1
(2-123)
回章首
回节首
18
特征式
的计算公式为
1 La Lb Lc
a b,c
d ,e, f
L
d
Le L f ....
(2-124)
L —所有独立回路增益之和； —所有每两个互不接触回路增益乘积之和； L L —所有每三个互不接触回路增益乘积之和。 L L L
a a
第四节 系统信号流图及梅逊公式
第三章 系统数学模型
信号流程图
R( s )
G (s)
C (s)
R(s)
G( s) C ( s )
R(s) +
2
E(s)
G(s)
C(s)
R( s )
1
E ( s)
G(s)
C ( s)
_
H(s)
H (s) N(s)
N(s)
C(s)
1
R (s) +
3
E(s)
_
G 1(s)
+
+
G 2(s)
G2 A2 R A1 G1 B G4 H G3 C
第三章 系统数学模型
画出如所示系统方块图的信号流程图。
解：①用小圆圈表示各变 量对应的节点
系统方块图
G2 R 1 G1 1 e1 e2 G4 G3
②在比较点之后的引出点 只需在比较点后设置一个节 点便可。也即可以与它前面 的比较点共用一个节点。
③在比较点之前的引出点B，需设 置两个节点，分别表示引出点和 比较点，注意图中的 e1 e2
1
1 R1
1
1 C1s
ui
ue
I1
I
a 1 b u
1 R2
1 C2 s
I2
uo
上图中，u i和ue，I1和I，a和b可以合并。为什么？
机械工程控制基础
习题3－16： 求如图所示信号流图的总增益
a42 a12 a44 a34 x3 x4 a35 a52
P2
第三章 系统数学模型
X 5 (s) ? X 1 ( s)
信流图运算法则：
机械工程控制基础
(a)
梅逊公式中南大学机械工程控制基础
俩俩互不接触回路:L1,L2
1 Li LiLj 1 G1G 2G 4 G 3G 5 G 2G 3 G1G 2G 4G 3G 5 P1 G1G 2G 3 1 1 C ( s ) P11 G ( s) R(s) G1G 2G 3 1 G1G 2G 4 G 3G 5 G 2G 3 G1G 2G 4G 3G 5
四.梅逊公式
1 P Pk k
式中 P-- 系统总增益（总传递函数） k -- 前向通路数 Pk --第k条前向通总传递函数 Δ-- 信号流图特征式，它是信号流图所表示的方程组的系数矩阵的行列式。 在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是Δ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ变化的只是其分子。
1 Li LiLj LiLjLk (1)n (LiLjLk )
P1 G1G 2G 3 1 1
C ( s) P11 G1G 2G 3 G( s) R( s ) 1 G1G 2 H 1 G1G 2G 3 G 2G 3 H 2
例. 图所示系统方块图,用梅森公式求系统的传递函数。
L1 G1G 2 H 1 1 G1G 2 H 1 G 2G 3 H 2 G1G 2G3 G1G 4 G 4 H 2 L 2 G 2G 3 H 2 P1 G1G 2G3 1 1 L3 G1G 2G 3 P 2 G1G 4 2 1 L 4 G1G 4 L5 G 4 H 2
其中： Li ――所有不同回路增益乘积之和；
LL
i j k
i j
――所有任意两个互不接触回路增益乘积之和； ――所有任意m个不接触回路增益乘积之和。
(L L L )
k :
信号流图与梅森公式
2.5 信号流图与梅森公式2.5.1 信号流图信号流图是表示复杂的又一种图示方法.信号流图相对于结构图更简便明了,而且不必对图形进行简化,只要根据统一的公式,就能方便地求出系统的传递函数.1. 信号流图的组成及基本性质信号流图由节点和支路组成.一个节点代表系统中的一个变量,用小圆圈”Ο”表示;连接两个节点之间有箭头的定向线段为支路.支路相当于信号乘法器,乘法因子(或支路增益)表在支路上;信号只能沿箭头单方向传递,经支路传递的信号应乘以乘法因子;只有输出支路,无输入支路的节点称为输入节点,代表系统的输入变量;只有输入支路,无输出支路的节点称为输出节点,代表系统的输出变量;既有输入支路,也有输出支路的节点称为混合节点.信号流图的特征描述还需要以下专用术语:前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时,对任何节点只通过一次的通路称为前向通路.而前向通路上各支路增益之积,为前向通路总增益.回路 如果信号传递通路的起点和终点在同一节点上,且通过任何一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路,简称回路.回路中各支炉增益的乘积称为回路增益.不接触回路 两个或两个以上回路之间没有任何公共节点,此种回路称为不接触回路. 由图2-31的信号流图可以说明以上的基本元素,即 74321X XX X X是节点；j h d c b a ,,,,, 为支路增益；4,1X X 为输入节点；7X 为输入节点；6532X X X X 为混合节点。
信号流图共有三条前向通道，第一条是765321XXXXXX →→→→→；第二条是76531X XXXX →→→→；第三条是765324X XXXXX→→→→→。
有两个单独回路，一个是565X X X →→，起点和终点是5X ；另一个起点、终点在3X 的自回路。
而且这两个回路无公共节点，是不接触回路。
图2-31 信号流图注意：对于确定的控制系统，其信号流图不是唯一的。
2.5.2 信号流图的绘制信号流图可以根据系统方框图的绘制，也可以根据数学表达式绘制。
系统的信号流图与梅森公式
6-5 系统的信号流图与梅森公式一、信号流图的定义由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。
例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。
图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。
这样，根据图6-29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系，即图6-29二、三种运算器的信号流图表示三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。
由该表中看出：在信号流图中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。
三、模拟图与信号流图的相互转换规则模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是：(1) 在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。
(2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。
根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即。
(3) 模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。
(4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。
见例6-17)。
(5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。
(6) 在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。
课件：信号流图和梅逊公式的应用
3、信号流图的性质
➢ 信号流图只适用于线性系统 ➢ 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信号 只能沿着支路上的箭头指向传递,后一个节点对前一个 节点没有负载效应（即无反作用）. ➢ 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相 加后的信号传送到所有的输出支路 ➢ 具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具 有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理 ➢ 对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。
知识点
LC
d 2uc dt2
RC
duc dt
uc
ur
1）R-L-C电路的传递函数
Uc s
1
Ur s LCs2 RCs 1
d 2 y(t) dy(t)
m
dt2
f
ky(t) F(t) dt
2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数
Y s F s
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
s2
1
fs
1
典型环节及其传递函数(具有基本输入和输出关系的环节)
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
L4 G2G3H2
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
L5 G4H2
确定前向通路
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
P1 G1G2G3
1 1
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
P2 G1G4
2 1
前向通路数：n 2
C 1
R
Pk k
G1G2G3 G1G4
1 G1G2G3 G1G2H1 G2G3H2 G1G4 G4H2
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第三章 系统数学模型
信号流程图
R( s )
G (s)
C (s)
R(s)
G( s) C ( s )
R(s) +
2
E(s)
G(s)
C(s)
R( s )
1
E ( s)
G(s)
C ( s)
_
H(s)
H (s) N(s)
N(s)
C(s)
1
R (s) +
3
E(s)
_
G 1(s)
+
+
G 2(s)
1 R 1C1sR 2 C 2 s
1 (L1 L2 L3 ) L1L2 1 1 1 1 1 R1C1s R 2C2s R 2C1s R1C1R 2C2s 2
P1 1 R1R 2C1C2s 2 1 1
前向通路只有一条，即 所以
PΔ C(s) 1 G 1 1 R(s) Δ R1R 2C1C2s 2 R1C1s R1C2s+R 2C2 s 1
(a)
a23 x2 a32
a45
x5
x1
(b)
(c)
P 1 a12a23a34a45 x5
x5
P P 1 a12a23a35 2
1 1
x1
x2
x3
x4
x1
x2
x3
2 1 a44
机械工程控制基础
(d)
x2 L1 a23a32 x3 互不接触
第三章 系统数学模型
a42 a12 a44 a34 x4 a35 a52 a45 x5
i 1 （因为三个回路都与前向通道接触。）
机械工程控制基础
1
1 R1
第三章 系统数学模型
1
1
1 C1s
ui
ue
I1
1
I
a 1 b u
1 R2
1 C2 s
I2
1
uo
讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两 点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话， 总传输将不一样。 不能合并。因为a、b两点的信号值不一样。
x5
bx2 cx3
fx5 x5
信号流图的表示形式
f
x1
a
x2
b
x3
c
x4
d
e
机械工程控制基础 一、几个定义
第三章 系统数学模型
输入节点（或源节点）：只有输出支路的节点,如x1、x5。 输出节点（或阱节点）：只有输入支路的节点,如x4。 混合节点：既有输出支路，又有输入支路的节点,如：x2、x3。 传 输：两个节点之间的增益叫传输。如：x1→x2之间的增 益为a，则传输也为a。 前向通路：信号由输入节点到输出节点传递时，每个节点只通 过一次的通路称为前向通路。如：x1→x2→x3→x4 。
1
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
注意：图中C位于比较点的前面，为了引出C处的信号要用一 个传输为1的支路把C、D的信号分开。 题目中单独回路有L1、L2和L3，互不接触回路有 L1L2，即 ：
L1 1 R 1 C1s
L2 1 R 2 C2s
L3 1 R 2 C1s
L1L 2
机械工程控制基础 例3-25：
R( s) + B( s)
第三章 系统数学模型
E (s) _
G1 ( s )
+
_
G2 ( s )
C (s)
解：画出信号流图
1
R( s)
G1 ( s )
1
1
G2 ( s )
1
C (s)
1
1
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
题目中单独回路有L1、L2和L3，互不接触回路有 L1L2，即 ：
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
例3－26： 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上 图所示。然后画出信号流图如下图所示。
k m
R( S )
g
V1
b
d l f
V3
e h
C (S ) V2
f R 1
Ⅰ
m
h V3 k Ⅱ Ⅲ d Ⅴ e g l
Ⅳ
b V1
C
V2 1
机械工程控制基础
习题3－14：
L1 G1 (s)
L2 G2 (s)
1 (L1 L 2 ) 1 G1 ( s ) G2 ( s )
前向通路只有一条，即
所以
P1 G1 (s)G2 (s) 1 1
PΔ G1 ( s)G2 ( s) C(s) G 1 1 R(s) Δ 1 G1 ( s) G2 ( s)
e
-H
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
习题3－15：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式 计算总传递函数。
ui ( s ) ue ( s )
-
1 R1
I1 ( s ) I (s)
1 C1s
u (s)
-
1 R2
I 2 ( s)
1 C2 s
uo ( s )
[解]：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
第四节 系统信号流图及梅逊公式
主讲人 ：王
辉
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
信号流图是线性代数方程组结构的一种图形表达。 设一组线性方程式如下：
x1 x1 x2 ax1 dx2 ex3 x3 x4 x5
信流图运算法则：
机械工程控制基础
(a)
x1
第三章 系统数学模型
a
x2
a
(b )
x1
x2
x1
ab
x2
b
(c )
x1
a
x2
b x3
x1
ab
x2
ab 1 bc
x1
(d )
a
x2
b
x3
பைடு நூலகம்
x1
ab x3 bc
x1
x3
c
x1
( e)
x2
a
b
x1 x3
c
x4
x2
ac
x4
bc
机械工程控制基础 三、 控制 系统 的信 号流 程图
1 1 1 1 1 R1C1s R2C2 s R2C1s R1R2C1C2 s 2
1 1 1 有两个互不接触回路； Lb Lc R1C1s R2C2 s R1R2C1C2 s 2
1 1 1 总传输为：P Pk k k 1 R1R2C1C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 )s 1
Δ=1-（L1 + L2 + L3 + L4）+ L1 L2
该系统的前向通道有三个：
P1= G1G2G3G4G5 P2= G1G6G4G5 P3= G1G2G7 Δ1=1 Δ2=1 Δ3=1-L1
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
因此，系统的闭环系统传递函数C(s) / R(s)为
C(s) 1 G (p1Δ1 p2Δ2 p3Δ3 ) R(s) Δ G1G 2G3G 4G5 G1G 6G 4G5 G1G 2G 7 (1 G 4H1 ) 1 G 4 H1 G 2G 7 H 2 G 6G 4G 5H 2 G 2G 3G 4G 5H 2 G 4H1G 2G 7 H 2
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
C ( s) E ( s) 习题3－17：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数 , R( s) R( s)
G4
R
E
-
G1
H1
+
G2
+ -
G3
H2
C
[解]：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：
R
G4 E G1 G2 H1
L12 a23a32a44
(a) x1
a23 x2 a32 x3
(e) (f)
x2
x4 L2 a23a34a42
L3 a44 x4 x5 互不接触 L25 a23a35a52a44
x2
(g)
L4 a23a34a45a52 x3 x
2
x5 L5 a23a35a52
a12 a23 a34 a45 (1 a44 )a12 a23 a35 P 1 (a23 a32 a23 a34 a42 a44 a23 a34 a52 a23 a35 a52 ) a23 a32 a44 a23 a35 a52 a44
L L L k
机械工程控制基础 例3-23 利用梅逊公式，求：C（s）/R（s）
G7
第三章 系统数学模型
G6
R(s)
G1
+ -
G2
G3
+
+
G4
-
G5
+
+ C ( s)
H1
H2
解：画出该系统的信号流程图
G6
R ( s ) G1
G2 G3
G7
G4 G5
1 C (s)
H1
H2
机械工程控制基础
G2 A2 R A1 G1 B G4 H G3 C
第三章 系统数学模型
画出如所示系统方块图的信号流程图。
解：①用小圆圈表示各变 量对应的节点
系统方块图
G2 R 1 G1 1 e1 e2 G4 G3