浮点数的表示
浮点数的表示方法
第三章浮点数浮点数的表示方法
浮点数是指小数点在数据中的位置可以左右移动的数据，它通常被表示成：N=Ｍ·ＲＥ，这里，Ｍ
为浮点数的尾数，Ｒ称为阶的基数，Ｅ称为阶的阶码。
计算机中一般规定Ｒ为２、８或１６，是一常数，不需要在浮点数中明确表示出来。
要表示浮点数，一是要给出尾数，通常用定点小数的形式表示，它决定了浮点数的表示精度；二是要给
出阶码，通常用整数形式表示，它指出小数点在数据中的位置，也决定了浮点数的表示范围。
浮点数一般也有
符号位。
浮点表示方法
浮点表示方法浮点数是计算机中的一种常见的数值表示法，主要用于表示小数。
在计算机内部，浮点数的表示需要使用特定的方法，这就是浮点表示方法。
下面，就让我们一步步来探究这一方法。
首先，我们需要了解浮点数的结构。
在浮点数中，有两个重要的部分：符号位和数值部分。
符号位决定浮点数的正负，而数值部分则包含了整数位和小数位。
接着，我们需要了解浮点数的精度。
由于计算机内部的存储空间是有限的，所以浮点数的精度是有限的。
在计算机内部，浮点数一般使用32位或64位的二进制数表示。
这意味着浮点数的精度是有限的，可能会存在一些精度误差。
接下来，我们要了解浮点数的表示方法。
在计算机内部，浮点数的表示方法主要有两种：IEEE 754标准和IBM格式。
在这两种方法中，IEEE 754标准是更为常用的一种。
在IEEE 754标准中，一个符号位和数值位都被存储在一个32位或64位的二进制数中。
在这个二进制数中，最高位表示符号，后面的位表示数值。
在数值部分，一定数量的位被用来表示整数部分，剩下的位则被用来表示小数部分。
其中，小数部分的位数称为尾数。
IEEE 754标准又将数值部分分为三个部分：符号位、指数位和尾数位。
指数位的作用是表示浮点数的真实值需要乘以的指数。
最后，我们要了解浮点数常见的错误。
由于浮点数的精度和精确表示有限，计算机进行浮点数运算时会存在一些精度误差。
这就会导致在浮点数计算中出现一些未知的错误。
例如，一些简单的计算可能会得出错误的结果。
以上就是关于浮点表示方法的一些基本内容。
掌握了这些知识，在进行浮点数计算时就可以更加准确地进行。
同时，还需要注意浮点数的精度以及计算中存在的误差，以保证计算结果的准确性。
浮点数的表示方法
浮点数的表示方法
一、浮点数表示
一个数的浮点形式（设基数是2）可写成：
N = M × 2E
其中:M代表尾数,E代表阶码。
计算机中浮点数只用尾数和阶码表示，其形式如下：
浮点数的精度由尾数决定，数的表示范围由阶码的位数决定。
为了最大限度提高精度，尾数采用规格化形式，既1/2≤M<1。
采用二进制表示时，若尾数大于零，则规格化数应该是01XXXX的形式；若尾数小于零，则规格化数应为10XXXX的形式。
二、机器零
当浮点数的尾数为0或阶码为最小值时，计算机通常把该数当作零，因此程序中进行浮点运算时，判断某数是否为零，通常可以用小于某个极小值来代替。
三、实例
【例1】设X=0.0110×23 ,用补码、浮点数形式表示阶码为X j=011，尾数为00110，这时由于X 尾数不符合01XXXX的形式，因此不是规格化数，必须先进行规格化处理。
方法：若尾数小于1/2，把尾数左移一位（不包括符号位），观察结果是否满足规格化条件，满足则在把阶码减1即可，否则继续左移和调整阶码；若尾数大于1，则把尾数右移一位（不包括符号位），观察结果是否满足规格化条件，满足则在把阶码加1即可，否则继续右移和调整阶码。
上例中，00110左移一位为01100，符合规则化标准，此时阶码减1，为010即得到浮点表示形式。
这个数具体在计算机中如何表示要看计算机中规定的阶码和尾数的位数，若阶码和尾数均为16位，则上面的数X在计算机内部表示就是00000000000000100110000000000000 ，不足
均用零填充。
浮点数正确表示形式举例
浮点数正确表示形式举例浮点数是计算机科学中用来表示实数的一种数据类型。
在计算机中，浮点数通常被表示为一个带有小数点的数，包括整数部分和小数部分。
浮点数的正确表示形式取决于所采用的浮点数标准。
最常见的浮点数标准是IEEE 754标准，它规定了浮点数的表示形式和计算规则。
根据IEEE 754标准，浮点数被表示为三个部分：符号位、指数位和尾数位。
举个例子来说，假设我们使用单精度浮点数格式（32位）来表示浮点数。
在这种格式中，符号位占用1位，指数位占用8位，尾数位占用23位。
我们以十进制数12.345为例，将其转换为浮点数表示形式。
首先确定符号位，由于12.345是正数，符号位为0。
然后将12.345转换为二进制数，即1100.001001。
接下来，将小数点左移，使其成为规格化数：1.100001001*2^3。
指数位为3，需要使用偏置表示法，即将指数值加上一个偏置值，这里偏置值为127，所以指数位为130（3+127）。
最后，将尾数位截取为23位，即10000100000000000000000。
所以，浮点数12.345的32位表示形式为0 1000001010000100000000000000000。
需要注意的是，浮点数的表示形式是近似值，不一定能够精确地表示所有实数。
特别是在进行浮点数计算时，可能会出现舍入误差。
因此，在进行浮点数计算时，需要注意数值精度的损失问题，以及可能导致的计算结果不准确的情况。
总结起来，浮点数的正确表示形式取决于所采用的浮点数标准。
在IEEE 754标准中，浮点数被表示为符号位、指数位和尾数位的组合。
实际使用中，我们需要了解浮点数的表示形式以及可能引发的计算误差，以确保正确使用浮点数进行计算。
浮点数详解
浮点数详解
浮点数是一种表示带有小数部分的数值的数据类型。
在计算机中，浮点数由两部分组成：有效数字和指数。
有效数字代表实际的数值，
而指数表示该数值的放大或缩小倍数。
浮点数采用科学记数法来表示，即数字用一定的位数表示，然后
乘以10的幂。
例如，3.14可以表示为3.14x10^0，而0.001可以表示
为1x10^-3。
这种表示方法使得计算机可以处理非常大或非常小的数值，但是也引入了一定程度的精度问题。
由于计算机中的浮点数是有限的，所以无法精确表示所有的实数。
在进行浮点数运算时，可能会出现一些舍入误差。
例如，对于某些无
理数，无法精确表示其所有位数，因此会产生一些近似值。
同时，浮
点数的表示范围也是有限的，超出范围的数值可能会被截断或近似表示。
浮点数的精度也会受到计算机硬件的限制。
通常，浮点数的精度
由计算机的字长决定。
较长的字长可以提供更高的精度，但也需要更
多的存储空间和计算时间。
为了提高浮点数的精度和减小舍入误差，计算机科学家和工程师
们设计了各种浮点数表示方法和算法。
IEEE 754标准是目前广泛使用
的浮点数表示标准，它定义了浮点数的位数、格式和运算规则。
总之，浮点数是一种在计算机中表示带有小数部分的数值的数据
类型。
虽然浮点数可以处理非常大或非常小的数值，但也存在精度和
舍入误差的问题。
计算机科学家和工程师们通过不断的研究和改进，
不断提高浮点数的精度和准确性。
浮点数表示方法总结
二进制表示为： 1 1111111 1 00000000000000000000000 真值： 2127
（3）规格化需要特别注意其尾数的形式！ ！！尾数为补码，注意其正、负的表示形式
最大正数形式： 1 1111111 0 11111111111111111111111 真值： (1 2 23 )2127
最小负数： 1 11111110 11111111111111111111111 真值： (2 2 23 )2127
另，当全 0 时，用来表示浮点 0
关于规格化的 IEEE 长浮点数的范围，请大家自行推理研究。 上次考试原题： IEEE754 标准规定 32 位浮点数格式中，符号位 示的最大规格化正数为：
2）的形式；
（ 2）当尾数真值为 0（不论阶码何值） ，或阶码的值比能在机器中表示的最小值还小，计算机把该浮
点数看成零值，称为机器零，即浮点数表示不了真值绝对值很接近
0 的数，只能看成 0 处理；
（ 3）尾数通常用原码或补码表示，阶码一般用移码或补码表示，如无特别说明，采用课本
44 页移
码表示方法。
最大：尾数部分 0111… 11，真值为 1 2 n ；
最小：尾数部分 0100… 00，真值为 1 ； 2
尾数符号 1位
尾数数值 n 位
②尾数 <0 时，其尾数部分形式
1 0XXXXXXXXXXXXXXXXXX
称为规格化
（注意：某些书上对此含糊其辞，参考清华（郑纬民：计算机系统结构）与上交大的书，以此为准！
①尾数 >0 时，其尾数部分形式
尾数符号 1位
尾数数值 n 位
浮点数结构
浮点数结构浮点数是计算机科学中一种常见的数据类型，用于表示实数（即小数）和非常大或非常小的数字。
浮点数的结构是由三个部分组成：符号位、指数位和尾数位。
1. 符号位：用于表示浮点数的正负，通常用一个bit位来表示，0表示正数，1表示负数。
2. 指数位：用于表示浮点数的指数部分，可以使浮点数具有更大的范围。
指数位的长度决定了浮点数的表示范围，常见的有8位、11位和15位等。
3. 尾数位：用于表示浮点数的尾数部分，即小数部分。
尾数位的长度决定了浮点数的精度，常见的有23位、52位和64位等。
浮点数的表示采用科学计数法的形式，即将一个实数表示为一个有符号的数乘以一个基数的幂的形式。
例如，浮点数1.23可以表示为1.23e0，其中e0表示10的0次方。
浮点数的指数部分可以取负数，例如1.23e-3表示0.00123。
浮点数的运算常常涉及到舍入误差。
由于浮点数的表示是有限的，而实数是无限的，因此在进行浮点数运算时会出现舍入误差。
例如，对于浮点数0.1和0.2进行加法运算，得到的结果可能是0.30000000000000004，而不是我们期望的0.3。
这是由于浮点数的尾数位长度有限，无法精确表示0.1和0.2这样的无限小数。
浮点数的精度可以通过尾数位的长度来控制。
尾数位的长度越长，表示浮点数的精度越高。
例如，64位浮点数可以表示双精度浮点数，精度达到15位小数，而32位浮点数只能表示单精度浮点数，精度只有7位小数。
在实际应用中，浮点数被广泛用于科学计算、工程计算和金融计算等领域。
例如，在物理学中，浮点数被用于表示粒子的质量、速度和能量等物理量。
在工程学中，浮点数被用于表示电路的电压、电流和功率等参数。
在金融学中，浮点数被用于表示股票价格、利率和交易金额等数据。
然而，浮点数在表示和计算上存在一些问题。
首先，浮点数的精度有限，无法精确表示一些无理数和无限小数。
其次，浮点数的运算可能产生舍入误差，导致结果不准确。
另外，浮点数的比较操作也存在问题，由于浮点数的表示不唯一，相等的浮点数在计算机中可能被认为是不相等的。
概述浮点数的表示形式、表示范围、规格化
概述浮点数的表示形式、表示范围、规格化1. 前言在计算机科学和数值计算中，浮点数是一种用于近似表示实数的数据类型。
浮点数的表示形式、表示范围和规格化是计算机科学中非常重要的概念和知识点。
本文将从简到繁，由浅入深地探讨浮点数的表示形式、表示范围和规格化。
2. 浮点数的表示形式浮点数通常以科学计数法的形式表示，包括两部分：尾数和指数。
以二进制表示的浮点数通常采用IEEE 754标准，其中规定了单精度浮点数和双精度浮点数的表示形式。
单精度浮点数占32位，双精度浮点数占64位。
在IEEE 754标准中，浮点数采用“符号位-指数位-尾数位”的形式表示，其中符号位表示正负，指数位表示指数部分，尾数位表示尾数部分。
3. 表示范围浮点数的表示范围取决于浮点数所占的位数。
单精度浮点数的表示范围约为1.4013e-45到3.4028e+38，双精度浮点数的表示范围约为4.9407e-324到1.7977e+308。
表示范围的大小直接影响了浮点数能够表示的最大值和最小值。
4. 规格化规格化是指将浮点数表示为规格化形式，即将尾数部分的最高位固定为1，并且将指数部分调整为合适的值。
规格化可以使浮点数的表示更加简洁、清晰，并且可以减少出现溢出和下溢的可能性。
5. 个人观点和理解浮点数的表示形式、表示范围和规格化是计算机科学中非常基础和重要的概念。
对于编程语言和数值计算的学习者来说，深入理解浮点数的表示形式和规格化，可以帮助他们更好地理解计算机中浮点数的存储和运算方式，从而编写更加高效和准确的程序。
6. 总结本文从简到繁，由浅入深地探讨了浮点数的表示形式、表示范围和规格化。
通过本文的阐述，读者可以更全面、深刻和灵活地理解浮点数相关的基础知识，以便在实际工作和学习中能够更好地应用和运用这些知识。
在文章中多次提及“浮点数”的关键词，以确保文章内容贯穿主题。
文章总字数大于3000字，并使用普通文本撰写，遵循知识文章格式。
7. 浮点数的精度除了表示范围和规格化外，浮点数的精度也是一个重要的方面。
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解：① 0.15625转换成二进制值为0.00101，
在IEEE754中规格化表示为1.01×2－3， e＝127－3＝124，
IEEE754编码为：0 01111100 01000000000000000000000
②－5转换成二进制值为：－101
在IEEE754中规格化表示为1.01×22， e＝127＋2＝129， IEEE754编码为：1 10000001 01000000000000000000000
阶码用移码表示为： 0100 101101
“Father” of the IEEE 754 standard
直到80年代初，各个机器内部的浮点数表示格式还没有统一 因而相互不兼容，机器之间传送数据时，带来麻烦 1970年代后期, IEEE成立委员会着手制定浮点数标准 1985年完成浮点数标准IEEE754的制定 现在所有计算机都采用IEEE754来表示浮点数 This standard was primarily the work of one person, UC Berkeley math professor William Kahan.
双精度格式: 64位,符号位1位， E=11位, M=52位
1 E 11 M 尾数 52
S符号位
阶码
64位双精度形式
IEEE754标准浮点数表示
阶码用移码、尾数用原码，因为规格化原码尾数的最高为恒为1，为增加一 位的精度，该1在尾数中不表示出来，计算时在尾数前面自动加1. 1 8 23 E 1.M （ 原 码 规 格 化 ） 尾数 32位单精度形式
例
将下列十进制数表示成浮点规格化数，阶码4位(含符
号)，分别用补码和移码表示；尾数6位(含符号)，用补码 表示（要求规格化）。 ① 19/512 ② －19/512
解： ① 19/512=10011×2－9=0.10011×2－4 阶码用补码表示为： 1100 010011
阶码用移码表示为： 0100 010011 ② －19/512=－10011×2－9=－0.10011×2－4 阶码用补码表示为： 1100 101101
相当于此时移码 的计算不是加 128，而是加 127
IEEE754标准浮点数表示
几个特殊数值：
当E的二进制位全为1时为特殊数值：此时，
若M的二进制位全为0，则n表示无穷大。若S为1则为负 无穷大，若S为0则为正无穷大; 若M的二进制位不全为0时，表示NaN(Not a Number)， 表示这不是一个合法实数。
即：41100000H
解答(2)
5/32= (-1)0×0101×2-5
=(-1)0×2-5×22×1.01
=(-1)0×2124-127 ×1.01
二进制代码为： 0 01111100 01000000000000000000000 即：3E200000H
浮点数表示
定点表示法的特点 定点数表示数的范围受字长限制，表示数的范围有 限; 定点表示的精度有限； 机器中，常用定点数表示纯整数和纯小数，表示即 有整数又有小数时比较麻烦。
浮点数的表示格式
对任意一个二进制数N，总可以写成： N= 2E×M ，式中： E为数N的阶码，M为数N的尾数； 可见浮点数是由阶码和尾数两个部分组成的。
S符号位
阶码
即，如果要表示一个数，需要把该数写成： (-1)s × 1.M × 2(x)真值 而规格化浮点数形式是： (-1)s × 0.1M ×2(128+x)移码 = (-1)s × 1.M × 2(127+x)移码
单精度数所表示的数值为 (-1)s × 1.M × 2e－127。 双精度数所表示的数值为 (-1)s × 1.M × 2e－1023。 其中： s=0表示正数，s=1表示负数；
IEEE754标准浮点数表示
例 将十进制数9和5/32转换为IEEE754标准的单精度数, 并用8位十六进 制表示
解答(1)
9= (-1)0×1001=(-1)0×23 ×1.001 =(-1)0×2130-127 ×1.001
二进制代码为：
0 10000010
00100000000000000000000
E为全0时：M全为0时，表示机器0；M不全为0时， 表示非规格化的数。 单精度数e的取值为1～254（8位表示），M为23位， 共32位；双精度数e的取值为1～2046（11位表示）， M为52位，共64位。
IEEE754标准浮点数表示
例 写出下列十进制数据的IEEE754编码 ① 0.15625 ②－5
/~wkahan/ ieee754status/754story.html
Prof. William Kahan
IEEE754标准浮点数表示
单精度格式: 32位, 符号位1位，阶码 E=8位, 尾数 M=23位
1 E 8 M 尾数 23
S符号位
阶码 32位单精度形式
浮点数在计算机中的表示格式如下：
MS E 数符 阶码 定点整数移码表示
或
Байду номын сангаас
M 尾数值 定点小数补码表示
ES E MS M 阶符 阶码 数符 尾数值 定点整数补码表示 定点小数补码表示
浮点数的表示格式
E 阶码 Es Ek-1 … E1E0 Ms Mn-1
阶 符 阶码的 数值部分 数 符 小数点位置
M 尾数
…
M1 M0
尾数的数值部分
Ms n k Es 和 k
代表浮点数的符号 其位数反映浮点数的精度 其位数反映浮点数的表示范围 共同表示小数点的实际位置
规格化
同一个浮点数表示不唯一，如：
1.11 × 20, 0.111 × 21
①原码规格化后的尾数 正数为 0.1×…×的形式
负数为 1.1×…×的形式
②补码规格化后的尾数 正数为 0.1×…×的形式 负数为 1.0×…×的形式