新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算课件新人教A版必修第一册
4
所以 a =10，所以a=40.
4
3.(教材二次开发：复习巩固改编)
若ln x=2ln a- 1ln b，则x=_______.
3
【解析】因为ln x=2ln a- 1ln b=ln a2
3
，b－13所以x=a2
.－1
b3
答案：a2
=log2
0201
009，1
c
=log2 0202 018，而2×1 009=2 018，
所以 1 1 1 .
abc
【补偿训练】已知2x=5y=t，1 1 =2，则t=
xy
A. 1
B. 1
10
100
C. 10
D.100
【解析】选C.因为2x=5y=t>0，t≠1，
所以 x＝ ln t ，y＝ ln t .
(2)log3
27 log3 27 9 log39
.
(
)
(3) log416
log4 2
=log216.
()
提示：(1)×.lg(xy)=lg x+lg y.
(2)×.log3 =297log327-log39. (3)√.逆用换底公式可得.
2.若lg a-2lg 2=1，则a=
()
A.4 B.10 C.20 D.40
【解析】1.选A.lg ( 1=)l2g 10-4=-4.
100
2.原式=logm(xyz2
1 2
)=logm
x+logm
y2+lozg12m
=logm
x+2logm
y1-
2
logm
z=a+21b-
2
c.
答案：a+2b-1 c
2
3.lg22+lg 2·lg 5+lg 5=lg 2·(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=1.
【跟踪训练】
根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，
目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与 M 最接近的是
N
()
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
10
100
1 000
10 000
课堂检测·素养达标
33
D. 10
3
4.log23·log35·log516=_______. 【解析】原式= lg 3 lg 5 lg 16＝lg 16＝4lg 2＝4.
lg 2 lg 3 lg 5 lg 2 lg 2
答案：4
5. lg 3＋2lg 2－1=_______.
lg 1.2
【解析】lg 3＋2lg 2－1＝lg 3＋lg 22－1＝lg 12－1
答案：1
【解题策略】 利用对数运算性质化简求值 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用； (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用； (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2+lg 5=1，进行计算或 化简.
【补偿训练】若lg x-lg y=a，则 lg ( x )3－lg( y)3 = ( )
D. 1 2 1 ab2
【思路导引】1.利用换底公式将log26换成常用对数后用a，b表示；
2.换成常用对数约分求m值；
3.利用指对互化表示出a，b后验证等式是否成立.
【解析】1.选C.因为a=lg 2，b=lg 3，
所以log26=lg
2 lg lg 2
3
a
a
b．
2.选B.因为log34·log48·log8m
lg 1.2
lg 1.2
lg 1.2
＝
lg
12 10
＝lg
1.2＝1.
lg 1.2 lg 1.2
答案：1
ln 2
ln 5
代入 1 =12，所以 ln 2=2l，n 5
xy
ln t ln t
所以ln 10=ln t2，所以t2=10，则t= 10.
()
类型三 实际问题中的对数运算(数学运算)
【典例】(2020·海淀高一检测)2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英
国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动.
在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个
数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉
也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈ x 的
ln x
结论.若根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为
()
(素数即质数，lg e≈0.434 29，计算结果取整数)
2.换底公式
(1)公式：
logcb
logab=__lo_g_c_a __(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). (2)本质：将对数的底数换成任意大于零，且不等于1的实数.
(3)应用：将底数换成10或e，即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进
行计算.
【思考】
(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？
所以 1 =1 lg 2+lg 5=lg (2×5)=1.
ab
【解题策略】
利用换底公式进行化简和求值
(1)一般换底为常用对数或自然对数进行化简求值；
(2)如果出现多个指数式相等的式子，则先化为对数式，再利用对数的运算性
质化简求值；
(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式
1 loga
b
=logba.
1.2log510+log50.25= ( )
A.0
B.1
C.2
D.4
【解析】选C.原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.
2.已知正实数a，b，c满足log2a=log3b=log6c，则
()
A.a=bc
B.b2=ac
C.c=ab
D.c2=ab
【解析】选C.设log2a=log3b=log6c=k， 则a=2k，b=3k，c=6k，所以c=ab.
2
2
A.3a
B.a3
C. a
3
D. 3 a
【解析】选A.lg x-lg y=lg x=a， lg( x )3－lg( y)3
y
2
2
＝lg x3 －lg y3 ＝lg(=x 3)3＝a.3lg x
88 y
y
类型二 对数换底公式的应用(数学运算)
【典例】1.(2020·淮安高一检测)设a=lg 2，b=lg 3，则log26= ( )
A. 1 2 2 abc
B. 1 1 1 abc
C. 1 1 2
D. 2 1 2
abc
abc
【解析】选B.由已知，得2a=1 009b=2 018c=2 020，
得a=log22 020，b=log1 0092 020，c=log2 0182 020，
所以
1a=log2
0202，
1 b
【误区警示】本题容易忽视设出log2a=log3b=log6c=k，导致无法表示出a，b， c.
3.(教材二次开发：综合运用改编)
已知xlog32=1，则2x+2-x的值是 ( )
A.1
B.3
C. 8
3
【解析】选D.因为xlog32=1，
所以x=log23，
所以2x+2-x=2log23 2log23＝3 1＝10．
A.768
B.144
C.767
D.145
【解题策略】 关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代 入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算. (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数 运算，从而简化复杂的指数运算.
4.3.2 对数的运算
必备知识·自主学习
导思
1.对数运算有哪些运算性质？ 2.怎样用lg 2，lg 3计算log23？
1.对数的运算性质
(1)性质：
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①积的对数：loga(MN)=_l_o_g_aM_+_l_o_g_a_N_；
②商的对数：loga
M N
=_l_o_g_aM_-_l_o_g__aN_；
③幂的对数：logaMn=_n_l_o_g_aM_.
(2)本质：正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算；逆用是将同底数对数的 和、差分别合并成积、商计算，数与对数的乘积转化成幂的对数计算. (3)应用：广泛用于对数式的化简求值中，解决对数式的计算问题.
【思考】 你能用文字语言叙述对数的运算性质吗？ 提示：积的对数等于积的各个因式的对数的和； 商的对数等于分子的对数减去分母的对数； 幂的对数等于幂指数乘以底数的对数.
＝2lg 2 lg 3
3lg 2 2lg 2
lg m 3lg 2
lg lg
m 3
＝log
416＝
4lg 2lg
2， 2
所以lg m=4lg ·2 lg 3=lg 32，解得m=9.
2lg 2
3.选B.因为2a=5b=10，
所以a=log2 10，b=log5 10，
所以
1=lg
4.3.2对数的运算-高中数学人教A版必修一课件
（1）loga (MN ) loga M loga N
（2）loga
M N
loga M
loga
N
（3）loga M n n loga M (n R)
2.对数换底公式：
loga b
logc b (a logc a
0, 且a 1;b 0;c 0, 且c
1).
本课结束
自我探究
仿照上述推理过程，结合指数幂的运算性质
am an
amn
和 (am )n amn
，
推导出对数运算的其他性质.
学习新知
对数的运算性质：
如果 a 0 ，且 a 1，M >0 ，N >0 .那么
（1）loga (MN ) loga M loga N
（2）loga
M N
loga M
loga
2
3
巩固练习
用 lg x ，lg y ，lg z 表示 下列各式.
（1）lg(xyz)
（2）lg xy2
z
（3）lg xy3
z
（4）lg
x y2z
lg x lg y lg z
lg x 2 lg y lg z lg x 3lg y 1 lg z
2 1 lg x 2 lg y lg z 2
2( ln 3 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 ln 2) ln 4 ln 3 ln 8 ln 3 ln 4 ln 9 ln 8 ln 9
2(1 1 1 1) 23 6
4
课堂小结
1.对数的运算性质：如果 a 0 ，且 a 1，M >0 ，N >0 .那么
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数
【新教材】4.3.2 对数的运算 课件-人教A版高中数学必修第一册 (共33张PPT)
它们之间有何关系？
试一试:由 M a p , N aq
得：p loga M , q loga N
由 M N a p aq a pq 得 p q loga (M N )
从而得出 loga (M N ) loga M loga N (a 0,a 1, M 0, N 0)
M n (a p )n anp
又能得到什么样的结论？
试一试:由 M n (a p )n anp
得 loga M n np nloga M
(a 0,a 1, M 0,n R)
对数的运算法则
对数的运算性质 如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝lologg＋aMl_＋__l_o_goaNgN； (2)logaMN ＝logMlo_g_aM__－__l_o_g_aN__N； (3)logaMn＝nl__n_l_o_g_a_M__M(n∈R)． 思考：当 M>0，N>0 时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN 是否成立？
提出问题
在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可 以怎样研究？
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性 质得出相应的对数运算性质呢？
问题探究
探究一：
1.对数的运算性质
将指数式 M a p , N aq 化为对数式，
结合指数的运算性质能否将 M N a p aq a pq
lg 2＋lg 3－lg 10
(3)
lg 1.8
.
[解] (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10 ＝12.
数学人教A版必修第一册4.3.2对数的运算课件
(2)lg
2
2
5 + lg
3
8+lg 5·lg 20+(lg 2)2
24 ×53
解：原式=lg
1
5
1
5－lg
5
＝lg 104＝4
【跟踪训练】
(2)lg
2
2
5 + lg
3
8+lg 5·lg 20+(lg 2)2
解：原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2
如果a 0, 且a 1, M 0, N 0, 那么
（1）log（
log a M log a N；
a MN）
M
（2）log a
log a M - log a N；
N
n
（3）log a M n log a M .
对数的运算性质把乘积转化为加法，把商转化为减法，
把乘方转化为乘法，降低了运算级别，简化了运算。
的运算性质．你认为可以怎样研究？
我们知道了对数与指数间的
关系，能否利用指数幂运算性
质得出相应的对数运算性质呢？
(1)a r a s a r s (a 0, r , s R);
(2)(a r ) s a rs (a 0, r , s R);
(3)(ab) r a r b r (a 0, r R);
创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。
2024年11月10日星期日11时4分32秒
课程标准：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解
其推导过程和成立的条件．
教学重点：对数的运算性质
新教材2024高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.1对数的概念课件新人教A版必修第一册
3．指数式与对数式的互化
1．(题型1)有下列说法：①只有正数有对数；②任何一个指数式都
可以化成对数式；③log525＝±2；④3log3(－5)＝－5成立．其中正确的
2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作_l_g_N___；以 无 理 数 e ＝ 2.718 28… 为 底 的 对 数 称 为 自 然 对 数 ， 并 且 把 logeN 记 为 __l_n_N____．
【预习自测】
在对数概念中，为什么规定a＞0，且a≠1呢？ 【提示】(1)若a＜0，则N取某些数值时，logaN不存在，因此规定a 不能小于0． (2)若a＝0，则当N≠0时，logaN不存在，当N＝0时，则logaN有无数 个值，与对数定义不符，因此规定a≠0． (3)若a＝1，当N≠1时，则logaN不存在，当N＝1时，则logaN有无数 个值，与对数定义不符，因此规定a≠1．
所以 x＝±5．
因为 52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，
所以 x＝5 或 x＝－5．
题型3 利用对数的性质及对数恒等式求值 方向1 利用对数的性质求值
(1)计算log3[log3(log28)]＝________． (2)若log2[log4(log3x)]＝0，则x＝________． 【答案】(1)0 (2)81 【解析】(1)令log28＝x，则2x＝8，所以x＝3．所以 log3[log3(log28)]＝log3(log33)＝log31＝0． (2)因为log2[log4(log3x)]＝0，可得log4(log3x)＝1，所以log3x＝4，所 以x＝34＝81．
新教材2024高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算课件新人教A版必修第一册
【预习自测】
(1)log32×log29＝________． (2)lg 2＋lg 5＋log23×log34＝________． 【答案】(1)2 (2)3
【解析】(1)原式＝llgg
2 lg 3·lg
92＝2．
(2)原式可化为
lg
10＋llgg
3 lg 2·lg
34＝3．
|课堂互动|
题型 1 利用对数的运算性质化简、求值 计算下列各式的值：
(方法二)因为 log189＝a，18b＝5，所以 log185＝b．
于是 log3645＝lolgo1g8(1981×9825)＝2lloogg118891＋8－lolgo1g81589＝a2＋－ba．
(方法三)因为 log189＝a，18b＝5，所以 lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18．
() ()
【解析】(1)根据对数的运算性质可知(1)正确；
(2)loga(xy)＝logax＋logay，只有x＞0，y＞0时才成立； (3)公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数．
换底公式
logcb logab＝__l_o_g_ca___(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．
|素养达成|1．换底公式可成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆 用．使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进 行对数式的化简(体现了数学运算核心素养)．
2．运用对数的运算性质应注意： (1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误： ①logaNn＝(logaN)n； ②loga(MN)＝logaM·logaN； ③logaM±logaN＝loga(M±N)．
高中数学第四章指数函数与对数函数32对数的运算课件新人教A版必修第一册
[跟踪训练]
1．(2021·温州高一检测)lg－11002＝
A．－4
B．4
C．10
D．－10
解析： lg－11002＝lg10102＝lg 1－lg 104＝－4.
答案：A
()
2．已知ab>0，有下列四个等式： ①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lgab＝lg a－lg b；③12lgab2＝lgab；④lg(ab)＝ log1ab10.其中正确的是________(填序号)． 解析：①②式成立的前提条件是a>0，b>0；④式成立的前提条件是ab≠1. 只有③式成立． 答案：③
知识点一 对数的运算性质 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝l_o_g_a_M_＋__l_o_g_a_N__； (2)logaMN ＝__lo_g_a_M__－__lo_g_a_N_； (3)logaMn＝_n_l_o_g_aM___ (n∈R )．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差． (2)loga(xy)＝logax·logay. (3)log2(－5)2＝2log2(－5)． 答案：(1)√ (2)× (3)×
2．几个常用推论 (1)loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)； (2)logambn＝mn logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R )； (3)logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)．
1.lloogg4493＝________． 解析：lloogg4493＝log39＝2. 答案：2
解析：因为log32＝a，所以log23＝
2022-2023学年人教A版必修第一册 4-3-2 对数的运算 课件(38张)
(2)利用换底公式计算、化简、求值的思路：
[练习 2] (1)若 x＝60，则lo1g3x＋lo1g4x＋lo1g5x的值为( A )
∴2a＋1b＝log63＋log62＝log66＝1. 解法三：对 3a＝4b＝36 等号两边取常用对数， 得 alg 3＝blg 4＝lg 36，∴1a＝llgg336，1b＝llgg346， ∴2a＋1b＝2lglg336＋llgg346＝lgl3g23×64＝1.
换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对 数或常用对数来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．题目中有指数式和对数 式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．
(1)对于同底的对数的化简，常用方法是： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． ②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)． (2)对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的 习惯，lg 2＋lg 5＝1 在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
并能进行简单的化简、计算.
精梳理·自主学习固基础
【主题 1】 对数的运算性质 若 a＞0，且 a≠1，M＞0，N＞0，那么： (1)loga(M·N)＝__lo_g_a_M__＋__lo_g_a_N_；(推广：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk) (2)logaMN ＝__lo_g_a_M__－__lo_g_a_N_； (3)logaMn＝___n_lo_g_a_M______(n∈R)．
高中数学第四章4.3.2对数的运算讲义新人教A版必修第一册
4.3.2 对数的运算知识点一 对数的运算性质若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， (2)log a M N＝log a M －log a N ， (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )．状元随笔 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．知识点二 对数换底公式log a b ＝log c blog c a (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)．特别地：log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)． 状元随笔 对数换底公式常见的两种变形 (1)log a b·log b a ＝1，即1log a b＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .(2)log N n M m＝m n log N M ，此公式表示底数变为原来的n 次方，真数变为原来的m 次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．[教材解难]换底公式的推导设x ＝log a b ，化为指数式为a x＝b ，两边取以c 为底的对数，得log c a x＝log c b ，即x log c a ＝log c b .所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a.[基础自测]1．下列等式成立的是( ) A ．log 2(8－4)＝log 28－log 24B.log 28log 24＝log 284C ．log 28＝3log 22D ．log 2(8＋4)＝log 28＋log 24解析：由对数的运算性质易知C 正确． 答案：C 2.log 49log 43的值为( ) A.12 B ．2 C.32 D.92解析：原式＝log 39＝2. 答案：B3．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4解析：原式＝log 5102＋log 50.25 ＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 答案：C4．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为________． 解析：log 32＝ln 2ln 3＝a b .答案：a b题型一 对数运算性质的应用[教材P 124例3] 例1 求下列各式的值： (1)lg 5100； (2)log 2(47×25)．【解析】 (1)lg 5100＝lg 10015＝15lg 100＝25； (2)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 24＋5log 22＝7×2＋5×1 ＝19.利用对数运算性质计算． 教材反思1．对于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练1 (1)计算：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.(2)求下列各式的值． ①log 53＋log 513②(lg 5)2＋lg 2·lg 50③l g 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.解析：(1)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.(2)①log 53＋log 513＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13＝log 51＝0.②(lg 5)2＋lg 2·lg 50 ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.③原式＝lg 25＋lg 823＋lg 102·lg(10×2)＋(lg 2)2＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3. 答案：(1)－1 (2)见解析 利用对数运算性质化简求值．题型二 对数换底公式的应用[经典例题]例2 (1)已知2x ＝3y＝a ，1x ＋1y＝2，则a 的值为( )A ．36B ．6C ．2 6 D. 6 (2)计算下列各式： ①log 89·log 2732.②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫3382-3.③6413＋lg 4＋2lg 5.【解析】 (1)因为2x ＝3y＝a ， 所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，所以1x ＋1y ＝1log 2a ＋1log 3a ＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，所以a 2＝6，解得a ＝± 6. 又a ＞0，所以a ＝ 6.(2)①log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝lg 32lg 23·lg 25lg 33＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109. ②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫3382-3＝lg 16＋lg 5－lg 8－1⎝⎛⎭⎪⎫32782＝lg 16×58－1⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－49＝59. ③6413＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6.【答案】 (1)D (2)见解析状元随笔 1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分． 方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a 为底．(2)换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ；log an b m＝mnlog a b . 跟踪训练2 (1)式子log 916·log 881的值为( ) A.18 B.118C.83D.38(2)(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)等于( ) A.56 B.2512C.94D ．以上都不对 解析：(1)原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 33log 34＋log 33log 38·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 38log 39＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋3log 322 ＝56log 32×52log 32＝2512. 答案：(1)C (2)B 利用换底公式化简求值． 题型三 用已知对数表示其他对数例3 已知log 189＝a,18b＝5，用a ，b 表示log 3645. 解析：方法一 因为log 189＝a ，所以9＝18a. 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b 2－a.方法二 ∵18b＝5，∴log 185＝b . ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a.状元随笔 方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值． 方法二 先求出a 、b ，再利用换底公式化简求值. 方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练3 (1)已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝________；(用p ，q 表示) (2)①已知log 147＝a,14b＝5，用a ，b 表示log 3528. ②设3x ＝4y＝36，求2x ＋1y的值．解析：(1)lg 5＝log 65log 610＝q log 62＋log 65＝qp ＋q .(2)①∵log 147＝a,14b＝5， ∴b ＝log 145.∴log 3528＝log 1428log 1435＝log 141427log 14(5×7)＝log 14142－log 147log 145＋log 147＝2－a a ＋b . ②∵3x＝36,4y＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， ∴1x ＝1log 336＝1log 3636log 363＝log 363， 1y＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1.答案：(1)qp ＋q (2)①2－aa ＋b②1 (1)利用换底公式化简．(2)利用对数运算性质化简求值．课时作业 22一、选择题1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，下列式子：①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：根据对数的性质知4个式子均不正确． 答案：A2．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3 D.12解析：12log 612－2log 62＝12(1＋log 62)－log 62＝12(1－log 62)＝12log 63＝log 6 3.答案：C3．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 5＝( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b1＋a C.2a ＋b 1－a D.a ＋2b1－a解析：lg 12lg 5＝lg 3＋lg 4lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝2a ＋b 1－a .答案：C4．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( ) A ．3 B ．9 C ．18 D ．27解析：原式可化为log 8m ＝2log 34，lg m 3lg 2＝2lg 4lg 3，即lg m ＝6lg 2·lg 32lg 2，lg m ＝lg 27，m ＝27.故选D. 答案：D 二、填空题5．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.答案：4 －36．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于________．解析：由换底公式， 得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.答案：1257.lg 2＋lg 5－lg 12lg 12＋lg 8·(lg 32－lg 2)＝________.解析：原式＝lg (2×5)－0lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122×8×lg 322＝1lg 2·lg 24＝4.答案：4 三、解答题8．化简：(1)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27；(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋211+log252.解析：(1)方法一 (正用公式)： 原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋910－12lg 3lg 3＝115. 方法二 (逆用公式)：原式＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫3×925×2712×35×3－12lg 8127＝lg 3115lg 3＝115. (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21·22log ＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋25＝1＋2 5.9．计算：(1)log 1627log 8132； (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)． 解析：(1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝54. [尖子生题库]10．已知2x ＝3y ＝6z≠1，求证：1x ＋1y ＝1z.证明：设2x ＝3y ＝6z＝k (k ≠1)， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z＝log k 6＝log k 2＋log k 3，∴1z ＝1x ＋1y.。
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7 log2 4 5log2 2 7 2 51 19
2
（2）lg 5 100 lg105
2
5
【提升总结】 对于底数相同的对数式的化简,常用的方法是: (1)“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的 对数. (2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差).
【变式练习】
1.求下列各式的值：
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算 7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多 少倍（精确到1）.
解:(1) M lg 20 lg 0.001 lg 20 lg 20 000 0.001
lg 2 lg104 4.3
因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.
（2）由 M lg A lg A0 可得
(2)
log3
45
log3
5
log3
45 5
log3 9 log3 32
2log3 3 2
4.(2017·北京高考文科·T8)同(2017·北京高考理科·T8)根
据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361,而可
观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数
中与 M 最接近的是(参考数据:lg3≈0.48) ( ) N
p logc N logc a
即证得
loga
N
logc N logc a
这个公式叫做换底公式
结论：对数的运算性质
loga (M N ) loga M loga N
loga
M N
loga M
loga
N
loga M n nloga M
loga
N
logc logc
N a
(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; M 0, N 0, n R)
高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算课件新人教A版必修第一册
=(log23+log23+log23+…+log23)×log9
=n×log23× × log32
= .
探索点三
对数运算的综合应用
【例 3】
(1)已知 2x=3y=a,若 + =2,则 a 的值为(
A.36
B.6
C.2
D.
解析:因为 2x=3y=a,所以 x=log2a,y=log3a,
所以 + =
+
=loga2+loga3=loga6=2,
所以 a2=6,解得 a=±
.
又因为 a>0,所以 a=
,故选 D.
答案:D
)
(2)方程 lgx+lg(x-1)=1-lg5 的根是 (
A.-1
B.2
C.1 或 2
D.-1 或 2
解析:原方程可化为 lg[x(x-1)]=g2,则有
所以
答案:B
所以 log3645=
=
=
=
=
.
方法规律
利用对数换底公式进行化简求值的原则和技巧
【跟踪训练】
3.变式练在本例(2)的条件下,试用 a,b 表示 log310.
+
=
解:log310=
- + -+ -+
① lg 25+
+lg
+lg(2
);
②(lg 5)2+lg 2·lg 50.
解:①原式= ×2×lg 5+3+ lg
+lg