第三讲__拉姆齐模型
中级宏观经济学第章拉姆齐模型
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－效用最大化
B
et c
t 1 dt
0
1
k 0
eRtengt w t dt-
0
0
eRt
en
g
t
c
t
dt
（ 5-16）
在每个时点家庭选择c，这样就会形成无限多个c(t)。对每一单 个c(t)，其一阶条件是对于任意的t：
第一节 拉姆齐问题
厂商行为
厂商行为相对简单。在每个时点上，他们租用劳动与资本进行生
产，并按这些要素各自的边际产品支付报酬，并出售所生产的产出。
由于生产函数具有不变的规模报酬，经济是竞争性的，厂商因此获得
正常利润。我们知道，资本的边际产品F为K, AL =f ' k
K
。由于市场是
竞争性的，资本只能获得其边际产品。由于不存在折旧，资本的真实
C
t
Lt
H
dt
(可以是负值)；
eRsRt 则表明从t时刻到s时刻该储蓄值的变动状况。
式(5-9)表达式是 eRs 与式(5-8)的大括号中的表达式的乘
积，预算约束写成下式：
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－预算约束（续）
lim eRs K s 0（ 5-10）
报酬率等于其每单位时间的收入，因此，在t时刻，真实利率为：
r t f ' k t（ 5-3）
第一节 拉姆齐问题
厂商行为（续）
劳动的边际产品为 F K, AL ，它也等于 AF K, AL 。根据
L
AL
上述生产函数的紧凑形式，它可写成A f k kf ' k 。因此在c
2.拉姆齐-卡斯-库普曼模型
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
2.1.1基本假设 完全竞争市场结构； 长生不老的不断扩展 的家庭（有限寿命的 个人和基于利他主义 的代际转让）； 家庭和个人完全同质； 忽略资本的折旧。
租让资本，获取利息 提供劳动，赚取工资 购买产品，进行消费
家庭
相互拥有
厂商
销售产品，获得利润 雇佣劳动，支付工资 租用资本，支付利息
2.2.2 家庭的行为 家庭的行为是去选择各个时刻t的消费，以使家庭在服 从预算约束的条件下获得最大的终生效用，即 ：
L(t ) max : U e u[C (t )] dt t o H L(t ) K (0) L(t ) R (t ) R (t ) s.t.: e C (t ) dt e A(t ) w(t ) dt 0 0 H H H
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 对于家庭部门来说，每个家庭都把实际利率和实际工 资率的运动路径 r（t）和 w（t）视为既定。家庭只能 接受它们，而无法影响它们，因为要素市场是完全竞 争的。 家庭的目标是实现终生效用最大化。在追求这一目标 的过程中，家庭的经济活动要受到预算约束的限制， 也就是说，家庭终生消费的现值不能超过家庭初始拥 有的财富与家庭终生劳动收入的现值之和。
t
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 求解此效用最大化问题，可得描述C(t)调整路径的 “欧拉方程” ：
C (t ) r (t ) C (t )
和每单位有效劳动消费的“欧拉方程” ：
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.1 模型的假设条件
2.拉姆齐-卡斯-库普曼模型
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
2.2.2 家庭的行为 这样家庭的预算约束可以写作：
0
e
R (t )
L(t ) K (0) C(t ) dt H H
0
e R(t ) A(t )w(t )
L(t ) dt H
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.2 家庭与厂商的行为
n (1 ) g 0
f ' (k gold ) < f ' (k * (t ))
因此 k * k gold
。
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.3 经济的动态学
2.3.4 初始值与经济运行路径
c
0 c
A
0 k
B
C
F D
O
k (0)
k*
k
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.3 经济的动态学
2.3.5 鞍点路径
c
0 c
k 0
如果我们引入消费 者预算约束和资本 存量为正的条件， 鞍点路径是一个经 济唯一可能运行的 路径。
O
k*
k
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
2.4 平衡增长路径
变量 绝 对 量 K L A AL Y C 相 对 量 k K/L y Y/L c C/L K/Y s 资本存量 含义 平衡增长速度 n+g n g n+g n+g n+g 0 g 0 g 0 g 0 0 c=c* y=f(k)=Y/AL F(cK,cAL)=cF(K,AL) C=ALc k=k* k=K/AL 备注证明
高2.3.2 k的动态学
高级经济学Ⅰ（宏观部分）
(高级宏观经济学课件)拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
4 平衡增长路径
• 2、索洛模型与拉姆齐－凯斯－库普曼斯模型的 平衡增长路径之间的惟一显著的差异是，在后 者不可能出现动态无效率(k<k黄金)。
k t f k t c t n g k t 5
当 k 0时 ,c f k n g k. 根 据
稻 田 条 件 lim f ' k , lim f ' k 0,
k 0
k
f k 与 n g k必 有 两 个 交 点 .
故 我 们 可 将 c和 k的 关 系 描 述 如 右 图 . 消费等于实际产量线与
AL)； • ②生产函数的性质与索洛模型相同(如:规模报酬
不变,稻田条件,等等)； • ③要素市场和产品市场均为竞争性市场； • ④ A给定，并以外生速率g增长； • ⑤厂商为家庭拥有，因此，厂商所得的全部利润
均归家庭。
1 模型的假设
• 3、家庭： • ①有大量的家庭，每一家庭的规模以速率n增长； • ②家庭每一成员在每一时点供给一单位劳动； • ③家庭将所拥有的资本均租给厂商； • ④家庭的最初资本持有量为K(0)/H； • ⑤不存在折旧； • ⑥家庭将每一时点上的收入用于消费和储蓄，以
以 最 大 化 一 生 效 用. 我 们 用 目 标 函 数 1 和
预算约束 2来构建拉格朗日函数:
L B e t c t 1 d t +
t0
1
k
0
t eRtw
t0
t
en g tdt
eRtc
t0
t
e
拉姆齐模型1-2
第三章 无限期界模型（拉姆齐模型）一、问题的提出在索洛模型中，储蓄率s 被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。
当gold s s >时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。
当gold s s <时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。
图示：s 的变动对稳态和动态的人均消费的影响c c gold 那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。
二、模型假定1．完全竞争市场结构2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让）3．家庭和个人完全同质4．忽略资本的折旧5．暂不考虑政府行为在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：三、厂商行为沿用新古典生产函数),(AL K F Y = 根据欧拉定理，AL AL Y K K Y Y )(∂∂+∂∂=其中，资本的边际产品为：r k f KY==∂∂)('（真实利率） 有效劳动的边际产品为：w k kf k f AL Y=-=∂∂)(')()(（工资率）四、家庭行为1.一些假定和符号总人口为L ，以速率n 增长，e L t L nt )0()(=； 家庭的个数为H ，每个家庭有L/H 个人； 每个家庭成员在每一时点上提供1单位劳动；资本最初存量为K(0)，每个家庭初始资本存量为K(0)/H 。
2. 家庭效用函数和即期效用函数定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为：dt HL t C u dt H t L t C u U o t tn o t te e )0()]([)()]([)(⎰⎰∞=--∞=-==ρρ 其中，C(t)为每个家庭成员的消费，)(∙u 为即期效用函数，ρ为贴现率（ρ越大表明与现期消费相比远期消费的价值就越低）。
2-拉姆齐模型
七、修正的黄金资本存量
定理1：在拉姆齐模型中，人均资本存量k收敛于k*，且低于索洛模
型中的黄金资本存量k*, 因此k*被称作“修正的黄金资本存量”。
定理2：拉姆齐模型表明在索洛模型中高于黄金资本存量的平衡增
长路径是不可能的。
【证明】通过相位图可以证明当k(0)>k(gold)时，追求跨期最优化的
家庭将降低储蓄，使k收敛于k*，且k*<k(gold)。
定理3：经济不收敛于产生最大c（即c(gold)）的平衡增长路径，而
是收敛于一个较低的水平c*。
【证明】c*<c(gold)的前提是，它表明贴现率较高，家庭和个人更
重视现期消费，而不是未来消费。
图示（在索洛模型中当s低于s(gold)时提高s的影响）：
c(gold)
c*
c0
c0
t
t
s较大的提高
s较小的提高
思考：在动态转移过程中ρ、ln(Y/L)、c、k、s的轨迹是什么？ 此外，贴现率下降将可以使人均消费达到黄金律水平的平衡增长。
九、基本结论
1．拉姆齐模型没有改变索洛模型关于经济增长平衡路径的基本结 论。
2．索洛模型可以被看作是拉姆齐模型的一个特例，它必须对应于 后者特殊的参数和稳态。
3．拉姆齐模型的特点在于从家庭和个人的跨期消费行为的微观基 础出发决定稳态的消费（储蓄），从厂商的微观基础出发决定稳态的资 本存量，因此c和k是同时决定的。在这样的过程中，储蓄的决定被内生 化了。
六、平衡增长路径
均衡点E(c*,k*)的解为： 因此模型中的各个变量的长期变动如下：
变量
含义
平衡增长速度
K
资本存量
n+g
绝 对
拉姆齐模型
拉姆齐模型家庭行为：总人口：L 人口增长率：n 家庭数量：H 家庭初始资本量：K （0）/H家庭效用函数：()[]()dt Ht L t C u eU t t⎰∞=-=0ρ （1）C （t ）：t 时刻家庭每个成员的消费 u ：瞬时效用函数，L （t ）/H ：家庭成员数 ρ：贴现率瞬时效用函数（相对风险厌恶不变的函数（CRRA ））：()()()θθ-=-11t C t C u θ＞0，ρ-n-（1-θ）g ＞0 （2） 相对风险厌恶的系数：()()θ=-C u C Cu '/''厂商行为：厂商生产函数：Y=F （K ，AL ） A 以速率g 外生的增长资本的边际产品：)(/),('k f K AL K F =∂∂，()∙f 是生产函数的紧致形式 市场竞争性的，不存在折旧，资本的真实报酬率等于其每单位时间的收入，即真实利率为：()()()t k f t r '=有效劳动的边际产品：()AL AL K F ∂∂/,=()()()())('t k f t k t k f -，即等于每单位有效劳动的工资：w(t)=()()()())('t k f t k t k f - （3）家庭预算约束：家庭的终生消费的贴现值不能超过其初始财富与其终生劳动收入的现值之和 考虑r 可随时间变化，定义()()τττd r t R t⎰==(4)在0时刻投资一单位产出品，在t 时刻获得产品()t R e在t 时刻的一单位产品的价值用0时刻的产出表示为()t R e-每个家庭成员数：L （t ）/Ht 时刻的劳动总收入是W （t ）L （t ）/H t 时刻的消费支出是C （t ）L （t ）/H 家庭初始资本：K （0）/H家庭预算约束：()()()()()()()⎰⎰∞=-∞=-+≤00t t R t t R dt H t L t W e H K dt H t L t C e(5) 我们可以用家庭的资本持有量的极限形式表示预算约束将（5）式各项移到右边，化简得：()()()()[]()⎰∞=-≥-+000t t R dt H t L t C t W e H K （6）我们可以写出从t=0到t=∞的及积分形式作为一种极限，（6）式等价于：()()()()[]()00lim 0≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎰=-∞→st t R s dt H t L t C t W e H K （7）家庭最大化问题：考虑到技术进步，c （t ）为有效劳动的消费()()gt e A t A 0=，()()()t c t A t C =,()()()()H L A k K /0000=由（2）式：()()()()()[]()[]()()()()θθθθθθθθθθθ-=-=-=-=-------1010111111111t c e A t c e A t c t A t C t C u gt gt （8）将（8）式代入（1）得： a ．家庭效用函数：()()()()()()()()()()()dt t c e Bdt t c e e H L A dt H e L t c e A edt Ht L t C eU t tt gt t nt t gt tt t⎰⎰⎰⎰∞=--∞=----∞=----∞=---=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=1011101110111000101θθθθθβθθρθθθθρθρ （9）其中，()()H L A B /001θ-=，()g n θρβ---=1b ．家庭预算约束()()()()()()()()()()()⎰⎰∞=-∞=-+≤00000t t R t t R dt H t L t A t w e H L A k dt H t L t A t c e （10）其中，家庭的有效劳动数量是A （t ）L （t ）/H ，A （t ）L （t ）等于()()()t g n e L A +00 （11）将（11）代入（10）得到：()()()()()()()⎰⎰∞=+-∞=+-+≤000t tg n t R t t g n t R dt e t w e k dt e t c e （12） 求家庭最大化，由（9）和（12）式构造拉格朗日函数：()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=Φ⎰⎰⎰∞=∞=+-+-∞=--000101t t tg n t R t g n t R t t dt t c e e dt t w e e k dt t c e B λθθβ （13）其中，()g n θρβ---=1在时刻t ，家庭消费c （t ），对于每一个c （t ），一阶条件是：()()()t g n t R te e t c Be+---=λθβ （14）对（14）式两边取对数：()()()()()t g n d r t g n t R t c t B t++-=++-=--⎰=0ln ln ln ln τττλλθβ （15）利用了()()τττd r t R t⎰==两边求关于t 的导数：()()()()g n t r t c t c ++-=--∙θβ （16） 由（16）式得到：()()()()θθρθβgt r g n t r t c t c --=---=∙（17）利用了()g n θρβ---=1的定义。
拉姆齐定价模型
公用事业大都是自然垄断的行业，其定价受到政府主管机关的管制。
公用事业的定价与补贴机制是公用事业良性发展问题的核心。
由于公用事业的边际成本递减，边际成本定价法会导致企业的亏损，而平均成本定价法则会导致社会福利的净损失。
拉姆塞定价实际上是一种价格歧视，但它与获得垄断利润最大化为目的的第三级价格歧视不同，其价格的差别是以回收成本为目的，因此是一种管制上容许的价格歧视。
在盈亏平衡约束下,次优的定价方法是实现消费者剩余的最大化。
引用拉姆塞定价模型，令公用事业企业对n个不同市场（用户群）的需求逆函数：pi=p(qi)第i市场上的消费者剩余为:St=pi（qi）dqi−pi(qi)∗qiqi引入拉格朗日乘数⋋：π=pi qi dqi−pi qi∗qi−⋋(pi qi∗q−c(qi)nt−1)qi0经计算得：pi−mcpi ∗ε=⋋+1⋋整合有：p1−mc1p1p2−mc2p2=ε2式中:pi表示第I 时段的价格水平；mci表示第I 时段的边际成本；qi表示第I 个时段的客流量；εi表示pi对应的价格弹性。
图4-4 拉姆塞定价模型图示客流时间分布不均衡有3种情况，季节性或短期性客流不均衡（如旅游的旺淡季）；全日客流不均衡（不同线路工作日和双休日的客流变化）；不同时段客流不均衡（随人们的生活节奏和出行特点而变化）。
由于第1种情况规律性差，变化随机性大（如城市主办某一项重大活动），所以轨道交通余能利用的分时段票价主要针对后两种情况。
客流的空间分布不均衡也有3种情况:各条线路客流的不均衡，由于城市经济功能区、生活功能区与生态功能区的布局之间关系的差异而形成；上下行方向客流不均衡；各个车站乘降人数不均衡（与车站周边土地开发强度有关）。
而拉姆塞模型的含义为：需求弹性越小的市场，定价可以超出其边际成本的比例就越大，即越是在高峰时间，地铁票价越可以涨价可以凭此在最大化乘客满意度的情况下，根据弹性大小适当调整，设定最为适当的价格。
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At wt Lt r t At C t代入得 :
•
a wt r tat ct nat na t 表示人口按n速率增长时使家庭人均资产保持原有水平必须追加的投资或储蓄.
•
方程a wt r tat ct nat表明:人均资产随着人均收入wt r ta t的增长而增长,
随着人均消费ct和人口扩张率n 的上升而下降.这是家庭消费最大化的第一个限制条件.
ln C1/ ln P1/
C2 P2
得 u '(C) .同理我们可证明一个两期效用函数 :
u ''(C)C
U C11 1 C21 的 u '(C) .
1 1 1
u ''(C)C
•
将u
'(C)
C
,
u
''(C
)
C
1代入r
u c gc uc
gcc
•
得 : c 1/ r ,该式表明,r大于,等于,还是小于
首先建立这种家庭最优消费选择模型的是拉 姆赛(Rmsey,1928) ，凯斯(Cass)和科普曼斯 (Koopmans)在1965年又分别对它作了改进，我 们把这种类型的增长模型称为"拉姆赛模型"。
回顾：黄金分割律、最优消费和黄金率 资本存量水平
在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数， 储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人 均消费水平。当 s sgold 时，与最优储蓄（相对应 于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度 储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于 黄金率的储蓄率被证明是动态无效的s 。s当gold 时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权 衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。
2 跨期替代弹性不变，为1/，表示相对风险回避系数不变。
1，2表示两期的消费，定义跨期替代弹性为：
(C1/ C2) (C1/ C2)
/ /
(P1/ P2) (P1/ P2)
ln C1/ C2 ln P1/ P2
针对:
Max u[C(t)] C(t)1
1
s.t. P1C1 P2C2 W
应用L求极值法,求出C1和C2,代入
式中第一项是时刻t消费c的效用的贴现值.为Hamilton乘子,
表示在t时刻一个单位的资本存量的增加所带来效用增加量
的现值,也有将其称为效用的影子价格.这样,第二项表示:
t时收益的效用以0时刻的收益效用来表示.
一阶最优条件为:
H u c ent 0
1
c
•
H
r n
2
a
横截性条件(Transversality condition-TVC,
本讲的主要工作是将储蓄率作为内生变量引
入模型，做到这一点的办法是考察家庭的消费行 为，因为储蓄率是由家庭的消费行为决定的。
考察家庭费行为的办 法是利用消费的效用函
数，家庭消费决策的原则是使长期内家庭整体消 费效用最大化。 有了家庭的消费效用函数，我门 可以分析家庭在各种资本和产出水平(相当于当前 和长期的消费约束)，如何选择消费量(或储蓄率) 的规律，从而使储蓄率成为模型的内生变量。
c
决定了家庭的最佳消费模式是人均消费不断上升, 保持
不变,还是逐步下降.
我们讨论一下横截性条件
TVC
:
lim
t
t
ga
t
0,
该横截性条件表明,当时间趋向于无穷远时,家庭人均
资产的效用 t ga t 必须趋向于0,即无穷远时间的资产
在现在看来毫无价值.
•
H
r n
•
/
r
n,方程两边对时间: 0 t积分,
家庭收入除用来消费外，其余的用来储蓄以增加资产。记t时刻家庭的总的消费水平为C t ，
这样家庭的预算约束可以表示为:
•
At wtLtrt AtCt 定义at At / Lt为t时刻家庭拥有的人均资产,ct C t / Lt为和t时刻家庭的人均消费, 并且L的增长率为n,这样方程:at At / Lt两边对t求导,并将
A Contribution to the Theory of Taxation,1927
A Mathematical Theory of Saving,1928
一、问题的提出
前面各种增长模型之所以都将储蓄率看作外 生常数，主要是为了简化模型的分析，另一方面 是因为在许多经济中其相对比较稳定，在一定时 期内变化不大。但是，增长理论研究的是长期的 动态经济增长，长期间储蓄率是变化的，将其作 为外生常数排除了经济增长与其的相互作用。从 前面的讨论可知，一个经济是否有稳定状态，是 否收敛，收敛速度多快以及是否存在内生经济增 长等都与储蓄率的变化有关，因此排除经济增长 对储蓄率的反作用必然使经济增长的关键特征都 由模型的外生参数决定，使模型无法解释经济增 长真正的内在规律和机制，这是造成哈罗德一多 马模型、索洛（及其基础之上的衍生）模型解释 经济增长能力局限性的根本原因。
现在, 家庭的最优消费问题变为,在预算约束:
lim
t
a t gexp
t 0
r
v
n
dv
0和
•
a wt r t a t c t na t 下
e 求解 :U (n)tu[c(t)]dt的最大值. t o
利用Hamilton系统来求解上述优化问题.对于上面的优化问题
定义Hamilton方程 : H u c ent w r n a c
当前人均消费c的变化而引起效用的变化率之和,这个和表明了
当前消费的回报率,它应等于当前投资的回报率r.这就是通常所讲
的市场无套利原则在宏观经济学中的体现.
效用函数的形式为：u[C(t)] C(t)1 , 0, n (1 )g 0 保证效用u不发散
1
该函数具有以下三个特点：
1边际效用弹性不变: du ' C u ''C ; u '(C) C ,u ''(C) C 1 dC u ' u '
第二个限制条件是 :
lim
t
a t gexp
t 0
r
v
n
dv
0
即时间的无限推移,人均净资产的"贴现值"渐进非负,
这说明人均净资产的净贴现值 由r t n决定不能为负,
否则,在未来远期的某一时刻,家庭将会停止投资.
也可反过来说,一个家庭的长期人均债务的增长速度不能
超过r t n,否则收益将为负.
0 0
对给定的财富量, 平均利率r t 的提高对方程 1 e dt rt1 / / ngt
0 0
中的边际财富消费倾向有两方面的影响:
1较高的利率提高当前消费相对于将来消费的机会成本, 跨时期消费的
替代效应会刺激人们把当前消费改为将来消费,即当前少消费,多储蓄(投资).
2较高的利率又有收入效应, 会提高所有时间的消费水平,包括当前的消费 水平.因此平均利率r t 的提高对 0的净影响取决于上述哪种效应更强. 分析 : 1如果 1( 0), 越小,随r t 的上升, 0 将下降, c 0也将下降,意味着
速度超过r-n,那么多出来的那一部分用于消费,家庭人均福利能够提高.
消费函数 :
上述方程中的: exp
t
0
r
v
dv
项是将时刻t的一单位收入转化为0时刻的
等价单位的贴现因子.如果r v等于常数r,则贴现因子简化为ert .
如果定义:r
t
1
/
t
t
0
r
v
dv为时间0至t之间的平均利息率,
则贴现因子为ertgt .
第三讲 无限期界模型（拉姆齐模型）
Frank Ramsey
Frank Ramsey (1903-1930), Britishmathe matician and philosopher, best known for his work on the foundations of mathematics. But Ramsey also made remarkable contributions to epistemology, semantics, logic, philosophy of science, mathematics, statistics, probability and decision theory, economics and metaphysics.
e e e
U
tu[c(t)] ntdt
( n)tu[c(t)]dt
t o
t o
n说明子女越多，父母对每个子女福利的重视程度就会越小，
即父母会加速对不断增多子女的"轻视"程度.
2.家庭的资产和债务
记t时刻家庭拥有的总资产为A(t)。这里A(t) 可以为正的，也可以为负的。当A(t)为正时表明 此时家庭拥有正的资产;反之，A(t)表示家庭的负 债。假设在完全竞争条件下，市场上的资本回报 率(即利率)为r(t)。这样家庭所拥有的资产在t时 刻可以带来的收益为A(t)r(t) 。如果A(t)为负， A(t)r(t) 表示此时家庭必须付的债务利息。同时， 假设家庭可以为社会提供劳动力，得到工资回报。 假设在t时刻的工资率（人均工资）为w(t)，家庭 提供的劳动力为L(t)。这样，家庭通过劳动得到 的收益为w(t)L(t)。因此，在t时刻家庭的总收入 为r(t)A(t)+w(t)L(t)。
当前少消费,多储蓄(投资).说明替代效应强.
2如果 1, 越大,随r t 的上升, 0也会上升, c 0上升,说明替代效应强逐渐
将
•
c/
c
1
/
r