二面角的求法 ppt
又∵PA=5，PB=8，AB=7 1 由余弦定理得 cos P
2 ∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º ∴这二面角的度数为120º
P A α
一、几何法：
1、定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内
分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就是 此二面角的平面角。 垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O， 连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
底边BC的平面M上的射影DBC以及两者 所成的二面角之间的关系：
S射 S DBC cos SABC S
练习1、已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、 PD的中点． （1）求证：AF∥平面PEC； （2）求PC与平面ABCD所成角的大小； （3）求二面角P一EC一D的大小．
) 2
12
5 15 . 4
.
1 1 AG CD AC DF CD AG得DF 2 2 AC
Rt ABC中, AB AC 2 BC 2 3, SABC
故四面体ABCD的体积
V
1 3 AB BC . 2 2
1 5 SABC DF . 3 8
由题可得 OB＝ MO＝ 3， MO∥ AB， EO MO 1 则 ＝ ＝ ， EO＝ OB＝ 3， 2 EB AB 所以 EB＝ 2 3＝ AB， 故∠ AEB＝ 45° .6 分
(2)CE是平面ACM与平面BCD的交线．
由(1)知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形． 作BF⊥EC于F，连接AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面 角A－EC－B的平面角，设为θ.8分
解 ①连接A1B、D1C， ∵AB⊥BC，A1B⊥BC ∴∠A1BA就是二面角A1-BC-A 的平面角， 又∵在Rt△A1AB中 tan ∠A1BA=A1A/AB= 3 。 3 ∴ ∠A1BA=30 。 ∴二面角A1-BC-A为30 。
②连接C1B、D1A， ∵BC⊥AB， BC1 ⊥ AB ∴∠C1BC就是二面角C1－AB-C 的平面角， 又∵在Rt△A1AB中 tan ∠C1BC=C1C/BC= 3 。 ∴ ∠ C1BC =60 ∴二面角A1-BC-A为60。
北极
66 °34 ´
地球轨道面
↓ ↑ 23°26´
(黄道平面)
南极
1、掌握二面角的定义法； 2、掌握二面角的三垂线法； 3、掌握二面角的垂面法;
4、掌握二面角的射影面积法;
复 习: 二面角的定义:
1、定义
从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角 的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
2、三垂线法:在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB， 3、垂面法:
a
O B
于B，作AC⊥ 于C，面 过二面角内一点A作AB⊥ ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 A A
C
a
A
B
O
a
O
B
A
4、射影面积法:
如图所示， AD平面M，
M
B H
D
C
设AHD= 是二面角A-BC-D的平面角，
因为∠ BCE＝ 120° ，所以∠ BCF＝ 60° . 所以 BF＝ BC· sin60° ＝ 3， AB 2 5 所以 tanθ＝ ＝ 2， sinθ＝ . 5 BF 2 5 所以所求二面角的正弦值是 .12 分 5
例2、已知二面角－ l － ，A为面内一点，A到 的 距离为 2 ，到 l 的距离为 4。求二面角 － l － 的大小。
P
l
A
B
P1
A1
B1
∠APB= ∠A1P1B1
注意: 二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 (与顶点位置无关) 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱 二面角的平面角的范围: 0180
D1 A1 B1 D A B
C1
C
例1、 如上图，长方体AC1中， AB=3，BC=1，CC1= 3， 求①平面A1BC与平面ABCD ②平面C1AB与平面ABCD 所成二面角的大小 ？
?
练习2 (本题满分 12 分)(2010 年高考江西卷)如图，
△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD⊥平面 BCD，AB⊥平面 BCD，AB＝2 3. (1)求直线 AM 与平面 BCD 所成角的大小； (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值．
【解】 法一：(1)如图，取CD中点O，连接OB， OM， 则OB⊥CD，OM⊥CD. 又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.2分 所以MO∥AB，A、B、O、M四点共面．延长 AM，BO相交于E, 则∠AEB就是AM与平面BCD 所成的角.4分
?
一、几何法：
1、定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两
个面内分别作垂直于a 的两条射线OA,OB， 则∠AOB就是此二面角的平面角。
a
O B
A
A
2、射影面积法:
如图所示， AD平面M，
M
B H
D
C
设AHD= 是二面角A-BC-D的平面角，
由cos =AD/AH可得，ABC与它在过其
A.
D
O
?
l
作业、 2 如图，△PAB是边长为2的正三角形,AD⊥平面 PAB,BC∥AD,AD＝BC＝ .又点N为线段AB的中点，点 M在线段AD上，且MN⊥PC. (1)求线段AM的长； (2)求二面角P－MC－N的大小.
D
C
M
N A B
P
练习2、如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面 ACD，AB⊥BC，AC=AD=2,BC=CD=1. (Ⅰ)求四面体ABCD的体积; (Ⅱ)求二面角 C-AB-D 的平面角的正切值.
l
2、二面角的表示方法
二面角－AB－
A
二面角－ l－
C
B D
F A D B
l
E
C
B
A 二面角C－AB－ D 二面的棱上任意一点为端 点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。
二面角的大小用它的平面角的大小来度量
D
A B
C
解法一：（I）如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F， 故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF 是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点， 则 由 A C = A D ， 知 A G ⊥ C D ， 从 而
AG 由
AC 2 CG
2 2
1 2 ( 2
例 3 ． 如 图 P 为 二 面 角 α–ι–β 内 一 点 ， PA⊥α ,PB⊥β, 且 PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
解：过PA、PB的平面PAB与 棱ι 交于O点 β B ∵PA⊥α ∴PA⊥ι ι O ∵PB⊥β ∴PB⊥ι ∴ι⊥平面PAB ∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
由cos =AD/AH可得，ABC与它在过其
底边BC的平面M上的射影DBC以及两者 所成的二面角之间的关系：
S射 S DBC cos SABC S
几点说明：
⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个 顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是 我们首选的方法。 ⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个 顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这 个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计 算简便，所以我们常用此法。 ⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这 一点不好选择，所以此法一般不用。 ⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。 ⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射 影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式, 这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。
2 ∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º ∴这二面角的度数为120º
P A α
一、几何法：
1、定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内
分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就是 此二面角的平面角。 垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O， 连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
底边BC的平面M上的射影DBC以及两者 所成的二面角之间的关系：
S射 S DBC cos SABC S
练习1、已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、 PD的中点． （1）求证：AF∥平面PEC； （2）求PC与平面ABCD所成角的大小； （3）求二面角P一EC一D的大小．
) 2
12
5 15 . 4
.
1 1 AG CD AC DF CD AG得DF 2 2 AC
Rt ABC中, AB AC 2 BC 2 3, SABC
故四面体ABCD的体积
V
1 3 AB BC . 2 2
1 5 SABC DF . 3 8
由题可得 OB＝ MO＝ 3， MO∥ AB， EO MO 1 则 ＝ ＝ ， EO＝ OB＝ 3， 2 EB AB 所以 EB＝ 2 3＝ AB， 故∠ AEB＝ 45° .6 分
(2)CE是平面ACM与平面BCD的交线．
由(1)知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形． 作BF⊥EC于F，连接AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面 角A－EC－B的平面角，设为θ.8分
解 ①连接A1B、D1C， ∵AB⊥BC，A1B⊥BC ∴∠A1BA就是二面角A1-BC-A 的平面角， 又∵在Rt△A1AB中 tan ∠A1BA=A1A/AB= 3 。 3 ∴ ∠A1BA=30 。 ∴二面角A1-BC-A为30 。
②连接C1B、D1A， ∵BC⊥AB， BC1 ⊥ AB ∴∠C1BC就是二面角C1－AB-C 的平面角， 又∵在Rt△A1AB中 tan ∠C1BC=C1C/BC= 3 。 ∴ ∠ C1BC =60 ∴二面角A1-BC-A为60。
北极
66 °34 ´
地球轨道面
↓ ↑ 23°26´
(黄道平面)
南极
1、掌握二面角的定义法； 2、掌握二面角的三垂线法； 3、掌握二面角的垂面法;
4、掌握二面角的射影面积法;
复 习: 二面角的定义:
1、定义
从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角 的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
2、三垂线法:在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB， 3、垂面法:
a
O B
于B，作AC⊥ 于C，面 过二面角内一点A作AB⊥ ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 A A
C
a
A
B
O
a
O
B
A
4、射影面积法:
如图所示， AD平面M，
M
B H
D
C
设AHD= 是二面角A-BC-D的平面角，
因为∠ BCE＝ 120° ，所以∠ BCF＝ 60° . 所以 BF＝ BC· sin60° ＝ 3， AB 2 5 所以 tanθ＝ ＝ 2， sinθ＝ . 5 BF 2 5 所以所求二面角的正弦值是 .12 分 5
例2、已知二面角－ l － ，A为面内一点，A到 的 距离为 2 ，到 l 的距离为 4。求二面角 － l － 的大小。
P
l
A
B
P1
A1
B1
∠APB= ∠A1P1B1
注意: 二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 (与顶点位置无关) 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱 二面角的平面角的范围: 0180
D1 A1 B1 D A B
C1
C
例1、 如上图，长方体AC1中， AB=3，BC=1，CC1= 3， 求①平面A1BC与平面ABCD ②平面C1AB与平面ABCD 所成二面角的大小 ？
?
练习2 (本题满分 12 分)(2010 年高考江西卷)如图，
△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD⊥平面 BCD，AB⊥平面 BCD，AB＝2 3. (1)求直线 AM 与平面 BCD 所成角的大小； (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值．
【解】 法一：(1)如图，取CD中点O，连接OB， OM， 则OB⊥CD，OM⊥CD. 又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.2分 所以MO∥AB，A、B、O、M四点共面．延长 AM，BO相交于E, 则∠AEB就是AM与平面BCD 所成的角.4分
?
一、几何法：
1、定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两
个面内分别作垂直于a 的两条射线OA,OB， 则∠AOB就是此二面角的平面角。
a
O B
A
A
2、射影面积法:
如图所示， AD平面M，
M
B H
D
C
设AHD= 是二面角A-BC-D的平面角，
由cos =AD/AH可得，ABC与它在过其
A.
D
O
?
l
作业、 2 如图，△PAB是边长为2的正三角形,AD⊥平面 PAB,BC∥AD,AD＝BC＝ .又点N为线段AB的中点，点 M在线段AD上，且MN⊥PC. (1)求线段AM的长； (2)求二面角P－MC－N的大小.
D
C
M
N A B
P
练习2、如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面 ACD，AB⊥BC，AC=AD=2,BC=CD=1. (Ⅰ)求四面体ABCD的体积; (Ⅱ)求二面角 C-AB-D 的平面角的正切值.
l
2、二面角的表示方法
二面角－AB－
A
二面角－ l－
C
B D
F A D B
l
E
C
B
A 二面角C－AB－ D 二面的棱上任意一点为端 点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。
二面角的大小用它的平面角的大小来度量
D
A B
C
解法一：（I）如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F， 故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF 是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点， 则 由 A C = A D ， 知 A G ⊥ C D ， 从 而
AG 由
AC 2 CG
2 2
1 2 ( 2
例 3 ． 如 图 P 为 二 面 角 α–ι–β 内 一 点 ， PA⊥α ,PB⊥β, 且 PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
解：过PA、PB的平面PAB与 棱ι 交于O点 β B ∵PA⊥α ∴PA⊥ι ι O ∵PB⊥β ∴PB⊥ι ∴ι⊥平面PAB ∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
由cos =AD/AH可得，ABC与它在过其
底边BC的平面M上的射影DBC以及两者 所成的二面角之间的关系：
S射 S DBC cos SABC S
几点说明：
⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个 顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是 我们首选的方法。 ⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个 顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这 个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计 算简便，所以我们常用此法。 ⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这 一点不好选择，所以此法一般不用。 ⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。 ⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射 影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式, 这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。
合集下载
二面角ppt课件
1、定义法（练习）
1、定义法（练习）
2、三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理 法求二面角的大小。
2、三垂线法
例1、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形， PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二 面角P-BC-A的大小。
面角P-BC-A的平面角为:
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是
A
B
2、已知P为二面角 内一点，
且P到两个半平面的距离都等于P到棱 的距离的一半，则这个二面角的度数
β
B
p
是多少？
60º
O
Aα
ι
1、定义法
例1、如图,已知二面角α-а-β等 120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β. 求∠APB的大小.
世界上最好的课堂在老人的脚下.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
3、垂面法
3、垂面法
例3、如图在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC， AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E， 又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的度数。
3、垂面法
请您欣赏
励志名言
The best classroom in the world is at the feet of an elderly person.
《二面角的平面角求法》课件
二面角的平面角来解题．
复习： 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
二二面面角角的的求求法法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角.
(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.
S
E
D
A
C
B
解：（1）因为SB＝BC，E为SC的中点，
Байду номын сангаас
所以BE SC，又DE SC
S
因此SC 平面BDE
E
（2）由SC 平面BDE，得BD SC
D
又由SA 平面ABC，得BD SA
A
C
则BD 平面SAC
B
因此CDE为二面角E－BD－C的平面角
由AB BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a
2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节，计算一般是放在三角形中，因 此，“化归”思想很重要.
作业：
1.四棱锥P-ABCD的底面 P
是边长为4的正方形，
PD⊥面ABCD，PD=6，
C
M,N是PB,AB的中点，求
二面角M－DN－C的平 D
面角的正切值？
2.如图，在平面角为600的二面
角 -l-内有一点P，过P作PC P
2BM MN
3
则BMN arccos 6 . 3
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.
C1
B1
D1
复习： 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
二二面面角角的的求求法法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角.
(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.
S
E
D
A
C
B
解：（1）因为SB＝BC，E为SC的中点，
Байду номын сангаас
所以BE SC，又DE SC
S
因此SC 平面BDE
E
（2）由SC 平面BDE，得BD SC
D
又由SA 平面ABC，得BD SA
A
C
则BD 平面SAC
B
因此CDE为二面角E－BD－C的平面角
由AB BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a
2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节，计算一般是放在三角形中，因 此，“化归”思想很重要.
作业：
1.四棱锥P-ABCD的底面 P
是边长为4的正方形，
PD⊥面ABCD，PD=6，
C
M,N是PB,AB的中点，求
二面角M－DN－C的平 D
面角的正切值？
2.如图，在平面角为600的二面
角 -l-内有一点P，过P作PC P
2BM MN
3
则BMN arccos 6 . 3
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.
C1
B1
D1
法向量法求二面角课件-2025届高三数学一轮复习
∵平面， ⊂ 平面，则.
平面，、 ⊂ 平面，则, .
∴ 以为原点，为x轴，以过点与平行的直线为轴，为轴 . 建立
空间直角坐标系.
1、建立坐标系
所以 0,0,0 , 0,0,1 , 1,1,0 , 1,0,0 ,
| ∙ |
1
1
3、利用数量积
所以： = | , | =
=
=
2∙ 2 2
所以二面角 − −
的大小为
3
4、判断角大小
变式训练，构建模型
2、如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，
A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，O1O⊥底
n1，
n2
n1，
n2
l
cos
n1，
n2
n1，
n2
l
cos n1, n2 cos
cos n , n
1
2
总结:解题时我们只需观察图形是二面角是锐角还是钝角，
再根据所求法向量夹角的余弦值下结论即可！
法向量法求二面角的步骤：
1、建立坐标系，两两互垂直
面ABCD. 求二面角B－A1C－D的余弦值.
解
因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又
O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直.
如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角
坐标系.
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，
所以 OB＝ 3，OC＝1，
平面，、 ⊂ 平面，则, .
∴ 以为原点，为x轴，以过点与平行的直线为轴，为轴 . 建立
空间直角坐标系.
1、建立坐标系
所以 0,0,0 , 0,0,1 , 1,1,0 , 1,0,0 ,
| ∙ |
1
1
3、利用数量积
所以： = | , | =
=
=
2∙ 2 2
所以二面角 − −
的大小为
3
4、判断角大小
变式训练，构建模型
2、如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，
A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，O1O⊥底
n1，
n2
n1，
n2
l
cos
n1，
n2
n1，
n2
l
cos n1, n2 cos
cos n , n
1
2
总结:解题时我们只需观察图形是二面角是锐角还是钝角，
再根据所求法向量夹角的余弦值下结论即可！
法向量法求二面角的步骤：
1、建立坐标系，两两互垂直
面ABCD. 求二面角B－A1C－D的余弦值.
解
因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又
O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直.
如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角
坐标系.
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，
所以 OB＝ 3，OC＝1，
高一数学二面角的求法课件
A
A O
l
O
10
B
B
二面角的平面角的作法：——
1、定义法
D1
A
C1
B1
O
A1 D A
B
C O B
例1.在正方体ABCD A1B1C1D1中, 试找出D1 AC D的平面角 , 求它的正切
二面角的计算步骤：
1、作出二面角的平面角
2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
O
B’
A
2.垂线法构造了对应的直 角三角形
作下面二面角的平面角
A D’ A’ B’ O C’
B
E
O
D C
D
C
二面角A--BC--D
A B 二面角B--B’C--A
例4.在正三棱柱 ABC A1B1C1中AC 1, AA A A1B C的正切 1 2, 连接A 1 B, A 1C , 求二面角
一“作”二“证”三“算”
例2.已知ABCD是边长为 2的正方形, PA 面AC且AP 1, 求二面角B C称性
A E D
B
C
二面角的平面角的作法：—— D1 A1 D A O B B1 C
1、定义法
C1
例1.在正方体ABCD A1B1C1D1中, 试找出D1 AC D的平面角 , 求它的正切
二面角的平面角的作法：——2、垂面法
P F P
l
F
l
O
E
O
E
例3.已知二面角 l , P为此二面角内一点 , 若PE垂直于E , PF垂直于F , 且PE 3, PF 4, EF 13, 求此二面角的大小
高中新课标数学-二面角课件
设平面的一个法向量为 = (1 , 1 , 1 ),
则ቐ
∙ = 1 = 0
∙ = 1 + 1 = 0
,
取1 =1，可得1 = −1, 1 = 0,此时 = (−1,0,1),
平面角的正切值.
分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射
影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.
解:∵PC⊥平面ABC,
∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性
质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E点,连接BE,据三垂线定理,则
2
2√3
√2
=
√2
a,
4
= √6.
故二面角 B-PA-C 的平面角的正切值为√6.
归纳总结
1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三
角形的方法来求解.
2.二面角的定义求法主要有:
(1)由定义作出二面角的平面角;
(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;
(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是
解:以题意，, , 1 两两相互垂直。
以C为原点, ，， 1 的方向分别为轴, 轴, 轴正方向，
建立如图所示直角坐标系，则： C 0,0,0 , 0,1,0 , D(1,0,1) 1 (1,1,1)
所以=(0,1,0), =(1,0,1) , 1 =(-1,0,1) , 1 =(0,-1,2) ,
人教2019B版 选择性必修 第一册
第一章
空间向量与立体几何
1.2.4 二 面 角（1）
学习目标
1.掌握二面角的概念
2.理解二面角的平面角的含义
则ቐ
∙ = 1 = 0
∙ = 1 + 1 = 0
,
取1 =1，可得1 = −1, 1 = 0,此时 = (−1,0,1),
平面角的正切值.
分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射
影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.
解:∵PC⊥平面ABC,
∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性
质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E点,连接BE,据三垂线定理,则
2
2√3
√2
=
√2
a,
4
= √6.
故二面角 B-PA-C 的平面角的正切值为√6.
归纳总结
1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三
角形的方法来求解.
2.二面角的定义求法主要有:
(1)由定义作出二面角的平面角;
(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;
(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是
解:以题意，, , 1 两两相互垂直。
以C为原点, ，， 1 的方向分别为轴, 轴, 轴正方向，
建立如图所示直角坐标系，则： C 0,0,0 , 0,1,0 , D(1,0,1) 1 (1,1,1)
所以=(0,1,0), =(1,0,1) , 1 =(-1,0,1) , 1 =(0,-1,2) ,
人教2019B版 选择性必修 第一册
第一章
空间向量与立体几何
1.2.4 二 面 角（1）
学习目标
1.掌握二面角的概念
2.理解二面角的平面角的含义
二面角2
表示法
6
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的大小用它的平面角来度量
∠A O B
B B1
？
l
O1
∠A1O1B1
平面角是直角的二 面角叫做直二面角
A1
O
9
A
以二面角的棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。
A B 二面角B--B’C--A A
B 二面角A--BC--D
14
E
O
D C
二面角的平面角的作法：
1、定义法 A
根据定义作出来
O
l
B
2、垂面法
作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到Leabharlann lOB
γ
A
A
3、三垂线定理法
或
12
借助三垂线定理 其逆定理作出来
D
O
l
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角
高中数学多媒体课件
福安二中 李忠兰
空间两个平面
二 面 角
1
一条直线上的一个点把这条直线分成两 个部分，其中的每一部分都叫做射线。
l
一个平面内的一条直线把这个平面分成 两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
2
B
A
O
A
B
从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小
二面角课件
作法:B1B 面ABC, 作B1O AC, 连BO
由三垂线定理得, 二面角B1 AC B的平面角 B1OB
A1
B1
D
C
O
A B
自主总结
二面角的定义、画法、表示、 今天学了什么？ 找二面角的平面角：定义法、三垂线法
角类比到二面角 它如何得到？ 具体上升到抽象
用定义法和三垂线法 它又有何用？ 求作二面角的平面角 以度量二面角的大小
适应性练习
判断下列哪些是二面角的平面角 （并请说出原因）
l
B
√
B
A
×
l
× ×
A
×
l
√
l
方法训练
1.求作水平面与拦洪坝平面所成二面角的平面角
B A
作二面角的平面角
问题1:棱l与平面ABO垂直吗 ? 为什么?
A
l
l AB且l OB l 面ABO
问题2:已知AO , OB 棱l 求证:ABO是二面角a, 则AO 2a
即二面角的度数是30
sin AOB a 1 AOB 3O 2a 2
l
a
O
?
解
B
题后记:
作
证
点
解 Rt
三垂线法作证二面角的平面角 找二面角的平面角
实践体验
3.如图正方体 ABCD A1B1C1D1
(1)求作侧面D1C与底面AC所成二面角的平面角 (2)求作对角面A1 ACC1与底面AC所成二面角的平面角
PDA
A
D
C
B
由三垂线定理得, 二面角B1 AC B的平面角 B1OB
A1
B1
D
C
O
A B
自主总结
二面角的定义、画法、表示、 今天学了什么？ 找二面角的平面角：定义法、三垂线法
角类比到二面角 它如何得到？ 具体上升到抽象
用定义法和三垂线法 它又有何用？ 求作二面角的平面角 以度量二面角的大小
适应性练习
判断下列哪些是二面角的平面角 （并请说出原因）
l
B
√
B
A
×
l
× ×
A
×
l
√
l
方法训练
1.求作水平面与拦洪坝平面所成二面角的平面角
B A
作二面角的平面角
问题1:棱l与平面ABO垂直吗 ? 为什么?
A
l
l AB且l OB l 面ABO
问题2:已知AO , OB 棱l 求证:ABO是二面角a, 则AO 2a
即二面角的度数是30
sin AOB a 1 AOB 3O 2a 2
l
a
O
?
解
B
题后记:
作
证
点
解 Rt
三垂线法作证二面角的平面角 找二面角的平面角
实践体验
3.如图正方体 ABCD A1B1C1D1
(1)求作侧面D1C与底面AC所成二面角的平面角 (2)求作对角面A1 ACC1与底面AC所成二面角的平面角
PDA
A
D
C
B
新教材高中数学1.2.4二面角课件新人教B版选择性必修第一册
(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;
(2)若 PQ∥平面 ABB1A1,二面角 P-QD-A 的
3
余弦值为7,求四面体 ADPQ 的体积.
【规范答题】
(1)证明 由题设知,AA1,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直
线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标
面角的平面角)为23°26'.黄道面与天球相交的大圆称为“黄道”.黄道及其附
近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置
常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,
称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起,每30°
便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、狮子座、
双子座等等,这便是星座的由来.
知识点拨
1.二面角及其度量
微思考
两个平面相交时,它们所成角的取值范围是什么?
提示 (0°,90°]
微练习
(1)如图,AB是圆的直径,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圆上一点(不同于A,B),且
PA=AC,则二面角P-BC-A的平面角为(
A.∠PAC
B.∠CPA
C.∠PCA
D.∠CAB
)
答案 C
解析 ∵C是圆上一点(不同于A,B),AB是圆的直径,
|1 ·2 |
= |1 ||2 | 成立.
|1 ·2 |
名师点析利用公式cos<n1,n2>=
(n1,n2分别为两平面的法向量)进行
|1 ||2 |
求解,注意<n1,n2>与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行
判断.
如图②④中<n1,n2>就是二面角α-l-β的平面角的补角;如图①③中<n1,n2>
(2)若 PQ∥平面 ABB1A1,二面角 P-QD-A 的
3
余弦值为7,求四面体 ADPQ 的体积.
【规范答题】
(1)证明 由题设知,AA1,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直
线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标
面角的平面角)为23°26'.黄道面与天球相交的大圆称为“黄道”.黄道及其附
近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置
常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,
称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起,每30°
便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、狮子座、
双子座等等,这便是星座的由来.
知识点拨
1.二面角及其度量
微思考
两个平面相交时,它们所成角的取值范围是什么?
提示 (0°,90°]
微练习
(1)如图,AB是圆的直径,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圆上一点(不同于A,B),且
PA=AC,则二面角P-BC-A的平面角为(
A.∠PAC
B.∠CPA
C.∠PCA
D.∠CAB
)
答案 C
解析 ∵C是圆上一点(不同于A,B),AB是圆的直径,
|1 ·2 |
= |1 ||2 | 成立.
|1 ·2 |
名师点析利用公式cos<n1,n2>=
(n1,n2分别为两平面的法向量)进行
|1 ||2 |
求解,注意<n1,n2>与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行
判断.
如图②④中<n1,n2>就是二面角α-l-β的平面角的补角;如图①③中<n1,n2>
二面角(1)
BC OB 2 2
二面角
例3．如图P 为二面角 l 内一点，PA⊥,PB⊥, 且PA=5，PB=8，AB =7，求这二面角的度数。
解： 设过PA、PB 的平面PAB
与棱l 交于O 点 B ∵PA⊥ ∴PA⊥ l ∵PB⊥ ∴PB⊥ l lO ∴ l ⊥平面PAB ∴∠AOB为二面角 l 的平面角 又∵PA=5，PB=8，AB=7
二面角
2、作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上
—定义法
②、点P在一个半平面上 —三垂线(逆)定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
A B P A
B P
l
P
B
l
O
l
A
二面角
例1.如图,已知P是二面角 AB 棱上一点，过 P 分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=600， ∠BPM =∠BPN =450，求此二面角的度数。 ①在PB上取不同于P 的一点O， C 解： M 在内过O作OC⊥AB交PM 于C， 在 内作OD⊥AB交PN于D， A P O B 连结CD，可得： D N ② ∠COD是二面角 AB 的平面角 ③设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º ∴CO=a，DO=a， PC 2 a ， PD 2 a 又∵∠MPN=60º
二面角
二、二面角的平面角
1、定义
以二面角的棱上任意一点为端 点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角
Pl P1 A
B B1
A1
二面角的大小用它的平面角的大小来度量 ∠APB= ∠A1P1B1 二面角的平面角必须满足： 注意: 1）角的顶点在棱上 (与顶点位置无关) 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱 二面角的平面角的范围: 0180
二面角
例3．如图P 为二面角 l 内一点，PA⊥,PB⊥, 且PA=5，PB=8，AB =7，求这二面角的度数。
解： 设过PA、PB 的平面PAB
与棱l 交于O 点 B ∵PA⊥ ∴PA⊥ l ∵PB⊥ ∴PB⊥ l lO ∴ l ⊥平面PAB ∴∠AOB为二面角 l 的平面角 又∵PA=5，PB=8，AB=7
二面角
2、作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上
—定义法
②、点P在一个半平面上 —三垂线(逆)定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
A B P A
B P
l
P
B
l
O
l
A
二面角
例1.如图,已知P是二面角 AB 棱上一点，过 P 分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=600， ∠BPM =∠BPN =450，求此二面角的度数。 ①在PB上取不同于P 的一点O， C 解： M 在内过O作OC⊥AB交PM 于C， 在 内作OD⊥AB交PN于D， A P O B 连结CD，可得： D N ② ∠COD是二面角 AB 的平面角 ③设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º ∴CO=a，DO=a， PC 2 a ， PD 2 a 又∵∠MPN=60º
二面角
二、二面角的平面角
1、定义
以二面角的棱上任意一点为端 点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角
Pl P1 A
B B1
A1
二面角的大小用它的平面角的大小来度量 ∠APB= ∠A1P1B1 二面角的平面角必须满足： 注意: 1）角的顶点在棱上 (与顶点位置无关) 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱 二面角的平面角的范围: 0180
二面角(第1课时)课件1
D1 A1 C1 B1
D A B
C
变.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中： 求二面角A1－BD－A大小的正切值。
D1 C1 B1
A1°的二面角的棱上 有两个点 A 、 B ， AC 、 BD 分别是在这 个二面角的两个面内，且垂直于AB 的 线段，又知AB＝4cm，AC＝6cm，BD ＝6cm，求CD的长。
C
A
E D
B
• 变：⑴如图二面角α－l－β中，CA⊥l于A， BD⊥l于B，又知AB＝4cm，AC＝6cm，BD ＝6cm，CD＝ 2 13cm ，求二面角α－l－β 的大小。 •⑵如图在60°的二面角α－l－β中CA⊥l于A， BD⊥l于B，又知AC＝6cm，BD＝6cm， CD＝2 13cm ，求CD在棱l上的射影AB的长。
• 小结：从上面四题练习，我们可以总结三种作二 面角的平面角的一般方法． • 1．定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射 线所成的角即二面角的平面角(如练习1，3) • 2．应用三垂线（逆）定理法：在二面角α—l—β 的面α上取一点A，作AB⊥β于B，BC⊥l于C， 则∠ACB即为α—l—β的平面角(如练习4) • 3．作垂面法：作棱的垂面，则它和二面角的两 个面的交线所成的角就是二面角的平面角(如练 习2)
P47练习 1.房间里相邻的两面墙及地面可以构成几个二 面角？分别指出这些二面角的面、棱、平面角. 3.如图，α、β、γ为平 面,α∩β=l,α∩γ=a, β∩γ=b,l⊥γ,指出图 中哪个角是二面角 α－l－β的平面角？
a l b
P43例1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中： ⑴求二面角D1－AB－D的大小； ⑵求二面角A1－AB－D的大小.
D A B
C
变.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中： 求二面角A1－BD－A大小的正切值。
D1 C1 B1
A1°的二面角的棱上 有两个点 A 、 B ， AC 、 BD 分别是在这 个二面角的两个面内，且垂直于AB 的 线段，又知AB＝4cm，AC＝6cm，BD ＝6cm，求CD的长。
C
A
E D
B
• 变：⑴如图二面角α－l－β中，CA⊥l于A， BD⊥l于B，又知AB＝4cm，AC＝6cm，BD ＝6cm，CD＝ 2 13cm ，求二面角α－l－β 的大小。 •⑵如图在60°的二面角α－l－β中CA⊥l于A， BD⊥l于B，又知AC＝6cm，BD＝6cm， CD＝2 13cm ，求CD在棱l上的射影AB的长。
• 小结：从上面四题练习，我们可以总结三种作二 面角的平面角的一般方法． • 1．定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射 线所成的角即二面角的平面角(如练习1，3) • 2．应用三垂线（逆）定理法：在二面角α—l—β 的面α上取一点A，作AB⊥β于B，BC⊥l于C， 则∠ACB即为α—l—β的平面角(如练习4) • 3．作垂面法：作棱的垂面，则它和二面角的两 个面的交线所成的角就是二面角的平面角(如练 习2)
P47练习 1.房间里相邻的两面墙及地面可以构成几个二 面角？分别指出这些二面角的面、棱、平面角. 3.如图，α、β、γ为平 面,α∩β=l,α∩γ=a, β∩γ=b,l⊥γ,指出图 中哪个角是二面角 α－l－β的平面角？
a l b
P43例1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中： ⑴求二面角D1－AB－D的大小； ⑵求二面角A1－AB－D的大小.