八年级(上册)勾股定理复习资料全
勾股定理(知识归纳+题型突破)(原卷版)-2023-2024学年八年级数学上册单元速记巧练
勾股定理（知识归纳+题型突破）1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.四、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．题型一用勾股定理理解三角形【例1】若一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边长是（）A ．6B ．7C ．8D ．101.在直角ABC 中，∠B=90°，3AB =，4AC =，则BC 的长为（）A ．5B ．7C ．5或7D ．5或32．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2BC =，则222AC AB BC ++的值为（）A ．8B ．2C ．4D ．223．已知直角三角形的两边长分别为5和12，则斜边长是4．如图所示，已知ABC 中，6AB =，9AC =，AD BC ⊥于D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于．题型二勾股数【例2】下列各组数中，是勾股数的是（）A ．0.3，0.4，0.5B ．3，7，4C ．52，6，132D ．9，40，411．下列各组数，是勾股数的一组是（）A ．8，15，17B ．13，14，15C ．3，5，7D ．2，34，542．《九章算术》提供了许多勾股数如()3,4,5，()5,12,13等一组勾股数最大的数称为“弦数”．经研究，若m 是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m 与这两个数组成勾股数，若m 是大于1的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，那么m 与这两个数组成勾股数，根据上面的规律，由10生成的勾股数的“弦数”是（）A ．16B ．24C ．26D ．32题型三勾股定理的逆定理【例3】a ，b ，c 是ABC 的A ∠，B ∠，C ∠的对边，下列条件中，能判断是直角三角形的有（）①222+=a b c ②222a b c =-③A B ∠∠=︒+90④123AB C ∠∠∠=∶∶∶∶A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个1.在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题中为假命题的是（）A ．如果C AB ∠=∠+∠，则ABC 是直角三角形B ．如果()()2b c a c a =+-，则ABC 是直角三角形C ．如果222a c b -=．则ABC 是直角三角形，且90C ∠=︒D ．若523A B C =∠∶∠∶∠∶∶，则ABC 是直角三角形．2．下列由三条线段a 、b 、c 构成的三角形：①2a mn =，22b m n =-，()220c m n m n =+>>，②21a n =+，2221b n n =++，()2220c n n n =+>，③3a k =，4b k =，()50c k k =>，④::1:3:2a b c =，其中能构成直角三角形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型四勾股定理的逆定理的实际应用【例4】．ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且满足2268250a b a b +--+=，5c =，则ABC 的形状是．如图，某住宅小区在施工后留下了一块空地，已知4=AD 米，3CD =米，13AB =米，12BC =米，90ADC ∠=︒，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪．若草坪每平方米30元，则用该草坪铺满这块空地需花费多少元？巩固训练：1．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量903m 4m 12m 13m A AB DA BC CD ∠=︒====，，，，．(1)求出空地ABCD 的面积．(2)若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？题型五勾股定理与无理数的表示A ．7B ．8C ．9D ．101．如图，OA OB =，(1)写出数轴上点A 表示的数；(2)比较点A 表示的数与 1.5-的大小；(3)在数轴上作出5所对应的点．2．如图，在数轴上以1个单位长度画一个正方形，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点为B ，且点B 表示的是一个无理数，因此我们得出一个结论．(1)点B 表示的数为_________；得出的结论是：_________与数轴上的点是一一对应的．(2)若将图中数轴上标的A ，C ，D 各点与所给的三个实数5，3和π-对应起来，则点A 表示的实数为_________，点C 表示的实数为_________，点D 表示的实数为_________．题型六网格问题【例6】．如图，在44⨯的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点都在格点上，则ABC 是三角形．1．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是ABC 的高，则BD 的长为（）A ．101313B ．191313C ．181313D ．713132．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得ABC ，则AC 边上的高长度为（）A ．355B ．3510C ．55D ．5103．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．(1)在图1中以格点A 为顶点画一个面积为5的正方形ABCD ；(2)①在图2中以格点E 为顶点画一个EFG ，使得2EF =，32EG =，25FG =；②求出EFG 的面积．题型七利用勾股定理证明平方关系【例7】．在ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对应边分别是a 、b 、c ，若90A C ∠+∠=︒，则下列等式中成立的是（）A ．222+=a b cB ．222b c a +=C ．222a c b +=D ．222c a b -=1．如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，点A 向上平移后到A '，得到A BC ' ．下面说法错误的是（）A ．ABC 的内角和仍为180︒B ．BAC BAC '∠<∠C ．222AB AC BC +=D ．222A B A C BC ''+<2．如图，在ABC 中，AB AC >，AH BC ⊥于H ，M 为AH 上异于A 的一点，比较AB AC -与MB MC -的大小，则AB AC -（）MB MC -．A ．大于B ．等于C ．小于D ．大小关系不确定题型八、九、十一以直角三角形三边的面积问题、勾股树、以弘图为背景的计算题【例8】．如图是一株美丽的勾股树，图中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A ，B 的面积分别为5，3，则正方形C 的面积是．【例9】．“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（）A ．31B ．63C ．65D ．67【例10】．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为123S S S 、、．若12318S S S ++=，则2S 的值是（）1．如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，分别以AB BC CD DA ，，，为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S 甲，S 乙，S 丙，S 丁来表示它们的面积，则S S +甲乙S S +丙丁（填＞，＜或＝）．2．毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是2，3，1，2，则正方形G 的边长是（）A ．8B ．22C ．32D ．5A ．125B ．6C ．5D ．1543．如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，就变成了如图所示的形状，若继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A ．2024B ．2023C ．2022D ．14．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（）A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④5．如图，在四边形ABDE 中，AB DE ∥，AB BD ⊥，点C 是边BD 上一点，BC DE a ==，CD AB b ==．AC CE c ==．下列结论；①ABC CDE △≌△；②90ACE ∠=︒；③四边形ABDE 的面积是()2212a b +；④()2221112222a b c ab +-=⨯；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．26．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为1S ，图2中空白部分的面积为2S ，则下列对1S ，2S 所列等式不正确的是（）A ．2212S a b ab =++B ．22S c ab =+C ．12S S =D ．222+=a b c 7．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（）A ．B ．C ．D ．题型十一勾股定理的实际应用题【例11】．如图，A ，C 之间隔有一湖，在与AC 方向成90︒角的CB 方向上的点B 处测得500m AB =，400m BC =，则AC 的长为（）A ．300mB ．400mC ．500mD ．600m巩固训练：1．海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m 处折断，倒下后树顶端着地点A 距树底端B 的距离为12m ，这棵大树在折断前的高度为（）A ．10mB ．15mC ．18mD ．20m2．如图，圆柱的底面周长为6，高为4，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A 爬到点B 的最短路程是（）A ．213B ．5C ．13D ．103．将一根长为17cm 的筷子，置于内径为6cm 高为8cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为x cm ，则x 的取值范围是（）A ．68x ≤≤B ．79x ≤≤C ．810x ≤≤D ．911x ≤≤4．一棵高10m 的大树倒在了高8m 的墙上，大树的顶端正好落在墙的最高处，如果随着大树的顶端沿着墙面向下滑动，请回答下列各题．(1)如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了2m ，那么大树的另一端点是否也左滑动了2m ？说明理由．(2)如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了m a ，那么大树的另一端点是否也左滑动了m a ？说明理由．5．如图，圆柱形玻璃杯高为16cm ，底面周长为40cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 且与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为（）cm ．（杯壁厚度不计）A ．20B ．25C ．30D ．406．为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路MN 的一侧点A 处有一村庄，村庄到公路MN 的距离为600m ，假使宣讲车P 周围1000m 以内能听到广播宣传，宣讲车P 在公路MN 上沿PN 方向行驶．(1)村庄能否听到广播宣传?请说明理由．(2)已知宣讲车的速度是200m /min ，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间?7．在海平面上有A ，B ，C 三个标记点，其中A 在C 的北偏西54︒方向上，与C 的距离是800海里，B 在C 的南偏西36︒方向上，与C 的距离是600海里．(1)求点A 与点B 之间的距离；(2)若在点C 处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B 处有一艘轮船准备沿直线向点A 处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A 处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．题型十二勾股定理的折叠问题【例12】．如图所示，在ABC 中，∠B=90°，3AB =，5AC =，将ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则ABE 的周长是（）A ．7B ．7.5C ．8D ．73+1．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5cm AB =，3cm BC =，D 为AC 上的一点，将BCD △沿BD 折叠，使点C 恰好落在AB 上的点E 处，求AD 的长．2．如图，将一张正方形纸片ABCD 对折，使CD 与AB 重合，得到折痕MN 后展开，E 为CN 上一点，将CDE 沿DE 所在的直线折叠，使得点C 落在折痕MN 上的点F 处，连接AF ．若2AB =，则CE 的长度为（）A ．423-B ．23-C ．12D ．31-题型十三勾股定理的解答证明题【例13】．如图，已知在ABC 中，CD AB ⊥于点D ，20AC =，15BC =，9DB =．(1)求AD 的长；(2)求证：ABC 是直角三角形．1．如图,AC 是四边形ABCD 的对角线,25456890.AB BC AD CD B ====∠=︒，，，，(1)试判断ADC △的形状，并说明理由；(2)求四边形ABCD 的面积.2．在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D ，E 是边AB 上两点，45DCE ∠=︒．(1)求证：222AD BE DE +=；(2)若2EB AD =，求DE AD的值．3．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a 、()b a b <，斜边长为c ．(1)结合图①，求证：222+=a b c .(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH ．若该图形的周长为24，3OB =．求该图形的面积．4．如图，ABC 的周长为425+，其中4AB =，53BC =-．(1)AC =______；(2)判断ABC 是否为直角三角形，并说明理由．(3)过点A 作AE AB ⊥，22AE =，在AB 上取一点D ，使得DB DE =，求AD 的长度．5．阅读材料：一般地，设平面上任意两点()11,A x y 和()22,B x y ，可以用AB 表示,A B 两点之间的距离，那么该如何计算AB 呢？作AA x '⊥轴、作BB x '⊥轴，垂足分别是点A B ''、；作AA y ''⊥轴，垂足为点A ''、作BB y ''⊥轴，垂足为点B ''，且与AA '交于点C ，则四边形BB A C ACB A ''''''、是矩形．∵2121,BC x x AC y y =-=-∴()()222222121||||||AB AC BC x x y y =+=-+-，∴()()222121AB x x y y =-+-．这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式．如：点()1,4A 和点()5,2B 之间的距离22(51)(24)2025AB =-+-==．(1)请运用公式计算点()4,2M 和点()2,1N -之间的距离；(2)在（1）的条件下，点O 为原点，求MNO 的周长．。
数学八年级上册知识点第一章
数学八年级上册知识点第一章数学八年级上册知识点第一章1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。
勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
3.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。
4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲：练习：例1：若一个直角三角形三边的.长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.解析：第一种情况：当直角边为3和4时，则斜边为5第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，以下说法正确的是( )A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择C数学学习方法诀窍1细心地发掘概念和公式很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。
例如，在代数式的概念(用字母或数字表示的式子是代数式)中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式〞。
二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。
这样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。
三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。
记忆是理解的基础。
如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢?我们的建议是：更细心一点(观察特例)，更深入一点(了解它在题目中的常见考点)，更熟练一点(无论它以什么面目出现，我们都能够应用自如)。
第3章 勾股定理(小结与思考)(复习课件)八年级数学上册(苏科版)
解:∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第
三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．∴第六代勾股树中正方形有
1+2+22+23+24+25+26=127（个）.
巩固练习
4.（2021·四川）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的
2
∵ S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= b + ab，
2
S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= c + a(b-a)，
2
b + ab= c2+ a(b-a).
∴
∴ a2+b2=c2.
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，
勾股定理的简单应用
解决简单的实际问题
求几何体表面上两点间的最短距离
考点分析
考点一
勾股定理的验证
例1 如图，以Rt△ABC的三条边为直径的半圆的面积分别为S1、S2、S3，
已知S1=9，S3=25，求S2.
解:由图形可得
2
2
S1= π( ) =
，S2= π( ) =
c
a
b
a
c b
a
b
b
c
a
c
4个小直角三角形的面积=4× ab=2ab，
∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，
19.9勾股定理(第1课时)(教材配套课件)-2024-2025学年八年级数学上册精品教学(沪教版)
练习2
a2+b2=c2
在Rt⊿ABC中，∠C=90°
（1）已知a=8，c=17, 求b=_15___
（2）已知b=5，c=13， 求a=_1_2__
练习3
1. 求下列图中字母所代表的正方形的面积
A =92 32
60
81 B =144
225
课堂小结
1．学习内容方面： 勾股定理及其公式应用；
2．数学思想方面： 数形结合、特殊到一般、面积法。
3.情感方面： 中国人有智慧，数学很有用，数学很美。
“ THANKS ”
八年级上册数学沪教版
第 19 章 几何证明
19.9勾股定理（第1课时）
学习目标
1．体验勾股定理的探索过程,掌握勾股定理并能简单 运用
2．经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学过程，体会 数形结合的数学思想和由特殊到一般的研究问题方 法.
3．了解中国古代在勾股定理方面的成就，知道勾股 定理在人类重大科技发现中的地位.
S3 c a S1
a
S2
问题3：一般直角三角形的三边是否也 具有这样的数量关系呢？
F
A
H
E
cb
B aC
G
N
M
能否用四个全等的一般直角三角形拼 成一个大正方形呢?（不能重叠，可以 有空隙）
勾股定理
在直角三角形中， 两条直角边的平方和等于斜边的平方
数学表达式： ∵ 在Rt△ABC中，∠C = 90°
问题1 定理：在在直直角角三三角角形形中中，，斜斜边边与大两于条直直角边
角边之间有怎样的大小关系？为什么？
A
C
B
线段AC是点A到BC的垂线段， 线段AB是点A到BC的斜线段，
(完整)八年级数学上册知识点复习总结(北师大版),推荐文档
北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习与小结课件
P
M
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
典例3 如图,长方形 ABCD 中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点 D与点B
重合,折痕为 EF,求△ABE 的面积。
A
B
E
D
F
C
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
A
解析：折叠问题中，要找到折叠前
后相等的线段或角，注意这些线段
与其他线段的关系，再利用勾股定
D. 若、、是的△ABC的三边，且 − = ，则∠A=90°
第一章 勾股定理
基础训练
第一章 勾股定理
2. 如图是商场的台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是20cm，每级台
阶的高度都是15cm，则连接AB的线段长为（ B ）
A. 100cm
B. 150cm
C. 200cm
D. 250cm
解：(1)供水站P的位置如图所示.
(2)过B作BM⊥，过A’作A’M⊥BM于M.
B
A
由已知可得A’M=8，BM=2+4=6.
在Rt△AMB中，
A’B2=AM2+BM2=82+62=100
解得A’B=10
5000×10+50000=100000.
故供水站修建完成后共计要花100000元.
∙∙
A’
∙
是直角三角形.
知识梳理
第一章 勾股定理
内容：直角三角形两
直角边的平方和等于
斜边的平方.
探索勾
股定理
表达式：用
和分别表示直角三
角形的两直角边和斜
边，那么
验证方法：面积法
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)
cbaD CAB第一章 勾股定理知识点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长 发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。
知识点二：验证勾股定理知识点三：勾股定理证明（等面积法）例1。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：例2。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：知识点四：勾股定理简单应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c bbbbccccaaaabbb ba accaaACBDAB如果三角形的三边长为c b a ,,，满足222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 与22a b +，并验证是否相等。
若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。
若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。
1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 知识点六：勾股数（1）满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数． （3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不可能的是（ ）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,15 1. 若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7知识点七：确定最短路线1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm, 有一只甲虫从A 出发，沿表面爬到C '，最近距离是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .知识点八：逆定理判断垂直1．在△ABC 中，已知AB 2－BC 2＝CA 2，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定． 2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )ABCD A 'B 'C 'D 'BC5米3米1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2+ n 2, m 2– n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25B.14C.7D.7或253.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为 （ ）A 、10B 、11C 、12D 、139.如图、山坡AB 的高BC =5m ，水平距离AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A 、19棵B 、20棵C 、21棵D 、22棵10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2a +2b +2c 的值是 （ ）A 、6B 、8C 、10D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）Ａ、9，12，15 B 、45，1，43C 、0.2，0.3，0.4D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ． A815.在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝ ．6.△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，则高AD= ，S △ABC = 。
八年级数学上册知识点：勾股定理
八年级数学上册知识点：勾股定理八年级数学上册知识点：勾股定理一、勾股定理：1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
２.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：（1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；（2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
4.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
二、勾股定理的逆定理1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。
三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.四、一个重要结论：由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。
五、勾股定理及其逆定理的应用解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。
常见考法（1）直接考查勾股定理及其逆定理；（2）应用勾股定理建立方程；（3）实际问题中应用勾股定理及其逆定理。
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八年级上册学生辅导材料－－勾股定理
1、 勾股定理：
几何语言： 如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90° 根据勾股定理：2
2
2
c b a =+
1、在直角三角形中,若两直角边的长分别为3cm ，4cm ，则斜边长为_________ 斜边上的中线长为_____________，斜边上的高长为_________________
2、在Rt △ＡＢＣ中， ＡＢ＝c ， ＢＣ＝a ， AC ＝b ，，∠C=90°，（要求画出草图） ①已知a=5，b=12，求c ？ ②已知a=15，c=25，求b ？ ③若a ∶b=3∶4，c=10求ABC
S ∆？
3、如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆， 求地面钢缆固定点A 到电杆底部B 的距离．
4、一直角三角形的三边分别为2、3、x ，那么以x 为边长的正方形的面积为 （ ） A 、13 B 、5 C 、13或5 D 、无法确定
5、下图由４个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为1cm ，求第4个直角三角形斜边长 度是 cm 练习：
6、正方形的面积是4，则它的对角线长是（ ） A 、2 B 、2 C 、22 D 、4
7、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（ ） A 、6 B 、6 C 、5 D 、4
8、如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部 抵着地面，此时，顶部距底部有 m ；
9、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD ，AB=60m,BC=84m,
AE=100m,•则这条小路的面积是多少?
10、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 处有一可疑船只正在向向8km 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？
2、勾股定理的逆定理：______________________________________________________________.
判断一个三角形是否为直角三角形
方法：（1）先确定最大边（如c ） （2）验证2
c 与2
2
b a +是否具有相等关系
（3）若2
c =2
2
b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2
c ≠2
2
b a + 则△ABC 不是直角三角形。
勾股数： 满足2
2
b a +=2
c 的三个正整数，称为勾股数。
如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41
11、如图，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形： 从点A
出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点上，且长度分别为 （1）
3
2；
（2）25； (3) 10 (4)13
12. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２， ＢＣ＝４， ＡＣ＝23， ∠C ＝３０°， 求∠B 的大小．
13. 如图，AD ⊥CD ， ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３， 已知∠C ＡＢ＝α，求∠B ．
14、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图，请问这个零件符合要求吗？
8km
C
A
B 6km
A B
C
D
15、如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC, △ADC的面积为30，
DC=12,AB=3,BC=4,求△ABC的面积
练习
1. 若直角三角形的三边长分别为2、4、x，试求出x的所有可能值．
2.如图，已知CD＝６m，AD＝８m，∠ADC＝９０°，BC＝２４m，ＡＢ＝２６m．求图中阴影部分的面积．
3. 如图，四边形ＡＢＣD中，ＡＢ＝ＢＣ＝２，CD＝３，ＤＡ＝１，且∠B＝９０°，求∠DＡＢ的度数．
4. 有一块四边形地ＡＢＣD（如图），∠B＝９０°，ＡＢ＝４m，ＢＣ＝３m，CD＝１２m，DA＝１３m，求该四边形地的面积．
3、勾股定理的应用：
(一)面积问题：
1.如右图，字母“A”所代表的正方形的面积为________________；
2．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．
3. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A 、 B 、 C 、 D 的面积和=
．
4.如右图, 在Rt △ABC 中，分别以三边为直径向形外作半圆，若三个半圆 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1+S 2与S 3的大小关系是…………( ) A. S 1+S 2﹥S 3 B. S 1+S 2=S 3 C. S 1+S 2﹤S 3 D. 无法确定
5. 如图，已知直角三角形ＡＢＣ的三边分别为6、８、10，分别以它的三 边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积= ．
（二）勾股定理在立体图形中的应用：
例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．（精确到０.０１cm ）
图14.2.1
练习1：一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD 的中点O ，已知底面周长为8,高为6,试求出爬行的最短路程。
（精确到0.1）
题
第3题
第2题
第1题
第4
D
C
B A N O
M
A
M O
N B
2、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于36cm ，10cm 和6cm ，
A 和
B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只小虫子，想到B 点去吃可口的食物。
请你想一想，这只小虫子从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？
例2、一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面
至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？
练习3、如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和
10㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少㎝．(保留1位小数)
（三）方程思想：
一、利用方程求线段长
1.如图，一架长为5米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上， 梯子底端距离墙ON 有3米。
①求梯子顶端与地面的距离OA 的长。
②若梯子顶点A 下滑1米到C 点， 求梯子的底端向右滑到D 的距离。
2.已知等腰直角三角形斜边的长为2cm ，这个三角形的周长是_________
3.Rt△ABC 中，∠ C=90°，若两直角边a,b 满足12,7==+ab b a ， 则=c
4.直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ）
A. 5
B.
C. 7
D.
5.国旗杆的绳子垂到地面时，还多了1m ，拉着绳子下端离开旗杆5m 时，绳子被拉直且下端刚好接触地面，试求旗杆的高为_______．
6.如图一棵大树被台风吹倒，树的顶部落在离树跟底部8米且
（1）发现折断的部分长和没倒下的部分长的比值是5:3，求折断的部分多长？ （2）发现折断的部分比没倒下的部分长4米，求大树未断前的长度？
7.如图，公路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄， DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在公路AB 上 建一车站E ，
（1）若使得C ，D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少km 处？DE 与CE 的位置关系？ （2）若使得C ，D 两村到E 站的距离最短，E 站建在离A 站多少km 处？
二、利用方程解决翻折问题
1. 如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知
cm AB 8=，cm BC 10=，求EC 的长；
A D E
B C
2.如图，在矩形ＡＢＣD 中，ＡＢ＝6cm ，ＡD=10cm,在边CD 上适当选定一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在边ＢＣ上一点F 处。
（1）写出图中相等的线段，看谁写的多！ （2）求线段BF 的长。
（3）试着求线段CE 、EF 的长。
3. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于_________
4.AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？
5.如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向260km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以15km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=100km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时撤离才可脱离危险？
A B
C
D 第13题图。