数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第5章 导数和微分
证 当 x0 0 时,用归结原理容易证明 f (x) 在点 x0 不连续, 由定理 5.1, f (x) 在点 x0 不可导.
当 x0 = 0 时, 因为 D( x) 1，所以有
f (0) lim f ( x) f (0) lim xD( x) 0 .
x0 x 0
x 0
k lim f ( x) f ( x0 )
(2)
x x0
x x0
会是什么呢？
答: 它就是曲线在点 P 的切线 PT 的斜率.
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上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同 一类型的数学问题： 求函数 f 在点 x0 处的增量 D y = f (x) – f (x0) 与自变量增量 D x = x – xo 之比 的极限. 这个增量比称为函数 f 关于自变量的平 均变化率，增量比的极限 (如果存在) 称为 f 在点 x0 处关于 x 的瞬时变化率(或简称变化率).
其上一点 P( x0, y0 ) 处的切线 PT. 为此我们在 P 的邻近取一 点 Q , 作曲线的割线 PQ ，这
条割线的斜率为
_
k
f (x)
f ( x0 ) .
x x0
y
Q
y f (x) •
T
P
•
O
x0 x x
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设想一下,当动点 Q 沿此曲线无限接近点 P 时，k 的极限若存在，则这个极限
Dx
存在，则称该极限为 f (x) 在点 x0 的右导数, 记作
f( x0 ) . 类似地可以定义左导数 , 合起来即为:
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定义1 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某邻域内有定
义，如果极限
lim f ( x) f ( x0 )
(3)
x x0 x x0
存在, 则称函数 f 在点 x0 可导, 该极限称为 f 在
x0 的导数，记作 f ( x0 ). 如果令 Dx = x – x0, Dy = f (x0 +Dx) –f (x0), 导数就
§1 导数的概念
导数是微分学的核心概念, 是研究函数 与自变量关系的产物, 又是深刻研究函数性 态的有力工具. 无论何种学科, 只要涉及“变 化率”, 就离不开导数.
一、导数的概念 二、导函数 三、导数的几何意义
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一、导数的概念
一般认为, 求变速运动的瞬时速度，求已知曲线 上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是 微分学产生的三个源头. 牛顿和莱布尼茨就是分
st0
.
t t0
当 t 越来越接近 t0 时，平均速度就越来越接近 t0
时刻的瞬时速度. 严格地说, 当极限
lim st st0 v
t t0 t t0
(1)
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存在时, 这个极限就是质点在 t0 时刻的瞬时速度. 2. 切线的斜率 如图所示, 需要寻找曲线 y = f (x) 在
由于导数是一种极限, 因此如同左、右极限那样,
可以定义左、右导数 ( 单侧导数 ).
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定义2 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某个右邻域
[ x0 , x0 ) 上有定义，如果右极限
lim D y lim f ( x0 D x) f ( x0 )
D x 0 D x D x0
可以写成
f ( x0 )
Dy
lim
D x 0 D x
lim
D x 0
f ( x0
D x) Dx
f ( x0 ) .
(4)
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这说明导数是函数增量 D y 与自变量增量 D x之比 的极限,即 f ( x0 ) 就是 f (x) 关于 x 在 x0 处的变化 率. 如果 (3) 或 (4) 式的极限不存在, 则称 f ( x) 在 点 x0 不可导. 例1 求函数 y = x3 在 x = 1 处的导数，并求该曲 线在点 P (1,1) 的切线方程. 解 因为 Dy f (1 Dx) f (1) (1 Dx)3 1
3Dx 3Dx2 Dx3,
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所以 f (1) lim D y lim ( 3 3D x D x2 ) 3 . D x 0 D x D x 0
由此可知曲线 y x3 在点 P(1, 1) 的切线斜率为
k f (1) 3,
于是所求切线方程为 y 1 3( x 1),
f
(
x0
)
Dy Dx
是当 D x 0 时的无穷小量，于是 D x o(D x).
这样, 函数 f (x) 的增量可以写成
Δy f ( x0 )Δx o(Δx).
(5)
(5)式称为 f (x) 在点 x0 的有限增量公式, 这个公
式对 Dx 0 仍然成立.
根据有限增量公式即可得到下面定理.
别在研究瞬时速度和曲线的 切线时发现导数的. 下面是 两个关于导数的经典例子.
牛顿 ( 1642－1727, 英国 )
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1. 瞬时速度 设一质点作直线运动, 质点的位置 s 是
时间 t 的函数, 即其运动规律是 s s(t), 则在某
时刻 t0 及邻近时刻 t 之间的平均速度是
v
st
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定理5.1 如果函数 f 在点 x0 可导, 则 f 在点 x0 连续. 值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可 导的必要条件. 如例3、例4 中的函数均在 x = 0 处连续，却不可导. 例5 证明函数 f ( x) x2D( x) 仅在 x 0 处可导, 其中 D(x) 是熟知的狄利克雷函数.
即
y 3x 2.
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例2 常量函数 f (x) = c 在任何一点 x 的导数都为
零. 这是因为 Dy 0，所以 f ( x) 0.
例3 证明函数 f (x) = | x | 在 x = 0 处不可导.
证 因为
f
(x) x
f 0
(0)
1, 1,
x 0, x 0,
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当 x 0 时它的极限不存在, 所以 f (x) 在 x = 0
处不可导.
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例4 证明函数
f
(
x)
x
sin
1, x
0,
在 x = 0 处不可导.
x0 x0
证 因为当 x 0 时,
f ( x) f (0) sin 1
x0
x
不存在极限,所以 f 在 x = 0 处不可导.
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有限增量公式 设 f (x) 在点 x0 可导，则
数学分析第五章第一节
8
西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
若令 x 0 ∆ 注 (2)若令 x= x +∆ 则 x→ ⇔x→x 0 0
f (x)− f (x ) 0 f ′(x ) = lim 0 x→ 0 x x−x 0
, 从而
f (x +∆ )− f (x )可变化为 x 0 0 f 0 即 ′(x ) = lim x 0 ∆→ x ∆ f (x +h − f (x ) ) f (x)− f (x ) 0 0 0 f ′(x ) =lim = lim 0 h 0 x→ 0 x → h x−x 0 f 0 在 例若 ′(x )存 ,则 f (x −∆ )− f (x ) x 0 0 lim =−f ′(x ), 0 x 0 ∆→ x ∆ f (x )− f (x −h ) 0 0 lim = f ′(x ). 0 h 0 → h
10
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点处的可导性： 例 讨论下列函数在 x = 0 点处的可导性：
1 x≠0 xsin (1 f (x) = ) ; x x=0 0 1 2 x≠0 x sin (2 f (x) = ) . x x=0 0
1 xsin f (x)− f (0 ) x =lim 1不 在 存 ) 为 解 (1因 lim sin =lim x→ 0 x→ 0 x→ 0 x−0 x x
(四)左右导数 四 左右导数
则称此极限值为函数ƒ(x)在点 0处的右导数.也称 在点x 右导数.也称ƒ(x)在点 0的右 在点x 则称此极限值为函数 在点 在点 可导. 可导 记作
左导数. 也称ƒ(x)在点 x0 左可导 记 限值为函数 ƒ(x)在点 x0 处的左导数 也称 在点 在点 左可导. 作
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第5章 导数和微分
意一点 x 都有 f 的一个导数 f ( x0 )与之对应, 这就
定义了一个在区间 I 上的函数，称为 f 在 I 上的
导函数，简称导数,
记作
f ( x) 或
dy dx
.
即
f ( x)
lim
D x0
f (x Dx) Dx
f (x),
x I.
(7)
注 这里 dy 仅为一个记号，学了微分之后就会知
(cos
x)
sin D x
lim Dx0
2 Dx
lim sin( x
D x0
Dx) 2
sin
x.
2
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(iii) 由于
a xD x a x a x aD x 1 a x eD x ln a 1
Dx
Dx
Dx
a x ln a eD xln a 1, D x ln a
因此 (a x ) a x ln a lim eDxlna 1 a x ln a . 特别有 Dx0 Dx ln a
记 为切线与 x 轴正向的夹角，则
f (x0) = tan .
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由此可知, f (x0) 0 说明 是锐角; f (x0) 0 说
明 是钝角; f x0 0 说明 0 ( 切线与 x 轴平
行 ).
y
y 0
•
y 0 •
y 0
•
yf (x)
O
x
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证 当 x0 0 时,用归结原理容易证明 f (x) 在点 x0 不连续, 由定理 5.1, f (x) 在点 x0 不可导.
当 x0 = 0 时, 因为 D( x) 1，所以有
大学数学分析ppt课件
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
§1 微分中值定理 §2 L’Hospital法则 §3 Taylor公式和插值多项式 §4 函数的Taylor公式及其应用 §5 应用举例 §6 方程的近似求解
第六章 不定积分
§1 不定积分的概念和运算法则 §2 换元积分法和分部积分法 §3 有理函数的不定积分及其应用
目 录 （上册）
第七章 定积分
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
➢通过严格的训练，具备熟练的运算能力与技巧；
➢注重微积分的应用，掌握数学模型的思想与方法， 提高应用微积分这一有力的数学工具分析问题、解 决问题的能力。
目 录 （上册）
第一章 集合与映射
§1 集合 §2 映射与函数
第二章 数列极限
§1 实数系的连续性 §2 数列极限 §3 无穷大量 §4 收敛准则
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切h,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
数学分析课件
长度的计算
利用定积分可以计算曲线的长度，以及物体的周长。
06
高阶导数与高阶积分
高阶导数的计算与性质
高阶导数的计算方法
定义法：根据导数的定义，对函数进行多次求 导，适用于简单的函数。
莱布尼茨法则：利用已知的导数公式，通过递 推关系计算高阶导数，适用于较复杂的函数。
高阶导数的计算与性质
线性性质：若$f(x)$和$g(x)$的$n$阶导数存在 ，则$(a f+b g)^{(n)}=a f^{(n)}+b g^{(n)}$ 。
数学分析课件
目录
• 数学分析概述 • 数学分析的基本性质 • 极限理论及其应用 • 微分学及其应用 • 定积分及其应用 • 高阶导数与高阶积分 • 数学分析中的重要定理与问题
01
数学分析概述
定义与意义
定义
数学分析是研究函数、序列、极限、 微积分等概念与方法的分支，是数学 的基础学科。
意义
数学分析在数学领域中占据重要地位 ，为其他数学分支提供基础理论和工 具，也是许多实际应用领域的基础。
THANKS。
积分的基本性质
积分具有可加性、可减性、可乘性和可除性 。
积分的基本公式
积分的基本公式包括求导公式、微分公式、 乘积公式、幂函数公式等。
积分的方法
积分的方法包括换元法、分部积分法、有理 函数积分法等。
积分的应用：面积、体积、长度
面积的计算
利用定积分可以计算曲线下面积，以及平面图 形面积。
体积的计算
利用定积分可以计算旋转体的体积，以及立体 的体积。
分区求和法：将积分区间划分为若干小区间，在每个小 区间上应用牛顿-莱布尼茨公式计算积分，再求和得到 总积分值。
《数学分析》课件 (完整版)
第十章数项级数无穷级数与代数运小结第十一章广义积分瑕积分第十二章函数项级数第十三章幂级数函数的幂级数展开小结第十四章傅立叶级数任意区间上的傅立叶级数小结第十五章多元函数的极限与连续性第十六章偏导数与全微分泰勒公式小结第十七章隐函数存在定理方程组情形第十八章极值与条件极值条件极值及lagrange乘数法第二十章重积分曲面面积第二十一章曲线积分与曲面积分第一型曲线积分与曲面积分2第二型曲线积分与曲面积分第二十二章各种积分间的联系与场论初步场论初步第十七章第二十二章的小结附录
数学分析课件华东师大版
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汇报人：
目录
• 引言 • 数学分析基础 • 导数与微分 • 积分学 • 无穷级数 • 多元函数微积分
01
引言
课程简介
01
数学分析是数学专业的一门基础 课程，主要研究实数、函数、极 限、连续性、可微性和积分等概 念及其性质。
02
通过学习数学分析，学生可以掌 握数学的基本原理和方法，培养 逻辑思维能力、抽象思维能力和 解决问题的能力。
总结词
理解无穷级数的定义和性质是掌握无穷级数的基础。
详细描述
无穷级数是数学分析中的一个重要概念，它是由无穷多个数按照一定的规则排列组成的数列。无穷级数具有一些 重要的性质，如线性性质、可加性、可乘性和收敛性等。这些性质在无穷级数的运算和证明中有着广泛的应用。
无穷级数的收敛性判别法
总结词
掌握无穷级数的收敛性判别法是判断无穷级数收敛性的关键。
定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
分部积分法
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的常 用方法，它通过求不定积分的原函数 （即不定积分），然后利用原函数计 算定积分。
分部积分法是另一种计算定积分的方 法，通过将两个函数的乘积进行求导 ，将定积分转化为容易计算的积分。
换元法
换元法是一种常用的计算定积分的方 法，通过改变定积分的积分变量或积 分区间，将复杂的积分转化为容易计 算的积分。
极限的性质
极限具有唯一性、局部有界 性、局部保序性、迫近性等 性质。
连续函数的性质
连续函数具有局部有界性、 局部保序性、迫近性等性质 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
如果一个函数在某个点的某个 自变量的偏导数存在，则称该 函数在该点关于该自变量可偏
《数学分析》第五章导数和微分1
《数学分析》第五章导数和微分1《数学分析》第五章导数和微分1导数和微分是数学分析中非常重要的概念。
导数以及微分的概念不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理、经济、工程等各个学科中都起着关键的作用。
本章首先介绍导数的概念和性质。
导数是描述函数变化快慢的指标，它衡量了函数在其中一点附近的变化率。
直观地说，如果函数在其中一点附近呈现出逐渐增大的趋势，那么该点的导数将是正值；如果函数在其中一点附近呈现出逐渐减小的趋势，那么该点的导数将是负值。
导数的符号和数值都能够揭示出函数局部性质的特点。
导数的计算通常使用极限的概念。
通过定义极限，我们可以精确地计算出函数在其中一点的导数值。
导数的定义以及计算方法是数学分析中的重要内容，对于理解函数的变化规律以及解决实际问题有着重要的帮助。
接下来，本章详细介绍了一阶导数和高阶导数的概念。
一阶导数是函数变化最基本的指标，它描述了函数在其中一点的瞬时变化率；而高阶导数则描述了函数变化率的变化率，它们在一阶导数的基础上进一步深化了对函数性质的研究。
导数和微分在实际问题中有着丰富的应用。
通过导数和微分可以解决各种数学建模中的问题，如最大值、最小值的求解、函数图形的研究、曲线的切线和法线的求解等等。
导数和微分在物理学、经济学、工程学等应用领域也有着广泛的运用，如速度和加速度的求解、最优化问题的分析等。
在本章的最后，还介绍了一些与导数和微分相关的基本定理，如费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理等。
这些定理是导数和微分性质的重要推论，它们在数学分析和应用领域中起着重要的作用。
总之，导数和微分是数学分析中重要的概念，它们具有广泛的应用价值。
通过深入学习导数和微分的概念、性质和计算方法，我们可以更好地理解函数的特性、求解实际问题，为数学和应用科学的发展做出贡献。
2.许寿裳,王薄清.数学分析[M].高等教育出版社,2024.。
华东师大第四版数学分析上册课件
数学分析的发展历程
总结词
数学分析的发展经历了初创期、经典时期和现代发展阶段。
详细描述
数学分析的初创期可以追溯到17世纪，当时的数学家开始系统地研究微积分。经典时期则是在18世纪 和19世纪，数学分析得到了全面的发展和完善，产生了许多重要的定理和公式。进入20世纪后，数学 分析继续发展并逐渐与其他数学分支相互融合，形成了现代数学分析的体系。
换元积分法的应用
主要用于处理被积函数为复合函数或具有特定形式的情况，通过换元将问题转化为更易 于处理的形式。
06
定积分
Chapter
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值 定理等性质。
定积分的计算方法
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目录
• 绪论 • 极限论 • 连续性 • 导数与微分 • 不定积分 • 定积分
01
绪论
Chapter
数学分析的起源和定义
总结词
数学分析起源于古希腊，是研究实数、极限、连续性和可微 性的科学。
详细描述
数学分析的起源可以追溯到公元前7世纪古希腊的数学家，他 们开始研究连续性和无穷小的问题。经过几个世纪的探索和 发展，数学分析逐渐形成了以实数、极限、连续性和可微性 为核心的理论体系。
数学分析的特性与重要性
总结词
数学分析具有严密性、连续性和广泛应用性的特点，是数学和自然科学的重要基础。
详细描述
数学分析的特性表现在其严密的逻辑推理和证明上，它强调对概念和定理的精确表述。此外，数学分析还具有连 续性的特点，它研究的是实数域上的连续函数。最后，由于数学分析是许多学科的基础，如物理、工程、经济等 ，它具有广泛的应用价值。
§5.5 微分 数学分析(华师大 四版)课件 高教社ppt 华东师大教材配套课件
0()f x '*点击以上标题可直接前往对应内容微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的如果给边长x 一个增量, 正方形面积的增量Δx 的线性部分和的高阶部分( )2.Δx 2Δx x Δx Δx 此时, 当边长x 增加一个微小量时,可用Δx Δx ΔS 微分的概念222Δ()2()S x x x x x x =+∆-=∆+∆由两部分组成:设一边长为x 的正方形, 它的面积S = x 2是x 的函线性部分, 请先看一个具体例子.数.后退前进目录退出因的线性部分来近似.由此产生的误差是一个关于的高阶无穷小量Δx2(Δ),x即以为边长的小正方形(如图).Δx2xΔx x2Δx定义500Δ(Δ)()y f x x f x =+-可以表示成ΔΔ(Δ),(1)y A x o x =+设函数0(),().y f x x U x =∈并称为 f 在点处的微分, 记作ΔA x 0x 其中A 是与无关的常数, 则称函数f 在点0x Δx 由定义, 函数在点处的微分与增量只相差一个0x 关于的高阶无穷小量,而是的线性函数.Δx d y Δx ,d 0x A y x x ∆==()(2).d 0x A x f x x ∆==或更通俗地说, 是的线性近似.Δy d y 如果增量可微,定理5.10Δ(1).ΔyA o x=+于是00d ()()Δ.x x f x f x x ='=导, 且证(必要性)如果在点可微, 据(1) 式有f 0x 0Δ0Δ()lim Δx yf x x →'=即在点可导, 且f 0x 0().f x A '=函数在点可微的充要条件是在点可f f 0x 0x Δ0lim ((1)),x A o A →=+=(充分性) 设在点处可导,f 0x 0Δ()Δ(Δ),y f x x o x '=+00d ()Δ.x x yf x x ='=且f 则由的有限增量公式说明函数增量可Δy 表示为的线性部分,与关于的高x ∆0()Δf x x 'Δx 所以在点可微,f 0x 阶无穷小量部分之和.(Δ)o x 定理5.1000d ()()Δ.x x f x f x x ='=导, 且函数在点可微的充要条件是在点可f f 0x 0x0Δx x+xyO()y f x =Δyd y0x P RQ Q '∙∙∙∙Δ,y RQ =它是点P 处切线相在点的增量为f 0x d ,y RQ '=而微分是应于的增量.Δx 当很小时,两者之差相比于|Δd |y y Q Q '-=|Δ|x |Δ|x 将是更小的量(高阶无穷小).微分概念的几何解释:更由于0Δ0Δ0Δd limlim()0,Δx x y y Q Qf x xRQ →→'-'=='故若0()0,f x '≠Δ0lim 0.x Q Q RQ →'='这说明当d ()Δ,,(3)y f x x x I '=∈的高阶无穷小量.QQ 'RQ '还是Δ0,x →时若函数在区间上每一点都可微,则称是上f I f I 它既依赖于,也与有关.Δx x ()f x I 在上的微分记为的可微函数.则得到0Δx x+xyO()y f x =Δyd y0x P RQ Q '∙∙∙∙d ()d ,.(4)y f x x x I '=∈(4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看所以导数也称为微商. 习惯上喜欢把写成,于是(3) 式可改写成Δx d x d d Δ.y x x ==这相当于的情形,此时显然有y x =d (),d yf x x '=(5)积分学部分中.成函数的微分与自变量的微分之商, 即更多的好处将体现在后面d (sin )cos d ;x x x =d()ln d .x xa a a x =1d()d ;x xx ααα-=例12()()d ()()d ()3.d ;()()u x v x u x u x v x v x v x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4.d (())()()d ,().f g x f u g x x u g x ''==其中由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则:1.d (()())d ()d ();u x v x u x v x ±=±2.d(()())()d ()()d ();u x v x v x u x u x v x =+d ()d ,u g x x '=由于故运算法则4 又可以写成微分的运算法则d ()d .y f u u '=解2222ln d()d(ln )sin d()x x x x x x =+-2(2ln 12sin )d .x x x x =+-它在形式上与(4)式完全一样, 不管是自变量还u 例2 求的微分.22ln cos y x x x =+这个性质称为“一阶微分形式不变性”.是中间变量( 另一个变量的可微函数) 上式都成立.22d d(ln cos )y x x x =+22d(ln )d(cos )x x x =+2222d(cos )sin d()2sin d x x x x x x =-=-这里在的计算中, 用了一阶微分形式不变性.例3 求的微分.123e ++=x x y 解3213d e d(21)x x y x x ++=++3221(32)e d .x x x x ++=+§5 微分微分的概念微分的运算法则微分在近似计算中的应用高阶微分或写作22d ()d ,y f x x ''=称为f 的二阶微分.d(d )d(()Δ)y f x x '=()ΔΔ()d(Δ)f x x x f x x '''=⋅+则当f 二阶可导时, d y 关于x 的微分为若将一阶微分d ()Δy f x x '=仅看成是的函数, x 注由于与x 无关, 因此x 的二阶微分Δx d(Δ)x =三者各不相同, 不可混淆.2()()f x x ''=∆2()(d ).f x x ''=d(d )x x 2d =,0=22d (d ),x x =它与2d()2d x x x=高阶微分22d ()d ;(6)y f x x ''=当x 是中间变量((),())y f x x t ϕ==时, 二阶微分依次下去, 可由阶微分求n 阶微分:1n -对的n 阶微分均称为高阶微分. 2n ≥当x 是自变量时,的二()y f x =阶微分是为高阶微分不具有形式不变性.)d (d d 1y y n n -=(1)1d(()d )n n f x x --=()()d .n n f x x =22()d ()d .(7)f x x f x x '''=+()2d d ()d y f x x '=()d d ()d(d )f x x x f x x '''=+例422()sin ,(),d .y f x x x t t y ϕ====设求解法一2 () (), sin ,x t y f x y t ϕ===先将代入得.0d 2=x 而当x 为自变量时,它比(6) 式多了一项2()d ,f x x '()x t ϕ=当时,由(6) 得22d ()d x t t ϕ''=不一定为0,22cos ,y t t '=于是.sin 4cos 2222t t t y -=''22222d (2cos 4sin )d .y t t t t =-解法二依(7) 式得222d ()d ()d y f x x f x x'''=+22sin d cos d x x x x =-+2222..sin (2d )cos 2d t t t t t =-+2222(2cos 4sin )d .t t t t =-2()d f x x '如果将漏掉就会产生错误.22d ()d x t tϕ''=§5 微分微分的概念微分的运算法则高阶微分微分在近似计算微分在近似计算中的应用1.函数值的近似计算000(Δ)()()Δ.(8)f x x f x f x x '+≈+000()()()().(9)f x f x f x x x '≈+-(9) 式的几何意义是当x 与x 0充分接近时, 可用点0Δ()Δ(Δ),y f x x o x '=+由于由此得Δd .y y ≈记, 即当时，0Δx x x =+0x x ≈故当很小时, 有Δx (8) 式可改写为中的应用公式(9) 分别用于sin x , tan x , ln(1+x ), e x ( x 0= 0 ), ,sin x x ≈,tan x x ≈(),1ln x x ≈+.1e x x +≈例5 试求sin 33o 的近似值( 保留三位有效数字).解π,60x ∆=由公式(9) 得到处的切线近似代替曲线, 这种线性近00(,())P x f x 可得近似计算公式( 试与等价无穷小相比较):似的方法可以简化一些复杂的计算问题.,606sin 33sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ 0()sin ,,6f x x x π==取sin33sin cos 6660πππ⎛⎫⎛⎫≈+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.545≈2.误差的估计0|Δ|||,x x x x δ=-≤设数x 是由测量得到的, y 是由函数经过()y f x =如果已知测量值x 0 的误差限为,即x δ算得到的y 0= f (x 0) 也是y = f (x ) 的一个近似值. 差, 实际测得的值只是x 的某个近似值x 0. 由于测量工具精度等原因, 存在测量误计算得到.由x 0计000().(11)||()yx f x y f x δδ'=则当x δ很小时, 量y 0 的绝对误差估计式为:相对误差限则为0|()|y x f x δδ'=称为y 0 的绝对误差限,而的0y 0()()y f x f x ∆=-0()f x x '≈∆0().x f x δ'≤33001π38792.39cm ,6V d =≈201π2V d d δδ=解以d 0 = 42,0.05d δ=计算的球体体积和误差估绝对误差限和相对误差限.计分别为:203001π21||π6V d d V d δδ=⨯‰.03 3.57d d δ=≈例6 设测得一球体直径为42cm, 测量工具的精度为0.05cm. 试求以此直径计算球体体积时引起的2π420.052=⨯⨯3138.54cm ;≈。
《数学分析》第五章导数和微分
函数的增量问题
微分的概念
导数的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.
导数与微分的联系:
★
★
导数与微分的区别:
思考题
思考题解答
说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.
练 习 题
练习题答案
202X
感谢各位的观看
汇报人姓名
5 微分
Байду номын сангаас
一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
再例如,
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义
(微分的实质)
定义
由定义知:
三、可微的条件
定理 证 必要性
(2) 充分性
例1
解
四、微分的几何意义
M N T ） 几何意义:(如图) P
五、微分的求法
基本初等函数的微分公式
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
函数和、差、积、商的微分法则
例2
解
例3
解
六、微分形式的不变性
结论： 微分形式的不变性
例4
解
例3
解
例5
解
在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.
七、小结
微分学所要解决的两类问题: