第二章多项式插值 (2)

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第二章插值法--课堂

考察函数
右图给出了和的图像,当n 增大时, 在两端会发出激烈的振荡 ,这就是所谓龙格现象。该现象表明,在大范围内使用高次插值,逼近的效果往往是不理想的
另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计算中不断扩大，并传播到其它节点上。因此，次数太高的高次插值多项式并不实用，因为节点数增加时，计算量增大了，但插值函数的精度并未提高。为克服在区间上进行高次插值所造成的龙格现象，采用分段插值的方法，将插值区间分成若干个小的区间，在每个小区间进行线性插值，然后相互连接，用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种把插值区间分段的方法就是分段线性插值法。
有2n+2个根，但是不高于2n+1次的多项式
，所以
，即
惟一性得证。
定理5.4 若f(x)在a,b上存在2n+2阶导数，则 2n+1次Hermite插值多项式的余项为
其中定理的证明可仿照Lagrange插值余项的证明方法请同学们自行证明
实际中使用最广泛的是三次Hermite插值多项式, 即 n=1的情况
表示互为逆运算。
至于如何实现这些基本运算之
间的联系和转化，途径是多种多样的，结果是丰富多彩的，魅力是无群无尽的
§4 埃尔米特插值
注： N 个条件可以确定 N 1 阶多项式。要求在1个节点 x0 处直到m0 阶导数都相等的插值
多项式即为Taylor多项式其余项为
一般只考虑 f 与f ’的值。
二、分段三次埃尔米特插值
分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和
导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足
§6 三次样条插值
一、样条插值的概念

2 第二章插值法

（7） l k ( x), l k 及x k 1上满足条件：
l k ( x) 1.l k ( x k 1 ) 0, l k 1 ( x k ) 0, l k 1 ( x k 1 ) 1. 我们称函数l k ( x)及l k 1 ( x)为线性插值基函数。见下图：
设 y f ( x)在区间 [a, b] 上连续，且在n 1 个不同的点
a x0 x1 xn b
上的值分别为y0 , y1 ,, yn .
插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类中，求一简单函数 P( x), 使 P( xi ) yi (i 0,1, , n) (I ) 而在其它点 x xi 上，P( x)作为 f ( x) 的近似。
y L1 ( x)的几何意义就是通过两点（xk , y k )与（xk 1 , y k 1 )的直线，如上图所示，（x）的表达式可由几何意 L1 义直接给出： y y L ( x)
1
y f (x)
yk
y k 1
0
xk
x k 1
x
y k 1 y k L1 ( x) y k ( x xk ) xk 1 xk xk 1 x x xk L1 ( x) yk y k 1 xk 1 xk xk 1 xk
k 0
n1 ( x) 从而公式（）可改写成： n ( x) y k 13 L ( x xk ) n1 ( xk ) k 0
n
(15)
注：n次插值多项式 n ( x)一般应为次数为的多项式。特殊情况下 L n 次数可能小于n。如过三个共线点（ 0 , y 0 ), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 )的二次插值多项 x 式L（x)就是一条直线而不是抛物线。 2

计算方法(2)-插值法

2
2
yk1 2

f (xk

h
2
),
y
k

1 2

f (xk

h) 2
21
3.牛顿向后插值公式
Nn (xn

th)

yn

tyn

t(t 1) 2!
2
yn

t(t

1)

(t n!

n

1)

n
yn
(t 0)
插值余项
Rn
(xn

th)

t(t
1) (t (n 1)!
Nn (x0

th)

y0

ty0

t(t 1) 2!
2
y0Leabharlann 插值余项t(t

1)

(t n!

n

1)
n
y0
Rn (x0

th)

t(t
1) (t (n 1)!
n)
h n1
f
(n1) ( ),
(x0 , xn )
20
二.向后差分与牛顿向后插值公式
杂.

根据f(x)函数表或复杂的解析表达式构
造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似.
2
2.问题的提法
1)已知条件设函数y f (x)在区间[a,b]上
连续, 且在n 1个不同点a x0 , x1, , xn b 上分别取值y0 , y1, , yn

第二章插值法多项式插值的存在性

第二章插值法⏹ 多项式插值的存在性 ⏹ Lagrange 插值 ⏹ Newton 插值 ⏹ Hermit 插值 ⏹ 分段低次插值 ⏹ 三次样条插值在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的。

虽然其函数关系)(x f y =在某个区间[]b a ,是客观存在的，但是却不知道具体的解析表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间a ，b]上一些离散点上的函数值、导数值等,因此，希望对这样的函数用一个比较简单的函数表达式来近似地给出整体上的描述。

还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。

插值法就是寻求近似函数的方法之一.在用插值法寻求近似函数的过程中，根据所讨论问题的特点，对简单函数的类型可有不同的选取，如多项式、有理式、三角函数等，其中多项式结构简单，并有良好的性质，便于数值计算和理论分析，因此被广泛采用。

本章主要介绍多项式插值、分段多项式插值和样条插值. 2.1 插值多项式的存在唯一性 2.1.1 插值问题设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义，且已知函数在区间],[b a 上n+1个互异点n x x x ,,,10 处的函数值)(i i x f y = i=0,1,…,n ，若存在一个简单函数)(x p y =，使其经过)(x f y =上的这n+1个已知点),(,),,(),,(1100n n y x y x y x （图5-1），即n i y x p i i ,,1,0 ,)( == （2.1.1）那么，函数)(x p 称为插值函数，点n x x x ,,,10 称为插值节点，],[b a 称为插值区间,求)(x p 的方法称为插值法,)(x f 称为被插函数。

若)(x p 是次数不超过n 的多项式,记为)(x p n ，即n n n x a x a a x p +++= 10)(则称)(x p n 为n 次插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若)(x p 为分段多项式，称为分段插值，多项式插值和分段插值称为代数插值。

数值方法第二章插值法2

当选择代数多项式作为插值函数类时，称为代数多项式插值问题:
代数多项式插值问题:
设函数y=f(x)在[a,b]有定义, 且已知在n+1个点 a≤x0<x1<……<xn≤b上的函数值y0, y1,……,yn.,要求一个次数不高于n的多项式
Pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
现设 x x j 由 Rn ( x j ) f ( x j ) Pn ( x j ) 0
故知 Rn (x) 可表示为
(j=0,1,…，n)，
Rn ( x) k ( x)n1 ( x) k ( x)( x x0 )( x xn )
关键是求 k ( x) ?
(2.2.10)
grange插值多项式
现在考虑一般的插值问题：
满足插值条件 Ln ( xk )
y
பைடு நூலகம்
k
(k 0,1,2,,n) (2.2.1)
的次数不超过n的多项式显然为 : Ln ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 ln ( x) yn
这是因为 (1) Ln ( xk ) lk ( xk ) yk yk (k 0,1,2,,n) (2)次数不超过n
3
1 f ( ) ( x) 2
3
1 2 R1 ( x) ( x x0 )(x x1 ) 8 3 1 2 R1 (115) (115 100)(115 121 ) 8 3 1 (115 100)(115 121 max 2 ) 100 ,121 8
其中，Ak为待定系数，由条件 lk ( xk ) 1 可得
1 Ak ( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )

拉格朗日插值法 (2)

在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。

许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。

如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。

这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。

数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。

拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现[1]，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。

1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起[2]。

对于给定的若n+1个点，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式只有一个。

如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与相差的多项式都满足条件。

定义对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值。

假设任意两个不同的x j都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：[3]拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点上取值为0。

存在性对于给定的k+1个点：，拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点取值为1，而在其他点取值都是0的多项式。

这样，多项式在点取值为，而在其他点取值都是0。

而多项式就可以满足在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：它在点取值为：。

由于已经假定两两互不相同，因此上面的取值不等于0。

于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在取值为1，而在其他点取值都是0的多项式”：这就是拉格朗日基本多项式。

唯一性次数不超过k的拉格朗日多项式至多只有一个，因为对任意两个次数不超过k的拉格朗日多项式：和，它们的差在所有k+1个点上取值都是0，因此必然是多项式的倍数。

数值分析作业答案

第2章插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。

（1）用单项式基底。

（2）用Lagrange 插值基底。

（3）用Newton 基底。

证明三种方法得到的多项式是相同的。

解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。

计算方法插值法(均差与牛顿插值公式)

为f ( x)关于节点 x0 , xk 一阶均差 (差商)
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5
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6
二、均差具有如下性质：
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]

j 0
k
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xk )
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fk fk 1 fk 为f ( x)在 xk 处的二阶向前差分
2
依此类推
m f k m1 f k 1 m1 f k
为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分
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差分表
xk f k 一阶差分 x0 f 0 x1 f 1 二阶差分三阶差分四阶差分
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等距节点插值公式
一、牛顿前插公式
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二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比
牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值无法比的. 但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点.
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§
2.3.4 差分及其性质
一、差分
fk , 定义3. 设f ( x)在等距节点xk x0 kh 处的函数值为 k 0 ,1, , n , 称
f k f k 1 f k
k 0,1,, n 1
为f ( x)在 xk 处的一阶向前差分

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n
可以验证

j 0
j j
满足插值条件.
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5
(2)
唯一性设n次多项式 Ln ( x )和Qn ( x ) 均为插值问题的解,
即令则
Ln ( xi ) f ( xi ) Qn ( xi ) G( x ) : Ln ( x ) Qn ( x ) Pn ,
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拉格朗日插值法Matlab程序
malagr.m
用途：拉格朗日插值法求解格式：yy=malagr(x,y,xx)， x是节点向量， y是节点对应的函数值向量， xx是插值点(可以是多个)， yy返回插值结果
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由(2.1)知 xk ( k i ) 是 n次代数多项式 li ( x ) 的 n个零点，
所以
l i ( x ) c( x x1 )( x x i 1 )( x x i 1 )( x x n )
又由 l i ( xi ) 1
c? ( x x0 )( x xn1 ) n
的形式，希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。
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首先考察 f ( x ) 的几种低次Newton插值公式的建立过程显然关于节点 x0 的零次插值多项式
p0 ( x ) f ( x0 ).
下面分别考察一次和二次插值多项式情形. (1) 关于节点 x0 , x1 的一次插值多项式 p1 ( x ), 根据承袭性的要求，可将其待定为
function yy=malagr(x,y,xx) m=length(x);n=length(y); if m~=n, error('向量x与y的长度必须一致');end s=0; for i=1:n t=ones(1,length(xx)); for j=1:n if j~=i t=t.*(xx-x(j))/(x(i)-x(j)) end end s=s+t*y(i); end yy=s; end 上一页下一页
(2.9)
(2) 关于节点 x0 , x1 , x2 的二次插值多项式 p2 ( x ), 可将其待定为
p2 ( x ) p1 ( x ) q( x ),
其中 q P2 , 且满足q( x0 ) q( x1 ) 0, 故可令
q( x ) c2 ( x x0 )( x x1 ).
i i
x ,y
n n
称 f ( x ) 为被插函数，pn ( x ) 为n次多项式插值函数，
并称 x0 , x1 ,, xn 为插值节点，而上述问题被称为
关于节点 x0 , x1 ,, xn 的Lagrange插值问题
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二、适定性和Lagrange插值公式
Neville插值公式的优点是：
O( n).
缺点是：形式不直观，且计算表依赖于具体的点x.
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四、 Newton插值公式
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时全部基函数li(x)都需重新算过。将Ln(x)改写成 ? c ? ( x x ) c?( x x )( x x ) c 0 1 0 2 0 1
x x0 x2 x q( x ) p1,2 ( x ) p0,1 ( x ), x 2 x0 x 2ห้องสมุดไป่ตู้ x0
容易验证 q P2 , 且满足
q( xi ) f ( xi ), i 0,1,2,
故 q( x ) 就是 f ( x ) 关于节点
x0 , x1 , x2
的二次插值多项式，即
p1 ( x ) p0 ( x ) q( x ),
由 p1 ( x )的定义知 q P1 , 且满足q( x0 ) 0, 故可令
q( x ) c1 ( x x0 ).
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利用 p1 ( x1 ) f ( x1 ), 可求得
f ( x1 ) f ( x0 ) c1 . x1 x0
定理 2.1 插值问题的解是存在且唯一的.
证明：（构造性证明）
（1）存在性首先构造特殊插值多项式 l i ( x ) Pn ,
l i ( x k ) i ,k 0, 1, i k, i k,
i , k 0,1,, n.
(2.1)
i ,k : 克罗内克尔(Kronecker)符号.
p0,2 ( x ) q( x ).
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上述结果可以推广到一般情形.
即若已知 p0,n1 ( x ) 和 p1,n ( x ), 则
xn x x x0 p0,n ( x ) p0,n1 ( x ) p1,n ( x ). x n x0 x n x0
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注意： 125 11.1803398 则线性插值公式所得近似值有3位有效数字抛物插值公式所得近似值有4位有效数字 Lagrange插值公式的优缺点：优点：形式简洁便于理论分析和许多数值计算公式的推导缺点：没有承袭性即当增加新的节点时所有Lagrange因子必须重新计算
将 ( x0 , p0,1 ( x )) 和 ( x2 , p1,2 ( x )) 看成两个“点”，过这两“点”作线性插值，可得
x x0 x2 x q( x ) p1,2 ( x ) p0,1 ( x ), x 2 x0 x 2 x0
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解得
c 1 ( xi x1 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn )
即
( x x0 )( x x1 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn ) li ( x ) ( xi x0 )( xi x1 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn ) i k, 0, l i ( xk ) ni ,k i , k 0,1,, n. (2.1) 1 , i k , L ( x) y l ( x )
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Ln ( x ) yi li ( x )
i 0
n
称为f(x)的n次多项式插值的 Lagrange 公式也称为Lagrange 插值多项式.
n ( x) li ( x ) ' ( x xi ) n ( xi )
称为n次多项式插值问题的基函数(Lagrange 因子) 其中
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例1 已知 100 10, 121 11, 144 12, 试分别用线性插值和抛物插值公式求 125 的近似值. 解（1）选取
x0 121, x1 144,
利用线性插值公式，可得
y0 11, y1 12,
x 144 x 121 L1 ( x ) 11 12 , 121 144 144 121
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当n=2时，抛物插值公式
( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) y1 L2 ( x ) y0 ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
( x x0 )( x x1 ) y2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
利用抛物插值公式，可得
y0 10, y1 11, y2 12,
( x 100) ( x 144) ( x 121) ( x 144) 11 L2 ( x ) 10 (121 100) (121 144) (100 121) (100 144)
( x 100) ( x 121) 12 , ( x x100) )( x (144 x2 )121) ( x x0 )( x x2 ) (144 1 L2 ( x ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) 于是 ( x x0 )( x x1 ) y2 125 L2 (125) 11.18107. ( x2 x0 )( x2 x1 )
设 x0 , x1 , x n 彼此互异, 记所有次数不超过n 的代数多项式
a0 a1 x an x n
的全体为 Pn .
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插值问题：求 pn Pn , 满足
pn ( xi ) yi ,
i 0,1,, n.
x ,y
0 0
x ,y
n ( x ) ( x x j ).
j 0
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n
例
当n=1时，线性插值公式
( x x0 ) ( x x1 ) y1 L1 ( x ) y0 ( x1 x0 ) ( x0 x1 )
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上式称为Neville插值公式，它以递推的形式出现. 下面给出Neville插值方法计算表
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x0 x1 x2 x3 xn
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( xn )
p0,1 p1,2 p0,2 p2,3 p1,3 p0,3 pn1,n pn 2,n pn 3,n … p0,n