椭圆性质及详细证明
高考常见椭圆性质及其详细证明
x2 y 2 22．椭圆 2 + 2 = 1 （a＞b＞0）的焦半径公式： | MF1 =| a + ex0 , | MF2 =| a − ex0 ( F1 (−c, 0) , F2 (c, 0) ， M ( x0 , y0 ) ). a b x2 y 2 23．若椭圆 2 + 2 = 1 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F 1 、F 2 ，左准线为 L，则当 a b 2 − 1 ≤ e < 1 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF 1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF 2 的比例中项. x2 y 2 24． P 为椭圆 2 + 2 = （a＞b＞0） 上任一点,F 1 ,F 2 为二焦点， A 为椭圆内一定点， 则 2a − | AF2 |≤| PA | + | PF1 |≤ 2a + | AF2 | , 1 a b 当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立.
椭圆的性质及证明
4．点 P 处的切线 PT 平分△PF 1 F 2 在点 P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1 F 2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设 A 1 、A 2 为椭圆的左、右顶点，则△PF 1 F 2 在边 PF 2 （或 PF 1 ）上的旁切圆，必与 A 1 A 2 所在的直线切于 A 2 （或 A 1 ）.
x2 y 2 + = 1 （a＞b＞0）的通径，定长线段 L 的两端点 A,B 在椭圆上移动，记|AB|= l ， M ( x0 , y0 ) 是 AB a 2 b2 c a2 l 2 2 2 a (c= a − b , e = );当 l < ΦS 时，有= 中点，则当 l ≥ ΦS 时，有 ( x0 ) max = − ( x0 ) max 4b 2 − l 2 , ( x0 ) min = 0 . a c 2e 2b 2 2 x y 0 有公共点的充要条件是 A2 a 2 + B 2b 2 ≥ C 2 . 32．椭圆 2 + 2 = 1 与直线 Ax + By + C = a b ( x − x0 ) 2 ( y − y0 ) 2 0 有公共点的充要条件是 A2 a 2 + B 2b 2 ≥ ( Ax0 + By0 + C ) 2 . 33．椭圆 + = 1 与直线 Ax + By + C = a2 b2 x2 y 2 （a＞b＞0） 的两个焦点为 F 1 、 F 2 ,P （异于长轴端点） 为椭圆上任意一点， 在△PF 1 F 2 中， 记 ∠F1 PF2 = 34． 设椭圆 2 + 2 = 1 α, a b sin α c ∠PF1 F2 = β , ∠F1 F2 P = γ ，则有 = = e. sin β + sin γ a 2 2 2 2 2 2 35．经过椭圆 b x + a y = a b （a＞b＞0）的长轴的两端点 A 1 和 A 2 的切线，与椭圆上任一点的切线相交于 P 1 和 P 2 ，则 2 |P b . 1A 1 |⋅| P 2 A2 |=
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。
一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。
设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
二、椭圆的性质1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。
2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。
3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。
长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。
4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。
离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。
5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。
6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。
7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。
8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。
三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些椭圆应用的例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。
2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。
3. 固定时间下的最短路径问题。
4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。
4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。
5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。
总结：本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。
椭圆作为一种重要的数学曲线，其在几何和物理学中有着广泛的应用。
数学知识点：椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)_知识点总结
数学知识点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）_知识点总结
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。
椭圆的性质：
1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。
2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。
3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。
4、焦距：。
5、离心率：；
离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆；
6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。
利用椭圆的几何性质解题：
利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。
椭圆中求最值的方法：
求最值有两种方法：
(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理．此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。
(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．
椭圆中离心率的求法：
在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式,高考物理，从而求离心率或离心率的取值范围．。
椭圆的定义与性质
椭圆的定义与性质椭圆是数学中的一个重要几何概念，它在几何学、物理学、天文学等领域中都有广泛的应用。
本文将从椭圆的定义、性质以及应用等方面进行探讨。
一、椭圆的定义椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点的距离之和等于常数的情况。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆的定义可以用数学表达式表示为：对于平面上的点P(x, y)，到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 =2a。
其中，a为椭圆的半长轴。
二、椭圆的性质1. 焦点与半长轴的关系：椭圆的两个焦点到椭圆中心的距离之和等于2a，即F1C + F2C = 2a。
这表明椭圆的中心C位于焦点连线的中垂线上。
2. 离心率与形状的关系：离心率e是椭圆的一个重要参数，它决定了椭圆的形状。
当离心率e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状趋近于圆；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线；当e>1时，椭圆的形状趋近于双曲线。
3. 半短轴与半长轴的关系：椭圆的半长轴为a，半短轴为b，它们之间的关系可以用离心率e来表示，即e = √(1 - b²/a²)。
通过这个公式，我们可以计算出椭圆的半短轴。
4. 焦点与直径的关系：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的直径。
这个性质在椭圆的应用中非常重要，例如在天文学中，可以用椭圆的性质来描述行星的轨道。
三、椭圆的应用1. 天文学中的椭圆轨道：行星绕太阳运动的轨道可以近似看作椭圆，根据椭圆的性质，可以计算出行星的轨道参数，如离心率、半长轴等。
2. 椭圆的光学性质：椭圆镜是一种常见的光学元件，它可以将入射光线聚焦到一个点上，用于望远镜、显微镜等光学仪器中。
3. 椭圆的工程应用：在建筑、桥梁等工程设计中，椭圆形状的结构可以提供更好的力学性能和美观效果。
总结：椭圆作为一种重要的数学概念，在几何学和应用数学中都有广泛的应用。
通过对椭圆的定义与性质的探讨，我们可以更好地理解椭圆的形状特征以及其在各个领域中的应用。
椭圆及特殊椭圆知识点(经典完整版)
椭圆及特殊椭圆知识点(经典完整版)椭圆及特殊椭圆知识点（经典完整版）1.概述椭圆是一个重要的几何概念，具有许多特殊性质和应用。
本文将介绍椭圆的基本定义和性质，并探讨一些特殊类型的椭圆。
2.椭圆的定义椭圆是一个平面图形，由到两个焦点的距离之和恒定于一个常数，且大于两个焦点间距离的点构成。
椭圆可以由一个固定点（焦点F1）和一条固定线段（主轴）决定。
3.椭圆的性质椭圆具有以下性质：半长轴：椭圆主轴的一半长度，用a表示。
半短轴：椭圆次轴的一半长度，用b表示。
焦距：焦点到椭圆某点的距离之和，等于椭圆的长轴长度。
离心率：描述椭圆的扁平程度，为焦距与长轴长度之比，用e 表示。
焦点坐标：椭圆的焦点F1的坐标表示为(-ae。
0)，焦点F2的坐标表示为(ae。
0)。
4.特殊椭圆4.1 圆当椭圆的长轴和短轴长度相等时，椭圆变成一个圆。
圆是一种特殊的椭圆，具有对称性和均匀性。
4.2 扁圆当椭圆的离心率接近于1时，椭圆变得扁平，称为扁圆。
扁圆的长轴明显大于短轴，形状更接近于一个狭长的椭圆。
4.3 扇形扇形是由椭圆上的一段弧和两条半径组成的图形。
扇形的面积可以通过椭圆扇形公式计算。
4.4 椭圆柱体椭圆柱体是由椭圆沿其中一条轴旋转形成的立体图形。
椭圆柱体具有椭圆的特性，并且其体积和表面积可以通过相应的公式计算。
5.应用领域椭圆的特性使其在许多领域中得以应用，包括：天文学：描述轨道和行星运动。
工程学：设计轮廓和曲线。
密码学：用作加密算法的基础。
6.结论椭圆是一个重要的几何概念，具有多种特殊性质和应用。
我们通过介绍椭圆的定义、性质和特殊类型，认识到椭圆在几何学和其他领域中的重要性。
椭圆的结论十三个及证明
椭圆的结论十三个及证明椭圆是平面解析几何中的一类特殊曲线，由两个焦点F1和F2及到它们的距离之和等于常数2a的点动轨迹构成。
本文将介绍椭圆的定义、性质以及它们的证明。
##一、椭圆的定义椭圆的定义如下：设平面上给定两个不重合的点F1和F2，对于平面上的任意一点P，到F1的距离加上到F2的距离等于常数2a，那么点P的轨迹就是一个椭圆。
我们可以通过以下步骤来证明这一定义。
##二、椭圆的证明### 1.步骤1：点P在椭圆上对于任意一点P在椭圆上，我们有以下等式成立：PF1 + PF2 = 2a由于F1和F2是椭圆的两个焦点，所以对于任意时刻，PF1 + PF2的距离是恒定的，等于椭圆的主轴长2a。
所以点P在椭圆上。
### 2.步骤2：椭圆的离心率椭圆的离心率是一个衡量椭圆扁平程度的指标。
我们可以用离心率e来表示，它的计算公式如下：e = PF1 / a其中，a是椭圆的主轴长。
### 3.步骤3：椭圆的焦点与准线根据椭圆的定义，我们可以得到以下结论：-椭圆的焦点F1和F2在椭圆的主轴上，且在椭圆的中垂线上；-椭圆的准线是与椭圆的对称轴相交于焦点的直线。
### 4.步骤4：椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以根据椭圆的定义推导而得。
设椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，椭圆的顶点为A(a,0)和B(-a,0)，那么椭圆的标准方程为：(x - c)² / a² + y² / b² = 1其中，a是椭圆的半长轴，c是椭圆的焦距，b是通过离心率计算得到的次长轴。
### 5.步骤5：椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过椭圆的标准方程得到。
设角度θ是椭圆的主轴与x轴的夹角，那么椭圆的参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中，0 ≤ θ ≤ 2π。
### 6.步骤6：椭圆的半焦距和焦长度椭圆的半焦距c是焦点到中心点的距离的一半，可以用以下公式表示：c = √(a² - b²)椭圆的焦长度是焦点到准线的距离，可以用以下公式表示：d = 2 * c### 7.步骤7：椭圆的面积椭圆的面积可以通过以下公式计算得到：S = π * a * b其中，a是椭圆的半长轴，b是通过离心率计算得到的次长轴。
椭圆的知识点总结
椭圆的知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一种特殊曲线，它的定义可以有多种方式。
在解析几何中，我们通常采用焦点－直线之和等于常数的定义来描述椭圆。
具体而言，椭圆定义为到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
这个常数被称为椭圆的长轴长度。
另外，椭圆还有一个短轴，它垂直于长轴且通过长轴的中点。
椭圆的长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。
二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
2. 直径性质：椭圆的直径是经过焦点的直线段，并且它恰好与椭圆相交于椭圆上的两点。
3. 周长性质：椭圆的周长可以用椭圆的半长轴和半短轴的长度来表示，即2πb+4aE(e)，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，E(e)为第二类椭圆积分。
4. 质心性质：椭圆的质心位于椭圆的中心，且与椭圆的几何中心重合。
椭圆的质心满足椭圆上所有点到该质心的距离之和等于椭圆的长轴长度。
5. 对称性质：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，且同时具有关于两个焦点的对称性。
6. 离心率性质：椭圆的离心率e是一个重要的参数，它刻画了椭圆的形状。
椭圆的离心率满足0<e<1，且e=√(1-b²/a²)。
7. 焦点和直角坐标系的关系：椭圆在直角坐标系中的方程形式可以用来描述椭圆的形状，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
三、椭圆的方程椭圆的方程通常以长轴和短轴的长度来表示，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
在给定长轴和短轴的情况下，可以通过椭圆的方程来确定椭圆的形状和位置。
四、椭圆的焦点椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴的两端。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特性，它们的位置决定了椭圆的形状和方向。
五、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来描述。
椭圆知识点及结论总结
椭圆知识点及结论总结**一、椭圆的定义**椭圆是指到定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P到定直线l的距离之和相等的点的轨迹。
其中，l为连接F1和F2的连线的垂直平分线。
**二、椭圆的性质**1. 对称性：椭圆具有对称性，其形状关于两轴方向对称，对称轴是长轴和短轴。
2. 焦点和直径关系：椭圆上每一个点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度2a。
3. 离心率：椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为焦距，a为长轴长度。
椭圆的离心率在0到1之间。
4. 焦角性质：椭圆上任意一点处的法线与连接该点与两个焦点的连线的夹角相等。
**三、椭圆的方程**椭圆的一般方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a和b分别为长轴和短轴的长度。
当椭圆的中心位于原点时，方程可以简化为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
此外，我们还可以通过椭圆的焦点和离心率来描述椭圆的方程。
**四、椭圆的参数方程**椭圆也可以通过参数方程来描述，参数方程为x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中，t为参数。
参数方程描述了椭圆上所有点的坐标。
通过参数方程，我们可以更加直观地理解椭圆的形状和特性。
**五、椭圆的应用**1. 天体轨道：行星、卫星等天体的运动轨道大多为椭圆形。
通过研究椭圆轨道，可以更好地了解天体的运动规律和预测其轨道变化。
2. 工程设计：椭圆曲线在工程设计中有着广泛的应用，例如椭圆形的建筑结构、汽车轮胎的设计等。
3. 导弹轨迹：导弹的轨迹可以用椭圆来描述，研究导弹的椭圆轨道可以帮助提高导弹的精准度和命中率。
**结论**通过本文的探讨和分析，我们了解了椭圆的定义、性质、方程及其应用。
椭圆作为一种重要的几何图形，在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用价值。
通过对椭圆的深入研究和了解，可以更好地应用椭圆的特性，解决实际问题和推动科学技术的发展。
希望本文能够对读者对椭圆有一个更加全面的了解，并对椭圆的研究和应用提供一些启发和帮助。
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椭圆性质的证明与证明:
性质1、 椭圆上一点P 处的切线平分焦点三角形外角的证明：
题目：已知12,F F 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点，P 为椭圆上一点。
求证：点P 处的切线PT 必
平分12PF F ∆在P 处的外角.在解答此题之后，我们还得到一个重要的定理.
证法1 设1200(,0),(,0),(,)F c F c P x y -.
对椭圆方程22221x y a b +=两边求导得，22
22.0x y y a b '
+=
∴ 22b x
y a y
'=-
∴ 0020(,)
20
pT x y b x k k y a y '===-
又1010pF y k k x c ==
+，20
20pF y k k x c
==-， 由到角公式知
2002002
2002
200tan 211.
b x y
a y x c k k
b x y kk a y x c
----∠==
+-- 22222
000222
000
()
()b cx b x a y a b x y a cy -+=-- 222222
00222000000()()b cx a b b cx a b c x y a cy cy cx a cy --===
--， 同理200
22
0012
00
10
200
tan 111.y b x x c a y k k b y b x k k cy x c a y ++-∠===+-+. ∵ 1,2(0,)π∠∠∈， ∴ 12∠=∠， 又14∠=∠， ∴ 24∠=∠
证法2 设1(,0)F c -，2(,0)F c ，00(,)P x y ，如图1，过1F 、2F 作切线PT 的垂线，垂足分别为M 、N. ∵ 切线PT 的方程为
00221x x y y
a b
+=，则点1F 、2F 到PT 的距离为
1F M =
，
2F N =
∴ 0
22
012
01021
1cx cx a F M a cx F N cx a a
----==-- 001002ex a a ex PF ex a a ex PF --+===-- ∴ 1PMF ∆∽2PNF ∆ ∴ 12∠=∠, 又∵14∠=∠ ∵ 24∠=∠.
两种证法都是由12∠=∠导出，如图，设PD 为法线（即PD ⊥切线PT ），则PD 平分12F PF ∠，故得如下重要定理.
定理 在椭圆上任意一点P 的法线，平分该点两条焦半径的夹角. （到角公式）
把直线L1依逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角，叫做L1到L2的角，简称到角.tan θ=(k2-k1)/(1+k1·k2)
性质2．椭圆焦点三角形定义及面积公式推导
（1）定义：如图1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,F F 构成的三角形12PF F 称之为椭圆焦点三角形．
（2）面积公式推导
解：在12PF F ∆中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得
222
1212
12
cos 2PF PF F F PF PF α+-=
⋅222
1212
(2)2r r c r r +-=
⋅ 22121212()242r r r r c r r +--=22
1212
(2)242a rr c rr --=
2212124()22a c r r r r --=212
12
2b r r r r -=
∴2
1212cos 2rr b rr α=-
即21221cos b r r α
=+，
∴12
2
12112sin sin 221cos PF F b S r r ααα
∆==⨯⨯+2sin 1cos b αα=+=2tan 2b α．
例1．焦点为12,F F 的椭圆22
14924x y +
=上有一点M ，若120MF MF ⋅= ，求12MF F ∆的面积． 解：∵120MF MF ⋅=
， ∴12MF MF ⊥， ∴ 12MF F S ∆=290tan
24tan
242
2
b α
︒
==． 例2．在椭圆的22
221(0)x y a b a b
+=>>中，12,F F 是它的两个焦点，B 是短轴的一个端点，M
是椭圆上异于顶点的点，求证：1212F BF F MF ∠>∠．
证明：如图2，设M 的纵坐标为0y ，
∵
210212121
21MF F F BF S y F F b F F S ∆∆=⋅>⋅=
， ∴221212tan tan 22F BF F MF b b ∠∠>， 即1212tan tan 22F BF F MF
∠∠>， 又121211
,22
F BF F MF ∠∠都是锐角， 故121211
22
F BF F MF ∠>∠ 从而有1212F BF F MF ∠>∠．
图1
图2
性质3、双曲线焦点三角形定义及面积公式推导．
（1）定义：如图3，双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点12,F F 构成的三角形12PF F 称之为双曲线焦点三角形．
（2）面积公式推导：
解：在12PF F ∆中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得
2
2
2
1212
12
cos 2PF PF F F PF PF α+-=
⋅222
1212
(2)2r r c r r +-=
⋅ 22121212()242r r r r c r r -+-=22
1212
(2)242a rr c r r +-=
2212122()r r c a r r --=
2
1212
2r r b
r r -=
∴2
1212cos 2rr rr b α=-
即2
1221cos b r r α
=-，
∴12
2
12112sin sin 221cos PF F b S r r ααα
∆==⨯⨯-2sin 1cos b αα=-=2cot 2b α．
例3、已知双曲线22169144x y -=，设12,F F 是双曲线得两个焦点．点P 在双曲线上，
1232PF PF ⋅=，求12F PF ∠的大小．
解：双曲线的标准方程为22
1916
x y -
=， ∴121212121211
sin 32sin 16sin 22
PF F S PF PF F PF F PF F PF ∆=
⋅∠=⨯∠=∠， 从而有1216sin F PF ∠1216cot 2F PF ∠==12
12
16sin 1cos F PF F PF ∠-∠， ∴12cos 0F PF ∠=， ∴1290F PF ∠=︒．
例4：椭圆22162
x y +
=与双曲线 2
213x y -=的公共焦点为12,F F ，P 是两曲线的一个交点，求21cos PF F ∠的值．
图3
解：在椭圆和双曲线中异算12PF F ∆面积 ∵122tan 1cot 22
PF F S α
α
∆==⨯，
∴2
1tan 2
2
α
=， ∴2
21
1tan 1122cos 13
1tan 122
α
αα--
=
==++
． 开拓：从上例我们不难发现，若椭圆22
112211
1(0)x y a b a b +=>>和双曲线
22
222
222
1(0,0)x y a b a b -=>>有公共的焦点12,F F 和公共点P ，那么12PF F ∆的面积2121tan
2F PF S b ∠=，又2122cot 2
F PF
S b ∠=，从而22212S b b =⋅，即12S b b =⋅． 性质4：若000(,)P x y 在椭圆22
22
1x y a b
+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 证明：设00(,)P x y .
对椭圆方程22221x y a b +=两边求导得，22
22.0x y y a b '
+=
∴ 22b x
y a y '=- ∴ 0020(,)20
pT x y b x k k y a y '===-
由点斜式：20
0020()b x y y x x a y -=--，又因为00(,)P x y 在22221x y a b +=上，所以2200221x y a b +=，整理即得：
00221x x y y
a b
+=。