黑龙江大庆实验中学2017-2018学年度高一下学期期中考试数学理科试题卷及答案解析
B. ①④
FG 平面
；与
FG 平面
；选 A.
C. ②③ 相交，所以②错；④错
D. ②④
7.下列命题不正确的是（ ） A. 若任意四点不共面，则其中任意三点必不共线 B. 若直线 上有一点在平面 外，则 在平面 外 C. 若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 D. 若直线 中， 与 共面且 与 共面，则 与 共面 【答案】D
19.正三棱柱
中， 是 上一点，若
．
（ ）若底面边长为 ，侧棱长为 ，求该正三棱柱的表面积、体积． （ ）求证： 平面 ．
【答案】（ ） 【解析】
，
（ ）见解析
试题分析：
（1）由等边三角形、矩形的面积公式可得柱体的表面积；由体积公式可得柱体的体积。（2）由题意可证得点
D 为 BC 的中点，连 ，交 于 点，则点 O 为 的中点，连接 ，可得
【解析】 A．若任意三点必共线，则必有四点共面，∴矛盾，∴A 正确． B．根据直线在平面外的定义可知，当直线和平面相交或直线和平面平行时，满足条件，∴B 正确． C．若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则所有直线都和平面，没有公共点，∴这两个平面平 行，∴C 正确． D．若三条直线满足两两异面，则结论不成立，∴D 不正确． 故选：D．
为三棱锥
的各棱长都相等，设为 1，则
，即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，选 B. 点睛：本题主要考查求异面直线所成角，线线角找平行，主要考查学生空间想象能力以及转化能力.
6.在正方体 ① 平面
中，
分别是 、 、 的中点，给出下列四个推断：
；②
平面
；
③
平面
； ④ 平面
其中推断正确的序号是（ ）
平面
A. ①③ 【答案】A 【解析】
相减法求出 .再求出 . 试题解析:（1）
详解：因为 因此
，所以 ，选 D.
点睛：本题主要考查等差数列基本量，主要考查学生基本运算能力.
2.若
，则下列不等式不能成立的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
ห้องสมุดไป่ตู้
，有
，A 正确；
因为 ，所以
，B 正确；
，C 正确；
当 故选 D.
时，
，
，
不成立，D 错误。
3.下列命题中正确的是( ) A. 利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形 B. 利用斜二测画法得到的 平行四边形的直观图是平行四边形 C. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合 中的一个特殊值 ，使 不成立即可.要判断存在
性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个 ，使 成立即可，否则就是假命题.
10.已知数列 的首项
，且满足
，则 的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
分析：先根据叠加法求数列通项公式，再利用对勾函数单调性确定函数最值.
第三步：求结果.
二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13.已知圆锥底面圆的半径为 1,侧面展开图是一个圆心角为 的扇形,则该圆锥的侧面积是____________. 【答案】 【解析】 分析：先根据扇形弧长公式解得母线长，再根据圆柱侧面积公式求面积.
详解：因为侧面展开图是一个圆心角为 的扇形,所以
当点 P 为 MN 中点 O 时，
． ， ，此时 最短；点 P 位于 M、N 处时， 最长．
∵
，
．
∴线段 长度的取值范围是
．
故选 B．
点睛：本题难度较大，解题时要借助几何图形判断得出使得 取得最值时的点 P 的位置，然后再根据勾股
定理进行计算．
12.在 A. 3
中，若
，
,则 等于( )
B. 4
C. 6
详解：设高度为 h，则
，
点睛：研究两个直角三角形边角关系时，需从公共边出发，结合已知条件列出等量关系，进而求得未知量.
15.设 为正实数，且
【答案】 【解析】
∵
,令
∴
，
∴
，
，则 ，
∴ 又∵
∴
当且仅当
时，即
时
∴
的最小值为 .
的最小值为________.
； 取得最小值，
16.已知数列
为公差不为零的等差数列，且 中的项组成的数列
于零，则三角形为直角三角形；最大角余弦值大于零，则三角形为锐角三角形.
5.已知三棱锥
的各棱长都相等， 为 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
分析：求线面角关键找平行，利用三角形中位线是解决本题的关键，再根据余弦定理求求得结果. 详解：取 AC 中点 M，则因为 为 中点，因此 ME 平行 AB，从而异面直线 与 所成角等于∠MED，因
，则
________.
恰为等比数列，其中
【答案】 【解析】 分析：先根据等比中项性质得到等差数列公差与首项关系，再求等比数列公比，进而得等比数列通项公式， 解出 ，最后根据分组求和法得结果.
详解：设数列 公差为 ，则
，
因此
从而 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的
【答案】C
【解析】
分析：先根据正弦定理以及余弦定理将条件化为边的关系：
得结果.
D. 7 ，再与已知条件联立方程组，可
详解：因为
，所以
，
因此
选 C.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角
之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的 已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
8. 某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是（ ）
A.
B. 5
C.
【答案】A
【解析】
试题分析：由三视图可知该四棱锥底面为直角梯形， 底面
D. ，如下图所示
由上图可知：
，
，所以
，
．
考点：三视图．
9.给出以下四个命题：
①若
，则
；
②若 ，则
；
③在 中，若
，则 ；
④任意 ，都有
，则
.
其中是真命题个数为（ ）
【答案】B 【解析】 分析：根据斜二测画法垂直条件转化为 45 度关系，垂直方向的长度也减半，由此判断 A,B 真假；根据棱 柱以及棱台定义确定 C,D 真假. 详解：利用斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形； 利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形； 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台； 因此 B 正确，选 B. 点睛：本题主要考查斜二测画法以及棱柱、棱台定义，考查学生识别与理解能力.
4.在 中，已知三边 ， ， ，则 是（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 无法确定
【答案】C
【解析】
分析：研究三角形形状可从最大角入手，利用余弦定理，根据余弦值的正负确定三角形形状.
详解：因为 C 角最大，且
，所以 C 角为钝角， 是钝角三角形，选 C.
点睛：利用余弦定理可判断三角形形状：最大角余弦值小于零，则三角形为钝角三角形；最大角余弦值等
用三角变换或代数式恒等变形（因式分解，配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提公
因式，否者会漏解
试题解析：（1）由 A，B，C 成等差数列，有 2B=A+C（1）
因为 A，B，C 为△ABC 的内角，所以 A+B+C=π．（2）
得 B= b2=a2+c2-2accosB
所以（
解得
或
（舍去）
，
.
（1）证明：数列
为等比数列；
（2）若
，数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】（1）数列 【解析】
是以 2 为首项，2 为公比的等比数列（2）
试题分析: (1)由已知等式,得出 与
的 关系,得出
与
的关系,利用等比数列定义得证;
(2)由(1)求出数列 的通项公式,代入 中,求出 通项公式,设数列
的前 项和记为 ,用错位
详解：因为
，所以
因此
； ，
因为
，
所以当 时，取 最小值 ，选 C. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” (即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应 用，否则会出现错误.
11.如图，在棱长为 1 的正方体
18.在 中，角 的对边分别为 ，且 成等差数列
（1）若
，求 的面积
（2）若
成等比数列，试判断 的形状
【答案】 【解析】
试题分析：（1）在解决三角形的问题中，面积公式
最常用，因为
公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来；在求面积时注意角优先；（2）在判断三角
形的形状时，一般将将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再利
中，点 分别是棱 ， 的中点， 是侧面
点，若
平面 ，则线段 长度的取值范围是（ ）
黑龙江省大庆实验中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
点睛：利用线性规划求最值的步骤：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ 型）、斜率型（ 型）和距离型（ 型）．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
详解：由题意，|CM|≤ ，
∴（5﹣1）2+（t﹣3）2≤20，
∴2≤t≤6，
故选：D．
点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确转化是关键．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.
6.设 ， 是两条不重合的直线， ， 是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若 ， ，则 ；
②若 ， ， ，则 ；
③若 ， ， ，则 ；④若 ， ， ，则 .
则正确的命题为（）
A.①②③B.②③C.③④D.①④
【答案】C
【解析】对于①，还可能有 ，故①错；对于②， 与 还有可能异面，故②错；③④正确．
考点：本题主要考查两直线垂直关系。
点评：简单题，构建m的方程，求m。
4.已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则公比 的值为（）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】分析：a1，a3，a2成等差数列得2a3=a1+a2，利用数列的通项公式展开即可得到公比q的方程，易求
详解：由题意2a3=a1+a2，∴2a1q2=a1q+a1，∴2q2=q+1，∴q=1或q= .
黑龙江省大庆实验中学1718学年高一下学期期中考试——
黑龙江省大庆实验中学2017—2018学年度下学期期中考试高一物理试题一、选择题（本题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，1-9小题只有一个选项正确，10-14小题有多个选项正确.全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不选的得0分．）1.下列关于万有引力的说法正确的是（）A.牛顿测出了万有引力常量GB. 对于质量分布均匀的球体，公式F=G中的r指两球心之间的距离C. 因地球质量远小于太阳质量，故太阳对地球的引力远小于地球对太阳的引力D. 只有当物体的质量大到一定程度时，物体之间才有万有引力2.关于曲线运动下列叙述正确的是（）A. 物体受到恒定外力作用时，就一定不能做曲线运动B. 物体只有受到一个方向不断改变的力，才可能做曲线运动C. 物体受到不平行于初速度方向的外力作用时，就做曲线运动D. 平抛运动不是匀变速曲线运动3.如图所示，木块M可以分别从固定斜面的顶端沿左边或右边由静止开始滑下，且滑到A点或B点停下．假定木块M和斜面及水平面间有相同的动摩擦因数，斜面与平面平缓连接，图中O点位于斜面顶点正下方，则（）A. 距离OA等于OBB. 距离OA大于OBC. 距离OA小于OBD. 无法做出明确的判断4.如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，开始弹簧处于原长h，让圆环沿杆滑下，圆环滑到杆的底端时速度恰好为零，则在圆环下滑过程中（）A. 圆环机械能守恒B. 弹簧的弹性势能先增大后减小C. 当圆环的动能最大时弹簧的弹性势能最大D. 当圆环滑到杆的底端时弹簧的弹性势能为mgh5.如图所示，在倾角为θ的固定斜面顶端A以初速度v0水平抛出一个可视为质点的小球，小球最后落在斜面上的B点．从小球运动轨迹上离斜面最远处的C点作斜面的垂线，与斜面的交点为D，且CD=H，AD=x1，BD=x2，不计空阻力，下列说法正确的是（）A. 一定有x1＞x2B. 一定有x1＜x2C. x1、x2的大小关系与v0有关D. x1、x2的大小关系与H有关6.如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R=90m的大圆弧和r=40m的小圆弧，直道与弯道相切。
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。
2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题 word版
2017—2018学年度第二学期期中高 一 数 学 试 题（答卷时间：120分钟．试卷分值：150分、共4页 ）选择题：（每题5分，满分60分）1．．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A. 45 B ．－45 C. 35 D ．－352．如果 ,42ππ<θ<那么下列各式中正确的是（ ）A. co s tan sin θ<θ<θB. sin co s tan θ<θ<θC. tan sin co s θ<θ<θD. co s sin tan θ<θ<θ3． 600sin 的值为（ ）A ． 21B ． 21-C ． 23D ． 23-4．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A. 22 B. 12 C ．0 D ．－15．已知523cos sin =+x x ，则sin 2x =（ ）A ．1825B ．725C ．725- D ．1625-6．要得到函数c o s 23y x π=+（）的图像，只需将函数c o s 2y x =的图像（） A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度7．下列向量的运算中，正确的是 （ ）A ．AB BC A C -= B ．A B B C C A +=C ．A B A C C B -= D ．A B A D D C B C --=8．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是 ( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2)9．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ） A ．6556 B ．－6556 C ．5665 D ．－566510、函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ) 0,22ππωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值A ．2，－3π 2，－6π C ．4，－6π D ．4，3π11．平面向量a 与b 的夹角为60°，|a|＝2，b ＝13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则|a ＋2b|＝( ) A.3 B ．23 C ．4 D ．1212.在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，且AD ·AB ＝AD ·AC ，则AD ·AB 的值等于 ( )A ．4B ．0C ．－4D ．8二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．在平行四边形A B C D 中，若B C B A B CA B +=+，则四边形A B C D 是________．14．设扇形的周长为8cm ，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是 ．15．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值是 ．16、.给出下列命题①存在实数α，使sinαcosα=1；②存在实数α，使sinα+cosα=23；③y=sin(x 225-π)是偶函数；④x=8π是函数y=sin(2x+45π)的一条对称轴方程；其中正确命题的序号是_________.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17（10分）化简：s in +c o s 22c o s (+)ππααπα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋()s in c o s 2s in (+)ππααπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.18.(12分)已知锐角αβ、满足5310s in ,c o s 510αβ==，求αβ+的值19.（本小题满分12分）已知向量3(sin ,)2ax =，(c o s ,1)bx =-.当a ∥b 时，求22co s sin 2x x -的值；20．（本小题满分12分）已知向量a = e1－e2，b= 4 e1+3 e2，其中e1=（1，0），e2=（0，1）.（1）试计算a·b 及|a + b|的值；（2）求向量a 与b 的夹角的大小.21、（12分）已知函数f(x)＝cos22x －sin 2x cos 2x －12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域 （2）求函数单调递减区间（3）若f(α)＝3210，求sin 2α的值．22．(本小题满分12分)已知(c o s ,s in )a αα=，(c o s ,s in )b ββ=，其中0αβπ<<<．(1)求证：a b + 与a b -互相垂直；[(2)若k a →+→b 与a k →-→b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)．。
黑龙江省大庆一中2017-2018学年高三下学期开学数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年黑龙江省大庆一中高三（下）开学数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．“α≠β”是“sinα≠sinβ”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．65．已知定义在R上的函数f（x）=x2+5，记a=f（﹣log25），b=f（log23），c=f（﹣1），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．a＜b＜c6．若变量x，y满足约束条件，则z=3x+5y的取值范围是（）A．[3，+∞）B．[﹣8，3] C．（﹣∞，9]D．[﹣8，9]7．在等差数列{a n}中，a8=a11+6，则数列{a n}前9项的和S9=（）A．24 B．48 C．72 D．1088．已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（）A．8 B．16 C．32 D．489．要得到函数y=cosx的图象，只需将函数y=sin（2x+）的图象上所有的点的（）A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B ．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度10．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为x 2+y 2﹣8x +15=0，若直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最大值为（ ）A ．0B ．C ．D ．311．已知函数f （x ）=x （lnx ﹣2ax ）有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，）B ．（0，）C ．（0，）D ．（，+∞）12．已知方程=k 在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（ ）A ．tan （α+）=B ．tan （α+）=C ．tan （β+）=D ．tan （β+）=二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13．已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||= ． 14．已知x ＞0，y ＞0且2x +y=2，则的最小值为 ．15．已知F 1，F 2是双曲线的左右焦点，点P 在双曲线上不与顶点重合，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为A ，若|OA |=b ，则该双曲线的离心率为 ．16．定义区间[x 1，x 2]长度为x 2﹣x 1（x 2＞x 1），已知函数f （x ）=（a ∈R ，a≠0）的定义域与值域都是[m ，n ]，则区间[m ，n ]取最大长度时a 的值是 ．三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2（x +）．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．18．已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=2a n +1（n ∈N *）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{}的前n项和，求证：1≤S n＜4．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB 垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．20．已知顶点为原点O的抛物线C1的焦点F与椭圆C2：=1（a＞b＞0）的右焦点重合，C1与C2在第一和第四象限的交点分别为A、B．（1）若△AOB是边长为2的正三角形，求抛物线C1的方程；（2）若AF⊥OF，求椭圆C2的离心率e；（3）点P为椭圆C2上的任一点，若直线AP、BP分别与x轴交于点M（m，0）和N（n，0），证明：mn=a2．21．定义在R上的函数f（x）满足，．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）如果s、t、r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更靠近lnx，并说明理由．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，多答按所答第一题评分．22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的方程为4ρcosθ﹣ρsinθ﹣25=0，曲线W：（t是参数）．（1）求直线l的直角坐标方程与曲线W的普通方程；（2）若点P在直线l上，Q在曲线W上，求|PQ|的最小值．24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015-2016学年黑龙江省大庆一中高三（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]【考点】交集及其运算．【分析】根据已知角一元二次不等式可以求出集合M，将M，N化为区间的形式后，根据集合交集运算的定义，我们即可求出M∩N的结果．【解答】解：∵M={x|x2+x﹣6＜0}={x|﹣3＜x＜2}=（﹣3，2），N={x|1≤x≤3}=[1，3]，∴M∩N=[1，2）故选A2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，∴z==﹣1+i故选A．3．“α≠β”是“sinα≠sinβ”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数的关系，结合逆否的等价性，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：当α=β时，sinα=sinβ，成立．当，时，满足sinα=sinβ，但α=β不成立，∴sinα=sinβ是α=β的必要不充分条件．根据逆否的等价性可知“α≠β”是“sinα≠sinβ”必要不充分条件．故选：B．4．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x ﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．5．已知定义在R上的函数f（x）=x2+5，记a=f（﹣log25），b=f（log23），c=f（﹣1），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．a＜b＜c【考点】二次函数的性质；对数值大小的比较．【分析】根据函数的单调性和奇偶性进行判断．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴a=f（﹣log25）=f（log25），c=f（﹣1）=f（1），∵log25＞log23＞1，f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（log25）＞f（log23）＞f（1），∴a＞b＞c．故选：A．6．若变量x，y满足约束条件，则z=3x+5y的取值范围是（）A．[3，+∞）B．[﹣8，3] C．（﹣∞，9]D．[﹣8，9]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为斜截式，由图得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件做可行域如图，化z=3x+5y为，由图可知，当直线过点A时直线在y轴上的截距最小，z最小．当直线过点B时直线在y轴上的截距最大，z最大．联立，解得A（﹣1，﹣1）．由x﹣4y﹣3=0得B（3，0）．z的最小值为3×（﹣1）+5×（﹣1）=﹣8．z的最大值为3×3+5×0=9．∴z=3x+5y的取值范围是[﹣8，9]．故选：D．7．在等差数列{a n}中，a8=a11+6，则数列{a n}前9项的和S9=（）A．24 B．48 C．72 D．108【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知得a1+4d=12，由此能求出S9==108．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a8=a11+6，∴2（a1+7d）=a1+10d+12，解得a1+4d=12，∴S9==9（a1+4d）=108．故选：D．8．已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（）A．8 B．16 C．32 D．48【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是以底面为直角梯形的四棱锥，求出底面面积和高，代入可得答案．【解答】解：该几何体是以底面为直角梯形的四棱锥，底面面积S==12，高h=4，故体积．故选：B9．要得到函数y=cosx的图象，只需将函数y=sin（2x+）的图象上所有的点的（）A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据题意，有y=sin（2x+）=cos（﹣2x﹣）=，再由变换规律可得答案．【解答】解：∵y=sin（2x+）==答案为C故选C10．在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的最大值为（）A．0 B．C．D．3【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，即（x﹣4）2+y2=1，表示以C（4，0）为圆心，半径等于1的圆．由题意可得，直线y=kx﹣2和圆C′：即（x﹣4）2+y2=4 有公共点，由点C′到直线y=kx﹣2的距离为d=≤2，求得实数k的最大值．【解答】解：圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，即（x﹣4）2+y2=1，表示以C（4，0）为圆心，半径等于1的圆．要使直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，只要直线y=kx﹣2和圆C′：即（x﹣4）2+y2=4 有公共点即可，由点C′到直线y=kx﹣2的距离为d=≤2，3k2﹣4k≤0，解得0≤k≤，故k的最大值为，故选B．11．已知函数f（x）=x（lnx﹣2ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（0，）C．（0，）D．（，+∞）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】f（x）=xlnx﹣2ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣4ax．令g（x）=lnx+1﹣4ax，由于函数f（x）=x（lnx﹣2ax）有两个极值点⇔g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=﹣4a．当a≤0时，直接验证；当a＞0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得：当x=时，函数g（x）取得极大值，故要使g（x）有两个不同解，只需要g（）=ln＞0，解得即可．【解答】解：f（x）=xlnx﹣2ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣4ax．令g（x）=lnx+1﹣4ax，∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=﹣4a=，当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=．令g′（x）＞0，解得0＜x＜，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得x＞，此时函数g（x）单调递减．∴当x=时，函数g（x）取得极大值．当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→﹣∞，要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，只需g（）=ln＞0，解得0＜a＜．∴实数a的取值范围是（0，）．故选：C．12．已知方程=k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（）A．tan（α+）=B．tan（α+）=C．tan（β+）=D．tan（β+）=【考点】余弦函数的图象．【分析】利用x的范围化简方程，通过方程的解转化为函数的图象的交点问题，利用相切求出β的正切值，通过两角和的正切函数求解即可．【解答】解：方程=k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），所以直线y=kx与y=|cosx|在（，π）内相切，且切于点（β，cosβ）．再根据=﹣sinβ，可得tanβ=﹣，∴tan（β+）==，故选：D．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积的性质即可得出．【解答】解：∵向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=．∴=，化为=10，化为，∵，解得||=．故答案为：．14．已知x＞0，y＞0且2x+y=2，则的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】由已知的等式求出的最小值，进一步利用基本不等式求得的最小值．【解答】解：∵x＞0，y＞0且2x+y=2，∴，得，（当且仅当2x=y时取“=”），∴（当且仅当2x=y时取“=”），故答案为：8．15．已知F1，F2是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A，若|OA|=b，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题设条件推导出PQ=PF2，由双曲线性质推导出PF1﹣PQ=QF1=2a，由中位线定理推导出QF1=2a=2OA=2，由此及彼能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵F1，F2是双曲线的左右焦点，延长F2A交PF1于Q，∵PA是∠F1PF2的角平分线，∴PQ=PF2，∵P在双曲线上，∴PF1﹣PF2=2a，∴PF1﹣PQ=QF1=2b，∵O是F1F2中点，A是F2Q中点，∴OA是F2F1Q的中位线，∴QF1=2a=2OA=2，∴a=1，c=，∴双曲线的离心率e=．故答案为：．16．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值是3．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】化简f（x），首先考虑f（x）的单调性，由题意：，故m，n是方程f（x）的同号的相异实数根．利用韦达定理和判别式，求出m，n的关系．在求最大值．【解答】解：函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域是{x|x≠0}，则[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．f（x）==在区间[m，n]上时增函数，则有：，故m，n是方程f（x）==x的同号相异的实数根，即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同号相异的实数根．那么mn=，m+n=，只需要△＞0，即（a2+a）2﹣4a2＞0，解得：a＞1或a＜﹣3．那么：n﹣m==，故n﹣m的最大值为，此时，解得：a=3．即在区间[m，n]的最大长度为，此时a的值等于3．故答案为3．三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z 可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．18．已知数列{a n}满足a1=1，a n=2a n+1（n∈N*）．+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{}的前n项和，求证：1≤S n＜4．【考点】数列的求和；数列递推式．+1=2（a n+1），运用等比数列的定义和通项公式，即可得到所【分析】（1）由题意可得a n+1求；（2）求出==n•（）n﹣1，再由数列的求和方法：错位相减法，结合数列的单调性，即可得证．=2a n+1（n∈N*），【解答】解：（1）由a1=1，a n+1+1=2（a n+1），可得a n+1即有数列{a n+1}为首项为2，公比为2的等比数列，则a n+1=2n，即为a n=2n﹣1；（2）证明：==n•（）n﹣1，前n项和S n=1•1+2•+3•+…+n•（）n﹣1，S n=1•+2•+3•+…+n•（）n，两式相减可得，S n=1++++…+（）n﹣1﹣n•（）n，=﹣n•（）n，化简可得前n项和S n=4﹣（2n+4）•（）n．由=＜1，可得（2n+4）•（）n为递减数列，则S n为递增，则S n≥S1=1，且S n＜4．即有1≤S n＜4．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB 垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用平面SCD的法向量即可证明AM∥平面SCD；（Ⅱ）分别求出平面SCD与平面SAB的法向量，利用法向量的夹角即可得出；（Ⅲ）利用线面角的夹角公式即可得出表达式，进而利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），D（1，0，0，），S（0，0，2），M（0，1，1）．则，，．设平面SCD的法向量是，则，即令z=1，则x=2，y=﹣1．于是．∵，∴．又∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为．设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，则==，即．∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为．（Ⅲ）设N（x，2x﹣2，0），则．∴===．当，即时，．20．已知顶点为原点O的抛物线C1的焦点F与椭圆C2：=1（a＞b＞0）的右焦点重合，C1与C2在第一和第四象限的交点分别为A、B．（1）若△AOB是边长为2的正三角形，求抛物线C1的方程；（2）若AF⊥OF，求椭圆C2的离心率e；（3）点P为椭圆C2上的任一点，若直线AP、BP分别与x轴交于点M（m，0）和N（n，0），证明：mn=a2．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质；抛物线的标准方程．【分析】（1）确定点A的坐标是，代入抛物线的方程y2=4cx，求出c，即可求得抛物线C1的方程；（2）若AF⊥OF，可求A的坐标，代入抛物线的方程y2=4cx，结合b2=a2﹣c2，即可求椭圆C2的离心率e；（3）利用直线PA、PB的方程，令y=0得m，n的值，即可证明结论．【解答】（1）解：设椭圆的右焦点为F（c，0），依题意得抛物线的方程为y2=4cx…∵△AOB是边长为的正三角形，∴点A的坐标是，…代入抛物线的方程y2=4cx解得，故所求抛物线C1的方程为y2=x…（2）解：∵AF⊥OF，∴点A的横坐标是c代入椭圆方程解得，即点A的坐标是…∵点A在抛物线y2=4cx上，∴，…将b2=a2﹣c2代入上式整理得：，即e2+2e﹣1=0，解得…∵0＜e＜1，故所求椭圆C2的离心率．…（3）证明：设P（x1，y1），A（x2，y2），B（x2，﹣y2），代入椭圆方程得…而直线PA的方程为（x2﹣x1）（y﹣y1）+（x﹣x1）（y1﹣y2）=0…令y=0得．…在中，以﹣y2代换y2得…∴=…21．定义在R上的函数f（x）满足，．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）如果s、t、r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更靠近lnx，并说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，利用赋值法，求出f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），得到f（0）=1．然后求解f′（1），即可求出函数的解析式．（2）求出函数的导数g′（x）=e x+a，结合a≥0，a＜0，分求解函数的单调区间即可．（3）构造，通过函数的导数，判断函数的单调性，结合当1≤x≤e时，当1≤x≤e时，推出|p（x）|＜|q（x）|，说明比e x﹣1+a更靠近lnx．当x＞e时，通过作差，构造新函数，利用二次求导，判断函数的单调性，证明比e x﹣1+a更靠近lnx．【解答】解：（1）f′（x）=f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），所以f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）=1．又，所以f′（1）=2e2，所以f（x）=e2x+x2﹣2x．（2）∵f（x）=e2x﹣2x+x2，∴，∴g′（x）=e x﹣a．①当a≤0时，g′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；②当a＞0时，由g′（x）=e x﹣a=0得x=lna，∴x∈（﹣∞，lna）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，g′（x）＞0，g （x）单调递增．综上，当a≤0时，函数g（x）的单调递增区间为（∞，∞）；当a＞0时，函数g（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（﹣∞，lna）．（3）解：设，∵，∴p（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，又p（e）=0，∴当1≤x≤e时，p（x）≥0，当x＞e时，p（x）＜0．∵，，∴q′（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，又q′（1）=0，∴x∈[1，+∞）时，q'（x）≥0，∴q（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，∴q（x）≥q（1）=a+1＞0．①当1≤x≤e时，，设，则，∴m（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，∴m（x）≤m（1）=e﹣1﹣a，∵a≥2，∴m（x）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比e x﹣1+a更靠近lnx．②当x＞e时，，设n（x）=2lnx﹣e x﹣1﹣a，则，，∴n′（x）在x＞e时为减函数，∴，∴n（x）在x＞e时为减函数，∴n（x）＜n（e）=2﹣a﹣e e﹣1＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比e x﹣1+a更靠近lnx．综上：在a≥2，x≥1时，比e x﹣1+a更靠近lnx．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，多答按所答第一题评分．22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=1223．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的方程为4ρcosθ﹣ρsinθ﹣25=0，曲线W：（t是参数）．（1）求直线l的直角坐标方程与曲线W的普通方程；（2）若点P在直线l上，Q在曲线W上，求|PQ|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据直角坐标与极坐标的对于关系得出直线l的直角坐标方程，使用代入消元法小区参数方程中的t得出曲线W的普通方程；（2）设Q点坐标（2t，t2﹣1），代入点到直线的距离公式，利用二次函数的性质得出|PQ|的最小值．【解答】解：（1）因为4ρcosθ﹣ρsinθ﹣25=0，由直角坐标与极坐标的转化公式可得4x﹣y ﹣25=0，所以直线l的直角坐标方程为4x﹣y﹣25=0，由消去t得．曲线W的普通方程为．（2）依题意设点Q（2t，t2﹣1），则点Q到直线l的距离为，当且仅当t=4时去等号，所以|PQ|得最小值为．24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得 [2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．2016年10月29日。
黑龙江省大庆实验中学2017-2018学年高一6月月考数学(理)试题(解析版)
大庆实验中学2017-2018学年度下学期六月份月考理科高一数学试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由非零实数满足，利用函数的单调性和不等式的性质，即可求解.详解：由题意，非零实数满足，①中，根据不等式的性质，可得是正确的；②中，例如当时，满足，但是不成立的；③中，当时，满足，此时，所以不一定成立；④中，因为的对数为单调递减函数，所以，所以不正确，故选A.点睛：本题主要考查了比较大小问题，其中熟记指数函数的单调性和不等式的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.2. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则下列说法正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】分析：根据线面位置关系的判定和性质，逐一判定，即可得到结论. 详解：对于A 中，若，则或相交，不正确；对于B 中，若，则的位置关系可能相交、平行或异面，所以不正确；对于C 中，根据平面与平面垂直的判定，可知是正确的； 对于D 中，若，则的位置关系可能相交、平行或异面，所以不正确，故选C.点睛：本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系的判定，其中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答此类问题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 3. 直线的倾斜角的取值范围是 ( )A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据题意，求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，即可求解倾斜角的取值范围. 详解：根据题意，直线的斜率为，则，设直线的倾斜角为，则，即，所以，即直线的倾斜角为，故选B. 点睛：本题主要考查了直线的倾斜角的求解，其中根据直线方程求得直线的斜率，再利用倾斜角与斜率的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.4. 圆心在直线上的圆与轴交于两点，，则圆的方程为 （ ）A.B.C. D.【答案】A【解析】分析：根据题意，确定圆的圆心坐标，然后利用两点间的距离公式求得圆心到点的距离，即为圆的半径，即可得的圆的标准方程.详解：根据圆的垂径定理可得的垂直平分线过圆心，而圆心过，则圆心坐标为，又由，所以所求圆的标准方程为，故选A.点睛：本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中熟记圆的垂径定理和两点间的距离公式求解圆的圆心坐标和圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5. 若，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. 0 D. 1【答案】B【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求解目标函数的最小值.详解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由，则，结合图象可知，平移直线经过点时，直线的截距最大，此时取得最小值，由，解得，所以目标函数的最小值为，故选B.点睛：本题主要考查了利用线性规划求最小值问题，其中正确作出不等式组所表示的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想解答是求解的关键，着重考查了数形结合思想和推理、运算能力.6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，故选B．点睛：本题的难点在于找到三视图对应的原几何体，本题只能靠直接观察和尝试，才能找到原几何体.7. 若直线互相平行，则实数=（）A. 1B. 2C.D. 或2【答案】C【解析】分析：根据两直线平行斜率相等的性质列方程求解即可.详解：两直线，互相平行，若，符合题意；若，又知时，与重合，不合题意，所以实数的值为，故选C.点睛：本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.8. 等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为( )A. 8B.C. 3D.【答案】D【解析】分析：利用等差数列的通项同时，等比数列的性质列出方程，求出公差，由此能求出数列的前项和.详解：因为等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，所以，即，所以，解得，所以数列的前6项和为，故选D.点睛：本题主要考查了等差数列的前和的求解，其中解答中涉及到等差数列的基本量的运算和等比数列的性质，解题是要认真审题，注意等差数列、等比数列性质的综合运用，着重考查了推理与运算能力.9. 是边长为2的等边三角形，为中点，以为折痕，将折成直二面角，则过四点的球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，知过四点的球的直径为以为邻边的长方体的对角线的长，而，则，所以球的表面积为，故正确答案为C.点睛：此题主要考查了从平面图形到空间几何体的变化过程的空间想象能力，简单组合体中直三棱锥与外接球关系，以及球的表面积的计算等方面的知识和技能力，属于中档题型，也是常考题型.在解决简单几何体的外接球问题中，一般情况下，球的直径为简单几何体的对角线的长.10. 如图，三棱锥中，，，点分别是的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：连接，取的中点，连接，推导出异面直线所成的角就是，通过解三角形，即可得到答案.详解：连接，取的中点，连接，则，所以是异面直线所成的角，因为，所以，又，所以，所以，故选D.点睛：本题主要考查了空间中异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答此类问题的关键，着重考查了空间思维能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中不正确的是（）A. 与所成角的范围是B.C.D. 三棱锥的体积不变【答案】A【解析】分析：利用正方形的性质和线面位置关系，以及三棱锥的体积转化等知识点，逐一判定，即可得到答案.详解：对于A中，当点与线段的两端点重合时，与所成的角的最小值为，当点与线段的中点重合时，与所成的角的最小值为，故与所成的角的取值范围是，所以是错误的；B中，连接容易证明平面平面，从而由线面平行的定义可得平面，所以是正确的；C中，连接，根据正方体的性质，有平面，平面，从而可证得平面平面，所以是正确的；D中，因为，则到平面的距离不变，且三角形的面积不变，所以是正确的，综上可知，错误的应为A，故选A.点睛：本题主要考查了正方体的性质的应用，以及点线面的位置关系的判定与锥体的体积的应用等知识点的综合考查，解答中认真审题，把握好空间中的线面位置关系的判定是解答的关键，着重考查了空间思维能力，以及推理与论证能力.12. 满足条件的三角形的面积的最大值是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设，根据三角形的面积公式和余弦定理，得出关于的面积表达式，再根据的取值范围，即可求解面积的最大值.详解：设，则，根据面积公式得，根据余弦定理得，代入上式，得，由三角形的三边关系可得，解得，故点时，取得最大值，故选D.点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式在解三角形中的应用，当设计到与三角形有关的最值问题时，可考虑利用正弦、余弦定理转化为函数，利用函数的单调性求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13. 的内角的对边分别为，【答案】【解析】分析：已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出，把得出关系式代入的值，即可得到答案.详解：因为，利用正弦定理化简可得，即，所以，所以.点睛：本题主要考查了正弦定理和余弦在解三角形中的应用，在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．14. 已知，则数列的前5项和为________.【答案】【解析】分析：利用列项法得到，然后求得数列的前5项和.详解：由数列的通项公式，可得，所以数列前5项和.点睛：本题主要考查了数列的求和问题，其中把数列的通项公式，裂项得到是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15. 的最小值是________．【答案】9【解析】分析：利用同角三角函数的基本关系式化简函数的解析式，再利用基本不等式求得它的最小值即可. 详解：由题意，因为，所以，当且仅当时，即等号成立，所以最小值为.点睛：本题主要考查了三角函数的基本关系式的应用，以及基本不等式求解最值的应用，其中解答中根据三角函数的基本关系式，化简得出基本不等式的应用形式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，属于中档试题.16. a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，则直线与所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 设是正项等比数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）已知【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）设等比数列的首项为，公比为，根据题意求得，即可得到等比数列的通项公式；（2）由(1)可得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.详解：；点睛：本题主要考查了等比数列的通项的公式的求解，以及“乘公比错位相减法”求和的应用，其中熟记数列的基本量的运算和求和的方法是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力.18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求的角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形.视频19. 如图所示的几何体中，四边形是正方形，【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）取的中点，连接，证得，又由是的中点，得到，进而证得，再由线面平行的判定定理，即可证得结论.（2）取的中点，连接，得到平面，得到为与平面所成的角，即可求解线面角的大小.详解：（1）取BC中点M，MF//CB,DE//CB,所以MF//DE，又MF=DE，所以四边形DEFM为平行四边形（2）点睛：本题主要考查了线面平行的证明，以及直线与平面所成角的求解，其中熟记线面平行的判定定理和直线与平面所成角的定义是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.20. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且B为钝角,(1)；（2）求的取值范围【答案】（1）B=+A.（2）（，]【解析】分析：（I）由题意及正弦定理，得，进而得，即可求解；详解：（I）由a=btanA及正弦定理，得,所以sinB=cosA，即 sinB=sin（+A）.又B为钝角，因此+A（，A），故B=+A.(II)由（I）知，C=-（A+B）=-(2A+)=-2A>0，所以A，于是sinA+sinC=sinA+sin（-2A）= sinA+cos2A=-2A+sinA+1=-2（sinA-）+因为0<A<,所以0<sinA<,因此由此可知sinA+sinC的取值范围是（，]点睛：本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及利用正弦定理解三角形的应用，其中把转化为关于的函数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力.21. 如图,四棱锥中, 底面为正方形，侧棱,且，点是线段的中点，连结.(I)证明：；(II)求二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）由题意，可得，又由题意可知证得，进而得到平面，利用面面垂直的判定定理，即可证得结论.（2）由（1）知平面，过作，得到，得出为二面角的平面角，即可在求解.详解：点睛：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及二面角的求解问题，其中数据线面位置关系的判定与性质，以及找出二面角的平面角是解答的关键，着重考查了考生的空间思维能力，以及推理与论证能力，属于中档试题.22. 已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n，有恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）5【解析】分析：（1）由已知，则，两式相减化简得，得到数列是首项为，公比为的等比数列，即求解其通项公式；（2）由（1）可得，进而求解，利用，得出其单调性，即可求解实数的值.详解：（Ⅰ）由已知……①得……②②－①，得∴∴∴所以数列是一个以2为首项，2为公比的等比数列∴（2）∴∴∵n是正整数，∴∴数列{T n}是一个单调递增数列，又∴，要使恒成立，则又k是正整数，故存在最大正整数 k=5使恒成立点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的求和和数列的性质的应用，其中熟记数列的基本公式和基本量的运算，以及合理应用数列的单调性质解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化的思想方法的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.。
黑龙江省大庆实验中学2017_2018学年高一数学6月月考试题文2018062101101
大庆实验中学2017-2018学年度下学期六月份月考高一数学（文）试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若a b 0，则下列不等式中错误的是（）1111A．B． C. D．a b a2 b2a b a b a2. 直线x sin y 2 0的倾斜角的取值范围是()[0, ] A．[0， )B．[0,](,)错误！未指定书签。
C.4243D．[0,][,)443. 设m,n是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若m n,n A ，则m B．若m A , ，则mC. 若m ,n ,n ，则m D．若m n,n , ，则m4. 已知数列 为等差数列，为其前项和，若，则a S n3S S S an n32412,a 5( )A． 12B． 10 C. 10D．125. 在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示，如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积为（）A．64B．3264C. D．332 3- 1 -x y0z 3x 4y6. 若x，y满足约束条件，则的最小值为( )x y20y0A．1B．0 C. 1D． 27. 若直线互相平行，则实数=l1:mx (m+1)y m 0与l2:(m 2)x 2(m 1)y 4 0m ( )A．1B．2 C. 1D． 1或2n 1 a8. 已知数列 为等差数列，为其前项和，，若则a1,a mS n a Sn8, n n1n m2（）A．8B．5 C. 7D．69. 设 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足B,a3,cos C cos A sin B sin B sin Cb222，则( )4A．1B．2 C. 3D．210. 在正四面体P ABC中，D,E,F分别为AB,BC,CA的中点，则下面四个结论中不成立的是（）A．平面PDE 平面ABC B．BC A平面PDFC. DF 平面PAE D．平面PAE 平面ABC11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中不正确的ABCD A B C D P BC11111D C是( )A BA．平面平面PB D ACD11P B．A1P//平面ACD1C.异面直线与所成角的范围是A P AD0,113 A1D1B1C1D．三棱锥的体积不变A CD P1- 2 -12. 在 ABC中，若111，则的取值范围为( )cos Atan B tan C tan A2 2 11A．B． C. D．0,,10,,13 3 33第Ⅱ卷(非选择题共90分)二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1413. 若0，，则 的最小值为2 sin cos2214. 点P m,n是直线x y 4 0上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为m2 n215. 已知长方体中，，则异面直线与所ABCD A B C D AB BC 1,AA 3AD DB1111111成角的余弦值为16. 在四棱锥S ABCD中，平面SAB 平面SAD，侧面SAB是边长为3的等边三角形，底面ABCD是矩形，且BC 2，则该四棱锥外接球的表面积等于三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)Sa n a Sn n15,39设为等差数列的前项和，已知，（1）求数列 的通项公式（2）求，并求的最小值a S Sn n n18．(本小题满分12分)已知 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2cos C(a cos B b cos A) c.（1）求角C；（2）若c 7，33，求的周长.S ABCABC219．(本小题满分12分)- 3 -如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD 底面ABCD, E,F PC,BD分别为的中点，（1）求证：EF A平面PAD；（2）若EF PC，求证：平面PAB 平面PCDPEDCFAB20．(本小题满分12分)四棱柱中，底面为正方形，, 为ABCD A B C D ABCD112AD AA A DH 1111AD中点，且．A H BD1（1）证明；（2）求点到平面的距离．AB AA CA BD11D1C1A1B1DCHA B21．(本小题满分12分)的前项和为，且（），已知数列a n S S 2a 2n N*n n n n的通项公式；（1）求an1（2）设，，是数列的前项和，若对任意b log a Tc ncn2n n 1 22b b 1n nn n- 4 -n N*均有恒成立，求的最小值．Tn22．(本小题满分12分)已知 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cos2，C b ccos A a21（1）若点M在边AC上，且cos AMB ,BM 21，求 ABM的面积7（2）若 ABC为锐角三角形，且b2 c2 a bc 2，求b c的取值范围- 5 -大庆实验中学 2017-2018学年度下学期六月份月考高一 数学（文） 参考答案123456789101112B DC BD C C A B A C B13. 914. 2 215.5 516. 817、【解析】（1）设数列的公差为 ，则ad S 3 a 1 a 2 a 3 3a 1 3d 9n27a 1 5,d 2aan的通项公式为nn（2）由1 知，a a nS1nn 2 6nn 3 92n2当n 3时， 取到最小值，最小值为S 9n注：【（1）仅看结果，对 5分 （2）必须写取等条件“当 n 3时”，缺少扣 1分】a 2 c 2b 2b 2c 2 a 2 2c 2 1 8、【解析】（1）由a cos Bb cos A abc2ac2bc2c2cos C a cos B b cos A 2c cos C ccos C12 C3 113 3 3（2）由Sab C ab ab 6sin ABC2222a b 2 c2 a b 2 71cos C 1 12ab2 62ABC5 7a b5的周长为P备注：【（1）（2）问仅看结果，结果正确即满分，每问6分】ED19、AC ABCD F AC【解析】（1）连结,则由为正方形，得是的中点FE PC为的中点AB PACEF为的中位线- 6 -EF A PA又 PA 面PAD , EF 面PADEF A 平面PAD（2）由（1）可得， EF PA由 EF PC ，PA PC 平面平面 ，平面 平面PAD ABCD PAD ABCD =AD ,CD ADCD 平面PAD CD PA又 CD PC C ,PA 面PCD又 PA 平面 PABPABPCD平面平面20、【解析】（1）为等边三角形,且为中点,A AD H AD1A H AD1又,且A H BD AD BD D1A H 面ABCD 1A H AB1又 ABCD 为正方形AD AB又 A H ADH1AB 面ADD A1 1AB AA1(2) 由题意得，在中，,A D BD A BA BD12,22,12217SA BD1- 7 -由(1)知，A H 面ABCD11123V S A H2 3A BCD BCD11333设点C到平面的距离为，则由V V 得，A BD h1C A BD A BCD111123S h h7A BD3331，则C A BD d点到平面的距离为1221721、n 1 a【解析】（1）当时，，则a1 S1 2a1 212当n 2时，a S S 1 2a 2a 1，n n n n na a2n n1a22是以为首项，为公比的等比数列nan2n（2）由1 知，，b log a ncn2n n11 11n n nn2121221211 11111T 1 ......1 111124n2n2 3352n12n1 22n111又由对任意均成立T n Nn24n 211的最小值为2222、 ABC cos2C b c【解析】（1）在中，，则由正弦定理得，cos A acos sin 2sin sin A cos C cos A sin C2sin BC C Bcos A sin A sin A cos A sin A sin Asin A C 2sin Bcos A sin A sinA，10 A cos A由得，2A32127又由cos AMB ,得sin AMB ，77- 8 -AB BM由正弦定理可知，sin AMB sinA，即AB27721sin60AB4116 AM 212，由余弦定理有，则22 4 AMA M5127S AM BMABM27532221b c a（2）由知，，得A cos b2 c2 bc a2A322bc又b2 c2 a bc 2 a2 a 2 0 a 2，a b c244 4b sin B,c sin C由正弦定理，则sin sin sin sin3A B C3 334444b c sin B sin C sin B sin B3333 34s in B6由 ABC为锐角三角形，则0,02，得B B B232624s in 23,4即的取值范围为b c 23,4b c B4s in 23,46- 9 -。
黑龙江省大庆市大庆实验中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学(理)试题(精编含解析)
大庆实验中学2018-2019学年度下学期期中考试高一数学（理）试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知实数，且，则以下不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的单调性判断；令，判断，根据指数函数的单调性判断．【详解】因为是增函数，所以由可得，选项正确；当，时，不成立，选项错误；因为是减函数,由可得，选项错误，，时，不成立，选项错误，故选A．【点睛】本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于中档题．利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.2.一元二次不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】把一元二次不等式化成一般形式后再求出解集即可．【详解】原一元二次不等式化为，解得，所以不等式的解集为．故选C．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，解题时注意解不等式的步骤，同时要注意结合二次函数的图象求解，以增加解题的直观性，属于简单题．3.设的内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理求得，由大边对大角的特点可知，从而求得的大小.【详解】由正弦定理得：本题正确选项：【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形的问题，涉及到大边对大角的性质的应用，属于基础题. 4.在等差数列中，若公差，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式求解即可得到结果．【详解】∵等差数列中，，公差，∴．故选B．【点睛】等差数列中的计算问题都可转为基本量（首项和公差）来处理，运用公式时要注意项和项数的对应关系．本题也可求出等差数列的通项公式后再求出的值，属于简单题．5.在中，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在三角形中运用内角和定理和两角和的正弦公式可得所求．【详解】∵在中，，∴，∴．故选A．【点睛】本题考查三角形中的三角变换问题，解题时要灵活运用三角形内角和定理得到各角间的关系，然后再借助公式求解，属于基础题．6.在等差数列中，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等差数列中下标和的性质得到，从而，然后再利用前n项和公式求解即可．【详解】∵在等差数列中，，∴．∴．故选C．【点睛】利用等差数列中项的下标和的性质解题可简化运算，此性质常与等差数列的前n项和公式结合在一起考查，解题时注意整体思想的运用，属于基础题．7.已知角满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，再由两角差的正弦公式得，于是可得结果．【详解】∵，∴，∴．∴．故选C．【点睛】解答本题时要注意灵活运用三者间的关系，即知道其中的一个可以求出另外的两个，考查转化思想和计算能力，属于基础题．8.各项均为正数的等比数列的前项和为，若则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，，列方程组求出，利用可得结果.【详解】设等比数列的公比为，由题意易知所以，，两式相除得，化简得，解得，所以,故选B.【点睛】本题主要考查等比数列的性质与前项和的计算，考查运算求解能力.等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.9.在中，若，那么是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由可得为锐角；再由得到，从而得到为锐角，所以可得三角形的形状．【详解】∵在中，，∴，∴为锐角．又，∴，∴，∴为锐角，∴为锐角三角形．故选A．【点睛】判断三角形形状的两种方法：一是根据角来判断，分为锐角、直角和钝角三角形；二是根据边来判断，分为不等边、等腰和等边三角形．解题时要注意灵活选择方法进行求解，属于基础题．10.在等差数列中，，且，为其前项和，则使的最大正整数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件判断出等差数列中正负项的分界点，然后再结合等差数列的前项和公式和下标和的性质求解即可．【详解】由条件得，等差数列的公差，∵，且，∴，即．∴，，∴使的最大正整数为．故选D．【点睛】解答类似问题的关键是找到数列的项或和的正负值的分界点，其中利用等差数列中项的下标和的性质和前项和的结合是解题的突破口，考查灵活运用知识解决问题和分析能力，属于中档题．11.如图，在中，点在边上，且,,,的面积为，则线段的长度为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由, 的面积为，得到的面积；进而求出，再由余弦定理求出，最后在中，再根据余弦定理即可求出结果.【详解】因为, 的面积为，所以的面积为，则,即.在中，，所以，又因为，，，所以，.所以在中，，即，所以选C.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.12.等差数列、的前项和分别为和，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】当时，可求得；进而求得，将所求式子化为，代入求得结果.【详解】由题意得：，又，即本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，关键是能够利用中项的性质将问题转化为中间项之间的比较.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.求值： __________________.【答案】【解析】【分析】利用两角和差正切公式展开，从而整理可得结果.【详解】，即本题正确结果：【点睛】本题考查利用两角和差正切公式求值问题，属于基础题.14.在等比数列中，、是关于的方程的两个实根，则____________________.【答案】【解析】【分析】根据韦达定理，结合等比数列特点可判断出等比数列的偶数项均为负数；利用求得，则，代入求得结果.【详解】由韦达定理可得：，，可知，即等比数列的偶数项均为负数，可得：又本题正确结果：【点睛】本题考查等比数列性质的应用，关键是明确等比数列的所有奇数项符号一致；所有偶数项符号一致的特点.15.已知角满足，则 __________________.【答案】【解析】【分析】运用诱导公式和二倍角余弦公式求解即可．【详解】由题意得．故答案为：．【点睛】解答三角变换中的“给值求值”问题时，要注意将所给的条件作为一个整体进行处理，把所求角根据“拼凑”的方法用已知角表示，然后进行求解，属于基础题．16.设的内角的对边分别为，点为的重心且满足向量，若，则实数________________.【答案】【解析】【分析】根据为的重心且，可得到；利用余弦定理得到，根据得到的关系；根据，通过正余弦定理化简整理，代入的关系，可求得.【详解】连接延长交于，如下图所示：为的重心为中点且又由余弦定理得：，即本题正确结果：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形及边角关系式的化简问题，涉及到重心的性质，解题关键是能够利用构造出边长之间的关系.三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知角，且，（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的范围，利用同角三角函数可求得，从而构造，利用两角和差正弦公式求解得到结果；（2）根据同角三角函数求出；利用二倍角正切公式求得；根据两角和差的正切公式求得结果.【详解】（1）（2），则由（1）可知，，【点睛】本题考查同角三角函数的求解、二倍角公式的应用、两角和差的正弦和正切公式的应用问题，属于基础题.18.在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积，求的值.【答案】（1）；（2）。
2017-2018年黑龙江省大庆实验中学高一(下)期中数学试卷(理科)和答案
2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高一（下）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a3=4，a7=12，则a11的值为（）A．14B．16C．18D．202．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是（）A．|a|＞|b|B．a2＞ab C．D．3．（5分）下列命题中正确的是（）A．利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形B．利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形C．有两个面平行，其余各面都是平行四边行的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台4．（5分）在△ABC中，已知三边a=3，b=5，c=7，则三角形ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的各棱长都相等，E为BC中点，则异面直线AB 与DE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1其中推断正确的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④7．（5分）下列命题不正确的是（）A．若任意四点不共面，则其中任意三点必不共线B．若直线l上有一点在平面β外，则l在平面β外C．若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行D．若直线a，b，c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面8．（5分）四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（）A．B．5C．D．29．（5分）给出以下四个命题：①若＜＜0，则+＞2；②若a＞b，则am2＞bm2；③在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B；④任意x∈R，都有ax2﹣ax+1≥0，则0＜a≤4．其中是真命题的有（）A．①②B．②③C．①③D．③④10．（5分）已知数列{a n}的首项a1=35，且满足a n﹣a n﹣1=2n﹣1，则的最小值为（）A．2B．C．D．1211．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，]B．[，]C．[，]D．[，] 12．（5分）在△ABC中，若a2﹣c2=2b，，则b等于（）A．3B．4C．6D．7二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是．14．（5分）如图所示，为测一建筑物CD的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为20m，则该建筑物的高度为m．15．（5分）设a，b为正实数，且a+b=3，则的最小值为．16．（5分）已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，且{a n}中的项组成的数列=1，b2=3，b3=17，则a，a，…，a，…恰为等比数列，其中bb1+b2+…+b n=．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）等比数列{a n}中，已知a3=8，a6=64．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a4，a6分别为等差数列{b n}的第8项和第32项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若b=2，c=2，求△ABC的面积；（2）若sin A，sin B，sin C成等比数列，试判断△ABC的形状．19．（12分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC上一点，若AD⊥BC．（1）若底面边长为a，侧棱长为b，求该正三棱柱的表面积、体积．（2）求证：A1B∥平面ADC1．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n﹣n=2（a n﹣2），n∈N*（1）证明：数列{a n﹣1}为等比数列；（2）若b n=a n•log2（a n﹣1），数列{b n}的前n项和为T n，求T n．21．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且acosC+c=b．（1）求A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．22．（12分）已知非零的数列{a n}满足：a1=，a n+1=a+a n，（n∈N*）（1）求证：=；（2）若T n=，对于任意的正整数n，3T n﹣log2m﹣5＞0恒成立，求m的取值范围．2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a3=4，a7=12，则a11的值为（）A．14B．16C．18D．20【解答】解：根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，若a3=4，a7=12，则d==2，则a11=a3+8d=20；故选：D．2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是（）A．|a|＞|b|B．a2＞ab C．D．【解答】解：∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|，a2＞ab，，＜（由0＞a﹣b ＞a即可得出）．则下列不等式不能成立的是D．故选：D．3．（5分）下列命题中正确的是（）A．利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形B．利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形C．有两个面平行，其余各面都是平行四边行的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【解答】解：利用斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形，故A错；利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形，正确，由斜二测画法可得B对；有两个面平行，其余各面都是平行四边行，并且每相邻两个四边侧面的公共边都互相平行，这样的几何体叫棱柱，故C错；用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D错．故选：B．4．（5分）在△ABC中，已知三边a=3，b=5，c=7，则三角形ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定【解答】解：△ABC中，∵已知三边a=3，b=5，c=7，∴c边为最大边，由于cosC===﹣，∴C=120°，故三角形ABC是钝角三角形，故选：C．5．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的各棱长都相等，E为BC中点，则异面直线AB 与DE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取AC中点O，连结DO，EO，∵三棱锥A﹣BCD的各棱长都相等，E为BC中点，∴EO∥AB，∴∠DEO是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），设三棱锥A﹣BCD的各棱长为2，则DE=DO==，OE=1，∴cos∠DEO===．∴异面直线AB与DE所成角的余弦值为．故选：B．6．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1其中推断正确的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故③正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选：A．7．（5分）下列命题不正确的是（）A．若任意四点不共面，则其中任意三点必不共线B．若直线l上有一点在平面β外，则l在平面β外C．若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行D．若直线a，b，c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面【解答】解：A．若任意三点必共线，则必有四点共面，∴矛盾，∴A正确．B．根据直线在平面外的定义可知，当直线和平面相交或直线和平面平行时，满足条件，∴B正确．C．若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则所有直线都和平面，没有公共点，∴这两个平面平行，∴C正确．D．若三条直线满足两两异面，则结论不成立，∴D不正确．故选：D．8．（5分）四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（）A．B．5C．D．2【解答】解：由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为：4，2，高为3的梯形，棱锥的高为2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶点与棱锥顶点连线，所以长度为：=．故选：A．9．（5分）给出以下四个命题：①若＜＜0，则+＞2；②若a＞b，则am2＞bm2；③在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B；④任意x∈R，都有ax2﹣ax+1≥0，则0＜a≤4．其中是真命题的有（）A．①②B．②③C．①③D．③④【解答】解：①若＜＜0，则b＜a＜0，则＞0，则+≥，当且仅当=，即a=b取等号，∵a≠b，∴等号取不到，则+＞2，故①正确，②若a＞b，则当m=0时，不等式am2＞bm2不成立，故②错误，③在△ABC中，若sinA=sinB，由正弦定理得a=b，则A=B；故③正确，④任意x∈R，都有ax2﹣ax+1≥0，则当a=0时，不等式等价为1≥0，即a=0也成立，故④错误，故选：C．10．（5分）已知数列{a n}的首项a1=35，且满足a n﹣a n﹣1=2n﹣1，则的最小值为（）A．2B．C．D．12【解答】解：数列{a n}的首项a1=35，且满足a n﹣a n﹣1=2n﹣1，可得a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=34+（1+3+5+…+2n﹣1）=34+n（1+2n﹣1）=34+n2，则=n+≥2，此时n=，解得n不为自然数，由于n为自然数，可得n=5时，5+=；n=6时，6+=＜，则的最小值为，故选：C．11．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，]B．[，]C．[，]D．[，]【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，=，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，==，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[，]．故选：B．12．（5分）在△ABC中，若a2﹣c2=2b，，则b等于（）A．3B．4C．6D．7【解答】解：△ABC中，，∴=2，即sinAcosC=2cosAsinC，∴sin（A+C）=3cosAsinC，∴sinB=3cosAsinC，∴=3cosA=3×，化简可得2b2=3（b2+c2﹣a2）；∴再根据a2﹣c2=2b，可得：b2﹣6b=0，解得：b=6．故选：C．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是3π．【解答】解：∵圆锥底面的半径r=1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，故圆锥的母线l满足：，解得：l=3，∴该圆锥的侧面积S=πrl=3π．故答案为：3π14．（5分）如图所示，为测一建筑物CD的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为20m，则该建筑物的高度为10（）m．【解答】解：如图所示，设DC=h，Rt△BCD中，∠CBD=45°，∴BC=CD=h；Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴==，解得h=10（+1）；∴建筑物CD的高度为10（+1）m．故答案为：10（+1）．15．（5分）设a，b为正实数，且a+b=3，则的最小值为．【解答】解：a，b为正实数，且a+b=3，由柯西不等式可得[（a+2）+（b+1）]（）≥[•+•）2=（a+b）2=9，即有≥，当且仅当=，即a=2b=2，上式取得等号，则的最小值为，故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，且{a n}中的项组成的数列a，a，…，a，…恰为等比数列，其中b 1=1，b2=3，b3=17，则b1+b2+…+b n=．【解答】解：设{a n}的首项为a1，a，a，…，a，…恰为等比数列，其中b1=1，b2=3，b3=17，∴（a1+2d）2=a1（a1+16d），得3a1=d，公比q==7，∵a=a 1+（b n﹣1）d，又a=a1•7n﹣1，∴b n=（7n﹣1+2），∴b1+b2+…+b n=（1+7+…+7n﹣1）+n=×+n=，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）等比数列{a n}中，已知a3=8，a6=64．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a4，a6分别为等差数列{b n}的第8项和第32项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由已知得8=q3，解得q=2，所以a n=2n．（2）由（1）得a4=16，a6=64，则b8=16，b32=64，设数列{b n}的公差为d，则有，解得，∴b n=b2+（n﹣1）d=2n，数列{b n}的通项公式及前n项和S n=na1+=n2+n．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若b=2，c=2，求△ABC的面积；（2）若sin A，sin B，sin C成等比数列，试判断△ABC的形状．【解答】解：∵A、B、C成等差数列，可得2B=A+C．∴结合A+B+C=π，可得B=．（1）∵，c=2，∴由正弦定理，得sinC===．∵b＞c，可得B＞C，∴C为锐角，得C=，从而A=π﹣B﹣C=．因此，△ABC的面积为S==×=．（2）∵sinA、sinB、sinC成等比数列，即sin2B=sinAsinC．∴由正弦定理，得b2=ac又∵根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，∴a2+c2﹣ac=ac，整理得（a﹣c）2=0，可得a=c∵B=，∴A=C=，可得△ABC为等边三角形．19．（12分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC上一点，若AD⊥BC．（1）若底面边长为a，侧棱长为b，求该正三棱柱的表面积、体积．（2）求证：A1B∥平面ADC1．（1）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，，【解答】解：正三棱柱面积=，体积．（2）证明：连接A1C，交AC1于O点，连接OD，∵在△A1CB中，O，D分别为A1C，BC中点，∴OD∥A1B，∴OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n﹣n=2（a n﹣2），n∈N*（1）证明：数列{a n﹣1}为等比数列；（2）若b n=a n•log2（a n﹣1），数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【解答】（1）证明：∵S n﹣n=2（a n﹣2），n∈N*，n≥2时，S n﹣1﹣（n﹣1）=2（a n﹣1﹣2），，两式相减：a n﹣1=2a n﹣2a n﹣1∴a n﹣1=2（a n﹣1），﹣1又n=1时，a1﹣1=2（a1﹣2），得：a1=3，a1﹣1=2．所以数列{a n﹣1}是以2为首项，2为公比的等比数列，（2）由（1）：a n﹣1=2×2n﹣1=2n，∴a n=1+2n．又b n=a n•log2（a n﹣1）=n+n•2n，设数列{n•2n}的前n项和为A n，则A n=2+2×22+3×23+…+n•2n，∴2A n=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，相减可得：﹣A n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1，化为：A n=（n﹣1）•2n+1+2．数列{b n}的前n项和为T n=（1+2+…+n）+A n=+（n﹣1）•2n+1+2．21．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且acosC+c=b．（1）求A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．【解答】解：（1）∵acosC+c=b．∴sinAcosC+sinC=sinB，可得：sinAcosC+sinC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=cosAsinC，∵C∈（0，π），sinC≠0，可得：cosA=，∵A∈（0，π），∴A=．（2）由正弦定理可得b===sinB，c==sinC，则l=a+b+c=1+（sinB+sinC），由A=，B+C=，则sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB=sin（B+），即有l=1+2sin（B+），由于0＜B＜，则＜B+＜，＜sin（B+）≤1，即有2＜l≤3．则有△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．22．（12分）已知非零的数列{a n}满足：a1=，a n+1=a+a n，（n∈N*）（1）求证：=；（2）若T n=，对于任意的正整数n，3T n﹣log2m﹣5＞0恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）证明：由已知a1=，a n+1=a+a n，（n∈N*），可得===﹣，所以=；（2）由（1）知T n==﹣+﹣+…+﹣=﹣=2﹣，=a+a n＞a n，得数列{a n}是单调递增，由已知a n+1所以{T n}是单调递增，所以T n的最小值为T1=2﹣=2﹣=，对于任意的正整数n，3T n﹣log2m﹣5＞0恒成立，可得5+log2m＜3×，解得0＜m＜，所以m的取值范围是（0，）．。
黑龙江省大庆市大庆实验中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学(理)试题(精编含解析)
大庆实验中学2018-2019学年度下学期期中考试高一数学（理）试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知实数，且，则以下不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的单调性判断；令，判断，根据指数函数的单调性判断．【详解】因为是增函数，所以由可得，选项正确；当，时，不成立，选项错误；因为是减函数,由可得，选项错误，，时，不成立，选项错误，故选A．【点睛】本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于中档题．利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.2.一元二次不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】把一元二次不等式化成一般形式后再求出解集即可．【详解】原一元二次不等式化，解得，所以不等式的解集为．故选C．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，解题时注意解不等式的步骤，同时要注意结合二次函数的图象求解，以增加解题的直观性，属于简单题．3.设的内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理求得，由大边对大角的特点可知，从而求得的大小.【详解】由正弦定理得：本题正确选项：【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形的问题，涉及到大边对大角的性质的应用，属于基础题.4.在等差数列中，若公差，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式求解即可得到结果．【详解】∵等差数列中，，公差，∴．故选B．【点睛】等差数列中的计算问题都可转为基本量（首项和公差）来处理，运用公式时要注意项和项数的对应关系．本题也可求出等差数列的通项公式后再求出的值，属于简单题．5.在中，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在三角形中运用内角和定理和两角和的正弦公式可得所求．【详解】∵在中，，∴，∴．故选A．【点睛】本题考查三角形中的三角变换问题，解题时要灵活运用三角形内角和定理得到各角间的关系，然后再借助公式求解，属于基础题．6.在等差数列中，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等差数列中下标和的性质得到，从而，然后再利用前n项和公式求解即可．【详解】∵在等差数列中，，∴．∴．故选C．【点睛】利用等差数列中项的下标和的性质解题可简化运算，此性质常与等差数列的前n项和公式结合在一起考查，解题时注意整体思想的运用，属于基础题．7.已知角满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，再由两角差的正弦公式得，于是可得结果．【详解】∵，∴，∴．∴．故选C．【点睛】解答本题时要注意灵活运用三者间的关系，即知道其中的一个可以求出另外的两个，考查转化思想和计算能力，属于基础题．8.各项均为正数的等比数列的前项和为，若则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，，列方程组求出，利用可得结果.【详解】设等比数列的公比为，由题意易知所以，，两式相除得， 化简得，解得，所以,故选B .【点睛】本题主要考查等比数列的性质与前项和的计算，考查运算求解能力. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 9.在中，若，那么是 （ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定【答案】A 【解析】 【分析】 由可得为锐角；再由得到，从而得到为锐角，所以可得三角形的形状． 【详解】∵在中，，∴，∴为锐角．又，∴，∴，∴为锐角， ∴为锐角三角形．故选A ．【点睛】判断三角形形状的两种方法：一是根据角来判断，分为锐角、直角和钝角三角形；二是根据边来判断，分为不等边、等腰和等边三角形．解题时要注意灵活选择方法进行求解，属于基础题．10.在等差数列中，，且，为其前项和，则使的最大正整数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件判断出等差数列中正负项的分界点，然后再结合等差数列的前项和公式和下标和的性质求解即可．【详解】由条件得，等差数列的公差，∵，且，∴，即．∴，，∴使的最大正整数为．故选D．【点睛】解答类似问题的关键是找到数列的项或和的正负值的分界点，其中利用等差数列中项的下标和的性质和前项和的结合是解题的突破口，考查灵活运用知识解决问题和分析能力，属于中档题．11.如图，在中，点在边上，且,,,的面积为，则线段的长度为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由, 的面积为，得到的面积；进而求出，再由余弦定理求出，最后在中，再根据余弦定理即可求出结果.【详解】因为, 的面积为，所以的面积为，则,即.在中，，所以，又因为，，，所以，.所以在中，，即，所以选C.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.12.等差数列、的前项和分别为和，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】当时，可求得；进而求得，将所求式子化为，代入求得结果.【详解】由题意得：，又，即本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，关键是能够利用中项的性质将问题转化为中间项之间的比较.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.求值：__________________.【答案】【解析】【分析】利用两角和差正切公式展开，从而整理可得结果.【详解】，即本题正确结果：【点睛】本题考查利用两角和差正切公式求值问题，属于基础题.14.在等比数列中，、是关于的方程的两个实根，则____________________.【答案】【解析】【分析】根据韦达定理，结合等比数列特点可判断出等比数列的偶数项均为负数；利用求得，则，代入求得结果.【详解】由韦达定理可得：，，可知，即等比数列的偶数项均为负数，可得：又本题正确结果：【点睛】本题考查等比数列性质的应用，关键是明确等比数列的所有奇数项符号一致；所有偶数项符号一致的特点.15.已知角满足，则__________________.【答案】【解析】【分析】运用诱导公式和二倍角余弦公式求解即可．【详解】由题意得．故答案为：．【点睛】解答三角变换中的“给值求值”问题时，要注意将所给的条件作为一个整体进行处理，把所求角根据“拼凑”的方法用已知角表示，然后进行求解，属于基础题．16.设的内角的对边分别为，点为的重心且满足向量，若，则实数________________.【答案】【解析】【分析】根据为的重心且，可得到；利用余弦定理得到，根据得到的关系；根据，通过正余弦定理化简整理，代入的关系，可求得.【详解】连接延长交于，如下图所示：为的重心为中点且又由余弦定理得：，即本题正确结果：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形及边角关系式的化简问题，涉及到重心的性质，解题关键是能够利用构造出边长之间的关系.三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知角，且，（1）求的值；（2）求的值. 【答案】（1）（2）【解析】 【分析】 （1）根据的范围，利用同角三角函数可求得，从而构造，利用两角和差正弦公式求解得到结果；（2）根据同角三角函数求出；利用二倍角正切公式求得；根据两角和差的正切公式求得结果. 【详解】（1）（2），则由（1）可知，，【点睛】本题考查同角三角函数的求解、二倍角公式的应用、两角和差的正弦和正切公式的应用问题，属于基础题.18.在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小；（2）若，的面积，求的值. 【答案】（1）；（2）。